LISTAS EXERCICIOS CALCULO III

Prévia do material em texto

Página 1 de 2 
 
 
LISTA 1 
 
1-) Calcule a primeira e a segunda derivada em cada caso abaixo. 
 
a-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦2 − 2𝑥2 + 4𝑦 − 4𝑥𝑦 
 
b-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥√𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑦 +
𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑥2√𝑥
 
 
c-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2
3
𝑙𝑛𝑦 − 2𝑦−2√𝑥3 
 
d-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑒𝑦 +
𝑐𝑜𝑠𝑦
√𝑥
 
 
e-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−3(𝑒𝑦 − 2𝑦) 
 
 
LISTA 2 
1-) Encontre o gradiente da função no ponto dado. 
 
a-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑦2; 𝑃(2,1) 
 
b-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (𝑥2 + 𝑦2); 𝑃(1,1) 
 
c-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥2; 𝑃(−1,0) 
 
d-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑧2 + 𝑧𝑙𝑛𝑥; 𝑃(1,1,1) 
 
e-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧3 − 3(𝑥2 + 𝑦2)𝑧 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑧); 𝑃(1,1,1) 
 
LISTA 3 
1-) Encontre a derivada direcional da função em P0 na direção de 𝐴. 
 
a-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 − 3𝑦2; 𝑃0(5,5); 𝐴 = 4𝑖 + 3𝑗 
 
b-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 𝑦2; 𝑃0(−1,1); 𝐴 = 3𝑖 − 4𝑗 
 
c-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧; 𝑃0(1, −1,2); 𝐴 = 3𝑖 + 6𝑗 − 2�⃗⃗� 
 
d-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2; 𝑃0(1,1,1); 𝐴 = 𝑖 + 𝑗 + �⃗⃗� 
 
e-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = cos(𝑥𝑦) + 𝑒𝑦𝑧 + ln(𝑥𝑧) ; 𝑃0 (
1,0,1
2
) ; 𝐴 = 𝑖 + 2𝑗 + 2�⃗⃗� 
 
 
 
 
Página 2 de 2 
 
LISTA 4 
1-) Encontre a linearização L(x,y) ou L(x,y,z) da função em cada ponto. 
 
a-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 1 𝑒𝑚 𝑎) 𝑃(0,0); 𝑏) 𝑃(1,1) 
 
b-) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 + 2)2 𝑒𝑚 𝑎) 𝑃(0,0); 𝑏) 𝑃(1,2) 
 
c-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑒𝑚 𝑎) 𝑃(0,1,0); 𝑏) 𝑃(1,1,1) 
 
d-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 𝑒𝑚 𝑎) 𝑃(0,0,0); 𝑏) 𝑃(1,1,1) 
 
e-) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥 + cos (𝑦 + 𝑧) 𝑒𝑚 𝑎) 𝑃(0,0,0); 𝑏) 𝑃(0,
𝜋
4
,
𝜋
4
) 
 
Fórmula da linearização: 
 
𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) +
𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝜕𝑥
(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝜕𝑦
(𝑦 − 𝑦0) +
𝜕𝑓(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝜕𝑧
(𝑧 − 𝑧0)