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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Física Experimental Profo José Wilson Vieira jose.wilson59@uol.com.br AULA 02: PROCESSOS DE ANÁLISE GRÁFICA E NUMÉRICA Modelos Não-Lineares Recife, março de 2014 Modelo Exponencial ATIVIDADES NESTA AULA Modelo Potencial Resumo da Aula Anterior Primeiro Relatório de Física Exponencial Modelos Matemáticos Usados em Física Experimental RESUMO DA AULA ANTERIOR LINEAR EXPONENCIAL POTENCIAL PASSOS REALIZADOS NUMA EXPERIÊNCIA MEDIR ANALISAR OBTER RESULTADOS TESTAR MEDIR Ex.: Lei de Hooke Dado adicional: k = 32 N/m 32 gf/cm ANALISAR: GRÁFICO LINEAR MÓDULOS Obs: Ao invés de arredondar, sempre truncar os modelos. OBTER RESULTADOS Nossos resultados são os coeficientes A e B da Lei de Hooke, (xi, Fi) e (xf, Ff) (C.O.)mm e (C.A.)mm Dados obtidos do gráfico TESTAR RESULTADOS 1º PROCESSO: Testar uma constante do problema Erro Relativo 2º PROCESSO: Testar a variável dependente do problema Erro Relativo Médio x(cm) F(gf) Fc(gf) Erro(%) 5,9 200 191,43889 4,280556 12,2 400 403,80976 0,952441 18,0 600 599,32581 0,112366 25,0 800 835,29345 4,411681 29,0 1000 970,13210 2,986790 Média 2,55 OBS: ARREDONDAMENTOS REGRA DO “MAIS POBRE” OU “MAIS POBRE + 1” x(cm) F(gf) 5,9 200 12,2 400 18,0 600 25,0 800 29,0 1000 Esta tabela de entrada tem: 1 medida com 2 Algarismos significativos 8 medidas com 3 Algarismos significativos 1 medida com 4 Algarismos significativos Devemos arredondar os resultados (A, B e os ERs) com 3 algarismos significativos. DESVIO-PADRÃO DA MÉDIA Deixar com apenas 1 algarismo significativo; Arredondar k médio. O MODELO LINEAR – ANÁLISE NUMÉRICA ANÁLISE NUMÉRICA PARA O PRIMEIRO RELATÓRIO - MEDIR x(cm) F(gf) 5,9 200 12,2 400 18,0 600 25,0 800 29,0 1000 Dado adicional: k = 32 gf/cm - ANÁLISE NUMÉRICA Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e, por fim, A e B. x F xF x2 ... ... ... ... Somas Médias - OBTER RESULTADOS Escreva a equação da regressão linear, F = Ax + B, com A e B arredondados pela regra do mais pobre (ou mais pobre + 1). - TESTAR RESULTADOS Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e, por fim, R. x F (x-xmédio)2 (F -Fmédio)2 ... ... ... ... Somas Médias MODELO POTENCIAL ANÁLISE GRÁFICA MEDIR ANALISAR OBTER RESULTADOS TESTAR MEDIR Ex.: Períodos de oscilação de um sistema massa-mola. Dado adicional: k = 32 N/m T(s) m(kg) 0,40 0,100 0,66 0,300 0,80 0,500 0,95 0,700 1,05 0,900 Quantos algoritmos significativos para os resultados? ANALISAR Por que devemos usar um modelo matemático não-linear para obtenção da equação m = f(T)? Para um oscilador harmônico simples vale a fórmula: Teoria Modelo T(s) m(kg) 0,40 0,100 0,66 0,300 0,80 0,500 0,95 0,700 1,05 0,900 GRÁFICO DILOG 2 x 1 Para fazer um gráfico dilog: Precisamos gerar (software FisicaExperimental) um papel dilog de acordo com as grandezas físicas da tabela, que serão os rótulos dos eixos do gráfico. O papel é dividido, não em mm, mas proporcionalmente às mantissas dos logaritmos das grandezas físicas. Usamos a decimal. Colocamos a potência de 10 igual ou imediatamente superior ao valor máximo das medidas no extremo superior do papel (para o y) ou no extremo direito (para o x). Evidentemente o papel fornecido deverá ter divisões suficientes para abarcar a menor medida. Neste caso, precisamos de um papel dilog 2 x 1. T(s) m(kg) 0,40 0,100 0,66 0,300 0,80 0,500 0,95 0,700 1,05 0,900 0,10 1,00 10,00 0,100 1,000 MÓDULOS: Nesta abordagem, não usaremos módulos para eixos cujos espaçamentos foram “deformados”, isto é, não são mais lineares (são proporcionais às mantissas de logaritmo). Ao imprimir um papel de acordo com os limites da tabela, já estamos modelando os dados ao espaço disponível. Não esquecer que devemos colocar no papel as variáveis e suas unidades, título, autor e data; e que o gráfico é de dispersão. OBTER RESULTADOS (Ti, mi) (Tf, mf) Do gráfico escolhemos: (Ti, mi) e (Tf, mf) TESTAR RESULTADOS 1º PROCESSO: Testar o parâmetro A 2º PROCESSO: Testar o parâmetro B Teoria Modelo MODELO POTENCIAL ANÁLISE NUMÉRICA MEDIR ANALISAR OBTER RESULTADOS TESTAR MEDIR Ex.: Períodos de oscilação do sistema massa-mola. Dado adicional: k = 32 N/m T(s) m(kg) 0,40 0,100 0,66 0,300 0,80 0,500 0,95 0,700 1,05 0,900 A técnica da regressão linear também pode ser usada para alguns modelos não-lineares como potências e exponenciais. No caso das potências escritas no formato ANALISAR: REGRESSÃO LINEAR aplicamos o algoritmo da regressão linear já descrito à potência transformada em uma equação linearizada. Para fazer esta transformação, tomamos o logaritmo decimal de ambos os lados da equação potencial. Neste caso, obtemos Dilog - OBTER RESULTADOS Para escrever a equação da regressão linearizada, m = BTA, precisamos calcular A e B. Para o 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL, você dever organizar seus cálculos em uma tabela, como esquematizado abaixo. T(s) m(kg) X=logT Y=logm XY X2 ... ... ... ... ... ... Somas Médias Escreva a equação da regressão linearizada, m = BTA, com A e B arredondados pela regra do mais pobre (ou mais pobre + 1). - TESTAR RESULTADOS Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e por fim, o coeficiente de correlação, r. X Y (X-Xmédio)2 (Y-Ymédio)2 ... ... ... ... Somas Médias MODELO EXPONENCIAL ANÁLISE GRÁFICA MEDIR ANALISAR OBTER RESULTADOS TESTAR MEDIR Ex.: Altura da coluna d’água em função do tempo de escoamento. y(cm) t(s) 100,0 4,5 90,0 7,2 80,0 10,0 70,0 13,3 60,0 17,2 50,0 21,4 40,0 27,3 30,0 33,8 20,0 44,2 10,0 61,1 ANALISAR Por que devemos usar um modelo matemático não-linear para obtenção da equação y = f(t)? Modelo proposto y(cm) t(s) 100,0 4,5 90,0 7,2 80,0 10,0 70,0 13,3 60,0 17,2 50,0 21,4 40,0 27,3 30,0 33,8 20,0 44,2 10,0 61,1 Linearização GRÁFICO MONOLOG 1 Para fazer um gráfico monolog: Precisamos gerar (software FisicaExperimental) um papel monolog de acordo com as grandezas físicas da tabela, identificando claramente qual o eixo linear e qual o que vai ter os intervalos proporcionais às mantissas dos logaritmos. Para o eixo linear, devemos obter um módulo, como no papel mm; Para o eixo não-linear procedemos como no gráfico dilog. Veja o procedimento aplicado à tabela de entrada de dados no nosso exemplo. Neste caso, precisamos de um papel monolog 1. 100,0 10,0 y(cm) t(s) 100,0 4,5 90,0 7,2 80,0 10,0 70,0 13,3 60,0 17,2 50,0 21,4 40,0 27,3 30,0 33,8 20,0 44,2 10,0 61,1 Eixo não-linear Eixo linear Colocar no papel as variáveis e suas unidades, título, autor e data. Lembrar que este é um gráfico de dispersão. (yf, tf) (yi, ti) (C.A.)mm OBTER RESULTADOS Do gráfico: (yi, ti), (yf, tf) e (C.A.)mm TESTAR RESULTADOS Como não temos constantes conhecidas no problema, testamos a variável depende. Erro Relativo Médio t(s) y(cm) yc(cm) Erro(%) 4,5 100,0 100,183636 0,183636 7,2 90,0 89,757794 0,269118 10 80,0 80,090309 0,112886 13,3 70,0 70,024478 0,034968 17,2 60,0 59,746754 0,422077 21,4 50,0 50,358875 0,717749 27,3 40,0 39,608544 0,978639 33,8 30,0 30,401588 1,338628 44,2 20,0 19,909855 0,450723 61,1 10,0 10,008001 0,080009 Média 0,459 MODELO EXPONENCIAL ANÁLISE NUMÉRICA MEDIR ANALISAR OBTER RESULTADOS TESTAR MEDIR Ex.: Altura da coluna d’água em função do tempo de escoamento. y(cm) t(s) 100,0 4,5 90,0 7,2 80,0 10,0 70,0 13,3 60,0 17,2 50,0 21,4 40,0 27,3 30,0 33,8 20,0 44,2 10,0 61,1 Podemos aplicar a técnica da regressão a funções exponenciais, ANALISAR: REGRESSÃO LINEAR porque a transformação, resulta na função linear OBTER RESULTADOS Para escrever a equação da regressão linearizada, y = BeAt, precisamos calcular A e B. Para o 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL 2, você dever organizar seus cálculos em uma tabela, como esquematizado abaixo. y(cm) t(s) Y=ln(y) tY t2 ... ... ... ... ... Somas Médias Escreva a equação da regressão linearizada, y = BeAt, com A e B arredondados pela regra do mais pobre (ou mais pobre + 1). TESTAR RESULTADOS Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e por fim, o coeficiente de correlação, r. t Y (t-tmédio)2 (Y-Ymédio)2 ... ... ... ... Somas Médias PRIMEIRO RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL
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