Prova - Controle Linear II

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Questão 1 – a) Considerando o diagrama de blocos fornecido pela questão, podemos adotar a 
seguinte abordagem: 
I) Encontraremos a função de transferência para o sistema considerando a perturbação igual a 
zero. 
𝐺1(𝑠) = 10, 𝐺2(𝑠) =
1
𝑠2 + 5𝑠
, 𝐻(𝑠) =, 𝐽(𝑠) =
10
𝑠2 + 5𝑠 + 10
 
Para 𝑇𝑑 (𝑠) = 0 ∶ 
𝑌1(𝑠) = [
10
𝑠2 + 5𝑠
1 +
10
𝑠2 + 5𝑠
] 𝑅(𝑠) = [
10
𝑠2 + 5𝑠 + 10
] 𝑅(𝑠) 
II) Agora iremos considerar a entrada igual a zero e analisar a malha em relação ao distúrbio. 
Considere 𝑅(𝑠) = 0 : 
Pela análise do diagrama de blocos, quando a entrada é anulada a constante G entra no mesmo 
ponto que a constante 1, que seria nosso 𝐻(𝑠). Portanto teremos a seguinte situação: 
𝐺(𝑠) =
1
𝑠2 + 5𝑠
, 𝐻(𝑠) = 10 
Portanto, nossa segunda função de transferência será: 
𝑌2(𝑠) = [
1
𝑠2 + 5𝑠
1 +
10
𝑠2 + 5𝑠
] 𝑇𝑑(𝑠) =
1
𝑠(𝑠2 + 5𝑠 + 10)
 
III) Para encontrar o 𝑌(𝑠), basta somar as duas funções de transferência encontradas: 
𝑌(𝑠) = 𝑌1(𝑠) + 𝑌2(𝑠) = (
10
𝑠2 + 5𝑠 + 10
) 𝑅(𝑠) +
1
(𝑠2 + 5𝑠 + 10)𝑠
 
IV) Aplicando a inversa de LaPlace, teremos a seguinte equação no domínio do tempo: 
𝑦(𝑡) = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡) 
𝑦(𝑡) = (𝑅(𝑠) ∗ 𝐽(𝑠)) + ℒ−1 {
𝑘1
𝑠 + 𝑝1 
+
𝑘2
𝑠 + 𝑝2
} 
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑟(𝜏)𝑗(𝑡 − 𝜏)𝜕𝜏
𝑡
0
+ ℒ−1 {
𝑘1
𝑠 + 𝑝1 
+
𝑘2
𝑠 + 𝑝2
+
𝑘3
𝑠
} 
 
Encontrando as constantes 𝑘1 e 𝑘2 assim como nosso 𝑗(𝑡): 
i) Para 𝑦2(𝑡): 
𝑝1 = −2.5 + 𝑗1.95, 𝑝2 = −2.5 − 𝑗1.95, 𝑝3 = 0 
𝑌(𝑠) =
1
(𝑠 − 2.5 + 𝑗1.95)(𝑠 − 2.5 − 𝑗1.95)𝑠
 
 
𝑘1 =
1
(𝑠 − 2.5 − 𝑗1.95)𝑠
|
𝑠=−2.5+𝑗1.95
≅ 0.05 + 𝑗0.04 
𝑘2 =
1
(𝑠 − 2.5 + 𝑗1.95)𝑠
|
𝑠=−2.5−𝑗1.195
≅ 0.05 − 𝑗0.04 
 
𝑘3 =
1
(𝑠 − 2.5 + 𝑗1.95)(𝑠 − 2.5 − 𝑗1.95)
|
𝑠=0
≅ 1 
 
Assim: 
𝑦2(𝑡) = ℒ
−1 {
1
𝑠
+
0.05 + 𝑗0.04
𝑠 − 2.5 + 𝑗1.95
+
0.05 − 𝑗0.04
𝑠 − 2.5 − 𝑗1.95
} 
 
𝑦2(𝑡) = 𝑢(𝑡) + (0.05 − 𝑗0.04)𝑒
𝑡(2.5−𝑗1.95) + (0.05 + 𝑗0.04)𝑒𝑡(2.4+𝑗1.95) 
 
ii) Para nosso 𝑗(𝑡): 
𝑗(𝑡) = (0.5 + 𝑗0.4)𝑒𝑡(2.5+𝑗1.95) + (0.5 + 𝑗0.4)𝑒𝑡(2.5−𝑗1.95) 
 
Como só é pedido a função no domínio do tempo em relação à perturbação o resultado será: 
 
𝑦2(𝑡) = 𝑢(𝑡) + (0.05 − 𝑗0.04)𝑒
𝑡(2.5−𝑗1.95) + (0.05 + 𝑗0.04)𝑒𝑡(2.4+𝑗1.95) 
 
Para encontrar a função de transferência de malha fechada para a saída, a entrada deveria ser 
especificada. 
b) 
 
Para uma magnitude de 3dB, a frequência é mais ou menos 2.79 rad/s. 
 
 
 
Questão 2 – Para os valores: 
Frequência de Banda: 
 
Margem de Ganho: 
 
Margem de Fase: 
 
 
 
Magnitude de pico: 
 
A magnitude de pico não pode ser determinada diretamente pelo MATLAB™, porém pode ser 
determinada pela curva de magnitude que tangencia a nossa curva de função de transferência. 
No nosso caso, a magnitude de pico será de aproximadamente 6 dB.