Prova2 2011 gabarito

Prévia do material em texto

1
Faculdade de Economia, Universidade Federal Fluminense 
Teoria dos Jogos –  1° semestre de 2011 – Prof. Fábio D. Waltenberg 
Segunda avaliação – 30/6/2011 
 
1) (2,5) Seja o jogo representado em forma normal abaixo.  
 
Violeta Batalha  
dos Sexos  Bingo  
q 
Ópera  
(1‐q) 
Bingo 
p 
2, 1  0, 0  Alfredo 
Ópera 
(1‐p) 
0, 0  1, 2 
 
a)  (1,0) Indique o(s) equilíbrio(s) de Nash do jogo. 
Há dois equilíbrios de Nash em estratégias puras, que envolvem cooperação: (Bingo, Bingo) e (Ópera, Ópera). Há ainda um equilíbrio de 
Nash em estratégias mistas, calculado a seguir.  
• Seja p a probabilidade de que Alfredo vá ao Bingo e (1‐p) de que vá à Ópera 
• Seja q a probabilidade de que Violeta vá ao Bingo e (1‐p) de que vá à Ópera 
Para Alfredo, temos: 
  VE (Bingo) = (q)*(2) + (1‐q)*(0) 
  VE (Ópera) = (q)*(0) + (1‐q)*(1) 
No EN em estratégias mistas, Alfredo é indiferente entre Bingo e Ópera. Portanto: VE (Bingo) = VE (Ópera) Æ 2q = 1‐q Æ q=1/3  
Para Violeta, temos: 
  VE (Bingo) = (p)*(1) + (1‐p)*(0) 
  VE (Ópera) = (p)*(0) + (1‐p)*(2) 
No EN em estratégias mistas, VE (Bingo) = VE (Ópera) Æ p = 2‐2p Æ p=2/3 
Portanto, no EN em estratégias mistas, temos: p=2/3, q=1/3. 
 
b) (1,0) Calcule a recompensa esperada de cada jogador no EN em estratégias mistas. 
No EN em estratégias mistas, a recompensa esperada de Alfredo será: 
VEAlfredo = VE (Bingo) + VE (Ópera) = (2/3)*(1/3)*2 + (2/3)*(2/3)*0 +(1/3)*(1/3)*0 +(2/3)*(1/3)*1 = 6/9 = 2/3 
VEVioleta = VE (Bingo) + VE (Ópera) = (2/3)*(1/3)*1 + (1/3)*(1/3)*0 +(2/3)*(2/3)*0 +(2/3)*(1/3)*2 = 6/9 = 2/3 
 
c) (0,5) O que é mais interessante para cada jogador: coordenar sua ação com a ação alheia ou a solução resultante do equilíbrio de 
Nash em estratégias mistas? 
A recompensa esperada de cada jogador no EN em estratégias mistas é 2/3.  
Tanto (2,1), quanto (1,2) são melhores, para ambos os jogadores, do que (2/3, 2/3). 
 
2)  (2,5) Seja o jogo representado em forma normal abaixo. 
 
Jogador 2 Dilema do 
Prisioneiro  Coopera  Não Coopera 
Coopera  5, 5  ‐3, 8 Jogador 1 
Não Coopera  8, ‐3  0, 0 
 
a) (1,0) Se o jogo for repetido 20 vezes, qual(is) é (são) o(s) equilíbrios de Nash perfeito(s) em subjogos? Explique. EN perfeito em 
subjogos de um DP repetido finito é (Não Coopera, Não Coopera). Explicação deveria envolver menção a indução reversa e/ou 
reputação. 
b) (1,5) Se o jogo for repetido infinitas vezes, e sabendo que o jogador 1 adotará a chamada “estratégia severa”, para que valores 
do fator de desconto δ, será vantajoso, ao jogador 2, adotar a mesma estratégia severa? 5 / (1 – δ) ≥ 8 Æ δ ≥ 3/8 
 
3) (2,5) Com relação ao jogo representado em forma sequencial abaixo. 
 
-10, -5
5, 20
I
a
β
α
10, 10
-1, 0
b
II
c
d
I
0, 100
d
c
 
 
 2
a) (0,75) Representá‐lo na forma estratégica. Conforme slide da aula 23: 
1
Fiani 6.7
0, 1000, 100b, d
0, 1000, 100b, c
5, 20-1, 0a, d
10, 10-10, -5a, c
βα
Jogador II
Jogador I
 
b) (0,75) Identificar todos os subjogos. Conforme slide da aula 23. 
c) (1,0) Encontrar o Equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. Conforme slide da aula 23: 
27
Fiani 6.7
a) Ver slide precedente
b) Há dois subjogos, um dos quais se inicia no “nó II”; o outro 
deles inicia-se no “nó I”
c) Somente ((a, c), β) contém a melhor resposta de I no 
subjogo que se inicia no “nó II”Æ é o equilíbrio perfeito.
5, 20-1, 0d
10, 10-10, 5cI
βα
II (tem estrat. dominante)
 
4) (2,5)  Seja um  jogo de  informação  incompleta,  em que uma multinacional desconhece  com que  tipo  (A ou B) de  fornecedor está 
negociando.  
 
Multincional Fornecedor Tipo A 
Contrata  Não Contrata 
Age responsavelmente  2, 2  0, ‐1  
Age irresponsavelmente  ‐1, ‐2  ‐1, 0 
 
Multincional Fornecedor Tipo B 
Contrata  Não Contrata 
Age responsavelmente  ‐1, 2  0, ‐1  
Age irresponsavelmente  2, ‐2  1, 0 
 
a) (1,25) Chamando de p a probabilidade de que o fornecedor seja do tipo A, represente o jogo em forma sequencial, seguindo a 
proposta de John Harsanyi para resolver jogos de informação incompleta. Conforme slide da aula 25: 
 
 3
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 22
Da informação incompleta à
imperfeita
2, 2
Natureza
Responsável
(p)
Age resp.
Multinacional
Fornecedor
Fornecedor
Contrata
Irresponsável
(1-p)
Age resp.
Age irresp.
Age irresp.
Multinacional
Multinacional
Multinacional
0, -1
-1, -2
-1, 0
0, -1
-1, 2
2, -2
1, 0
Contrata
Contrata
Contrata
NC
NC
NC
NC
Notem que nó do 
pseudojogador é
vazado
 
 
b) (1,25) A multinacional soube que é idêntica a probabilidade de que o fornecedor seja do tipo A e do tipo B. Em tais condições, 
seu economista‐chefe representou o jogo na forma estratégica reproduzida abaixo. Indique o(s) equilíbrio(s) de Nash bayesiano 
do jogo. Trata‐se de {( Conduta adequada, Conduta inadequada), Contrata}, conforme Fiani p. 313. 
 
  Contrata  Não Contrata 
Conduta inadequada, Conduta inadequada  (2 – 3p), –2  (1 – 2p), 0 
Conduta inadequada, Conduta adequada  –1, (– 4p + 2)  – p, (p– 1) 
Conduta adequada, Conduta inadequada  2, (4p – 2)  (1 – p), – p 
Conduta adequada, Conduta adequada  (3p – 1), 2  0, – 1 
(Na prova, na segunda linha da tabela, foi impresso (– 4p ‐ 2) ao invés de (‐ 4p + 2).  
Quando p=½ , temos: – 4p – 2 = – 4 
Quando p=½ , temos: – 4p + 2 = 0 
Isto não altera em nada a resposta, uma vez que, de qualquer forma, {( Conduta inadequada, Conduta adequada), Contrata} não é EN 
em nenhum dos casos.) 
 
  Contrata  Não Contrata 
Conduta inadequada, Conduta inadequada  ½, ‐2  0, 0 
Conduta inadequada, Conduta adequada  ‐1, 0 
ou  
(‐1, ‐4) 
‐½, ‐½ 
Conduta adequada, Conduta inadequada  2, 0 
EN bayesiano 
½, ‐½ 
Conduta adequada, Conduta adequada  ½, 2  0, ‐1