AD1_PreCalculoEng_2020_1_gabarito

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Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2020/1
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere a expressão abaixo e faça o que se pede:
E =
y
x3 − y2x
+
x− y
y + x
− x
x− y
.
a. [1,0] Simplifique a expressão E, e escreva a mesma como uma única fração.
b. [1,0] Se x = 1, obtenha algum valor de y tal que 0 ≤ E ≤
√
2, justificando sua resposta.
Solução:
a)
E =
y
x3 − y2x
+
x− y
y + x
− x
x− y
=
E =
y
x(x2 − y2)
+
x− y
y + x
− x
x− y
=
E =
y
x(x− y)(x + y)
+
x− y
y + x
− x
x− y
=,
pois x3−y2x = x(x2−y2) = x(x−y)(x+y), sendo que estes são denominadores na expressão
E. Consideramos o mmc entre estes denominadores, que é x(x− y)(x + y):
E =
y
x(x− y)(x + y)
+
x(x− y)2
x(y + x)(x− y)
− x
2(x + y)
x(x− y)(x + y)
=
E =
y + x(x2 − 2xy + y2)− x3 − x2y
x(x− y)(x + y)
=
y + x3 − 2x2y + xy2 − x3 − x2y
x(x− y)(x + y)
=
=
y − 3x2y + xy2
x(x− y)(x + y)
.
b) Como, pelo item anterior, E =
y − 3x2y + xy2
x(x− y)(x + y)
, fazendo x = 1, temos E =
y2 − 2y
1− y2
. Além
disso, sabemos que 0 ≤ 1 ≤
√
2, por exemplo. Então seja E = 1:
E =
y2 − 2y
(1− y2)
= 1 =⇒ y2 − 2y = 1− y2,
ou melhor,
2y2 − 2y − 1 = 0,
donde y1 =
1 +
√
3
2
e y2 =
1−
√
3
2
são soluções.
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Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2020/1
Questão 2 [3,0 pontos] Considere a expressão E(x) =
1− 5x
|1− 2x| − |x|
. Faça o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).
Solução:
Dada a expressão |1− 2x| − |x|, sabemos que |1− 2x| =

1− 2x, se 1− 2x > 0
0, se 1− 2x = 0
−(1− 2x), se 1− 2x < 0
⇒ |1− 2x| =

1− 2x, se x < 1
2
0, se x = 1
2
−1 + 2x, se x > 1
2
e |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Encontrando a expressão |1− 2x| − |x| sem uso do valor absoluto.
x < 0 0 < x < 1
2
x > 1
2
|1− 2x| 1− 2x 1− 2x −1 + 2x
|x| −x x x
|1− 2x| − |x| 1− x 1− 3x −1 + x
Assim, |1− 2x| − |x| =

1− x, se x < 0
1− 3x, se 0 < x < 1
2
−1 + x, se x > 1
2
Observe que a expressão do enunciado não está definida para x = 1
3
e x = 1.
a. E(x) = 0 se 1− 5x = 0, ou seja, para x = 1
5
.
b. A expressão 1 − 5x muda de sinal em x = 1
5
. Logo, como 0 < 1
5
< 1
3
< 1
2
< 1, temos a
seguinte tabela do estudo do sinal da expressão E(x):
x < 0 0 < x < 1
5
1
5
< x < 1
3
1
3
< x < 1
2
1
2
< x < 1 x > 1
1− 5x + + + + + + −−− −−− −−−− −−−
|1− 2x| − |x| + + + + + + + + + −−− −−− + + +
E(x) =
1− 5x
|1− 2x| − |x|
+ + + + + + −−− + + + + + + −−−
1− 5x
|1− 2x| − |x|
> 0 em
(
−∞, 1
5
)
∪
(
1
3
, 1
)
;
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1− 5x
|1− 2x| − |x|
= 0, para x = 1/5.
1− 5x
|1− 2x| − |x|
< 0 em
(
1
5
, 1
3
)
∪ (1; +∞).
1− 5x
|1− 2x| − |x|
não está definida para x = 1
3
e x = 1.
Questão 3 [3,0 pontos] Considere a equação
√
x− 1 = |x| − 2.
Faça o que se pede:
a. [1,0 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
x− 1 existe. Notando que a
raiz quadrada é positiva, considere o membro da direita para determinar quais valores de
x são admisśıveis.
c. [2,0 ponto] Resolva a equação
√
x− 1 = |x| − 2 . Caso não exista solução real, justifique.
Solução:
a) A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. Logo, x− 1 ≥ 0, donde
x ≥ 1. Mas como a raiz deve ser positiva, então a expressão da direita satisfaz
|x| − 2 ≥ 0,
e portanto x ≥ 2 ou x ≤ −2. Como a nossa primeira conclusão afirma que x ≥ 1, então
devemos ter x ≥ 2.
b) Vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado, e sabendo, pelo item (a), que
x ≥ 2, podemos tomar |x| = x:
x− 1 = x2 − 4x + 4,
ou ainda x2 − 5x + 5 = 0.
Usando a Fórmula de Báshkara, obtemos as soluções x = 5+
√
5
2
e x = 5−
√
5
2
para a equação
acima. Mas pelo item anterior, devemos ter x ≥ 2. Logo, apenas x = 5+
√
5
2
pode ser aceita
como solução.
Questão 4 [2,0 pontos] Faça o que se pede:
a. [1,0 ponto] Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A = (0, 2) e pelo ponto
B, onde B é o ponto simétrico do ponto C = (−1, 1) com relação ao eixo y.
b. [1,0 ponto] Determine a equação da reta s que passa por A = (4,−2) e é perpendicular à
reta y + 2x− 3 = 0.
Solução:
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a) Como o ponto B é simétrico do ponto C = (−1, 1) em relação ao eixo y, temos que B =
(1, 1). O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (0, 2) e B = (1, 1) é
mr =
1−(2)
1−0 =
−1
1
= −1.
Logo, y = −x + 2 é a reta que passa pelos pontos A e B.
b) Como a reta s é perpendicular à reta de equação y = −2x + 3, temos que o coeficiente
angular da reta é: ms =
1
2
. Assim a equação da reta s é dada por y− (−2) = 1
2
(x− (4)), ou
seja, y =
x
2
− 4.
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