Pesquisa Operacional Teoria da Decisão Aula 4

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Pesquisa Operacional III 
 
Teoria da Decisão 
 
 Decisão sob incerteza 
 Decisão com risco 
 
Processos de decisão 
 Requerem uma única decisão ou um conjunto de 
decisões sequenciais. 
 Escolha dentro de um conjunto de decisões 
possíveis 
 Cada decisão possível tem um ganho ou perda 
associados 
 Ganhos ou perdas determinados por situações 
externas ao processo 
 Situações externas: estados da natureza ou cenários 
(acontecimentos futuros) 
Processos de decisão 
 Classificação de acordo com o menor ou maior 
 conhecimento sobre os estados da natureza: 
 Sabemos exatamente qual é o estado da natureza 
que vai ocorrer ou, de alguma forma conhecemos 
com certeza todos os dados do nosso problema: 
tomada de decisão sob certeza (modelos 
matemáticos, técnicas multicritério, ...) 
 Não sabemos o que vai ocorrer nem sabemos as 
probabilidades de ocorrência: tomada de decisão 
sob incerteza 
 Não sabemos o que vai ocorrer mas podemos 
associar probabilidades de ocorrência: tomada de 
decisão sob risco 
Matriz de ganhos 
 
 
 
 
 
 
 ai é a alternativa (i=1,..,m) 
 Sj é o cenário (j=1,..,n) 
 v(ai,Sj) é resultado ou consequência associada a 
alternativa ai e ao cenário Sj expressos 
numericamente 
 
 S1 S2 ... Sn 
a1 v(a1,S1) v(a1,S2) ... v(a1,Sn) 
a2 v(a2,S1) v(a2,S2) ... v(a2,Sn) 
... ... ... ... ... 
am v(am,S1) v(am,S2) ... v(am,Sn) 
 
Decisão sob Incerteza 
 Não conhecemos as probabilidades de ocorrência 
dos cenários 
 Tomada de decisão segundo o perfil do tomador de 
decisões 
 Decisão dependerá do seu perfil (critério adotado) 
 Abordagens ou critérios: 
 Otimista ou maximax 
 Pessimista ou maximin 
 Laplace 
 Realismo ou de Hurwicz 
 Mínimo Arrependimento 
 
Decisão sob Incerteza 
 Exemplo: O plano de urbanização de uma área 
residencial prevê a construção das infraestruturas 
de saneamento básico que incluem o abastecimento 
de água e tratamento de esgoto. O projeto depende 
da população que irá residir na área, que depende 
da economia do setor 
 
 a b c d 
a1 150 270 350 470 
a2 225 225 375 425 
a3 300 300 300 400 
a4 450 450 450 450 
 
a: estagnação econômica 
b: crescimento moderado 
c: crescimento gradual 
d: crescimento forte 
Decisão sob incerteza: Abordagens 
a) Otimista 
 Equivale a admitir que “o resto do mundo” joga 
a favor do decisor. Para lucros o maxai do 
maxSjv(ai,Sj) e para os custos o menor dos 
minSjv(ai,Sj) 
 
b) Pessimista 
 Baseia-se na atitude conservadora de decidir nas 
piores condições, “o resto do mundo” joga 
contra o decisor. Para lucro Maxai{MinSjv(ai,Sj)} e 
para custos Minai{MaxSjv(ai,Sj)} 
Decisão sob incerteza: Abordagens 
c) Laplace 
 Está baseado no princípio da razão insuficiente. 
“Não conheço as probabilidades dos cenários, 
então todos têm a mesma probabilidade” 
 
 Caso lucro: 
 
 
 Caso custo: 
   1 2 n
1
P(S ) P(S ) ... P(S )
n

 
 
 
i
n
a i j
j 1
1
Max v(a ,S )
n

 
 
 
i
n
a i j
j 1
1
Min v(a ,S )
n
Decisão sob incerteza: Abordagens 
d) Regra de Hurwicz ou do realismo 
 Este processo introduz uma ponderação entre a 
regra pessimista e a regra otimista 
 No caso de custos 
 
 
 No caso de lucros 
 
 
 Definição do “” pode ser muito difícil 
 Análise de sensibilidade do “” 
 
  
i j ja S i j S i j
Min { min v(a ,S ) (1 )max v(a ,S )}
  
i j ja S i j S i j
Max { max v(a ,S ) (1 )min v(a ,S )}
Decisão sob incerteza: Abordagens 
e) Regra do Mínimo Arrependimento 
 Minimiza ao máximo a maior perda de 
oportunidade ou de arrependimento 
 Determinamos uma matriz de arrependimento ou 
perdas de forma que 
 
 
 
 Dado que a matriz é de arrependimento ou 
perdas, como escolhemos a melhor alternativa? 
 
 
 


ki j a k j
i j
k j i j
v(a ,S ) min v(a ,S ) , se v for perda
r(a ,S )
max v(a ,S ) v(a ,S ), se v for ganho
Decisão sob incerteza 
 A Tereza vende jornais e revistas em uma esquina 
não muito movimentada. Ela deve determinar 
quantos jornais "A" pedir todos os dias. A Tereza 
paga 2 u.m. por cada jornal e vende por 2,5 u.m. 
cada. Os jornais que não são vendidos num dia não 
têm qualquer valor. A Tereza sabe que cada dia 
pode vender entre 6 e 10 jornais "A". 
 Use todas as abordagens para resolver o problema 
da Tereza. Qual será a abordagem adequada? 
 Tereza sabe que nesta semana haverá um congresso 
no prédio ao lado, mas ela é muito insegura e tem 
medo de tomar uma decisão errada. Qual deve ser a 
decisão da Tereza? 
 
 
Decisão sob incerteza 
 João é um aluno muito inteligente e normalmente tira boas notas, contanto 
que possa revisar o material do curso na noite anterior ao teste. Para o 
teste de amanhã, João enfrenta um pequeno problema. Seus companheiros 
de república vão dar uma festa durante a noite, da qual ele gostaria de 
participar. Ele tem três opções: divertir-se a noite inteira (FNI); dividir a 
noite em partes iguais entre estudar e participar da festa (EF); e estudar a 
noite inteira (ENI). O teste de amanhã pode ser fácil (F), moderado (M) e 
difícil (D), dependendo do humor imprevisível da professora. João antecipa 
as notas a seguir: 
 
 F M D 
FNI 8,5 6,0 4,0 
EF 9,2 8,5 8,1 
ENI 10,0 8,8 8,2 
 
 Recomende um curso de ação para João 
sabendo que ele não quer se arrepender 
demais da sua decisão após o teste. 
 Considere desta vez que João esteja mais 
interessado na nota alfabética que 
conseguirá (A, B, C ou D). As notas 
mínimas para os conceitos de A a C são 
9,0; 8,0 e 7,0, respectivamente, e para o 
conceito D menor que 7,0. Essa atitude em 
relação às notas exige uma mudança no 
curso de ação do João? 
Decisão sob Risco 
 Os resultados dependem dos cenários 
 A estrutura da matriz de ganhos é a mesma 
 
 
 
 
 
 Conhecemos as probabilidades de ocorrência de 
cada cenário, pi. 
 Escolha usando o critério do Valor Esperado 
 S1 S2 ... Sn 
a1 v(a1,S1) v(a1,S2) ... v(a1,Sn) 
a2 v(a2,S1) v(a2,S2) ... v(a2,Sn) 
... ... ... ... ... 
am v(am,S1) v(am,S2) ... v(am,Sn) 
         j j 1 1 j 2 2 j n nE[A ] v A ,S p v A ,S p ... v A ,S p
Decisão sob Risco 
 Exemplo 1. No problema da Tereza e os jornais 
considere que as probabilidades são P(6 
jornais)=0,35; P(7 jornais)=0,25; P(8 jornais)=0,2; 
P(9 jornais)=0,1 e P(10 jornais)=0,1. Considerando 
estas probabilidades qual será a decisão da Tereza? 
Decisão sob Risco 
 Exemplo 2 (Hillier e Lieberman): 
 Uma empresa A é proprietária de uma área de terra 
que pode conter petróleo. Um geólogo consultor relatou à 
direção que ele acredita que haja 1 chance em 4 de 
encontrar petróleo. Outra companhia petrolífera, B, 
ofereceu US$ 90.000 para comprar o terreno. No entanto, 
a empresa A está considerando a possibilidade de 
permanecer no terreno e ela própria perfurá-lo em busca 
de petróleo. O custo de perfuração é de US$100.000. Se 
for encontrado petróleo, a receita esperada resultante será 
de US$ 800.000. A empresa arcará com uma perda de 
US$100.000 caso o terreno seja seco. 
Decisão sob Risco 
 Construa a matriz de custos (ou tabela de prêmios), 
defina alternativas e cenários 
 Aplique o critério do valor esperado. 
 Podemos usar a análise de sensibilidade para verificar 
nossa decisão? 
 Podemos aplicar algumas das abordagens anteriores 
(Decisão com incerteza) neste problema? (não 
aplicamos o valor esperado) 
-> Enfoques: 
 Ignoramos a probabilidade: Regra pessimista 
(maximin), tomar de decisão cautelosa 
 Regra da probabilidade Máxima:identificamos o estado 
da natureza mais provável e encontramos a alternativa 
com o prêmio máximo 
Decisão sob risco: com experimentação 
 Podemos realizar testes adicionais para aperfeiçoar 
estimativas preliminares das probabilidades dos estados 
da natureza: probabilidades posteriores. 
 Calculamos as probabilidades posteriores baseados nas 
probabilidades anteriores (prob. de “erro”): usamos o 
Teorema de Bayes. 
 Usamos estas probabilidades para calcular o valor 
esperado para cada resultado do teste -> temos uma 
decisão para cada. 
 Do exemplo anterior: Antes de tomar uma decisão a 
empresa pode realizar um levantamento sísmico 
detalhado do terreno para obter uma estimativa melhor 
da probabilidade de se encontrar petróleo a um custo 
de US$30.000. Este levantamento obtém sondagens 
sísmicas que indicam se a estrutura geológica é 
favorável à presença de petróleo. Baseado em 
experiências passadas sabemos que se existir petróleo, 
então a probabilidade de sondagens sísmicas 
desfavoráveis é de 0,4; se não existir petróleo, a 
probabilidade de sondagens sísmicas desfavoráveis é de 
0,8 
 
Decisão sob risco: com experimentação 
 Resultados: 
 SSD, sondagens sísmicas desfavoráveis (presença de 
petróleo bastante improvável) 
 SSF, sondagens sísmicas favoráveis (presença de petróleo 
é bastante favorável) 
 Definimos 
 Estados da Natureza: Si (i=1,..,n) 
 Resultados do teste: tk (k=1..,r) 
 Probabilidades posteriores (a posteriori) de Sj dado tk, 
usando o teorema de Bayes: 
 
 
Decisão sob risco: com experimentação 
k j j k j j
j k n
k
k j j
j 1
P(t S )P(S ) P(t S )P(S )
P(S t )
P(t )
P(t S )P(S )

 

 Qual será a decisão dado o resultado do teste tk? 
 Vamos ter uma decisão para cada resultado do teste 
(tk) 
 Recomendável uso de tabela resumindo a melhor 
decisão, o ganho esperado e a probabilidade de cada 
resultado do teste 
 Para o exemplo anterior: 
 Calcule as probabilidades posteriores (recomenda-se 
calcular o numerador e denominador por separado) 
 Determine as melhores alternativas para cada resultado 
da sondagens sísmicas 
 
 
Decisão sob risco: com experimentação 
Árvore de decisão 
com experimentação: 
 Probabilidades 
prévias 
 Probabilidades 
condicionais 
 Probabilidades 
conjuntas 
 Probabilidades 
posteriores 
 
Decisão sob risco: com experimentação 
Probabilidades Probabilidades Probabilidades Probabilidades 
 prévias condicionais conjuntas posteriores 
P(estado) P(descoberta|estado) P(estado e descoberta) P(estado/descoberta) 
Petróleo e SSF Petróleo, dado SSF 
Petróleo e SSD Petróleo, dado SSD 
 
Seco e SSF Seco, dado SSF 
Seco e SSD Seco, dado SSD 
 Quanto vale a informação? 
 Existem dois métodos complementares 
 O primeiro enfoque supõe que a experimentação 
eliminará toda a incerteza: valor esperado da 
informação perfeita (VEIP), limite superior do valor 
potencial do experimento. Se esse limite superior for 
menor que o custo do experimento, este deve ser 
descartado. 
 O segundo enfoque é caso quando o limite superior for 
superior ao custo do experimento. Calcula-se a 
melhoria real no prêmio esperado. Chama-se valor 
esperado da experimentação (VEE). 
Valor da Informação 
 O 1º enfoque: valor esperado da informação perfeita 
 Calculamos o prêmio máximo para cada estado da natureza 
e usamos as probabilidades prévias (anteriori) 
 O valor esperado da informação perfeita é: 
 EVPI = prêmio esperado com informação perfeita – prêmio 
esperado sem experimentação 
 O 2º enfoque: valor esperado da experimentação 
 Calculamos o prêmio esperado com experimentação usando 
as probabilidades posteriores (a posteriori) 
 O valor esperado da experimentação é 
 EVE = prêmio esperado com experimentação – prêmio 
esperado sem experimentação 
Valor da Informação 
 Você é o autor de um romance que promete ser um sucesso e tem 
a opção de publicá-lo por conta própria ou por meio de uma editora. 
A editora está lhe oferecendo 20.000 u.m. para assinar o contrato. 
Se o romance tiver êxito, vendera 200.000 cópias. Se não tiver, 
venderá apenas 10.000 cópias. A editora paga 1 u.m. de royalties 
por cópia. Um levantamento de mercado realizado pela editora 
indica que há 70% de chance de o romance ser um sucesso. Se 
você publicá-lo por conta própria, incorrerá em um custo adicional 
de 90.000 para impressão e marketing, mas cada cópia vendida lhe 
renderá 2 u.m. 
 Com base nestas informações, você aceitaria a oferta da editora ou 
publicaria o livro por conta própria? Faça uma análise de sensibilidade das 
probabilidades. 
 Suponha que você pode contratar um agente literário para realizar um 
levantamento referente ao sucesso potencial do romance. Por experiência 
própria, o agente lhe diz que, quando um romance se torna um sucesso, o 
levantamento preverá o resultado errado em 20% das vezes. Quando um 
romance não se torna um sucesso, o levantamento dará a previsão correta 
85% das vezes. Como essa informação afetaria sua decisão? 
 
 
Decisão sob risco: com experimentação 
Exercício 
 Um gerente deve decidir entre lançar um novo produto ou 
não lançar nenhum. Os lucros obtidos nas duas situações 
encontram-se na tabela a seguir. 
 
 
 
 Foi realizada uma pesquisa de mercado para determinar as 
probabilidades de cada um dos resultados em função do 
estado real da natureza, obtendo-se os seguintes resultados. 
Qual seria a recomendação ao gerente? 
 
 Sucesso Normal Fracasso 
Lançar 1000 200 -500 
Não lançar 0 0 0 
Probabilidade 0,2 0,5 0,3 
 
 Resultado do teste 
Estado Real T1 = Sucesso T2 = Normal T3 = Fracasso 
Sucesso 0,7 0,2 0,1 
Normal 0,2 0,7 0,1 
Fracasso 0,2 0,2 0,6