apostila estatística e delineamento experimental

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CADERNO DIDÁTICO: ESTATÍSTICA APLICADA - Alimentos 
 
 
 
 
 
 
Professora: Tatiani Secretti 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 2 
 
 
Conteúdos programáticos 
 
- Introdução à estatística; 
- Descrição, exploração e comparação de dados; 
- Técnicas de amostragem; 
- Probabilidades e distribuições de probabilidade; 
- A distribuição Normal de probabilidade e 
dimensionamento de amostras; 
- Inferência estatística: estimação e testes de hipóteses; 
- Decomposição da variabilidade de dados (ANOVA); 
- Correlação e regressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estatística Aplicada a Laboratórios 
 
 
Norma ABNT ISSO/IEC 17025:2001, item 5.9: 
 
“ O laboratório deve ter procedimentos de controle da qualidade para monitorar a 
validade dos ensaios e calibrações realizados. 
...quando praticável, devem ser aplicadas técnicas estatísticas para análise crítica dos 
resultados.”. 
 
 
Para que saber estatística? 
 
As decisões diárias baseiam-se em informações incompletas. 
 
 
Por que os profissionais devem entender a Estatística? 
 
Em determinado momento da vida profissional, pessoas com diferentes 
formações lidam com modelos não exatos. 
 
 
 
 
A Estatística trata com o lidar e o quantificar da variação e da incerteza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VARIAÇÃO 
 
As pessoas diferem nas respostas ao mesmo estímulo, nas respostas a um 
tratamento ou em seus sintomas. 
Diagnósticos são frequentemente probabilísticos. 
 
 
 
INCERTEZA 
 
Desconhecemos o todo quando examinamos uma parte. 
O futuro é incerto. 
 
 
OBJETIVO DA ESTATÍSTICA 
 
Auxiliar as tomadas de DECISÔES em face de incertezas justificado-as 
cientificamente, fazendo inferências para um todo (chamado população) a partir de 
uma amostra do mesmo, analisando números e constatando relações. 
 
 
 
1 Conceitos Iniciais 
 
 
1.1 Conceito de estatística 
 
Existem muitas definições propostas por autores, objetivando estabelecer com 
clareza o que é estatística, como por exemplo: 
 
• A estatística é um conjunto de métodos destinados a coleta, organização, resumo, 
apresentação e análise de dados de observação, bem como a tomada de decisões 
razoáveis baseadas em tais análises; 
• A estatística é a matemática aplicada aos dados de observação; 
• A estatística é um conjunto de processos ou técnicas empregadas na investigação 
e análise de fenômenos coletivos ou de massa. 
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1.2 Divisão da estatística 
 
A estatística divide-se em: 



plicadaaaEstatístic
cametodológiougeralaEstatístic
 
 
 
1.2.1 Estatística geral 
 
Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos 
fenômenos de massa. A estatística matemática é a parte da estatística geral que tem 
por finalidade o estudo das propriedades matemáticas dos fenômenos de massa e a 
dedução e demonstração rigorosa dos procedimentos e fórmulas usadas. A estatística 
geral ainda pode ser dividida em dois grandes campos: 
 
 
 Estatística descritiva 
 
Trata da coleta, da organização, classificação, apresentação e descrição dos 
dados de observação. Refere-se à maneira de apresentar um conjunto de dados em 
tabelas e gráficos e à maneira de resumir, através de certas medidas, as informações 
contidas nestes dados. 
 
Teoria da probabilidade 
 
Proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores que 
envolvem o acaso. 
 
 
 Estatística indutiva ou inferencial 
 
Visa tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à 
maneira de estabelecer conclusões para toda uma população quando se observar 
apenas parte desta população. 
 
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1.2.2 Estatística aplicada 
 
É todo o ramo do conhecimento científico que proceda, única ou 
principalmente, por intermédio da metodologia estatística. Exemplos: Biometria 
(ciência que trata da mensuração da vida e dos processos vitais), Demografia, 
Econometria, Psicometria (mensuração da personalidade, do desenvolvimento mental 
e do comportamento de indivíduos e grupos e seus ajustamentos a mudanças no meio 
ambiente), Mecânica Estatística, Sociometria (maneira como as pessoas vivem, sua 
cultura, opiniões e atitudes, assim como o relacionamento de uns com os outros). 
 
 
 
Algumas aplicações da estatística 
 
A estatística é uma ciência de múltiplas aplicações e de fundamental 
importância no campo da investigação científica, sendo de utilização cada vez mais 
acentuada em qualquer atividade profissional. Os fabricantes fornecem melhores 
produtos a custos menores através de técnicas de controle de qualidade. Controlam-
se doenças com o auxilio de análises que antecipam epidemias. Espécies ameaçadas 
são protegidas por regulamentos e leis que regem a estimativas estatísticas de 
modificação de tamanho da população. Visando reduzir as taxas de casos fatais, os 
legisladores têm melhor justificativas para as leis que regem a poluição atmosférica, 
inspeções de automóveis, utilização de cinto de segurança, etc. 
 
 
1.3 Pesquisa Estatística 
 
É um conjunto de atividades orientadas para a busca de um determinado 
conhecimento. A pesquisa deve ser feita de modo sistematizada, utilizando para isto 
métodos próprios e técnicas específicas. 
 
1.3.1 Finalidade da Pesquisa 
 
- Descobrir respostas para questões, mediante a aplicação de métodos científicos; 
- Tentar conhecer e explicar fenômenos que ocorrem no mundo existente. 
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1.3.2 Tipos de Pesquisas 
 
• Pesquisa de reconhecimento ou “ Survey” 
 
Estudo de opinião, mercado e diagnóstico 
 
• Pesquisa Bibliográfica 
 
Procura por material já elaborado 
 
• Pesquisa documental 
 
Coleta de informações a partir de documentos quantitativos tais como arquivos 
públicos e privados, imprensa, revistas, etc. 
 
• Pesquisa experimental 
 
Experiências realizadas em laboratórios, fábricas, parcelas de terras. É utilizado o 
Delineamento de Experimento e Controle de Qualidade. 
 
 
 1.4 Algumas definições 
 
 
 População 
É todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica 
comum observável. 
 
Exemplos: um lote de peças, um lote de um polímero, população do estado do 
Rio Grande do Sul, etc. 
 
Obs.: elementos = objetos, animais, pessoas, material contínuo (sólido, líquido ou 
gás). 
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Censo 
 
É a coleção de dados relativos a todos os elementos da população. 
 
 
 Amostra 
 
É uma parte da população, sendo que a mesma deve ser selecionada de 
acordo com algum critério para que possa ser representativa da população. Exemplos: 
uma amostra retirada de um lote de comprimidos, uma amostra de rotina durante o 
processo de um lote de polietileno. 
 
 
Amostragem 
 
 Coleção de dados relativos a elementos de uma amostra. 
 
 
Parâmetro 
 
Medida numérica que descreve uma característica de uma população. 
 
 
Estatística 
 
Medida numérica que descreve uma característica de uma amostra. 
 
 
Variável 
 
É uma característica em estudo que assume diferentes valores para diferentes 
elementos. È representada por símbolos como por exemplo, X, Y, Z, ..., que pode 
assumir resultados de um conjunto, que lhe são atribuídos, conjunto este chamado 
domínio da variável. Se a variável pode assumir somente um valor, elaé denominada 
constante. 
 
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Exemplos: 
 
• Idade; 
• Sexo; 
• Escolaridade; 
• Temperatura; 
• Altura; etc 
 
 
 
As variáveis podem ser classificadas em: 
 
Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma 
escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos/quantidades. Podem ser 
contínuas ou discretas. 
 
- Variáveis Quantitativas discretas: características mensuráveis que podem assumir 
apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem 
sentido valores inteiros. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de 
leite, números de erros de ortografia, número de defeitos no produto, etc. 
 
- Variáveis Quantitativas contínuas: características mensuráveis que assumem 
valores em uma escala para as quais valores fracionais fazem sentido. Exemplos: 
peso, altura, pressão atmosférica, pH, volume líquido, etc. 
 
Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não 
possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, 
ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou 
ordinais. 
- Variáveis Qualitativas nominais: não existe ordenação dentre as categorias. 
Exemplos: sexo, estado civil, nacionalidade, cor da solução, etc. 
- Variáveis Qualitativas ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. 
Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), classificação do Índice de Massa Corporal - 
IMC (baixo peso, normal, obesidade leve, obesidade severa, obesidade mórbida), grau 
de importância (nenhuma, pouca, razoável, muito), etc. 
 
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 Em geral, as medições dão origem a variáveis contínuas, enquanto que as 
enumerações ou contagens resultam em variáveis discretas. 
 
 
Exemplo 1: Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (discretas 
ou contínuas). 
 
a) Naturalidade; 
b) Quantidade de estudantes em uma disciplina; 
c) Diâmetro externo de peças produzidas por certa máquina; 
d) Salários; 
e) Precipitação pluviométrica durante um ano; 
f) Faixa etária (Criança, jovem, adulto, idoso); 
g) Conteúdo de nicotina (em miligramas de cigarro); 
h) Número de inscrição do INSS; 
i) Código de endereçamento postal; 
j) Rendas anuais de professores; 
k) Carros classificados como subcompacto, compacto, intermediário ou 
grande; 
l) Cores de uma amostra de confeitos M&M. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5 Arredondamento de dados 
 
Arredondar um número significa reduzir a quantidade de algarismos 
significativos após a vírgula, deste número. O objetivo é reduzir os erros por 
arredondamento, quando é grande o volume de números a arredondar. 
A Portaria 36, de 6 de agosto de 1965 do Instituto Nacional de Pesos e 
Medidas, estabelece os seguintes critérios para o arredondamento de dados. 
 
Regras de arredondamento 
 
• Quando o primeiro algarismo após aquele que será arredondado for 0, 1, 2, 3, 4, 
conserva-se o algarismo a ser arredondado e desprezam-se os seguintes; 
• Quando o primeiro algarismo após aquele que será arredondado for 6, 7, 8, 9 ou 5, 
este último seguido de outros algarismos, onde pelo menos, um é diferente de zero, 
aumenta-se uma unidade no algarismo a ser arredondado e desprezam-se os 
seguintes; 
• Quando o primeiro algarismo após aquele que será arredondado for 5, seguido de 
zeros, conserva-se o algarismo a ser arredondado se ele for par, ou aumenta-se 
uma unidade, se ele for ímpar, desprezando os seguintes. 
 
 Par ← 5 → Ímpar 
↓ ↓ 
Conserva Soma uma unidade 
0, 1, 2, 3 ou 4 6, 7, 8, 9 ou 5+ 
 
 
 
 
1.6 Método estatístico 
 
Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo, existem 
diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos 
resultados finais do estudo. 
 
 
 
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1.7 Fases do método estatístico 
 
• Definição do problema; 
• Planejamento da pesquisa; 
• Amostragem 
• Coleta ou levantamento dos dados; 
• Crítica e digitação dos dados; 
• Organização e representação dos dados; 
• Análise dos dados e interpretação dos resultados. 
 
 
 
 Amostra 
 
O número ideal de análises ou de medidas (n) sobre uma amostra, para 
realizar um estudo estatístico, é algo que deve ser determinado em comum acordo 
entre o grupo de trabalho do laboratório e deve estar de acordo com a característica 
da análise, quantidade de amostra, dificuldade analítica e equipamentos disponíveis e 
confiáveis. 
 
 
 Normalmente no laboratório químico o número de 10 determinações é bem 
aceito e fornece um bom estudo estatístico. Podem ser escolhidos, pelos grupos, 
outros números, sempre que a representatividade seja significante para realizar o 
estudo estatístico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 Descrição, exploração e comparação de dados 
 
 
APRESENTAÇÃO DE DADOS 
 
Após a coleta de dados a primeira necessidade do pesquisador é a leitura das 
informações básicas provenientes da sua pesquisa. Essa primeira análise inicial é feita 
através da Análise Descritiva por meio da construção de tabelas, gráficos e o cálculo 
de algumas medidas estatísticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DESCRITIVA
TÉCNICAS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Tabelas de Frequencia Gráficos Resumos Numéricos
Ao dispor de um 
grande volume de 
dados as tabelas 
servem para agrupar 
as informações de 
moda que facilite a 
análise dos dados
O objetivo da 
representação gráfica 
é dirigir a atenção do 
analista para alguns 
aspectos do conjunto 
de dados, bem como 
tornar a apresentação 
mais dinâmica.
Através das medidas 
de tendência central e 
as medidas de 
variabilidade podemos 
obter informações 
importantes sobre o 
conjunto de dados 
quantitativos.
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 14 
 
 
 
 
2.1 Séries Estatísticas 
 
 
 
 Representação tabular 
 
 
Tabela: é uma maneira de apresentar de forma resumida um conjunto de 
dados. 
 
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo 
ordenado. A elaboração de tabelas deve obedecer às normas editadas pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística - IBGE. 
Abaixo se apresenta uma tabela esquemática sendo indicados os seus 
elementos. 
 
Título: O quê?; Onde?; Quando? 
Cabeçalho 
Total 
 
 
 �Coluna Indicadora 
 
 
 
 
Corpo da tabela 
Total 




:Nota
*
:Fonte
 Rodapé 
 
No rodapé de uma tabela podem aparecer se necessário: a fonte (entidade 
responsável pelas informações contidas na tabela), notas (observações gerais sobre a 
tabela) e/ou chamadas (observações feitas em relação a pontos específicos da 
tabela). 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 15 
 
 
 
Exemplo2: 
 
Tabela1: Produção de Café Brasil – 1991 a 1995 
Anos Produção (1.000t) 
1991 2.535 
1992 2.666 
1993 2.122 
1994 3.750 
1995 2.007 
Total 13080 
Fonte: IBGE 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
Tabela 2: Distribuição do teor de H2S %. Sulfeto de hidrogênio 
Teor de H2S (%) Nº de amostras 
2 8 
5 19 
7 15 
9 10 
11 8 
Total 60 
Fonte: dados fictícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 16 
 
Título da tabela: 
 
Conjunto de informações, as mais completas possíveis, respondendo as 
perguntas: Oque? Quando? Onde? Localizado no topo da tabela, além de conter a 
palavra “Tabela” e sua respectiva numeração. 
 
Corpo da tabela: 
 
É o conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo. 
 
a) Cabeçalho da coluna: parte superior da tabela que especifica o conteúdo das 
colunas; 
b) Coluna Indicadora: parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; 
c) Linhas: retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados 
que inscrevem nos seus cruzamentos com as linhas; 
d) Casa ou célula: espaço destinado a um só número; 
e) Total: Deve sempre ser destacado de alguma forma; 
f) Laterias da tabela: Não devem ser fechadas. Caso as feche, passa a ser 
chamado ‘Quadro”. 
 
Elementos complementares da tabela, localizados geralmente no rodapé: 
 
a) Fonte; identifica o responsável (pessoa física ou jurídica) ou responsável pelos 
dados numéricos; 
b) Notas: é o texto que irá esclarecer o conteúdo estudado, que poderá ser de 
caráter geral ou específico de uma tabela; 
c) Chamadas: símbolo remissivo atribuído a algum elemento de uma tabela que 
necessita de uma nota específica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 17 
 
 
2.2 Representação gráfica 
 
 Um gráfico é toda a forma de representação das séries estatísticas que seja 
baseada no desenho. 
 O gráfico deve ser atraente para cumprir sua finalidade de mostrar resultados e 
bem construído para permitir a análise do fenômeno exposto. A fim de que isso 
aconteça, deve-se observar alguns aspectos básicos como: simplicidade, clareza e 
veracidade. 
 Do mesmo modo que nas tabelas estatísticas, nos gráficos, deve-se considerar 
um título que informe a espécie, o lugar e o tempo do fenômeno representado, bem 
como a fonte de onde foram coletados os dados expostos. 
 
 
Gráficos analíticos 
 
 Pontos 
 
 Linhas 
 Simples 
Classificação Barras Sobrepostas 
dos Gráficos Justapostas 
 Analíticos 
 Superfície Simples 
 Colunas Sobrepostas 
 Justapostas 
 
 Setores 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 18 
 
Gráfico 1. Gráfico de Colunas 
 O gráfico de colunas é um dos gráficos mais utilizados para representar um 
conjunto de dados, sendo a representação de uma série de dados através de 
retângulos dispostos verticalmente. A altura dos retângulos são proporcionais às suas 
respectivas freqüências. Este gráfico pode ser utilizado para representar qualquer tipo 
de variável em qualquer nível de mensuração por este fato é um recurso 
extremamente utilizado em pesquisas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 2. Gráfico de Barras 
O gráfico de barras é uma representação de uma série de dados através de 
retângulos dispostos horizontalmente. Os comprimentos destes retângulos são 
proporcionais às suas respectivas freqüências. Este gráfico é semelhante ao gráfico 
de colunas, contudo, a posição da escala e da freqüência é trocada, ou seja, na linha 
horizontal temos a freqüência de casos observados e na linha vertical temos a variável 
de estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
50,0
16,7
33,3
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
%
Ácido Básico Neutro
pH
pH das soluções analisadas
50,0
16,7
33,3
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0
%
Ácido
Básico
Neutro
pH
pH das soluções analisadas
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 19 
 
 
Gráfico 3. Gráfico de linhas 
 Este gráfico utiliza-se de uma linha para representar uma série estatística. O 
objetivo é evidenciar a tendência ou a forma como o fenômeno está crescendo ou 
decrescendo através de um período de tempo. Seu traçado deve ser realizado 
considerando o eixo "x" (horizontal) a escala de tempo e o eixo "y" (vertical) freqüência 
observada dos valores. 
 
 
 
 
Gráfico 4. Gráfico de Setores 
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pizza, torta, etc, é um 
dos mais simples recursos gráficos, sua construção é baseada no fato de que o círculo 
possui 360º, sendo que este círculo é dividido em fatias de acordo com o percentual 
em cada categoria. É um gráfico útil para representar variáveis nominais ou 
apresentadas em categorias de respostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concentração das soluções
50,0%
33,3%
16,7%
Fraca
Moderada
Forte
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 20 
 
 
 
 
 
Outros tipos gráficos 
 
Cartograma 
 
 A estatística utiliza esse tipo de gráfico para representar os dados diretamente 
sobre o desenho de uma área geográfica. O impacto visual ajuda na compreensão da 
informação associada ao local. 
 
 
Figura 15 – Cartograma das Vendas 
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Va
riá
v
el
 
Y
Variável X
Gráfico de pontos
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 21 
 
 
 
 
Pictograma 
 
Pictogramas são representações gráficas ilustradas por figuras. A 
rerepresentação gráfica é feita por figuras variadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 22 
 
 
ATIVIDADE PRÁTICA! 
Exercício 1. Considere o seguinte gráfico 
 
 
a) Qual foi a amostra estudada apresentada nesta pesquisa? 
b) O gráfico apresentado acima é chamado de: 
( ) Gráfico de setores ( ) Gráfico de linhas 
( ) Gráfico de Colunas ( ) Gráfico Pizza 
( ) Gráfico de barras 
c) Considerando que foram pesquisados 1185 imigrantes clandestinos, qual o 
percentual de imigrantes clandestinos que a causa da morte foi afogamento? 
d) Quantos imigrantes clandestinos não morreram devido a causa atropelamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 23 
 
Exercício 2. Considere o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Empresas do Setor 
 
Através dos dados apresentados neste gráfico pede-se: 
a) Indique a variável deste estudo: 
b) Em quantos anos foram arrecadados no mínimo 341 milhões de 
reais?:......................................... 
c) Calcule e interprete o arrecadamento médio anual do setor de telefonia no RS. 
 
 
 
 
2.3 Distribuições de Freqüências 
 
 
Representação da amostra: 
 
Podemos observar que a estatística tem como objetivo encontrar leis de 
comportamento para todo conjunto, por meio de sintetização dos dados numéricos, 
sob a forma de tabelas, gráficos e medidas. 
 
 
Arrecadação do Setor de Telefonia no RS (em R$ milhões)
843
699
536
463
341
210216
152
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Ano
R
$ M
ilh
õe
s
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 24 
 
Distribuição de freqüência: Uma distribuição de freqüência é uma tabela que reúne o 
conjunto de dados, conforme as freqüências ou as repetições de seus valores. Esta 
tabela pode representar os dados em classes ou não, de acordo com a classificação 
dos dados em discretos ou contínuos. 
 
 
Exemplo 4: Foram realizadas 20 medidas de um elemento químico no produto 
fabricado por uma indústria, obtendo os seguintes valores em ppm: 
 
n Concentração ppm n Concentração PPM 
1 29 11 29 
2 33 12 25 
3 28 13 32 
4 38 14 33 
5 26 15 40 
6 32 16 37 
7 31 17 28 
8 26 18 26 
9 33 19 34 
10 34 20 26 
 
 
 
 
Procedimentos comuns para a representação das distribuições 
de freqüência (maneira de sumarizar os dados).Dados brutos 
 
 São os valores originais conforme eles foram coletados, não estando ainda 
prontos para análise, pois não estão numericamente organizados ou tabelados. È 
difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir 
de dados não ordenados. 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 25 
 
 
Exemplo 5: 29 – 33 – 28 – 38 - 26 – 32 – 31 - 26 – 33 – 34 – 29 – 25 – 32 – 33 – 40 – 
37 – 28 – 26 – 34 - 26 
 
 
 
Rol 
 É uma lista, onde as observações são dispostas em uma determinada ordem: 
crescente ou decrescente. O objetivo da ordenação é tornar possível a visualização 
das variações ocorridas, uma vez que os valores extremos são percebidos de 
imediato, e também facilitar a construção da distribuição de freqüências. 
 → rol crescente 
 Xmín Xmáx 
 
 
Assim: 
 
25 – 26 - 26 – 26 – 26 – 28 – 28 – 29 – 29 – 31 – 32 – 32 – 33 – 33 – 33 – 34 – 34 – 
37 – 38 - 40 
 
 
 
 
 
Amplitude total ou Range [Simbologia: H, At ou R] 
 
 É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo: 
H = Xmáx - Xmín 
 
H = 40 – 25 = 15 
 
Freqüência absoluta [Simbologia: fi] 
 
É o número de observações que aparece em uma classe ou valor individual. 
Exemplo f26 = 4 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 26 
 
 Organização e classificação de dados de variáveis 
quantitativas 
 
 
Distribuição de freqüência sem intervalos de classes ou distribuição por ponto: 
É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. 
 
Exemplo 6: Considere os dados do exemplo 5. 
 
Assim a distribuição de freqüência para o exemplo será: 
Xi (Valores ppm) Frequência (fi) 
25 1 
26 4 
28 2 
29 2 
31 1 
32 2 
33 3 
34 2 
37 1 
38 1 
40 1 
Total 20 
 
 
 
 
Distribuição de freqüência com intervalos de classe: 
 
Quando o tamanho da amostra é elevado procura-se efetuar o agrupamento dos 
valores em vários intervalos de classe. 
 
Exemplo 7: considere dados do exemplo 5. 
 
Classe fi 
 25 |- 28 5 
 28 |- 31 4 
 31 |- 34 6 
 34 |- 37 2 
 37 |- 40 3 
Total = n 20 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 27 
 
 
 
 
 
 
 
 Elementos de uma distribuição de freqüência por classe (ou 
intervalo): 
 
 
 
Classe 
 
 É cada um dos grupos ou intervalos de valores em que se subdivide a amplitude 
total do conjunto de tamanho n. 
 
 Para a determinação do número de classes, existem diversos métodos, dentre 
os quais destaca-se a regra de Sturges, que estabelece que o número de classes (k) é 
calculado por: 
 
 Nº de classes k = 1 + 3,3 log n 
 
onde n = tamanho da amostra 
 
Exemplo: K = 1 + 3,3 log 20 � 5 
 
O analista deverá ter em mente que a escolha do número de classes dependerá 
antes da natureza dos dados e da unidade de medida em que eles forem expressos, do 
que de regras muitas vezes arbitrárias e pouco flexíveis. Recomenda-se considerar 4 ≤ 
k ≤ 12. 
 
Amplitude da classe: h = H/k, para a determinação da amplitude das classes de uma 
distribuição de freqüências a ser construída. 
h=15/5=3 
 
 
Limites de classe 
 
 São os dois valores extremos de cada classe. 
 
• Limite inferior (Linf.): é o menor valor da classe considerada; Ex: o número 25 é o 
limite inferior da 1ª classe. 
• Limite superior (Lsup.): é o maior valor da classe considerada. Ex: o número 31 é o 
limite superior da 2ª classe. 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 28 
 
 
Amplitude de classe [Simbologia: h] 
 
 É a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe, ou seja: 
 
 
• h = Lsup. - Linf., quando a distribuição de freqüências já existe; 
 
h = 28 – 25 = 5 
ou 
 
• h = H/k, para a determinação da amplitude das classes de uma distribuição de 
freqüências a ser construída. 
 
Amplitude total da distribuição: é a diferença entre o limite superior da última classe 
e o limite inferior da primeira classe. 
 
 40 – 25 = 15 
 
 
 
Ponto médio de classe [Simbologia: Xi] 
 
 
 
É a média aritmética dos limites da classe. É o valor representativo da classe: 
X
L L
i =
+inf. sup.
2
. 
 
Exemplo: em 25|- 28 o ponto médio x1 = ������ = 26,5 
 
 
 
Tabela: 
Classe fi xi 
 25 |- 28 5 26,5 
 28 |- 31 4 29,5 
 31 |- 34 6 32,5 
 34 |- 37 2 35,5 
 37 |- 40 3 38,5 
Total = n 20 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 29 
 
 Método para a construção de uma distribuição de freqüências 
com classe: 
 
1) Organizar os dados brutos em Rol; 
2) Calcular a amplitude amostral (H); 
3) Calcular o número de classes através da “Regra de Sturges” (k); 
4) Calcular amplitude do intervalo de classe (h; 
5) Temos então o menor número da amostra, o número de classes e a amplitude do 
intervalo. Podemos montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com 
freqüência=0. 
O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último 
elemento da classe anterior. 
 
 
 
Exemplo 8: Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice 
pluviométrico em determinado município do Estado: 
 
144 152 159 160 
160 151 157 146 
154 145 151 150 
142 146 142 141 
141 150 143 158 
 
 
Construa uma distribuição de freqüência por classe. 
 
 
Exercício 1: O Conjunto de dados amostrais a seguir lista o número de minutos que 50 
usuários de internet gastam na rede durante sua mais recente sessão construa uma 
distribuição de freqüências: 
50 40 41 17 11 7 22 44 28 21 
19 23 37 51 54 42 86 41 78 56 
17 7 69 30 80 56 29 33 46 31 
39 20 18 29 34 59 73 77 36 39 
30 62 54 67 39 31 53 44 72 56 
 
Variável: minutos on-line 
f= números de usuários 
fr= porção de usuários 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 30 
 
Exercício 2: Saques em caixas eletrônicos. Conjunto de dados: uma amostra dos saques 
realizados em caixa eletrônico (em dólares): 
35 10 30 25 75 10 30 20 
20 10 40 50 40 30 60 70 
25 40 10 60 20 80 40 25 
20 10 20 25 30 50 80 20 
Construa a distribuição de frequência e o histograma para o conjunto de dados. 
 
 
 
 
Tipos de freqüências 
 
 Para construção de uma tabela de distribuição de freqüência é necessário 
conhecer alguns de seus termos: 
 
 
 

























lativaRe
Absoluta
eDecrescent
lativaRe
Absoluta
Crescente
Acumulada
lativaRe
Absoluta
Simples
sfreqüênciadeTipos 
 
 
Freqüência relativa [Simbologia: fri] 
 
É o quociente entre a freqüência absoluta e o número total de observações, 
sendo que: 
∑
=
= k
1i
i
i
r
f
ff
i
 
f
f
f
r
i
i
i
ki % = ⋅
=
∑
1
100
 
 
onde: 0 < fr < 1; 
 f r
i
k
i
=
∑
1
= 1. 
 Ex: fr2 = 4/20 = 0,2 ou 20% 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 31 
 
 Freqüência acumulada crescente [Simbologia: Fac ou Fi] 
 
É a soma de todas as freqüências anteriores com a freqüência do intervalo 
considerado. 
 
 Frequência relativa acumulada (Fri): é a freqüência acumulada da classe, dividida 
pela freqüência total da distribuição. 
 
Exemplo 9: 
 
Assim a distribuição de freqüência para o exemplo será: 
Xi (Valores ppm) Frequencia (fi) fri Fac Fri 
 25|- 28 5 
 28 |- 31 4 
31 |- 34 6 
34 |- 37 2 
37 |- 40 3 
Total 20 
 
 
Exercícios: 
 
01 - Os valores de cinzas em ppm de uma amostra com 30 elementos (resultados) 
foram os seguintes: 
 
110 120 110 90 95 90 115 110 115 105 
125 80 105 115 120 75 110 125 110 100 
110 95 100 90 110 100 100 110 105 105 
 
 Pede-se: 
a) Construir uma distribuição de freqüências; 
b) Determinar as freqüências relativas; 
c) Qual é a amplitude da amostra? R: 50 
d) Qual é a porcentagem de elementos maiores que 100? R: 63,3% 
e) Construa um gráfico de colunas. 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 32 
 
02 - Resultados de 50 determinações da concentração de nitrato, em µg / ml 
 
0,51 0,51 0,51 0,50 0,51 0,49 0,52 0,53 0,50 0,47 
0,51 0,52 0,53 0,48 0,49 0,50 0,52 0,49 0,49 0,50 
0,49 0,48 0,46 0,49 0,49 0,48 0,49 0,49 0,51 0,47 
0,51 0,51 0,51 0,48 0,50 0,47 0,50 0,51 0,49 0,48 
0,51 0,50 0,50 0,53 0,52 0,52 0,50 0,50 0,51 0,51 
 
Identifique: 
a. Amostra:________________________ 
b. Variável:________________________ 
Construa uma tabela para estes dados e responda: 
a. Qual o percentual de determinações com concentração de nitrato com 
máximo 0,50 µg / ml? R: 58% 
b. Quantas determinações apresentaram concentração de nitrato entre 
0,48 e 0,51 µg / ml? 
 
 
 
 
03 - Considerar os dados obtidos, pelas medidas das alturas, de 20 indivíduos (dada 
em cm): 
151 152 154 159 159 165 165 165 159 154 
165 155 155 168 165 168 168 167 168 154 
 
Identifique: 
a. Amostra:________________________ 
b. Variável:________________________ 
Construa uma tabela para estes dados e responda: 
c. Qual o percentual de indivíduos com no máximo 165 cm de altura? R: 
75% 
d. Quantos indivíduos tem altura de 159cm a 167cm? R: 45% 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 33 
 
04 - Suponha que, ao estudar a quantidade de albumina no plasma de pessoas com 
determinada doença, um pesquisador obtenha, em 25 indivíduos, os seguintes valores 
(em g/100ml): 
 
 
 
Identifique: 
a. Amostra:________________________ 
b. Variável:________________________ 
Construa uma tabela para estes dados e responda: 
c. Qual o percentual de pessoas com no máximo 5,3 g/100ml de albumina 
no plasma? R: 88% 
d. Qual o percentual de pessoas com albumina no plasma com no mínimo 
5,0g/100ml? R: 72% 
e. Quantas pessoas têm albumina no plasma entre 4,9 e 5,3g/100ml? R: 
18 
 
05 – As notas abaixo, referem-se ao grau obtido por 50 alunos em uma prova de 
Estatística: 
 
1 8 3 4 7 4 6 7 7 8 
2 8 3 4 7 4 6 7 8 8 
2 7 4 5 6 8 6 7 8 9 
2 9 4 5 7 8 7 7 8 9 
 
a) Quem é a amostra do estudo? 
b) Quem é a variável estudada? Classifique-a. 
c) Construa a tabela mais adequada para estes dados, calculando a porcentagem de 
cada valor. 
d) Quantos alunos tiram nota inferior a 7 na prova? R: 18 
e) Quantos alunos tiraram no máximo 8 na prova? R: 5 
f) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota entre 5 e 8 pontos? R: 62,5% 
 
 
 
 
5,1 4,9 4,9 5,1 4,7 
5,0 5,0 5,0 5,1 5,4 
5,2 5,2 4,9 5,3 5,0 
4,5 5,4 5,1 4,7 5,5 
4,8 5,1 5,3 5,3 5,0 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 34 
 
06 - Foram realizadas 20 medidas de um elemento químico no produto fabricado por 
uma indústria, obtendo os seguintes valores em ppm: 
 
n Concentração ppm n Concentração 
PPM 
1 29 11 29 
2 33 12 25 
3 28 13 32 
4 38 14 33 
5 26 15 40 
6 32 16 37 
7 31 17 28 
8 26 18 26 
9 33 19 34 
10 34 20 26 
 
 
a) Qual a variável em estudo; 
b) Qual a amostra; 
c) Construa uma distribuição de frequências. 
 
 
 
 
Gráficos representativos de uma distribuição de freqüências 
em classes 
 
 
Histograma 
 
 É um gráfico de colunas justapostas, cujas alturas são proporcionais às 
freqüências absolutas e cujas bases correspondem ao intervalo de classe da distribuição. 
 
Expected
Normal
Histograma
Classes
Fr
eq
üê
n
ci
as
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 35 
 
 
Polígono de freqüências 
 
 É um gráfico de linha, cujos vértices são proporcionais às freqüências absolutas 
e correspondem aos pontos médios das classes da distribuição. 
 
Polígono de freqüências
Pontos médios das classes
Fr
eq
üê
n
ci
as
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
 
 
 
 
 
Diversas formas das curvas de freqüência 
 
 Ao construir as curvas de freqüência, observamos que assumem configurações 
específicas e, em função disso, recebem nomes característicos, como: 
• Curvas em forma de sino: Curva simétrica e assimétrica; 
• Curvas em forma de jota; 
• Curvas em forma de U; 
• Distribuição retangular 
 
 
 
Curvas em forma de sino: curva simétrica e assimétrica 
 A curva tem configuração geométrica semelhante ao contorno de um sino. A 
principal característica desse tipo de curva é apresentar maior concentração de valores 
(pico) na região central da distribuição. 
 
 
 
 
• Na curva simétrica, o pico encontra-se localizado no centro da distribuição. 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 36 
 
 
 
 
• Na curva assimétrica, o pico está descolado do centro da distribuição, o 
deslocamento em relação ao centro pode ser para a direita ou para a esquerda. 
 
 
 
Curvas em forma de jota: Jota e jota invertido 
 
 Esse tipo de curva apresenta semelhança com o contorno de um jota. A 
característica da curva em jota é apresentar pontos de maior valor numérico de 
ordenadas em uma das extremidades. 
 
 
Curvas em Forma de U 
 
 A curva apresenta semelhança com o contorno da letra U. A principal 
característica da curva em U é apresentar pontos de maior valor numérico de 
ordenadas nas duas extremidades. 
 
 
Distribuição retangular 
 
 A distribuição retangular caracteriza uma situação especial em que todas as 
classes têm a mesma freqüência. Nesta situação, o histograma é constituído por 
retângulos de mesma altura, a ligação dos pontos médios conduz a uma reta 
horizontal. 
 
 
 
 
Exercício 3: Dada a amostra 3 – 4 – 4 – 5 – 7 – 6 – 6 – 7 – 7 – 4 – 5 – 5 – 6 – 6 – 7 – 5 
– 8 – 5 – 6 – 6, pede-se: 
 
f) Construir uma distribuição de freqüências; 
g) Determinar as freqüências relativas; 
h) Determinar as freqüências acumuladas; 
i) Qual é a amplitude da amostra? R: H = 5 
j) Qual é a porcentagem de elementos maiores que 5? R: 55% 
 
 
 
Exercício 4: Caderneta de poupança é uma modalidade de aplicação financeira, 
caracterizada pelo baixo risco e garantida pelo governo. Suas regras são definidas pelo 
Banco Central. A remuneração é padronizada para todas as instituições financeiras e 
ocorre na data do aniversário da caderneta. Numa agência bancária, pesquisaram-se os 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 37 
 
saldos de 50 clientes, em contas de cadernetas de poupança, em determinada data base ( 
saldos em mil reais). Os valores coletados estão representados a seguir: 
 
Saldo em caderneta de poupança (valores em milhares) – Rol. 
40 41 42 45 47 48 50 52 53 54 
55 55 56 57 59 60 61 64 65 65 
65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 
74 74 76 77 78 80 81 84 85 85 
88 89 91 94 94 97 99 102 105 108 
 
a) Identifique a variável em estudo. É qualitativa ou quantitativa? É contínua ou 
discreta? 
b) Calcule o número de classes. R: K=7 
c) Calcule a amplitude amostral. R: H= 68 
d) Elabore uma tabela de freqüências:absoluta, relativa, acumulada e o ponto 
médio da classe. 
e) Construa um histograma para distribuição de freqüências. 
 
 
 
Exercício 5: Dado o rol de 50 notas (dadas em créditos). Agrupar os elementos em 
classe e determinar: 
 
a) Amplitude amostral; R: H = 64 
b) O número de classes; R: k = 7 
c) A amplitude de classes; R: h = 10 
d) Os limites das classes; 
e) As freqüências absolutas; 
f) As freqüências relativas; 
g) Os pontos médios das classes; 
h) As freqüências acumuladas. 
i) O Histograma; 
j) O polígono de freqüência; 
k) O polígono de freqüência acumulada (Ogiva). 
 
 
Rol: 
33 – 35 – 35 – 39 – 41 - 41 – 42 – 45 – 47 – 48 
50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 – 60 – 60 
61 – 64 – 65 – 65 – 65 – 66 – 66 – 66 – 67 – 68 
69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78 
80 – 81 – 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 97 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 38 
 
 
Exercício 6: A equipe administrativa de um consultório médico estudou os tempos de 
espera dos pacientes que chegam ao consultório com um pedido de atendimento de 
emergência. Os seguintes dados de tempo de espera em minutos foram coletados no 
período de um mês: 
 
2 – 5 – 10 – 12 – 4 – 4- 5 – 12- 5 – 8 – 17 – 8 - 8 – 9 
 
a) Construa uma distribuição de frequência; 
b) Determine as frequências relativas; 
c) Determine as frequências acumuladas; 
d) Qual é a amplitude da amostra? R: H =15 
e) Qual a proporção de pacientes que necessitam de atendimento de emergência 
enfrenta um tempo de espera de nove minutos ou menos? R: 71,43% 
 
 
 
 
Exercício 7: O trabalho de classificação de e-mails não-solicitados e spam afeta a 
produtividade de funcionários de escritório. Uma pesquisa levada a efeito pela 
InsightExpress monitorou funcionários de escritório para determinar a quantidade de 
tempo não-produtivo por dia dedicado a e-mails não-solicitados e spam (USA Today, 
13 de novembro de 2003). Os dados a seguir fornecem uma amostra de tempo em 
minutos dedicado a essa tarefa: 
 
2 4 8 4 
8 1 2 32 
12 1 5 7 
5 5 3 4 
24 19 4 14 
 
Sintetize os dados construindo o seguinte: 
a) Uma distribuição de freqüência (classes); 
b) Uma distribuição de freqüência relativa; 
c) Uma distribuição de freqüência cumulativa; 
d) Uma Ogiva; 
e) Qual porcentagem de funcionários de escritório gasta cinco minutos ou menos 
em e-mails não-solicitados e spam? Qual a porcentagem de funcionários de 
escritório que gastam mais de dez minutos por dia nessa tarefa? R: 60% e 25% 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 39 
 
Exercício 8: Considere a seguinte distribuição de freqüência correspondente aos 
diferentes preços de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas. 
 
Preços Nº de lojas 
50 2 
51 5 
52 6 
53 6 
54 1 
Total 20 
 
 
a) Quantas lojas apresentaram um preço de R$52,00? R: 6 
b) Construa uma tabela de frequencias simples relativas. 
c) Construa uma tabela de freqüências absolutas acumuladas. 
d) Quantas lojas apresentaram um preço de até R$52,00 (inclusive)? R: 13 
e) Qual o percentual de lojas com preço maior de que R$51,00 e menor de que 
R$54,00? R: 60% 
 
 
 
Exercício 9: Considere a seguinte tabela: 
 
 
Classes fi 
2,75 |- 2,80 2 
2,80 |- 2,85 3 
2,85 |- 2,90 10 
2,90 |- 2,95 11 
2,95 |- 3,00 24 
3,00 |- 3,05 14 
3,05 |- 3,10 9 
3,10 |- 3,15 8 
3,15 |- 3,20 6 
3,20 |- 3,25 3 
Total 90 
 
 
Identificar os seguintes elementos da tabela: 
a) Frequência simples absoluta da quinta classe; R: 24 
b) Limite inferior da sexta classe; R: Linf = 3 
c) Limite superior da quarta classe; R: Lsup= 2,95 
d) Amplitude do intervalo de classe; R: h = 0,05 
e) Amplitude total; R: H = 0,5 
f) Ponto médio da terceira classe; R: 2,875 
g) Frequência absoluta acumulada na sexta classe; R: 64 
h) Porcentagem de valores iguais ou maiores que 3,20. R: 3,33% 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 40 
 
Exercício 10: O Nielsen Home Technology Report aprsentou informações sobre a 
tecnologia dos aparelhos domésticos e sua utilização por pessoas de 12 anos ou mais. 
Os dados a seguir referem-se ao número de horas de uso de computadores pessoais 
durante uma semana para uma amostra de 50 pessoas. 
 
4,1 1,5 10,4 5,9 3,4 5,7 1,6 6,1 3,0 3,7 
3,1 4,8 2,0 14,8 5,4 4,2 3,9 4,1 11,1 3,5 
4,1 4,1 8,8 5,6 4,3 3,3 7,1 10,3 6,2 7,6 
10,8 2,8 9,5 12,9 12,1 0,7 4,0 9,2 4,4 5,7 
7,2 6,1 5,7 5,9 4,7 3,9 3,7 3,1 6,1 3,1 
 
Sintetize os dados construindo o seguinte: 
a) uma distribuição de freqüência por classe; 
b) as frequências relativas. 
c) as frequências acumuladas; 
d) Um Histograma. 
e) Comente sobre o que os dados indicam a respeito do uso de computadores 
pessoais em casa. 
 
 
Exercício 11: A prefeitura de determinado município realizou uma pesquisa entre as 
empresas da região para verificar o número de operários alocados por empresa. O 
objetivo é verificar se há equilíbrio entre o crescimento do número de empresas e o 
aumento do número de postos de trabalho. Os dados coletados constam na tabela a 
seguir. 
 
Número de empregados Número de empresas 
20 |- 80 12 
 80 |- 140 39 
140 |- 200 47 
200 |- 260 31 
260 |- 320 25 
320 |- 380 17 
380 |- 440 8 
Total 179 
 
a) Faça uma distribuição gráfica da freqüência absoluta, ou seja, construa um 
histograma. 
b) Calcule os pontos médios de cada classe e insira no histograma o gráfico do 
polígono de freqüências. 
c) Construa o gráfico do polígono de freqüências acumulada (Ogiva). 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 41 
 
Exercício 12: As notas abaixo, referem-se ao grau obtido por 50 alunos em uma prova 
de Estatística: 
 
1 8 3 4 7 4 6 7 7 8 
2 8 3 4 7 4 6 7 8 8 
2 7 4 5 6 8 6 7 8 9 
2 9 4 5 7 8 7 7 8 9 
 
g) Quem é a amostra do estudo? R: n = 50 alunos 
h) Quem é a variável estudada? Classifique-a. 
i) Construa a tabela mais adequada para estes dados, calculando a porcentagem de 
cada valor. 
j) Quantos alunos tiram nota inferior a 7 na prova? R: 18 
k) Quantos alunos tiraram no máximo 8 na prova? R: 36 
l) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota entre 5 e 8 pontos? R: 50% 
 
 
 
 
3 Medidas Descritivas 
 
 
Introdução 
 
A estatística descritiva visa descrever os dados disponíveis da forma mais 
completa possível sem, no entanto, se preocupar em tirar conclusões sobre um 
conjunto maior de dados (população). 
As medidas descritivas básicas mais importantes são as de posição e as de 
dispersão ou variabilidade. 
 
Classificação das medidas descritivas: 
Medidas descritivas 














CurtoseeAssimetria,Momentos
ativalRe
Absoluta
Dispersão
esSeparatriz
centralnciaeˆTend
Posição
 
 
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Medidas de Posição 
 
Medidas de tendência central 
 
Quando se trabalha com dados numéricos observa-se uma tendência destes 
de se agruparem em torno de um valor central. Isto indica que algum valor central é 
característica dos dados e que o mesmo pode ser usado para descrevê-los e 
representá-los. 
As medidas de tendência central são: média, mediana e moda. 
 
 
 Média aritmética [Simbologia: 



→
→µ
amostraX
população ] 
 
 
A média aritmética é uma das informaçõesmais importantes da análise 
estatística. A média aritmética é uma medida de posição central, mesmo que ela não 
se encontre necessariamente no centro da distribuição, pois na verdade ela 
corresponde a uma das posições de equilíbrio entre os dados coletados. 
 
µ = média populacional 
�� = média aritmética amostral 
 
�� (lê-se: “X traço” ou “ X barra”) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 43 
 
1ª Situação: Média para dados não agrupados 
A média, que se representa por X na amostra e por µ na população, é uma 
medida de localização do centro da amostra, e obtém-se a partir da soma de um 
conjunto de valores, dividida pelo número de valores considerados conforme a 
seguinte expressão: 
 
Amostra 
 
 
n
X
n
XXX
X
n
i
i
n
∑
=
=
+++
=
121 ...
 
 
 
 
Onde: �	 = média aritmética 
Σ x = somatório dos valores da variável “x” (exemplo: soma de todos os valores de 
idades, rendas familiares, etc.) 
n = nº de elementos pesquisados, ou ainda o tamanho da amostra. 
 
 
 
 n
x
X
n
i
i∑
=
=
1
 
 
 Obs: média populacional = µ 
 
 
 
onde: 
 
N = número total de elementos da população 
 
 
 
N
X
N
XXX
N
i
i
N
∑
=
=
+++
=
121 ...µ
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 44 
 
 OBS: É a mais utilizada das medidas de tendência central para descrever, 
resumidamente, um conjunto de dados. 
 
 
Exemplo 10: Os valores de cinzas em ppm de uma amostra foram os seguintes: 
1) 110ppm; 
2) 120ppm; 
3) 115ppm; 
4) 110ppm; 
5) 115ppm; 
 Calcular a média dos resultados obtidos. 
 
�	 
 5705 
 114��� 
 
Interpretação: O valor médio de cinza em ppm desta amostra é de 114 ppm. 
 
 
 
 
 
 
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de 
valores e a média aritmética, ou seja: di = Xi - � 
 
No exemplo anterior temos cinco desvios: d1 = 110 - 114 = -4; d2 = 120-114 = 6; d3 = 
115 -114= 1; d4 = 110 - 114 = -4; d5 = 115 - 114 = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 45 
 
Exemplo 11: Para avaliar um novo método para determinação de cálcio, um químico 
preparou uma solução de concentração conhecida, 50mg/L de Ca. Esta Solução foi 
analisada seis vezes; os resultados obtidos foram: 
1) 48,2mg/L; 
2) 51,0mg/L; 
3) 46,6mg/L; 
4) 51,5 mg/L; 
5) 43,8 mg/L; 
6) 46,9 mg/L; 
Calcular a média dos resultados obtidos. 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da média aritmética: 
 
• A soma dos desvios em relação à média é nula; 
( )∑ =− 0XX i 
• A média de uma constante é igual à constante; 
k)k(X = 
• A média do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto da 
constante pela média da variável; 
[ ])X(Xk)kX(X ii = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 46 
 
2ª Situação: Média aritmética para dados tabelados por ponto: 
 
Se os dados estiverem agrupados em uma tabela de freqüências, pode-se 
obter a média aritmética dos valores x1, x2, x3, ..., xn, ponderados pelas respectivas 
freqüências absolutas: f1,f2,f3,...,fn. Assim: 
 
 
∑
∑
=
=
=
++++
=
n
i
i
n
i
ii
nn
f
fX
n
X fxfxfxfx
1
1332211
.......
 
 
 
 onde: 
 fi = a freqüência absoluta da classe i. 
 
nfn
i
i =∑
=1
 
 
 
 
 
Amostra 
n
fx
X
k
i
ii∑
=
⋅
=
1
 
 
 
 
 
 Obs: Média populacional µ 
μ 
 ∑ ��������� 
 
 
N = número total de elementos da população 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 47 
 
Exemplo 12: Considere a seguinte distribuição de freqüência de uma amostra de 
polímero contendo 20 valores granulométricos (grãos/grama). 
(valores granulométricos) xi fi 
36 5 
38 3 
39 3 
40 4 
44 3 
47 2 
Total 20 
Encontre a média: 
 
 
 
 
3ª Situação: Média aritmética para dados tabelados por 
intervalo (classe). 
 
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência por classe 
usaremos a média dos pontos médios x1, x2, x3, ..., xn, de cada classe, ponderados pelas 
respectivas freqüências absolutas: f1,f2,f3,...,fn. Assim: 
 
 
 
 
 
 onde xi = ponto médio da classe i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
fX
X
n
i
ii∑
=
=
1
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 48 
 
 
 
 
Exemplo 13: Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de freqüência para 
o número de litros de gasolina vendidos por carro em uma amostra de 680 carros. 
 
Gasolina (litros) Número de carros (fi) 
0 |- 5 74 
5 |- 10 192 
10 |- 15 280 
15 |- 20 105 
20 |- 25 23 
25 |- 30 6 
Total 680 
 
Portanto: 
 
� 
 7645680 
 11,24 
 
Interpretação: a média de gasolina vendida por carro foi de 11,24 litros. 
 
 
 
 Moda [Simbologia: Mo ou Xˆ ] 
 
A moda de um grupo de observações é definida como a medida de freqüência 
máxima ou é (são)o(s) valor(es) que se repete(m) mais vezes. Pode ser utilizada para 
dados qualitativos. 
 
1ª Situação: Moda para dados não-tabelados 
A moda será o valor mais freqüente no conjunto de dados, podendo, este 
mesmo conjunto, possuir mais de uma moda (bimodal ou plurimodal), ou ainda, não 
apresentar moda (amodal). 
 
Exemplo 14: Os valores de cinzas em ppm de uma amostra foram os seguintes: 
 
110 – 110 – 115 – 110 - 115 
 
Mo = 110 → Distribuição unimodal ou modal. 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 49 
 
Interpretação: o valor de cinza em ppm com maior freqüência é de 110ppm. 
 
 
Exemplo 15: Suponha o conjunto de valores de cinzas em ppm: 110 – 110 – 120- 115 
– 115 . Determinar a moda deste conjunto de dados. 
 
 
Exemplo 16: Suponha o conjunto de valores de cinzas em ppm: 110 – 110 – 115 – 
115- 120 - 120. Determinar a moda deste conjunto de dados. 
 
 
Exemplo 17: Determine a moda dos conjuntos de dados abaixo: 
 
a) 1 -2- 3 – 5 – 2 – 6 – 7 – 2 – 9; 
b) 1 – 1 – 2 – 2 – 3 – 3 - 5 – 5 – 6 – 6 – 7 – 7 – 9 – 9; 
c) 0 – 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 2 – 0 – 6 – 7 – 2 – 9; 
d) 1 – 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 8 – 8 -10 
 
 
2ª Situação: Moda para dados tabelados por ponto 
 
Quando a distribuição é por ponto, a determinação da moda é imediata pela 
simples inspeção da tabela, já que a Mo é o valor de freqüência máxima. 
 
Exemplo18: Considere a seguinte distribuição de freqüência de uma amostra de 
polímero contendo 20 valores granulométricos (grãos/grama). 
(valores granulométricos) xi fi 
36 5 
38 3 
39 3 
40 4 
44 3 
47 2 
Total 20 
Encontre a moda: 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 50 
 
 
 
3ª Situação: Moda para dados tabelados por classe 
 
Quando a distribuição de freqüências é por intervalo, tem-se diversas maneiras. 
 
 Pode-se calcular a moda bruta que é o ponto médio da classe de maior 
freqüência (método rudimentar). 
 
Exemplo 19: 
Salário Mensal Nº de funcionários 
25|-30 10 
30|-35 20 
35|-40 30 
40|-45 15 
45|-50 40 
50|-55 35 
Total 150 
 
 
 
Portanto, se a maior fi = 40 pertence a classe 45 |- 50, logo Mo = ���!� 
 47,5 
 
Interpretação: o Salário mensal com maior freqüência entre o grupo de 150 
funcionários foi de 47,5 salários. 
 
 
 
 
 Características e importância da moda: 
 
I) Não éafetada por valores extremos, a não ser que estes constituam a classe 
modal; 
II) È uma medida bastante utilizada em estatística Econômica. 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 51 
 
 
 
 Mediana [Simbologia: Md ou X~ ] 
 
A mediana divide em duas partes o conjunto das observações ordenadas. 
Colocando-se os valores em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o 
elemento que ocupa o valor central. 
 
 50% Md 50% 
 → rol crescente 
 Xmín Xmáx 
 
Uso da mediana: 
 
I) Quando se deseja obter um ponto que divida a distribuição em partes 
iguais; 
II) Quando há valores extremos que afetam, de uma maneira acentuada, a 
média; 
 
 
 1ª situação: Mediana para dados não-tabelados 
 
Se n é ímpar, a mediana é o elemento central, o que fica “sobrando” no meio. 
Se n é par, a mediana é a média dos dois elementos centrais. 
 
Procedimento no caso de dados brutos: 
 
1. Colocam-se os dados em ordem (rol); 
 
2. Se o número de elementos "n" for ímpar, a mediana será o elemento central que 
ocupa a posição 
2
1n +
 do rol; 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 52 
 
3. Se "n" for par, a mediana será a média aritmética entre os dois elementos centrais 
que ocupam as posições 
2
n
 e 
n
2
1+ do rol. 
 
 
 
 Exemplo 20: Quando o tamanho da amostra “n” for par 
 
 Um químico determinou 10 vezes, em uma amostra de água, o teor de ferro 
por absorção atômica e conseguiu as seguintes concentrações em ppm: 
 
16 – 17 – 13 – 14 – 13 – 12 – 10 – 11 – 14 – 14 
 
Encontre o valor mediano: 
 
1º Passo: Ordenar os valores em ordem crescente 
10 11 12 13 13 14 14 14 16 17 
 
2º Passo: Localizar a mediana: como “n” é par, devemos localizar os dois valores 
centrais, ou seja, para n = 10/2 = 5ª e a 5ª + 1 = 6ª posição. 
 
3º Passo: Após localizar esses elementos, calcula-se a média entre eles: 
 
10 11 12 13 13 14 14 14 16 17 
 
 
 
Md = ppm 13,5
2
1413
=
+
. 
 
 
Interpretação: “Metade das medidas de teor de ferro em uma amostra de água tem 
valor inferior a 13,5 ppm e a outra metade apresentou mais de 13,5 ppm”. 
 
 
Mediana 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 53 
 
 
 
 
 
Exemplo 21: Quando o tamanho da amostra “n” for ímpar 
 
 Um químico determinou 11 vezes, em uma amostra de água, o teor de ferro por 
absorção atômica e conseguiu as seguintes concentrações em ppm: 
 
16 – 17 – 13 – 14 – 13 – 12 – 10 – 11 – 13 – 14 - 15 
 
Qual é o valor mediano? 
 
 
1º Passo: Ordenar os valores em ordem crescente 
10 11 12 13 13 13 14 14 15 16 17 
 
2º Passo: Encontrar a posição da mediana 
 Como n = 11 é ímpar, o valor central está na posição 
2
1+n
 
 Posição da Mediana = =
+
=
+
2
111
2
1n
 6ª posição 
 
 
3º Passo: Localizar a mediana 
10 11 12 13 13 13 14 14 15 16 17 
 
 
 
 
 Md = 13 ppm 
 
Interpretação: “Metade das medidas de teor de ferro em uma amostra de água tem 
valor inferior a 13 ppm e a outra metade apresentou mais de 13 ppm”. 
 
Mediana 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística]
 
 
 
 
 
 
 
 IMPORTANTE!!!
 
Prefere-se empregar a mediana quando:
a. Deseja-se obter o ponto que divide a distribuição dos valores em duas partes iguai
b. Há valores extremos (muito destoantes do geral da amostra) que afetam de uma 
maneira acentuada a média;
 
 
 
 
2ª Situação: Mediana para dados tabelados
 
Passos: 
1º) Calcular a posição da mediana.
 Para verificar a posição da mediana na distribu
2º) Localizar a classe mediana.
 
 Procedimento: de posse do resultado do quociente 
freqüência acumulada em qual intervalo de valores acumulados esse valor se 
enquadra. 
 A classe mediana é estabelecida na coluna da freqüên
convém acrescentar uma coluna para os valores da freqüência acumulada.
 A classe mediana é a classe que contém a mediana.
 
3º) Verificar o valor da variável contido na classe da mediana.
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] 
IMPORTANTE!!! 
se empregar a mediana quando: 
se obter o ponto que divide a distribuição dos valores em duas partes iguai
Há valores extremos (muito destoantes do geral da amostra) que afetam de uma 
maneira acentuada a média; 
Mediana para dados tabelados por ponto.
) Calcular a posição da mediana. 
Para verificar a posição da mediana na distribuição, calcule: Pmd = 
2º) Localizar a classe mediana. 
Procedimento: de posse do resultado do quociente , observe na coluna da 
freqüência acumulada em qual intervalo de valores acumulados esse valor se 
A classe mediana é estabelecida na coluna da freqüência acumulada; sendo assim, 
convém acrescentar uma coluna para os valores da freqüência acumulada.
A classe mediana é a classe que contém a mediana. 
3º) Verificar o valor da variável contido na classe da mediana. 
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se obter o ponto que divide a distribuição dos valores em duas partes iguais; 
Há valores extremos (muito destoantes do geral da amostra) que afetam de uma 
por ponto. 
 
, observe na coluna da 
freqüência acumulada em qual intervalo de valores acumulados esse valor se 
cia acumulada; sendo assim, 
convém acrescentar uma coluna para os valores da freqüência acumulada. 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 55 
 
 
 
Exemplo 22: Considere a seguinte distribuição de freqüência de uma amostra de 
polímero contendo 20 valores granulométricos (grãos/grama). 
(valores granulométricos) xi fi Fac 
36 5 
38 3 
39 3 
40 4 
44 3 
47 2 
Total 20 
 
Encontre a mediana: 
 
 
 
 
3ª Situação: Procedimento no caso de distribuição por classe: 
 
1. Calcula-se a posição da mediana: PMd = 2
n
; 
 
2. Localizar a classe mediana. 
 
Procedimento: de posse do quociente "�, observe na coluna da frequência 
acumulada em qual intervalo de valores acumulados esse valor se enquadra. 
3. Determinar a mediana: 
Para encontrar o valor da mediana aplica-se a seguinte fórmula: 
 
 
 
( )
Md
ant
d f
FachLM .Md
.inf
P −
+= 
onde: 
 
 Linf. = limite inferior da classe que contém a mediana; 
 Facant. = freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém a mediana; 
 h= amplitude da classe que contém a mediana; 
 fMd= freqüência da classe que contém a mediana. 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística]
 
 
 
Exemplo 23: Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de freqüência para 
o número de galões de gasolina vendidos por carro 
Gasolina (litros) Número de carros (f
0 |- 5 
5 |- 10 
10 |- 15 
15 |- 20 
20 |- 25 
25 |- 30 
Total 
Encontre e interprete a mediana:
 
 
 
 
 
 
Interpretação: 50% dos carros tiveram no máximo 11,32 litros de gasolina, ou então, 
metade dos carros tinham no mínimo 11,2 litros de gasolina.
 
 
 
 
Observações importantes:
Não há regra fixa para se escolher entre a média, a mediana e a moda. 
Entretanto algumas observações podem ser feitas quanto à utilização das mesmas. 
 
• A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada, principalmente 
quando não há valores aberrantes (muito extremos) no conjunto de dados, sendo a 
medida mais conveniente para cálculos posteriores;
• A mediana deve ser usada, sempre que possível, como medida rep
distribuições fortemente assimétricas, ou seja, quando os valores extremos do 
conjunto são muito distantes dosoutros, pois o seu valor não é afetado por estes 
valores; 
• A moda é usada quando há interesse em saber o ponto de concentração do 
conjunto ou o tipo de distribuição que se está analisando, sendo que o seu valor, 
em se tratando de dados agrupados, é fortemente afetado pela maneira como as 
classes são constituídas.
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] 
Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de freqüência para 
o número de galões de gasolina vendidos por carro em uma amostra de 680 carros. 
Número de carros (fi) 
74 
192 
280 
105 
23 
6 
680 
Encontre e interprete a mediana: 
50% dos carros tiveram no máximo 11,32 litros de gasolina, ou então, 
dos carros tinham no mínimo 11,2 litros de gasolina. 
Observações importantes: 
Não há regra fixa para se escolher entre a média, a mediana e a moda. 
Entretanto algumas observações podem ser feitas quanto à utilização das mesmas. 
é a medida de tendência central mais utilizada, principalmente 
quando não há valores aberrantes (muito extremos) no conjunto de dados, sendo a 
medida mais conveniente para cálculos posteriores; 
A mediana deve ser usada, sempre que possível, como medida rep
distribuições fortemente assimétricas, ou seja, quando os valores extremos do 
conjunto são muito distantes dos outros, pois o seu valor não é afetado por estes 
A moda é usada quando há interesse em saber o ponto de concentração do 
onjunto ou o tipo de distribuição que se está analisando, sendo que o seu valor, 
em se tratando de dados agrupados, é fortemente afetado pela maneira como as 
classes são constituídas. 
Página 56 
Um posto de gasolina registrou a seguinte distribuição de freqüência para 
em uma amostra de 680 carros. 
50% dos carros tiveram no máximo 11,32 litros de gasolina, ou então, 
Não há regra fixa para se escolher entre a média, a mediana e a moda. 
Entretanto algumas observações podem ser feitas quanto à utilização das mesmas. 
é a medida de tendência central mais utilizada, principalmente 
quando não há valores aberrantes (muito extremos) no conjunto de dados, sendo a 
A mediana deve ser usada, sempre que possível, como medida representativa de 
distribuições fortemente assimétricas, ou seja, quando os valores extremos do 
conjunto são muito distantes dos outros, pois o seu valor não é afetado por estes 
A moda é usada quando há interesse em saber o ponto de concentração do 
onjunto ou o tipo de distribuição que se está analisando, sendo que o seu valor, 
em se tratando de dados agrupados, é fortemente afetado pela maneira como as 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 57 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
13) Calcule para cada caso abaixo a respectiva média 
a) 7, 8, 9, 12, 14 
R: 10 
b) 
Xi 3 4 7 8 12 
fi 2 5 8 4 3 
 
R: 6,82 
 
14) Calcule o valor da mediana. 
a) 82, 86, 88, 84, 91, 93 
R: md = 87 
 
b) 
Xi 73 75 77 79 81 
fi 2 10 12 5 2 
 
R: 77 
15) Calcule a moda: 
a) 3, 4, 7, 7, 8, 9, 10 
R: mo = 7 
b) 
Xi 2,5 3,5 4,5 6,5 
fi 7 17 10 5 
 
R: mo = 3,5 
16) Uma cidade serrana registrou a temperatura média diária durante duas semanas. 
Os valores encontram-se discriminados a seguir. 
 
 23; 22; 24; 23; 21; 23; 22; 23; 24; 22; 21; 22; 23; 21. 
 
Calcule a média aritmética, a moda e a mediana dessa distribuição. 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 58 
 
17) A produção de solvente numa fábrica, durante uma semana, foi de 17, 22, 10, 14, 
13, 15, 16, 18 e 12 litros. Qual a produção média, modal e mediana? 
R: média = 15,22 e md = 15; não possui moda 
 
18) Calcule média, mediana e desvio padrão para os dados a seguir, referentes à 
quantidade de magnésio medido no rio Mogi-Guaçu, SP, em 1988 (Melo, 1993). Qual 
a melhor medida de tendência central neste caso? Explique. 
 
X( mg/mL): 1,2 1,5 4,0 1,5 1,5 1,8 
 
R: média = 1,92; md = 1,5 e mo = 1,5 
 
19) A Secretaria da Educação encomendou um estudo a uma agencia de pesquisa, 
sobre o número de crianças em idade escolar de determinada região para verificar a 
necessidade de construir uma escola naquele local ou não. Para isto, a agência 
entrevistou 100 famílias e perguntou QUANTAS CRIANÇAS FAZIAM PARTE 
DAQUELA FAMÍLIA E QUE ESTAVAM EM IDADE ESCOLAR, obtendo os seguintes 
resultados: 
 
Tabela. NÚMERO DE CRIANÇAS EM IDADE ESCOLAR 
No de Crianças No de Famílias % 
0 17 17 
1 28 28 
2 20 20 
3 19 19 
4 7 7 
5 4 4 
6 5 5 
Total 100 100 
 Fonte: Sec. Educação 
 
Com base nos dados da tabela acima, responda: 
 
a) Quem é a variável de estudo? 
b) Quem é a amostra estudada? R: 100 
c) Quantas famílias possuem no máximo 3 crianças em idade escolar? R: 84 
d) Quantas famílias possuem menos de 2 crianças idade escolar? R: 2,03 
e) Calcule e interprete a média para estes dados. 
 
 
20) Verastro e Krause ( 1994) estudaram espécimens de Liolaemus occipitallis, 
pequeno lagarto da região costeira do Rio Grande do Sul. Suponha que tenham sido 
encontrados os valores a seguir, relativos ao comprimento rostroanal (CRA, em mm) e 
ao peso (em g). 
 
Indivíduo 1 2 3 4 5 
CRA (mm) 47 51 54 59 62 
Peso (g) 5,0 3,9 6,7 6,0 9,5 
 
Encontre a média, mediana e a moda para cada variável. 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 59 
 
R: CRA (média =54,6, md = 54, amodal) 
R: peso (média = 6,22; md = 6) 
 
21) A tabela abaixo representa os salários pagos a 100 operários da empresa GLT & 
Cia: 
 
Tabela. Salários GLT & Cia 
Nº de salários 
mínimos 
Nº de 
operários % 
0 40 40,0 
2 30 30,0 
4 10 10,0 
6 15 15,0 
8 5 5,0 
Total 100 100,0 
Fonte: Pesquisa 
 
a) Quem é a variável de estudo? E qual foi a amostra pesquisada? 
b) Qual a porcentagem de operários que ganha menos de 6 salários mínimos? R: 
80% 
c) Qual a média de salário dos operários da empresa GLT & Cia? R: 2,3 
d) Qual a mediana de salário pago aos operários da empresa GLT & Cia? R: 2 
 
22) Sejam os seguintes valores referentes ao número de faltas de operários de uma 
empresa do ramo automobilístico em determinado mês do ano: 
 
0 0 2 0 3 
1 0 4 1 0 
2 1 1 2 0 
1 0 1 2 0 
1 0 0 1 0 
0 2 1 4 4 
 
Com base nesses valores, pede-se: 
a) Construa uma tabela de freqüências adequada para representar os dados acima; 
b) Calcule e interprete a média de faltas nessa empresa; R: 1,13 
c) Calcule e interprete a mediana de faltas nessa empresa; R: 1 
d) Calcule e interprete a moda de faltas nessa empresa. R: 0 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 60 
 
 
 
3.2 Medidas de dispersão 
 
As medidas de dispersão visam descrever os dados no sentido de informar o 
grau de dispersão ou afastamento dos valores observados em torno de um valor 
central. Elas indicam se um conjunto é homogêneo (pouca ou nenhuma variabilidade) 
ou heterogêneo (muita variabilidade). 
A descrição do conjunto de dados é mais completa quando se considera além 
de uma medida de tendência central, uma medida de dispersão ou variação, porque é 
comum encontrar-se séries que, apesar de apresentarem a mesma média, são 
compostas de maneiras diferentes, o que mostra que as medidas de tendência central 
são insuficientes para descrever adequadamente uma série estatística. 
 
Exemplo 24: considere os seguintes conjuntos de valores das variáveis, X, Y, Z. 
 
X = { 40, 40, 40, 40, 40} 
Y = {38, 39, 40, 41, 42} 
Z = { 55, 30, 5, 15, 95} 
 
Podemos observar que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 
200/5 = 40. 
No entanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, 
já que todos os valores são iguais a média. O conjunto Y por sua vez, é o mais 
homogêneo que o conjunto Z, pois há menor variação entre cada um de seus valores 
e a média representativa.[Professora: Tatiani Secretti][Estatística]
 
 
 
Classificação das medidas de dispersão:
deMedidas
 
 
Exemplo 25: Dois analistas analisaram uma amostra, sob as mesmas condições que 
foram enviadas ao laboratório para a determinação de um elemento. Os analistas 
realizaram seis determinações cada e obtiveram os seguintes resultados em ppm:
Analistas 
Analista 1 6,1 
Analista 2 6,3 
Nota: dados fictícios 
 
O que podemos observar? 
 
 
 
 Medidas de dispersão Absoluta
 
Amplitude de variação [Simbologia: H]
 
É a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto, sendo a mais simples 
das medidas de dispersão, porém de grande instabilidade, porque considera somente 
os valores extremos do conjunto. Também é chamada de desvio 
H = Xmáx. - X
Dados não-tabelados: 
Ex: 
H1 = 
H2 = 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] 
assificação das medidas de dispersão: 
{















variaçãodeeCoeficientRelativa
Variância
padrãoDesvio
médioDesvio
Amplitude
Absoluta
dispersão
Dois analistas analisaram uma amostra, sob as mesmas condições que 
foram enviadas ao laboratório para a determinação de um elemento. Os analistas 
is determinações cada e obtiveram os seguintes resultados em ppm:
Determinações (ppm) 
6,2 6,2 6,3 6,2 
6,1 6,2 6,1 6,0 
 
Medidas de dispersão Absoluta 
[Simbologia: H] 
É a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto, sendo a mais simples 
das medidas de dispersão, porém de grande instabilidade, porque considera somente 
os valores extremos do conjunto. Também é chamada de desvio extremo.
Xmín. 
Página 61 
variação
 
Dois analistas analisaram uma amostra, sob as mesmas condições que 
foram enviadas ao laboratório para a determinação de um elemento. Os analistas 
is determinações cada e obtiveram os seguintes resultados em ppm: 
 6,2 
 6,5 
É a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto, sendo a mais simples 
das medidas de dispersão, porém de grande instabilidade, porque considera somente 
extremo. 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 62 
 
 
 
Variância [Simbologia 



→
→σ
amostras
população
2
2
] 
 
� Uma boa medida de dispersão deve basear-se em todos os dados, ser 
facilmente calculável e compreensível, além de prestar-se bem ao tratamento 
algébrico. 
� Uma medida com todas estas características é obtida considerando-se os 
desvios de cada observação em relação a média, chamados erros (ei), para 
uma população, ele é escrito como (xi-µ); para uma amostra, o desvio em torno 
da média é escrito como ( ). 
� Para obter um único número que represente a dispersão dos dados, pensou-se 
inicialmente em obter-se a média destes desvios, mas deve-se lembrar que a 
soma dos desvios de um conjunto de dados em relação a sua média é nula. 
� Então, optou-se por utilizar a soma dos quadrados dos desvios, pois elevando-
se cada desvio ao quadrado elimina-se o sinal negativo, que estava trazendo 
complicações; e dividindo-se a soma dos quadrados dos desvios pelo número 
de observações obtém-se a variância populacional , denotada pelo símbolo 
grego σ2. 
 
 
 A variância é representada na população pelo símbolo 2σ e na amostra 
pelo símbolo 2s . Quanto maior for a variação dos valores do conjunto de 
dados, maior será a variância. 
 
A variância de uma amostra é a média dos quadrados dos desvios dos valores 
em relação à média. 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 63 
 
 
 
 
1ª situação: Variância para dados não-tabelados 
 
 
 
 
População Amostra 
 
 
( )
N
x
k
i
i∑
=
−
=
1
2
2
µ
σ 
( )
1
1
2
2
−
−
=
∑
=
n
Xx
s
k
i
i
 
 
 



→
→σ
amostras
população
2
2
 
 
N = numero de elementos da população. 
n = numero de elementos da amostra. 
#$�� % �	&� 
 $�� % �	&�
"
���
 ' $�� % �	&� ' ( ' $�" % �	&� 
 
 
Exemplo 26: Considere o exemplo abaixo: 
Analistas Determinações (ppm) 
Analista 1 6,1 6,2 6,2 6,3 6,2 6,2 
Analista 2 6,3 6,1 6,2 6,1 6,0 6,5 
 
 
Como �	1= 6,2 ppm 
 
 )��= 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 64 
 
 
Interpretação: Encontramos uma variância para as determinações do analista 
1 de 0,004 ppm2. 
 
 
 )��= 
 
 
 
 
Interpretação: Encontramos uma variância para o tempo até o início do efeito 
do sonífero de 0,032 ppm2. 
 
 
 
 
 
Para eliminarmos o quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz 
quadrada do resultado da variância, que chegamos a uma terceira medida de 
dispersão, chamada de desvio-padrão. 
 
 
 
 Desvio padrão [Simbologia 



→
→σ
amostras
população ] 
 
O desvio padrão é uma das medidas mais úteis da variação de um grupo de 
dados. A vantagem do desvio padrão sobre a variância, é que este permite uma 
interpretação direta da variação do grupo, pois o mesmo é expresso na mesma 
unidade em que estão expressas as medidas observadas. 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então, é calculado por: 
 
 
2ss =
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 65 
 
Para os dados de medição, especialmente em grandes amostras (n ≥ 30), 
verifica-se que, cerca de 68% das observações estarão entre sX ± ; 95% das 
observações estarão entre s2X ± e praticamente 100% entre s3X ± 
 
 
 
 
Então para o exemplo anterior: 
 
 *+ 
 √-, --. � 0,063 ppm 
 
 
 
Interpretação: O desvio padrão foi de 0,063 ppm. Ou seja, se calcularmos um 
intervalo utilizando um desvio-padrão em torno da média, encontraremos a 
concentração da maioria dos dados. 
 
*/ 
 √-, -0/ � 0,179 ppm 
 
 
Lembrando que a média das determinações entre os analistas foram iguais. 
Agora levando em consideração o desvio-padrão, e comparando-os, pode-se concluir 
que o analista 1 teve menor desvio-padrão, menor variabilidade. 
 
 
Exemplo 27: Para avaliar um novo método para determinação de ferro, um químico 
preparou uma solução de concentração conhecida, 30 mg/L de Fe, esta solução foi 
analisada 6 vezes, os resultados obtidos foram: 28,2 – 31,0 – 26,6 – 31,5 – 25,8 – 32,9 
 
Determinar a variância deste conjunto de dados. 
 
 
 
 
 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 66 
 
 
 
2ª Situação: Variância para dados tabelados por ponto: 
 
Quando os dados estiverem tabelados numa distribuição de freqüência por 
ponto usaremos a variância dos valores x1, x2, x3, ..., xn, ponderados pelas respectivas 
freqüências absolutas: f1, f2, f3, ..., fn. 
 
Assim: 
 
População Amostra 
 
( )
N
fx i
k
i
i ×−
=
∑
=1
2
2
µ
σ 
( )
1
1
2
2
−
×−
=
∑
=
n
fXx
s
k
i
ii
 
 
 
 
 
Variância amostral: 
 
 
 
 
( )
1
.
2
2
−
−
=
∑
n
fxXS ii
 
 
 
Onde: 
#$�� % �	&� 1 �� 
 $�� % �	&�
"
���
 1 �� ' $�� % �	&� 1 �� ' ( ' $�" % �	&� 1 �" 
 
 
[Professora: Tatiani Secretti][Estatística] Página 67 
 
 
Exemplo 28: Um químico determinou 12 vezes, em uma amostra de água, o teor de 
ferro por absorção atômica e obteve a seguinte distribuição de freqüência: 
 
Concentração em ppm (xi) (fi) 
10 2 
11 3 
12 4 
13 2 
16 1 
Total 12 
 
Encontre a variância e o desvio padrão. 
 
1º) Calcular a média 
 
ppm
n
fx
X 92,11
12
143.
===