Regra de Simpson - (Scilab)

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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
REGRA DE SIMPSON 
UFMT – UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO GROSSO 
Alunos: Renner Siqueira e Lucas Soares 
Disciplina: Métodos Computacionais 
SOBRE O CRIADOR: 
 Simpson foi um escritor bem-
sucedido, cujo trabalho residiu 
principalmente no campo da 
probabilidade. Lecionou na Royal 
Military Academy de Woolwich. 
Seus primeiros artigos foram 
publicados no Ladies' Diary. Mais 
tarde ele tornou-se editor desse 
jornal popular. 
 
Nasceu: 20 / 08 / 1710, Reino Unido 
Faleceu: 14 / 05 / 1761, Reino Unido 
SOBRE O MÉTODO: 
 A regra de Simpson foi desenvolvida e utilizada muito 
antes de Simpson ter nascido. Trata-se de mais uma bela 
singularidade da história o fato de que um dos mais 
hábeis matemáticos do século dezoito seja lembrado não 
por sua própria obra ou seus textos, mas por uma regra 
que nunca foi dele, que ele nunca reclamou e que leva seu 
nome apenas porque ele a mencionou em um de seus 
livros. 
PARA QUE SERVE O MÉTODO? 
 Este método é normalmente usado quando a função 
a ser integrada pode ser de difícil integração, 
enquanto que a integração de um polinômio é sempre 
imediata. 
Ele poderá ser usado também quando a função é 
dada simplesmente através de uma tabela-conjunto 
de pares ordenados. 
 Obter o valor de integração de uma função ou de um 
conjunto de pontos, sem a utilização do cálculo de integrais. 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
Regra de Simpson 
• A regra de Simpson é obtida aproximando-se f por um 
polinômio interpolador de 2° grau, ou seja, uma parábola. 
 
• Numericamente: novamente podemos usar a fórmula de 
Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante 
da aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2. 
 
• Seja p2 (x) o polinômio que interpola f(x) nos pontos 
x0 = a, x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b: 
P2(x)dx – (x-x1)(x-x2) ƒ(x0) - (x-x0)(x-x2) ƒ(x1) - (x-x0)(x-x1) ƒ(x2) 
 (-h)(-2h) (h)(-h) (2h)(h) 
REGRA DE SIMPSON 
 Como o objetivo do método é encontrar a integração para uma 
função, mas em alguns casos não se conhece a primitiva dessa 
função, ou o calculo pode ser muito complexo, assim podemos 
fazer a integração de um polinômio interpolador, nesse caso o 
método de Lagrange. De modo que, a integral da função é 
aproximadamente a integração desse polinômio. Assim, 
 
ʃ 𝑓𝑥 𝑑𝑥 ≈ ʃ 𝑝𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
b 
a 
b 
a 
Onde 𝑓𝑥 é a função que se deseja encontrar e 𝑝𝑛𝑥 é o polinômio interpolador, no qual n significa 
o grau do polinômio. 
• Assim, 
a 
ʃ ƒ(x) dx = 
b 
ʃ ƒ(x) dx = 
x2 
x0 
ʃ P2(x) dx 
= 
x2 
x0 
ƒ(x0) 
 2h² 
ʃ ƒ(x – x1) (x –x2) dx 
x2 
x0 
-ƒ(x1) 
 h² 
ʃ ƒ(x – x0) (x –x2) dx 
+ƒ(x2) 
 2h² ʃ ƒ(x – x0) (x –x1) dx 
x2 
x0 
x2 
x0 
• Resolvendo as integrais obtemos a regra de Simpson: 
ʃ ƒ(x) dx = h [ ƒ(x0) + 4 ƒ (x1) +ƒ (x2)] 
 3 
x2 
x0 
A regra de Simpson é resultado da integração em [a,b] 
do polinômio de Lagrange de 2ª ordem com nós 𝑥0=𝑎,
𝑥2=𝑏 𝑒 𝑥1= 𝑎+ℎ, onde h=(𝑏−𝑎)/2. 
a X1 = a+h b 
Parábola 
interpoladora 
P2(x) 
ƒ(x) 
REGRA DE SIMPSON COMPOSTA 
 A regra de Simpson composta, consiste em dividir o 
intervalo inicial, em vários subintervalos, e então, 
aplicar a cada subintervalo a regra de Simpson simples. 
 
 Como no caso abaixo, no qual teremos um intervalo de 
0 a 5, dividindo esse intervalo em 5 subintervalos, 
teremos: 
ʃ ƒ(x) dx = ʃ Pn (x) + ʃ Pn (x) + ʃ Pn (x) + ʃ Pn (x) + ʃ Pn (x) 
b 
a 
1 
0 
2 
1 
3 
2 
4 
3 
5 
4 
Parábolas 
interpoladoras 
x0= a x1 x2 x3 x4= b 
f(x) 
FLUXOGRAMA 
INÍCIO 
xi = limite inferior do intervalo de integração 
xf = limite superior do intervalo de integração 
n = numero de intervalos de integração 
fi = função a ser integrada 
Determinação dos 
parâmetros iniciais 
P = polinômio 
de Lagrange 
de segunda 
Ordem 
h = (xf-xi)/2 
xm = xi + h 
vis = (h/3)*(f(xi) +4*f(xm) + f(xf)) 
Vis 
Gráfico 
h = (xf-xi)/(2*n) 
For k = 1: n 
xf= xi +2*h 
xm = xi + h 
vic = (h/3)*(f(xi) +4*f(xm) + f(xf)) + vic 
Gráfico 
vic 
FIM 
COMPARAÇÕES 
 Vantagens: 
 
 Este método possui um resultado mais exato que o 
método de integração trapezoidal e possuir maior 
facilidade de programação ao compará-lo com o método 
de Newton-Cotes. 
 
 Desvantagens : 
 
 O método nos da uma exatidão inferior ao método Newton-Cotes 
e uma programação um pouco mais complexa que o método de 
integração trapezoidal.