lista 1func (1)

Prévia do material em texto

Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I para os cursos de Engenharia - Func¸o˜es
1. Dado o gra´fico de uma func¸a˜o:
(a) Obtenha o valor de f(−1).
(b) Estime o valor de f(2).
(c) f(x) = 2 para quais valores de x?
(d) Estime os valores de x para os quais f(x) = 0.
(e) Obtenha o domı´nio e a imagem de f .
(f) Em qual intervalo f e´ crescente?
2. Dados os gra´ficos de f e g:
(a) Obtenha os valores de f(−4) e g(3).
(b) f(x) = g(x) para quais valores de x?
(c) Estime a soluc¸a˜o da equac¸a˜o f(x) = −1.
(d) Em qual intervalo f e´ decrescente?.
(e) Deˆ o domı´nio e a imagem de f .
(f) Obtenha o domı´nio e a imagem de g.
1
3. Determine o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = 1
x−3
(b) y =
√
x2 − 2
(c) f(x) = x|x|
(d) f(x) =
√
x− 3x2
(e) G(x) = 2
1+sen(x)
(f) h(x) = 1
3+
√
x
(g) f(x) = sen2
√
x
(h) h(t) =
√
(t2 − 3t+ 2)(1− t)
(i) y = 1|x2−4|
(j) h(s) =
√
s2 + 1
(k) g(x) =
√
x2−4
x−4
(l) h(x) = log (x2 + 5x− 6)
(m) f(x) = x
3x−1
(n) f(t) =
√
t+ 3
√
t
(o) h(x) = 14√x2−5x
(p) f(x) = 5
(q) f(t) = t2 − 6t
(r) g(x) =
√
x− 5
(s) G(x) = 3x+|x|
x
(t) f(x) =
 x+ 2, se x < 01 + x, se x ≥ 0
(u) f(x) =
 x+ 2, se x ≤ −1x2, se x > −1
(v) f(x) =
1
1 + ex
(w) f(x) =
1
1− ex
(x) g(t) = et − 1
(y) g(t) =
√
1− 2t
4. Encontre uma expressa˜o para a func¸a˜o cujo gra´fico e´ a curva dada:
(a) O segmento de reta unindo os pontos (1,−3) e (5, 7).
(b) A metade inferior da para´bola x+ (y − 1)2 = 0
(c) (d)
5. Suponha que seja dado o gra´fico de f . Escreva as equac¸o˜es para os gra´ficos obtidos do gra´fico
de f , da seguinte forma:
2
(a) Desloque 3 unidades para cima.
(b) Desloque 3 unidades para baixo.
(c) Desloque 3 unidades para a direita.
(d) Desloque 3 unidades para esquerda.
(e) Fac¸a uma reflexa˜o em torno do eixo x.
(f) Fac¸a uma reflexa˜o em torno do eixo y.
(g) Expanda verticalmente por um fator de 3.
(h) Comprima verticalmente por um fator de 3.
6. O gra´fico de uma func¸a˜o f encontra-se abaixo.
Esboce os gra´ficos das seguintes equac¸o˜es.
(a) y = f(x)− 2
(b) y = f(−x)
(c) y = f(2− x)
(d) y = f(x− 1)
(e) y = 1
2
f(x)
(f) y = |f(x)|
(g) y = f(|x|)
(h) y = f(2x)
7. O gra´fico de y =
√
3x− x2 e´ dado.
3
Use transformac¸o˜es para criar a func¸a˜o cujo gra´fico e´ mostrado.
(a)
(b)
8. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o, utilizando transformac¸o˜es.
(a) y = 4x − 3
(b) y = 4x−3
(c) y = −2−2
(d) y = 1 + 2ex
(e) y = 1− 1
2
e−x
(f) y = 2(1− ex)
9. Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de cada func¸a˜o. Na˜o use calculadora.
(a) y = log10 (x+ 5)
(b) y = − lnx
(c) y = ln(−x)
(d) y = ln |x|
10. Esboce o gra´fico das func¸o˜es.
(a) f(x) = |x2 + 20x− 9|
(b) h(x) = −1 + e(x+1)
(c) f(x) = log(x+ 1)
(d) f(x) = 2 + sen(x− pi/2)
(e) h(x) = −2 cos(2x)
(f) g(x) = −1 + |2x+ 2|
(g) f(x) =
 |x|+ 1, x < 1−x+ 1, x ≥ 1
(h) f(x) =

2x+ 3, x ≤ 0
x2, 0 < x < 2
1, x ≥ 2
(i) y = −x3
(j) y = (x+ 1)2
(k) y = 1 + 2 cosx
(l) y = sen(x
2
)
(m) y =
√
x+ 3
(n) y = 1
2
(x2 + 8x)
(o) y = 2
x+1
(p) y = |senx|
11. Para as func¸o˜es abaixo, ache a amplitude, o per´ıodo e o deslocamento de fase e esboce pelo
menos dois per´ıodos do gra´fico a` ma˜o.
4
(a) y = sen(4x)
(b) y = 2 + cos(x
2
)
(c) y = −1− 4sen(2x)
12. Comec¸ando com o gra´fico de y = ex, escreva as equac¸o˜es correspondentes aos gra´ficos que
resultam ao
(a) deslocar 2 unidades para baixo
(b) deslocar 2 unidades para a direita
(c) refletir em torno do eixo x
(d) refletir em torno do eixo y
(e) refletir em torno do eixo x e, depois, em
torno do eixo y
(f) refletir em torno da reta y = 4
(g) refletir em torno da reta x = 2
13. Encontre a func¸a˜o exponencial f(x) = Cax cujo gra´fico e´ dado.
(a) (b)
14. Suponha que voceˆ receba uma oferta para trabalhar por apenas um meˆs. Qual das seguintes
formas de pagamentos voceˆ prefere?
(a) Um milha˜o de do´lares no fim do meˆs.
(b) Um centavo de do´lar no primeiro dia do meˆs, dois centavos no segundo dia, quatro no
terceiro dia, e em geral, 2n−1 centavos de do´lar no n-e´simo dia.
15. (a) Como esta´ definida a func¸a˜o logar´ıtmica y = loga x?
(b) Qual o domı´nio dessa func¸a˜o?
(c) Qual a imagem dessa func¸a˜o?
(d) Esboce a forma geral do gra´fico da func¸a˜o y = loga x se a > 1.
5
16. Encontre o valor exato de cada expressa˜o.
(a) log5 125
(b) ln(1/e)
(c) log2 6− log2 15 + log2 20
(d) log10
√
10
17. Expresse a quantidade dada como um u´nico logaritmo.
(a) ln 5 + 5 ln 3
(b) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln c
(c) ln(1 + x2) +
1
2
lnx− ln senx
18. Encontre todos os valores de x tais que sen(2x) = senx e 0 ≤ x ≤ 2pi
19. Encontre o valor exato de cada expressa˜o
(a) sen−1(
√
3
2
)
(b) cos−1(−1)
(c) tg(arctan 10)
(d) sen−1(sen(
7pi
3
))
20. Demonstre a identidade
(a) cos(
pi
2
− x) = senx
(b) sen(pi − x) = senx
(c) sen2θ =
1− cos 2θ
2
(d) cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
21. Uma bola e´ atirada verticalmente para cima em t = 0 com uma velocidade inicial de 192cm/s.
A velocidade da bola em func¸a˜o do tempo e´ v = 192− 96t.
(a) Qual e´ a direc¸a˜o da bola apo´s 3s de seu lanc¸amento?
(b) Em que instante a bola atinge a sua altura ma´xima acima do solo? Explique o seu
racioc´ınio.
(c) O que pode ser dito acerca da acelerac¸a˜o da bola?
22. Ha´ dois sistemas para medir a temperatura, Celsius e Fahrenheit. A a´gua congela a 0o
Celsius (0oC) e a 32o Fahrenheit (32oF ), e ferve a 100oC e 212oF .
(a) Supondo que a relac¸a˜o entre as temperaturas Celsius TC e Fahrenheit TF e´ uma equac¸a˜o
linear, encontre-a.
6
(b) Qual e´ a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit e´ a mesma?
(c) A temperatura normal do corpo e´ de 98, 6oF . Quanto e´ em oC?
23. Uma mola com um comprimento natural de 15cm se alonga ate´ 20cm, quando um objeto de
45kg e´ pendurado nela.
(a) Use a lei de Hooke para determinar uma equac¸a˜o que expresse o comprimento y de
alongamento da mola (em cent´ımetros), em termos da massa x suspenso por ela (em
quilogramas).
(b) Fac¸a o gra´fico da equac¸a˜o obtida em (a).
(c) Ache o comprimento da mola quando o objeto de 100kg e´ pendurado nela?
(d) Qual e´ o maior massa que pode ser pendurada nela, se a mola na˜o pode ser alongada
mais do que duas vezes o seu comprimento natural?
24. A resisteˆncia ele´trica R em Ohms (Ω) para um fio de metal puro esta´ relacionada com a sua
temperatura T em oC pela fo´rmula R = R0(1 +kT ) no qual R0 e k sa˜o constantes positivas.
(a) Fac¸a um esboc¸o a` ma˜o do gra´fico de R versus T e explique o significado geome´trico de
R0 e k para o seu gra´fico.
(b) Em teoria, a resisteˆncia R de um fio cai para zero quando a temperatura atinge o zero
absoluto (T = −273oC). Que informac¸a˜o isto da´ sobre k?
(c) Uma laˆmpada com filamento de tungsteˆnio tem uma resisteˆncia de 1, 1 a uma tempe-
ratura de 20oC. Que informac¸a˜o isto da´ sobre R0 do filamento?
(d) A` qual temperatura o filamento de tungsteˆnio tem uma resisteˆncia de 1, 5?
25. A lei de Boyle estabelece que, a uma temperatura constante, a pressa˜o exercida por um ga´s
esta´ relacionado ao volume V pela equac¸a˜o P = k
V
.
(a) Ache as unidades apropriadas para a constante k se a pressa˜o (que e´ a forc¸a por unidade
de a´rea) for em newtons por metro quadrado (N/m2) e o volume em metros cu´bicos
(m3).
(b) Ache k se o ga´s exercer uma pressa˜o de 20.000N/m2 quando o volume e´ 1litro(0, 001m3).
(c) Fac¸a uma tabela que mostre as presso˜es para o volume de 0, 25; 0, 5; 1, 0; 1, 5 e 2, 0 litros.
(d) Fac¸a um gra´fico de P versus V .
7
26. Numa partida de futebol, no instante em que os raios solaresincidiam perpendicularmente
sobre o gramado, o jogador Chora˜o chutou a bola em direc¸a˜o ao gol, de 2, 30m de altura
interna. A sobra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu
uma para´bola e, quando comec¸o a cair da altura ma´xima de 9m, sua sombra se encontrava
a 16m da linha do gol. Apo´s o chute de Chora˜o, nenhum jogador conseguiu tocar na bola
em movimento. A representac¸a˜o gra´fica do lance em um plano cartesiano esta´ sugerido na
figura a seguir.
A equac¸a˜o da para´bola era do tipo y = −x
2
36
+ c. O ponto que a bola tocou o cha˜o pela
primeira vez foi:
(a) na trave
(b) atra´s do gol
(c) dentro do gol
(d) antes da linha do gol
27. A escala Richter e´ usada para medir a intensidade de um terremoto. A leitura na escala
Richter de um terremoto de intensidade I e´ dada por
R = log(I/I0)
onde I0 e´ uma certa intensidade mı´nima usada para comparac¸a˜o. Em maio de 1983, ocorreu,
no Japa˜o, um terremoto medindo 7,7 na escala Richter. Este foi o primeiro grande terremoto
no Japa˜o desde 1948, quando houve um registro de 7,3 na escala Richter.
8
(a) Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1983?
(b) O terremoto mais forte que ja´ atingiu o Japa˜o ocorreu em 1933 e mediu 8,9 na escala
Richter. Quantas vezes mais intenso do que o de maio de 1983 foi este terremoto de
1933?
28. Um reator converte uraˆnio 238, esta´vel, no iso´topo plutoˆnio 239. O decaimento deste iso´topo
e´ dado por A(t) = A0e
−0,00002876t onde A(t) e´ a quantia do iso´topo no instante t, em anos, e
A0 e´ a quantia original.
(a) Se A0 = 500, quanto restara´ apo´s um per´ıodo de vida humana (use t = 70 anos)?
(b) Encontre a meia-vida deste iso´topo?
(c) Usando um recurso computacional, fac¸a do gra´fico da quantia A em func¸a˜o do tempo
t.
29. Nos EUA, as tomadas ele´tricas padra˜o fornecem uma corrente ele´trica senoidal com uma
voltagem ma´xima de V = 120
√
2 volts (V ), a uma frequeˆncia de 60 ciclos por segundo.
Escreva uma equac¸a˜o que expresse V como uma func¸a˜o do tempo, supondo que V = 0 se
t = 0.
OBS : V (t) = V sen(2pift+ φv) onde f e´ a frequeˆncia em Hertz e φv e´ o aˆngulo de fase.
30. Equac¸o˜es da forma x = A1sen($t) + A2 cos($t) surgem no estudo de vibrac¸o˜es e outros
movimentos perio´dicos.
(a) Use a identidade trigonome´trica sen(α + β) para mostrar que esta equac¸a˜o pode ser
escrita na forma x = Asen($t+ θ)
(b) Estabelec¸a as fo´rmulas que expressam A e θ em termos das constantes A1 e A2 e de $.
(c) Expresse a equac¸a˜o x = 5
√
3sen(2pit) + 5
2
cos(2pit) na forma x = Asen($t+ θ) e use um
recurso gra´fico para confirmar que ambas as equac¸o˜es teˆm o mesmo gra´fico.
9
Respostas
1. (a) −2
(b) 2, 8
(c) −3, 1
(d) −2, 5, 0, 3
(e) [−3, 3], [−2, 3]
(f) [−1, 3]
2. -
3. (a) D = {x ∈ R/x 6= 3}
(b) D = {x ∈ R/√2 ≤
xoux ≤ −√2}
(c) D = {x ∈ R/x 6= 0}
(d) D = {x ∈ R/0 ≤ x ≤
1
3
}
(e) D = {x ∈ R/x 6= 3pi
2
+
2kpi, k ∈ Z}
(f) D = {x ∈ R/x ≥ 0}
(g) D = {x ∈ R/x ≥ 0}
(h) D = {x ∈ R/x ≤ 2}
(i) D = {x ∈ R/x 6= ±2}
(j) D = R
(k) D = {x ∈ R/− 2 ≤ x ≤
2oux > 4}
(l) D = {x ∈ R/x ≤
−6oux ≥ 1}
(m) D = {x ∈ R/x 6= 1/3}
(n) D = [0,∞)
(o) D = (−∞, 0) ∪ (5,∞)
(p) D = (−∞,∞)
(q) D = (−∞,∞)
(r) D = [5,∞)
(s) D = (−∞, 0) ∪ (0,∞)
(t) D = (−∞,∞)
(u) D = (−∞,∞)
(v) (−∞,+∞)
(w) (−∞, 0) ∪ (0,∞)
(x) (−∞,+∞)
(y) (−∞, 0]
4. (a) f(x) = 5
2
x− 11
2
, 1 ≤ x ≤ 5
(b) f(x) = 1−√−x
(c) f(x) =
 −x+ 3, se 0 ≤ x ≤ 32x− 6, se 3 < x ≤ 5
(d) f(x) =

−3
2
− 3, se x ≤ 2
√
4− x2, se − 2 ≤ x ≤ 2
3
2
x− 3, se x ≥ 2
5. (a) y = f(x) + 3
(b) y = f(x)− 3
(c) y = f(x− 3)
(d) y = f(x+ 3)
(e) y = −f(x)
(f) y = f(−x)
(g) y = 3f(x)
(h) y = 1
3
f(x)
6.
7. (a) -
(b) y = −√−x2 − 5x− 4− 1
10
8. -
9. -
10. -
11. -
12. (a) y = ex − 2
(b) y = ex−2
(c) y = −ex
(d) y = e−x
(e) y = −e−x
13. (a) f(x) = 3.2x
14. -
15. (a) E´ definida como a inversa da func¸a˜o exponencial com base a, isto e´,loga x = y ⇐⇒
ay = x
(b) (0,∞)
(c) R
(d) -
16. (a) 3
(b) −3
(c) 3
(d) −2
17. (a) ln1215
(b) ln (a+b)(a−b)
c2
(c) ln (1+x
2)
√
x
senx
18. 0, pi
3
, pi, 5pi
3
, 2pi
19. (a) pi
3
(b) pi
(c) pi
4
(d) pi
4
20. -
21. (a) A direc¸a˜o e´ oposta ao lanc¸amento.
11
(b) t = 2 segundos.
(c) A acelerac¸a˜o e´ constante.
22. (a) F = 180
100
x+ 32
(b) −40oC
(c) 37oC
23. (a) y = 9,8x
88,2
(b) -
(c) 26, 11cm
(d) 270 quilogramas
24. (a) -
(b) k = 1
273
(c) R0 =
3003
2930
(d) T = 126, 54oC
25. (a) N m
(b) k = 20Nm
(c) -
(d) -
26.
27. (a) Aproximadamente 2 vezes e meio mais forte.
(b) Aproximadamente 15,85 vezes mais forte.
28. (a) A(70) = 498.9944126
(b) t = 24101.08416 anos
(c) -
29. -
30. -
12