FENTRAN Aula 2 Parte2

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Universidade Federal Fluminense
Aula 2 (Parte 2) – Fluidos Não Newtonianos e Tensão 
Superficial
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)
Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
 SUMÁRIO:
 Fluidos não newtonianos
▪ Análise gráfica
▪ Modelos matemáticos
▪ Exemplos
 Tensão Superficial
▪ Coeficiente de tensão superficial e ângulo de contato
▪ Efeitos da tensão superficial
 Classificação dos escoamentos
▪ Viscoso e invíscido
▪ Laminar e turbulento
▪ Compressível e incompressível
▪ Interno e externo
Fluidos não newtonianos –
análise gráfica
 Relação tensão cisalhante () versus
taxa de cisalhamento (d /dt).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Newtoniano: Fluidos mais 
comuns como água, ar e óleos.
Pseudoplástico: Tintas, soluções de 
polímeros, polpa de papel em água, 
sangue e shampoo.
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 Relação tensão cisalhante () versus
taxa de cisalhamento (d /dt).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Newtoniano: Fluidos mais 
comuns como água, ar e óleos.
Pseudoplástico: Tintas, soluções de 
polímeros, polpa de papel em água, 
sangue e shampoo.
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Dilatante: Suspensões de amido e areia 
úmida (areia movediça).
Câmera Record. Reportagem de 22/07/2016.
Disponível em: <https://www.youtube.com/channel/UCp6tx5isUZCgQnvEwbOVC-Q>. Acesso 
em 22 mar. 2018.
 Relação tensão cisalhante () versus
taxa de cisalhamento (d /dt).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Newtoniano: Fluidos mais 
comuns como água, ar e óleos.
Pseudoplástico: Tintas, soluções de 
polímeros, polpa de papel em água, 
sangue e shampoo.
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Dilatante: Suspensões de amido e areia 
úmida (areia movediça).
Plástico ideal (Bingham)
Plástico ideal ou de Bingham: Suspensões 
de argila, lama de perfuração, pasta de 
dente e mostarda.
Disponível em: <http://ideasqueayudan.com/7-formas-diferentes-de-usar-pasta-dental/>. 
Acesso em 22 mar. 2018.
 Relação tensão cisalhante () versus
tempo (t).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Plástico ideal (Bingham)
1
𝜏
𝑡
fluidos 
comuns
Reopético
Reopético: Ex.: Massa de gesso e tinta 
de impressora.
Disponível em 
<http://www.osale.in/epsoncan
on-ink-tank-system/>. Acesso 
em 22 mar. 2018.
Disponível em: 
<http://ninjagrafiteeartes.blogspot.com/p/faca-sua-massa-
corrida.html>. Acesso em 22 mar. 2018.
 Relação tensão cisalhante () versus
tempo (t).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Plástico ideal (Bingham)
1
𝜏
𝑡
fluidos 
comuns
Reopético
Reopético: Ex.: Massa de gesso e tinta 
de impressora.
Tixotrópico
Tixotrópico: Ex.: Lama de perfuração, 
líquido sinovial, mel e pasta de solda.
Disponível em: <https://www.nationaldriller.com/articles/90037-containing-disposing-of-
drilling-mud-and-drilling-cuttings>. Acesso em 22 mar. 2018.
 Relação viscosidade aparente () 
versus tempo (t).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Plástico ideal (Bingham)
1
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝜂
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝜏 = 𝜂
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Lei de Newton da Viscosidade:
𝑦 = 𝑎 𝑥
𝑎 = tan𝛼
Ideal
Newtoniano
Pseudoplástico
Dilatante
Plástico ideal 
(Bingham)
𝜂 = tan𝛼
𝛼
Fluidos não newtonianos –
modelo matemático
 Relação tensão cisalhante () versus taxa de cisalhamento (d /dt).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Plástico ideal (Bingham)
Modelo 
exponencial:
𝜏 = 𝜂
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Expressão 
geral:
𝜏 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛
Plástico de 
Bingham:
𝜏 = 𝜏0 + 𝜇∞
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 Relação tensão cisalhante () versus taxa de cisalhamento (d /dt).
Ideal
Pseudoplástico
Newtoniano
𝜏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dilatante
Plástico ideal (Bingham)
Modelo 
exponencial:
𝜏 = 𝜂
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Expressão 
geral:
𝜏 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛
Plástico de 
Bingham:
𝜏 = 𝜏0 + 𝜇∞
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝜂
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦Ideal
Newtoniano
Pseudoplástico
Dilatante
Plástico ideal 
(Bingham)
→ 𝜏 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝜂
→ 𝜂 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛−1
𝑛 = 1
𝑛 < 1
𝑛 > 1
𝑘 = 0
 Exemplo: O reômetro é um instrumento capaz de fornecer a curva tensão 
cisalhante versus taxa de cisalhamento de líquidos. Em um ensaio feito com 
mistura de água com argila, foram obtidos os pontos listados na tabela abaixo. a) 
Obtenha os coeficiente para o modelo exponencial; b) classifique o fluido; e c) 
calcule a viscosidade dinâmica aparente para 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 350 rad/s.
d /dt
(rad/s)

(Pa)
11 3,9
113 9,8
212 13,6
314 16,8
415 19,4
516 22,0
616 24,0
718 26,3
Disponível em <http://www.braseq.com.br/reometro-cone-placa>. Acesso em 22 mar. 2018.
 Exemplo: O reômetro é um instrumento capaz de fornecer a curva tensão 
cisalhante versus taxa de cisalhamento de líquidos. Em um ensaio feito com 
mistura de água com argila, foram obtidos os pontos listados na tabela abaixo. a) 
Obtenha os coeficiente para o modelo exponencial; b) classifique o fluido; e c) 
calcule a viscosidade dinâmica aparente para 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 350 rad/s.
d /dt
(rad/s)

(Pa)
11 3,9
113 9,8
212 13,6
314 16,8
415 19,4
516 22,0
616 24,0
718 26,3
 Exemplo: O reômetro é um instrumento capaz de fornecer a curva tensão 
cisalhante versus taxa de cisalhamento de líquidos. Em um ensaio feito com 
mistura de água com argila, foram obtidos os pontos listados na tabela abaixo. a) 
Obtenha os coeficiente para o modelo exponencial; b) classifique o fluido; e c) 
calcule a viscosidade dinâmica aparente para 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 350 rad/s.
Menu INSERIR 
Gráficos  Dispersão
0
5
10
15
20
25
30
0 200 400 600 800
 Exemplo: O reômetro é um instrumento capaz de fornecer a curva tensão 
cisalhante versus taxa de cisalhamento de líquidos. Em um ensaio feito com 
mistura de água com argila, foram obtidos os pontos listados na tabela abaixo. a) 
Obtenha os coeficiente para o modelo exponencial; b) classifique o fluido; e c) 
calcule a viscosidade dinâmica aparente para 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 350 rad/s.
0
5
10
15
20
25
30
0 200 400 600 800
 Exemplo: O reômetro é um instrumento capaz de fornecer a curva tensão 
cisalhante versus taxa de cisalhamento de líquidos. Em um ensaio feito com 
mistura de água com argila, foram obtidos os pontos listados na tabela abaixo. a) 
Obtenha os coeficiente para o modelo exponencial; b) classifique o fluido; e c) 
calcule a viscosidade dinâmica aparente para 𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 350 rad/s.
y = 1.2315x0.4577
R² = 0.9935
0
5
10
15
20
25
30
0 200 400 600 800
𝜏 = 1,23 ∙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
0,458
Modelo exponencial:
𝜏 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛
a) n = 0,458 e k = 1,23 Pa.s0,458
b) n < 1  pseudoplástico
𝜂 = 𝑘
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛−1
= 1,23 ∙ 350 0,458−1
= 0,0514 Pa.s
c) 350 = 51,4 cP
𝑑𝜃/𝑑𝑡 = 350 rad/s
Tensão Superficial
 Tensão Superficial
Líquido
Gás ou outro líquido
Superfície
Disponível em: <http://fungyung.com/blue-water-wallpapers.html>. Acesso em 22 mar. 2018.
 Tensão Superficial
Líquido
Gás ou outro líquido
L
L
 Tensão Superficial
𝐹 = Γ ∙ 𝐿
𝐹 = Γ ∙ 𝐿
𝐹 = Γ ∙ 𝐿
𝐹 = Γ ∙ 𝐿
Módulo de tensão superficial ()
• Grandeza: F/L  unidade no S.I.: N/m.
• Tipos de fluidos (qual líquido/gás ou 
líquido/líquido) ? Temp. ?
• Ex.: ar-água= 0,0728 N/m; ar-mercúrio = 
0,484 N/m (20 °C) 
𝑝1
𝑝2 < 𝑝1
𝐹𝐹
𝑝1
𝐹𝐹
L
L
Disponível em: <https://pixabay.com/pt/gotejamento-
gotejamento-da-%C3%A1gua-2795323/>. Acesso em 
22 mar. 2018.
Disponível em: 
<http://www.rankbrasil.com.br/Recordes/Notici
as/0xo9/Curiosidade_Bolha_De_Sabao_Traz_Fas
cinacao>. Acesso em 22 mar. 2018.
Disponível em: 
<https://www.nasa.gov/multimedia/imagega
llery/image_feature_2438.html>. Acesso em: 
22 mar. 2018.
Disponível em <https://brainly.com.br/tarefa/263666>. 
Acesso em 22 mar. 2018.
 Tensão Superficial
Superfície sólida
Gás
Líquido
𝜃
Superfície sólida
Gás
Líquido 𝜃
𝜃 > 90°
Superfície “não molhada”
𝜃 < 90°
Superfície “molhada”
Ângulo de contato ( )
• Tipos de fluidos (líquido/gás) e da superfície sólida
• Ex. de vidro com superfície limpa:
• água-ar-vidro  0°; 
• mercúrio-ar-vidro = 130°
Disponível em <https://pxhere.com/en/photo/692217>. Acesso em 22 mar. 2018.
Disponível em 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Durable_water_repe
lente>. Acesso em 22 mar. 2018.
 Exemplo: Calcule o desnível h da água nos vasos comunicantes da 
figura abaixo devido ao efeito de capilaridade, sendo o diâmetro do 
tubo mais delgado d = 1 mm e do mais espesso muito superior (D 
>> d). Dados:  = 0,0728 N/m e   0°.
D
d
h
𝜃
𝐹 = Γ ∙ 𝐿 = Γ ∙ 2𝜋𝑟 = Γ𝜋𝑑
h
d
𝑃= 𝑉𝜌𝑔 =
𝜋𝑑2
4
Δℎ 𝜌𝑔
∑𝐹𝑖 = 0 → 𝐹 cos 𝜃 = 𝑃 → Γ𝜋𝑑 cos 𝜃 =
𝜋𝑑2
4
Δℎ𝜌𝑔
→ Δℎ =
4 Γ cos 𝜃
𝜌𝑔𝑑
=
4 ∙ 0,0728 ∙ cos 0°
998 ∙ 9,8 ∙ 10−3
≅ 3 cm
Classificação de 
escoamentos
 Classificação de escoamentos
Não viscoso
(invíscido)
𝜇 = 0 → 𝜏 = 0
Viscoso
𝜇 > 0 → 𝜏 ≠ 0
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
Re
Elevado
Re
baixo
Disponível em <https://www.nasa.gov/sites/default/files/acd14-0078-
010_0.jpg>. Acesso em 22 mar. 2018.
Disponível em 
<https://disciplesofflight.com/
flight-lesson-journal-6-high-
wing-low-wing/>. Acesso em 
22 mar. 2018.
Disponível em <http://greece360.net/en/products/ducts.html>. Acesso em 23 mar. 2018.
 Classificação de escoamentos
Não viscoso
(invíscido)
𝜇 = 0 → 𝜏 = 0
Viscoso
𝜇 > 0 → 𝜏 ≠ 0
Laminar
Re baixo
Turbulento
Re elevado
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
Escoamento em tubos:
• Re < 2300  Laminar
• 2300 < Re < 4000  Transição
• Re > 4000  Turbulento
Escoamento ao redor de cilindros:
• Re < 40  Esteira laminar e permanente
• 40 < Re < 150  Esteira laminar e periódica
• 150 < Re < 300  Transição
• Re > 300  Esteira turbulenta
Disponível em 
<https://www.sde.co.ke/thenairobia
n/article/2000114447/ghost-water-
pipe-flooding-kawangware>. Acesso 
em 23 mar. 2018.
 Classificação de escoamentos
Compressível
𝑀𝑎 > 0,3
Incompressível
𝑀𝑎 < 0,3
𝑀𝑎 =
𝑉
𝑎𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
𝑀𝑎 = 0,3 → 𝑉 = 0,3 ∙ 𝑎
No ar: 
𝑉 = 0,3 ∙ 340 m s
= 367 km h
Aviões: compressível Corte de aço com jato 
d’água
V = 1400 km/h
 compressível
Na água: 
𝑉 = 0,3 ∙ 1000 m s
= 1080 km h
Não viscoso
(invíscido)
𝜇 = 0 → 𝜏 = 0
Viscoso
𝜇 > 0 → 𝜏 ≠ 0
Laminar
Re baixo
Turbulento
Re elevado
= 102 m s
= 300 m s
Disponível em 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Air_superiority
_fighter>. Acesso em 23 mar. 2018.
Disponível em <http://bearglassblog.com/cut-it-out-with-
water-jet-cutting-machine/>. Acesso em 23 mar. 2018.
 Classificação de escoamentos
Compressível
𝑀𝑎 > 0,3
Incompressível
𝑀𝑎 < 0,3
𝑀𝑎 =
𝑉
𝑎𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
𝑀𝑎 = 0,3 → 𝑉 = 0,3 ∙ 𝑎
No ar: 
𝑉 = 0,3 ∙ 340 m s
= 367 km h
Na água: 
𝑉 = 0,3 ∙ 1000 m s
= 1080 km h
Não viscoso
(invíscido)
𝜇 = 0 → 𝜏 = 0
Viscoso
𝜇 > 0 → 𝜏 ≠ 0
Laminar
Re baixo
Turbulento
Re elevado
= 102 m s
= 300 m s
Dutos com água: V < 3 m/s
 incompressível
Dutos de a/c: V  10 m/s
 incompressível
Disponível em <https://www.thespruce.com/types-of-
pipe-used-for-water-2718736>. Acesso em 23 mar. 2018.
Disponível em <http://www.apcoairductcleaning.com/ac.html>. 
Acesso em 23 mar. 2018.
 Classificação de escoamentos
Compressível
𝑀𝑎 > 0,3
Incompressível
𝑀𝑎 < 0,3
𝑀𝑎 =
𝑉
𝑎𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
Não viscoso
(invíscido)
𝜇 = 0 → 𝜏 = 0
Viscoso
𝜇 > 0 → 𝜏 ≠ 0
Laminar
Re baixo
Turbulento
Re elevado
Interno
Externo
 SUMÁRIO:
 Fluidos não newtonianos
▪ Análise gráfica
▪ Modelos matemáticos
▪ Exemplos
 Tensão Superficial
▪ Coeficiente de tensão superficial e ângulo de contato
▪ Efeitos da tensão superficial
 Classificação dos escoamentos
▪ Viscoso e invíscido
▪ Laminar e turbulento
▪ Compressível e incompressível
▪ Interno e externo
 BIBLIOGRAFIA:
 WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-
Hill, 2010.
 FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à 
Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y., 
Tradução: LTC, 2014.
 Imagens e vídeos disponíveis na internet referenciados ao 
longo da apresentação.
www.HidroUff.uff.br