Vibrações de Sistemas de Um Grau de Liberdade

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Unidade 2 - Vibrações Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 
 
UNIDADE 2 - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE 
LIBERDADE 
 
Elemento Mola 
 F k x xm  2 1 U kx
1
2
2 
Associação de molas em paralelo 
 k keq i
i
n



1
 
Associação de molas em série 
 k
k
eq
ii
n


1
1
1
 
Elemento amortecedor 
  F c v vd  2 1 
 
Vibrações livres de sistemas não amortecidos 
Equações de movimento 
  dE
dt
d
dt
T U   0 mx kx  0 
 x t x t v tn
n
n 0
0cos sen

 
m
k
n 
2 
   x t X tn 0 cos   












nn x
vvxX


 0
01-
2
02
00 tan= e 
Método da energia de Rayleigh 
Tmax = Umax 
 
Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso 
Equação do movimento 
mx cx kx    0 
Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido. 
Constante de Amortecimento Crítico 
c m k
m
mc n 2 2  
Fator de Amortecimento 
nc m
c
c
c


2
 
Caso 1: Sistema sub-amortecido -  
   x t Xe tnt n     cos 1 2 X v x xn
n










 
0 0
2
2
0
2
1

 
 

 











tan 1 0 0
0
21
v x
x
n
n
 
Freqüência da vibração livre amortecida 
 nd 
21 
Caso 2 - Sistema Criticamente Amortecido - 
    x t x v x t en tn   0 0 0  
Caso 3 - Sistema Super-Amortecido -  
 x t C e C en n
t t
 
  

   




1
1
2
12 2      
   
12
1
12
1
2
0
2
0
22
0
2
0
1










n
n
n
n vxC
vx
C 
 
 
Unidade 2 - Vibrações Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 
 
Decremento Logarítmico 
2
1
1
2
1
1
2ln1ln











mx
x
mx
x 
 


 

2 2 2
 
Energia Dissipada no Amortecimento Viscoso 
2XcW d 
 
coeficiente de perda  
W
W
2 

 
Vibração Livre com Amortecimento de Coulomb 
Nkxxm   
k
NtsenAtAtx nn

  21 cos 
Queda de amplitude por meio ciclo 
k
N2 
Número de meio ciclos até a parada 














k
N
k
Nx


2r
0
 
Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Estrutural 
22 hXcXW   c h

 
Rigidez Complexa 
     F t k ih x k i x   1    h
k
c
k
 
Resposta do Sistema 
constante1
2
2
1








j
j
X
X
 


















 




2
2ln
1
2ln
2
1j
j
X
X
 
 
k
m
 
k
h
eq 222
2ln
1
2
2

















 
c c mk mk k heq c eq    



 
2
2
 
 
Vibrações Torcionais 
M GJ
l
t

 k
M GJ
l
Gd
lt
t  

 4
32
 
Vibração Livre de Sistemas Torcionais 
Vibração Livre sem Amortecimento 
J k t0 0   

 
n
t
n
t
n
t
k
J
f k
J
J
k
 









0
0
0
1
2
2
 J h D MD0
4 2
32 8
 
  
   


t t tn
n
n 0
0cos

sen 
Vibração Livre Amortecida 
 J c kt t0 0      n t
k
J

0
 

  
c
c
c
J
c
k J
t
tc
t
n
t
t
2 20 0