04 2014 1aparte

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4. Aplicações do equilíbrio 
de Nash – 1a parte: 
Cournot e Bertrand 
Teoria dos Jogos 
Faculdade de Economia, UFF 
Prof. Fábio D. Waltenberg 
 
Março de 2014 
Programa 
1. Equilíbrio de Cournot-Nash (modelo de 
determinação simultânea de quantidades) 
 Quantidades, preços e lucros de equilíbrio 
 Cournot-Nash e Pareto 
 Cournot-Nash e a concorrência perfeita 
2. Bertrand (modelo de determinação 
simultânea de preços) 
 Produtos homogêneos; sem restrição de capacidade 
 Produtos homogêneos; com restrição de capacidade 
 Produtos heterogêneos 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 3 
Exercício em grupo 
1. Suponha que seu oponente não esteja 
jogando a estratégia de equilíbrio de 
Nash dele. Você deveria jogar sua 
estratégia de equilíbrio de Nash? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 4 
Cournot-Nash 
 Capítulo 4: aplicações do equilíbrio de Nash 
 Antoine Cournot (1838): jogo simultâneo de 
estratégias contínuas 
 Duas empresas fabricam produtos homogêneos 
 Mesma qualidade percebida 
 Total ofertado q = q1 + q2 
 Preço de mercado: p(q) = A - b(q1 + q2) 
 Receita total é dada por preço vezes quantidade 
 RT1 = p.q1 = Aq1 - bq1² - bq1q2 
 RT2 = p.q2 = Aq2 - bq1q2 - bq2² 
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Cournot-Nash 
 Funções de custo 
 C1 = c.q1 
 C2 = c.q2 
 “Funções de recompensa” – neste contexto, 
lucros – são dadas por receita menos custo: 
 π1 = Aq1 - bq1² - bq1q2 - c.q1 
 π2 = Aq2 - bq1q2 - bq2² - c.q2 
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Cournot-Nash 
 Para determinar quantidade ofertada que 
maximiza os lucros, tomamos a c.p.o.: 
 ∂π1/∂q1 = 0  A - 2bq1 - bq2 – c = 0 
 ∂π2/∂q2 = 0  A - bq1 - 2bq2 - c = 0 
 Pondo as quantidades em evidência, temos: 
 q1 = (A - bq2
e - c) / 2b 
 q2 = (A - bq1
e - c) / 2b 
 Equações descrevem quanto cada empresa 
produzirá para maximizar lucros, 
 Dada a produção esperada de sua concorrente 
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Cournot-Nash 
 Cada empresa toma sua decisão de oferta 
sem conhecer a decisão da outra empresa 
 Jogo simultâneo como em aulas anteriores! 
 As equações nos dão funções de reação 
das empresas 1 e 2 
 O que cada empresa produzirá será a 
melhor resposta à decisão (que ela 
espera) da concorrente 
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Cournot-Nash 
q^1 
q^2 
Sejam q^1 e q
^
2 os níveis de produção 
escolhidos. Trata-se de equilíbrio de Nash? 
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Cournot-Nash 
q^1 
q^2 
“
A
rr
e
p
e
n
d
im
e
n
to
”
 
Sejam q^1 e q
^
2 os níveis de produção 
escolhidos. Trata-se de equilíbrio de Nash? 
q~2 
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Cournot-Nash 
q^1 
q^2 
“Arrependimento” 
Sejam q^1 e q
^
2 os níveis de produção 
escolhidos. Trata-se de equilíbrio de Nash? 
q~1 
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Cournot-Nash 
No ponto (q1*, q2*), nenhuma empresa 
se arrepende da escolha feita: 
Equilíbrio de Cournot-Nash 
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Cournot-Nash 
 Para atingir equilíbrio de Nash, estratégias 
dos jogadores devem ser melhores 
respostas umas às outras 
 q1 deve ser q1
e 
 q2 deve ser q2
e 
 Se não for, na situação final, haverá 
“arrependimento” 
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Cournot-Nash 
 Assumindo-se: 
 q1 = q1
e 
 q2 = q2
e 
 E resolvendo o sistema de equações, temos: 
 q1* = (A - c) / 3b 
 q2* = (A - c) / 3b 
 Onde o asterisco indica que se tratam de valores 
correspondentes a equilíbrios de Nash 
 Para esses valores, nenhum jogador tem interesse 
em alterar estratégia escolhida 
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Cournot-Nash: exemplo 
 Sejam: A = 100, b = 1, c = 4 
 Quantidade de equilíbrio é: 
 qi* = (A - c) / 3b = (100 - 4) / (3 x 1) = 32 
 Preço de mercado: p(q) = A - b(q1 + q2) 
 p = 100 – 1*(32 + 32) = $36 
 Lucro de cada empresa, 
 πi = p.qi - 4qi = (36 x 32) - (4 x 32) = $1.024 
 
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Em grupo… 
 (A) Calcule o equilíbrio de Cournot-Nash 
(quantidades, preço e lucros) para duas 
empresas em um mercado em que a função 
de demanda é dada por: 
p = 122 – 0,5(q1+q2) 
 E as funções de custo das duas empresas 
são dadas por: 
C1 = 2q1 
C2 = 2q2 
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Cournot e Pareto 
 Imaginem que as empresas tenham se fundido 
(“conglomerado”), mas ainda operem separadas 
 Novamente, sejam: A = 100, b = 1, c = 4 
 Preço de mercado: p(q) = A – b(q1 + q2) 
 Preço de mercado: p = 100 – q1 – q2 
 Custos da empresa 1: C1 = 4q1 
 Custos da empresa 2: C2 = 4q2 
 Custo total do conglomerado: Cc = C1 + C2 = 4q1 + 4q2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 17 
Cournot e Pareto 
 Custo total: Cc = C1 + C2 = 4q1 + 4q2 
 Como estão unidas as empresas 1 e 2, 
tanto faz qual delas produz quanto 
 Logo, podemos escrever: 
 Custo total: Cc = C1 + C2 = 4q1 + 4q2 = 8qi 
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Cournot e Pareto 
 Receita total do conglomerado: RTc = RT1 + RT2 
 RTc = p.q1 + p.q2 
 RTc = p.(q1 + q2) 
 RTc = (100 - q1 - q2).(q1 + q2) 
 De novo, tanto faz quem produz quanto: 
 RTc = (100 - qi - qi).(qi + qi) 
 RTc = (100 - 2qi).(2qi) 
 Função de recompensa (lucro) do conglomerado 
 πc = RTc - Cc 
 πc = (100 - 2qi).(2qi) - 8qi 
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Cournot e Pareto 
 Condição de primeira ordem: 
 ∂πc/∂qi = 200 – 8qi – 8 = 0 
 qi = 192/8 = 24 
 Desta forma: 
 Cada empresa deve produzir 24 unidades 
 O conglomerado produzirá 48 unidades no total 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 20 
Cournot e Pareto 
 E os lucros, como ficam? 
 p = 100 - 24 - 24 = $52 
 πi = p.qi - 4qi = (52 x 24) -(4 x 24) = $1.152 
 
 (Lembrete: e sem fusão? 
 Equilíbrio de Cournot é: 
 qi* = (A - c) / 3b = (100 - 4) / (3 x 1) = 32 
 p = 100 - 32 - 32 = $36 
 πi = p.qi - 4qi = (36 x 32) - (4 x 32) = $1.024 ) 
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Cournot e Pareto 
 Portanto, equilíbrio de Nash do modelo de 
Cournot não é Pareto-eficiente 
 Por meio da aquisição de uma empresa, é 
possível aumentar os lucros das duas 
empresas 
 O caso explicado aqui (denominado de 
“conglomerado”) é analiticamente 
equivalente ao de um cartel (ex. no Fiani) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 22 
Cournot e Pareto 
 Dificuldades: 
1. Cartéis são proibidos em muitos países 
2. Cartéis tendem a ser instáveis em jogos 
repetidos (cap. 7) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 23 
Em grupo… 
 (B) Calcule o equilíbrio de Cournot-Nash 
(quantidades, preço e lucros) para um 
“conglomerado” em um mercado em que a 
função de demanda é dada por: 
p = 122 – 0,5(q1+q2) 
 E as funções de custo das duas empresas 
(ou plantas) são dadas por: 
C1 = 2q1 
C2 = 2q2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 24 
Cournot e a concorrência 
perfeita 
 O que ocorre quando temos n empresas? 
 Função de demanda: p(q) = A – b∑qi, 
 Onde: q = ∑qi é a quantidade total ofertada pelas empresas i = 1,2 
,..., n 
 A e b são parâmetros exógenos 
 Receita total: RTi = p.qi = Aqi - bqi² - bqi∑q-i 
 Onde: q-i representa o somatório da produção de todas as 
empresas que não i 
 Assim: bqi∑q-i é o equivalente, para muitas empresas, ao termo 
bq1q2 que vimos no caso de duas empresas 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 25 
Cournot e a concorrênciaperfeita 
 Função recompensa (lucro): 
 πi = Aqi - bqi² - bqi∑q-i - c.qi 
 Condição de primeira ordem 
 ∂πi/∂qi = A - 2bq1 - b∑q-i - c = 0 
 Como todas as empresas 
 Têm os mesmos custos marginais (c) 
 E produzem produtos homogêneos 
 Dividirão o mercado igualmente entre si: q-i = qi 
 Assim: b∑q-i será b(nqi - qi), ou seja: b(n-1)qi 
 Logo: ∂πi/∂qi = A - 2bqi – b(n-1)qi – c = 0 
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Cournot e a concorrência 
perfeita 
 Rearranjando-se, chega-se a: 
 qi* = (A - c) / b(n +1) 
 Uma fórmula mais geral do que q1* = (A - c) / 3b 
 Qual é a expressão para a produção total q? 
 q = n.qi* = [n.(A-c)] / [b(n+1)] 
 Exemplos numéricos (ver Fiani, p. 132) 
 3 empresas: q1* = 24, q = 72, p = 28, πi = 576 
 23 empresas: q1* = 4, q = 92, p = 8, πi = 16 
 n empresas: p→4 (=custo marginal), πi →0 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 27 
Cournot e a concorrência 
perfeita 
 Ou seja, modelo de Cournot com número muito grande de 
empresas converge para o modelo de concorrência 
perfeita 
 Lógica: 
 Empresas decidem simultaneamente a quantidade a ser 
produzida… 
 … Sem observar quantidades produzidas pelas demais firmas… 
 Sendo, portanto, obrigadas a tomar quantidades das demais 
como dadas, exatamente como no modelo de concorrência 
perfeita 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 28 
Em grupo… 
 Em grupo: 
1. Você é um flamenguista chamado “Jogador 1”. Você joga 
contra um botafoguense chamado “Jogador 2”. Você não vai 
com a cara dele e vice-versa. O que você escolhe? 
 (Na próxima aula, resultados de vocês, da literatura, e comentários) 
Jogador 2 
X Y 
Jogador 1 X 0, 0 -2, 1 
Y 1, -2 -8, -8 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 29 
Em grupo… 
 Em grupo: 
1. Você joga, com um amigo de infância, que ainda hoje é seu 
melhor amigo. O que você acha que ele vai escolher: γ ou δ? 
2. O que você escolhe: α ou β? 
 (Na próxima aula, resultados de vocês, da literatura, e comentários) 
Seu amigo de infância 
 γ δ 
Você α 2, -3 -7, -7 
 β 1, 1 -3, 2 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 30 
Bertrand sem restrição de 
capacidade 
 Joseph Bertrand (1822-1900) 
 Modelo de determinação simultânea de preços 
 Em oposição ao de quantidades (Cournot) 
 Começamos estudando o caso em que duas 
empresas operam sem restrição de quantidade 
 Bens homogêneos 
 Se preços são iguais, cada empresa tem metade do 
mercado 
 A empresa que cobra menos ganha todo o mercado! 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 31 
Bertrand sem restrição de 
capacidade 
 Agora, expressaremos quantidade em função 
do preço (ao contrário da aula passada) 
 q(p) = 100 - p 
 Qual será o preço de mercado? Qual será a 
quantidade produzida? 
 Funções de recompensa, sendo C(qi)=cqi: 
 (pi - c).(100 - pi), se pi < pj 
 πi = [(pi - c).(100 - pi)] / 2, se pi = pj 
 0, se pi > pj 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 32 
Bertrand sem restrição de 
capacidade 
 Qual é o equilíbrio de Nash? 
 Se a empresa i fixa seu preço tal que p > c, qual é a 
melhor resposta da empresa j? 
 Empresa j pode fixar preço p’ ligeiramente inferior a p… 
 … porém superior a c… 
 … e ganhar todo o mercado!!! 
 Mas para a empresa i, p não é a melhor resposta a p’ ! 
 A melhor resposta a p’ seria p’’, ligeiramente inferior a 
p’… 
 … porém superior a c… 
 … ganhando todo o mercado!!! 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 33 
Bertrand sem restrição de 
capacidade 
 Qual será o equilíbrio? 
 pi* = pj* = c 
 O que ocorreria se preço ficasse acima de c? 
 Perda de todo o mercado para a outra 
empresa 
 O que ocorreria se preço ficasse abaixo de 
c? 
 Empresa operaria abaixo do custo  
prejuízo (o que é pior do que ter lucro zero) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 34 
Bertrand sem restrição de 
capacidade 
 Portanto, única combinação de estratégias 
que, recíproca e simultaneamente, é melhor 
resposta possível para ambas as empresas, 
é pi* = pj* = c, com ambas tendo lucro zero 
 Paradoxo de Bertrand: duopólio 
caracterizado por resultado de mercado 
competitivo 
 Por que chegamos a este resultado? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 35 
Bertrand sem restrição de 
capacidade 
 (Como em qualquer modelo econômico…) 
chegamos a determinado resultado por causa dos 
pressupostos adotados, que neste caso foram: 
1. Não há diferenciação de produto 
2. Não há restrição de capacidade produtiva 
3. Decisões são simultâneas e tomadas num único 
momento do tempo 
 Realistas na opinião de vocês? 
 Modelo inútil? Não, porque nos ajuda a raciocinar 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 36 
Individualmente 
 Cada pessoa jogará contra todos os colegas 
 Comunicação estritamente proibida!!! 
 Cada pessoa deverá escolher número entre 
0 e 100 
 O vencedor será aquele que escolher o 
número mais próximo da metade da média 
de todos os números escolhidos pelos 
demais 
1. Que número você escolhe? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 37 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
 Vamos relaxar um dos pressupostos-chaves: 
o de ausência de restrição de capacidade 
 Restrição: cada empresa não pode produzir 
mais que 60 unidades 
 Se preço for muito baixo, empresa atrairá mais 
clientes do que é capaz de atender! 
 Restará demanda residual para a outra empresa 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 38 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
 Suponham que pi < pj, o que implica que 
somente firma i atenderia ao mercado 
 Nenhum problema se pi = 80  qi = 100 - 80 = 20 
 Nenhum problema se pi = 50  qi = 100 - 50 = 50 
 Problema se 100 - pi > 60, pois q não pode ser 
superior a 60… é impossível produzir tanto assim! 
 Se a quantidade determinada pela equação 
100 - p for superior a 60, a empresa i se 
limitará a produzir apenas 60… 
qi = Min {100 - pi, 60} 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 39 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
C(qi) = cqi, com c > 0, se qi ≤ 60 
 ∞, se qi > 60 
 Funções de recompensa: 
 (pi - c).Min {100 - pi, 60}, se pi < pj 
 πi = [(pi - c).(100 - pi)] / 2, se pi = pj 
 0, se pi > pj , pj ≥ 40 
 (pi - c).(100 - pi - 60), se pi > pj , pj < 40 
 1a equação: todo o mercado (ou quase…) 
 2a equação: metade do mercado 
 3a e 4a são novidades… 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 40 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
 0, se pi > pj , pj ≥ 40 
 Se a empresa j estabelecer um preço menor 
do que o preço da empresa i, e se esse 
preço for igual ou superior a $40, então não 
sobrará mercado para a empresa i produzir 
 Ex: qj = 100 - 40 = 60 ou qj = 100 - 50 = 50 
 Demanda insuficiente para as duas empresas 
 A que cobra caro – aqui, i – fica sem clientes! 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 41 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
 (pi - c).(100 - pi - 60), se pi > pj, pj < 40 
 A empresa j estabelece preço menor do que o 
preço da empresa i, contudo inferior a $40 
 Ex: qj = 100 - 30 = 70… 
 Mesmo operando a toda capacidade, a empresa j não 
consegue suprir a demanda 
 Produzirá apenas 60 e a demanda residual ficará para i 
 Demanda residual será 100 - p menos os 60 que 
são produzidos pela empresa j 
 No exemplo, qj = 100 - 30 - 60 = 10 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 42 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
 Qual é o equilíbrio agora? Existe situação em que empresas 
não têm interesse em mudar preço? 
 Vejamos três casos 
1. Suponha que pi = pj = c, com C(qi) = 5qi 
 Q = 100 - 5 = 95  qi = qj = 95/2 = 47,5 Lucro é zero para ambas 
 E se uma empresa aumentar preço para 6? 
 Demanda residual: 100 - 6 - 60 = 34 
 Lucro: (6 - 5).(100 - 6 - 60) = 1 x 34 = 34 > 0 
 Ou seja, a empresa que aumenta o preço tem lucro maior 
 Portanto, definir p = 5 não é melhor resposta à resposta alheia 
para nenhuma empresa  não é equilíbrio de Nash 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 43 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
2. E se pi = pj > c 
 Ex: p = 10 
 Q = 100 - 10 = 90  Cada empresa oferta 45 
 Lucro de cada empresa é (10 - 5) x 45 = 225 
 E se uma empresa reduz preço para 9,5? 
 Q = 100 - 9,5 = 90,5  produzirá q = 60 e seu lucro será 
(9,5 - 5) x 60 = 270 
 É lucrativo para cada empresa reduzir 
ligeiramente o preço  não é equilíbrio de Nash 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 44 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
3. E se pi > c, pj > c, pi ≠ pj 
 Se pj for maior que 40 (ex: 45), a empresa i não 
terá espaço no mercado e terá lucros nulos  
será melhor reduzir seu preço a um nível 
ligeiramente inferior a pj … e aí voltamos ao caso 
anterior 
 E se pj for menor que 40 (ex: 35)? Então a 
empresa i poderia adotar preço ligeiramente 
inferior a pj para aumentar lucros, mas então a 
empresa j faria o mesmo, e assim por diante 
 Não há equilíbrio de Nash 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 45 
Bertrand com restrição de 
capacidade 
 Resultado conhecido como Paradoxo de 
Edgeworth : não existe equilíbrio de Nash 
(em estratégias puras) no modelo de 
Bertrand com restrição de capacidade 
 Resultado do caso sem restrição de 
capacidade (tendência a termos como 
equilíbrio de Nash pi=pj=c) 
 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 46 
Em grupo 
 Num modelo de Bertrand, com: 
 Restrição de capacidade 
 Produção máxima: 150 unidades por firma 
 Função de demanda de mercado q(p) = 220 – 2p 
 Construa a função de reação de uma 
empresa nesse duopólio 
 (Exercício do Fiani) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 47 
Resultados de aula anterior 
 Resultados de vocês: 
 8 grupos em 20 escolhem A (Alguns com ressalva do tipo “o 
jogador é indifernete”) 
 8 grupos respondem “indiferente”, “tanto faz” e afins 
 Literatura: mais de 80% respondem A. Por que? 
 {A} escolhido porque “em cima à esquerda” seria ponto focal? 
 Jogo de coordenação puro: único problema de cada jogador 
é dar a mesma resposta que o outro (≠ de “Batalha dos Sexos”) 
Jogador 2 
A B 
Jogador 1 A 1, 1 0, 0 
B 0, 0 1, 1 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 48 
Resultados de aula anterior 
 Respostas preocupantes: 
1. “Como jogador 1, se jogador 2 escolher A, 
escolho A. Se jogador 2 escolher B, escolho 
B." 
2. “Eu jogaria no meu equilíbrio de Nash." 
3. “Jogar nos equilíbrios em que se obtêm a 
recompensa (1,1), portanto, nos dois 
equilíbrios." 
4. “O que o outro escolher sempre." 
 
 
 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 49 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 No mundo real, é muito raro encontrar 
produtos homogêneos 
 Empresas procuram incessantemente 
diferenciar seus produtos com relação aos 
dos concorrentes 
 Prazo de entrega, condições de assistência 
técnica, “acessórios”, design, imagem associada 
ao produto (jogando com a percepção dos 
consumidores)… 
 Cada empresa deseja criar mercado cativo 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 50 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 Mudança no modelo de Bertrand: 
 Demanda de cada empresa é função inversa do seu 
próprio preço: quando i aumenta o preço, a demanda por 
seu produto cai 
 Porém, é uma função direta do preço das demais: quando 
j aumenta o preço, a demanda pelo produto da empresa i 
aumenta 
 Exemplo de empresas automobilísticas que 
produzem carro popular: 
 qi = 100 - 2pi + pj 
 qj = 100 - 2pj + pi 
 Ao aumentar o preço de seu produto, a empresa 
não perde todos os seus consumidores como antes 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 51 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 Custos 
 Ci = qi 
 Cj = qj 
 Receita: 
 RTi = piqi = pi(100 - 2pi + pj) 
 RTj = pjqj = pj(100 - 2pj + pi) 
 Funções de recompensa (lucros): 
 πi = RTi - Ci = pi(100 - 2pi + pj) - (100 - 2pi + pj) 
 πj = RTj - Cj = pj(100 - 2pj + pi) - (100 - 2pj + pi) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 52 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 Condições de primeira ordem 
 ∂πi/∂pi = 102 - 4pi + pj
e = 0 
 ∂πj/∂pj = 102 - 4pj
e + pi = 0 
 Ao resolvermos este sistema de equações, 
encontraremos o equilíbrio de Nash 
 Em que cada empresa escolhe preço que maximiza o 
seu lucro dado o preço escolhido pela outra empresa 
(pi = pi
e ; pj = pj
e) 
 pi = pj = $34 (Resolução Fiani: p.145) 
 (p.145… Quem não começou a estudar: deveria se preocupar…) 
 qi = qj = 66; Lucro será de $2.178 (≠ zero) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 53 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 Voltando às condições de primeira ordem 
 ∂πi/∂pi = 102 - 4pi + pj
e = 0 
 ∂πj/∂pj = 102 - 4pj
e + pi = 0 
 Teremos: 
102 - 4pi + pj
e = 0 
pi = 25,5 + (pj
e)/4 
 
102 - 4pj + pi
e = 0 
pj = 25,5 + (pi
e)/4 
 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 54 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 Funções de reação com inclinação positiva: se 
uma empresa aumenta preço, a outra pode 
aumentar também, sem perder totalmente o 
mercado 
1. Apenas parte dos consumidores disposta a trocar 
de fabricante 
2. Mesmo entre os que estão dispostos, preço alto do 
concorrente pode frear 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 55 
Bertrand com diferenciação de 
produto 
 Quando funções de reação são 
positivamente inclinadas (ex: 3° modelo de 
Bertrand), estratégias dos jogadores são 
complementares estratégicas 
 Aumento de pi conduz a aumento de pj 
 Quando funções de reação são 
negativamente inclinadas (ex: Cournot), 
estratégias dos jogadores são substitutas 
estratégicas 
 Aumento de qi conduz a redução de qj