AD1 PreCalculoEng 2017 2 gabarito

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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2017/2
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Considere a equac¸a˜o abaixo e fac¸a o que se pede:
(2x)(
√
2− 1) = 1
1
5
− 1
2
.
a. [1,0] Mostre que o valor de x na equac¸a˜o acima e´ um nu´mero irracional e encontre q1 e
q2 ∈ Q tais que q1 < x < q2. Justifique sua resposta.
b. [1,0] O valor de x encontrado acima e´ menor do que 1/3? Justifique.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que a frac¸a˜o do segundo membro e´
1
2− 5
10
,
donde ficamos com
−10
3
.
Isolando x no primeiro membro, temos
x =
(
−10
3
)
· 1
2
1
(
√
2− 1) = −
5
3
· 1
(
√
2− 1) ×
(
√
2 + 1)
(
√
2 + 1)
,
e da´ı ficamos com
x = −5 · (
√
2 + 1)
3 · 1 = −
5 · (
√
2 + 1)
3
.
Temos que x e´ irracional pois:
√
2 e´ irracional (sendo raiz quadrada de um nu´mero primo),
e logo
√
2 + 1 e´ irracional (soma de irracional com racional); conclu´ımos que x e´ o produto
de um irracional com o racional −5/3, e por isso irracional. Como 1 <
√
2 < 2, enta˜o
2 <
√
2 + 1 < 3, e assim temos que x = −5 · (
√
2 + 1)
3
satisfaz
3 · −5
3
< x < 2 · −5
3
,
ou ainda (cancelando 3 com 3),
−5 < x < −10
3
.
b) Sim, pois temos −10
3
< 1/3. Logo, x <
−10
3
< 1/3.
Questa˜o 2: (3,0 pontos) Estude o sinal da expressa˜o
1− 3x
|x| − 2, sabendo que −
√
2 ≤ x ≤ √5.
Soluc¸a˜o:
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Observemos que a expressa˜o no enunciado na˜o esta´ definida de x = 2 ou x = −2. Ale´m
disso, 1 − 3x muda de sinal em x = 1/3. Portanto, como √2 < 2, √5 > 2 e −√2 ≤ x ≤ √5,
enta˜o temos que estudar a variac¸a˜o de sinal nos intervalos: (−√2, 1/3), (1/3, 2) e (2,√5).
Vejamos a tabela abaixo.
Logo, temos a seguinte tabela de sinais.
−√2 < x < 1/3 1/3 < x < 2 2 < x < √5
1− 3x + − −
|x| − 2 − − +
1− 3x
|x| − 2 − + −
Observando a tabela,
1− 3x
|x| − 2 > 0 em (1/3, 2);
1− 3x
|x| − 2 = 0, para x = 1/3
1− 3x
|x| − 2 < 0 em (−
√
2, 1/3) ∪ (2;√5)
1− 3x
|x| − 2 na˜o esta´ definida para x = −2 e x = 2.
Questa˜o 3: (3,0 pontos) Considere a equac¸a˜o
√
7− 3|x− 2| = 2.
Fac¸a o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
7− 3|x− 2| existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equac¸a˜o
√
7− 3|x− 2| = 2.
Soluc¸a˜o:
a) Para que a expressa˜o no primeiro membro seja real, precisamos de que 7− 3|x− 2| ≥ 0. Ou
seja, |x− 2| ≤ 7/3, o que e´ equivalente a
−7/3 ≤ x− 2 ≤ 7/3,
ou ainda
−1 ≤ x ≤ 13/3.
Assim, conclu´ımos que toda soluc¸a˜o x da equac¸a˜o, se existir, deve satisfazer x ∈ [−1, 13/3].
Se a equac¸a˜o do enunciado e´ satisfeita, tambe´m sera´ a mesma com cada membro elevado ao
quadrado:
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7− 3|x− 2| = 4, e assim, |x− 2| = 1.
Logo, x = 3 ou x = 1.
Como a equac¸a˜o pode ser resolvida para todo x ∈ [−1, 13/3], e 13/3 > 3, enta˜o x = 1 ou
x = 3 sa˜o soluc¸o˜es poss´ıveis.
Como elevamos ambos os lados ao quadrado, e´ preciso verificar se essas poss´ıveis soluc¸o˜es
sa˜o de fato soluc¸o˜es da equac¸a˜o do enunciado.
Substituindo x = 1 na equac¸a˜o,
√
7− 3|1− 2| =
√
7− 3| − 1| = √7− 3 =
√
4 = 2.
Logo, x = 1 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Substituindo x = 3 na equac¸a˜o,
√
7− 3|3− 2| =
√
7− 3|1| = √7− 3 =
√
4 = 2.
Portanto, x = 3 e´ de fato outra soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ {1, 3}.
Questa˜o 4: (2,0 pontos) Fac¸a o que se pede:
a) (1,0 pt) Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto A = (−1, 2) e pelo ponto B,
onde B e´ o ponto sime´trico do ponto C = (−2,−1) com relac¸a˜o ao eixo y.
b) (1,0 pt) Determine a equac¸a˜o da reta s que passa por A = (−1, 2) e e´ perpendicular a` reta
y + 2x + 3 = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Como o ponto B e´ sime´trico do ponto C = (−2,−1) em relac¸a˜o ao eixo y, temos que
B = (2,−1).
O coeficeinte angular da reta que passa pelos pontos A = (−1, 2) e B = (2,−1) e´
mr =
−1− 2
2− (−1) = −
3
3
= −1.
Logo, y − 2 = −(x− (−1))⇒ y = −x + 1 e´ a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos A e
B.
b) Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o y = −2x − 3, temos que o coeficiente
angular da reta s e´: ms = − 1−2 =
1
2
.
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Assim a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y − 2 = 1
2
(x− (−1))⇒ y = x
2
+
1
2
+ 2 =
x
2
+
5
2
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