CGA Conceitos Básicos

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UNIP – UNIVERSIDADE PAULISTA 
CAMPUS ASSIS 
CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA 
Profa. Adriana Henschel Bertolino Rodrigues 
 
REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS 
 
FRAÇÕES 
 
1. Um grupo possui 12 pessoas, das quais 8 são mulheres e 4 são homens. Indique que 
fração do total de pessoas o número de homens representa. Faça o mesmo com o 
grupo de mulheres. (Resp.: homens: 1/3 e mulheres 2/3) 
2. Calcule 
a. 1/3 de 42. (Resp.: 14) 
b. 1/8 de 92. (Resp.: 11,5) 
c. 4/5 de 65. (Resp.: 52) 
d. 9/7 de 63. (Resp.: 81) 
3. 104 alunos de um curso são destros. Se o 1/9 dos alunos são canhotos, quantos 
estudantes canhotos tem o curso? (Resp.: 13 alunos) 
4. Converta os números abaixo em frações. 
a. 3 e 4/7. (Resp.: 25/7) 
b. 5 e 3/4. (Resp.: 23/4) 
c. 2 e 9/12. (Resp.: 33/12) 
5. Reescreva frações abaixo, de modo que o denominador seja o mesmo e o menor 
possível. 
a. 3/2 e 2/3. (Resp.: 9/6 e 4/6) 
b. 1/3 e 4/6. (Resp.: 2/6 e 4/6) 
c. 3/4 e 5/6. (Resp.: 9/12 e 10/12) 
d. 1/2, 1/3 e 1/5. (Resp.: 15/30, 10/30 e 6/30) 
6. Roberto e Marina juntaram dinheiro para comprar um jogo. Roberto pagou por 5/8 
do preço e Marina contribuiu com R$ 45,00. Quanto custou o jogo? (Resp.: 
R$120,00) 
7. Você fez 3/4 dos exercícios de CGA em 42 minutos. Mantendo esse ritmo, quanto 
tempo gastará para fazer os exercícios que faltam? Ao terminar o trabalho, quanto 
tempo você terá consumido para fazer toda a lista? (Resp.: 14 min, 56 minutos) 
8. Do dinheiro que possuía, João gastou 1/3 com um ingresso de cinema. Do dinheiro 
que restou, João gastou 1/4 comprando pipoca. Que fração do dinheiro total que João 
possuía foi gasta com a pipoca? Que fração do dinheiro sobrou depois desses gastos? 
(Resp.: pipoca: 1/6, sobrou: 1/2) 
9. Três quartos dos moradores de Chopotó da Serra bebem café regularmente. Desses, 
dois quintos preferem o café “Serrano”. Que fração dos moradores da cidade prefere 
o café “Serrano”? Que fração dos moradores bebe regularmente café de alguma outra 
marca? (Resp.: Serrano: 3/10, outras marcas: 9/20) 
10. Meu amigo foi às compras e gastou 2/6 do seu dinheiro, sobrando-lhe ainda 
R$140,00. Quanto meu amigo tinha antes de gastar? (Resp.: R$210,00) 
11. Coloque um dos sinais <, > ou = entre as frações. 
a) 
7
1
____
14
2
 b) 
2
3
____
3
4
 c) 
5
2
____
7
3
 d) 
4
10
____
6
15
 
 
e) 
6
3
2
____
8
5
2
 f) 
4
11
____
3
4
 g) 
4
7
____
5
8
 h) 
4
1
3
____
4
1
2
 
Resp.: a) =, b) >, c) <, d) =, e) <, f) >, g) >, h) > 
 
12. Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar 
da letra x para que se tenha: 
a) 
x
14
9
7

 b) 
12
x
2
7

 c) 
x
9
11
3

 d) 
x
1
18
6

 
e) 
28
x
7
4

 f) 
2
x
30
15

 g) 
40
x
8
1

 h) 
x
10
12
40

 
Resp.: a) 18, b) 42, c) 33, d) 3, e) 16, f) 1, g) 5, h) 3 
 
13. Reduza as frações ao mesmo denominador comum: 
a) 
8
1
,
4
1
,
2
1
 b) 
9
1
,
3
1
,
6
1
 c) 
5
9
,
2
3
,
4
5
 d) 
5
2
,
6
5
,
15
4
,
10
7
 
Resp.: 
a) 4/8, 2/8 e 1/8 
b) 3/18, 6/18 e 2/18 
c) 25/20, 30/20 e 54/20 
d) 21/30, 8/30, 25/30 e 12/3
 
14. Calcule as operações com frações: 
a) 

13
2
13
7
 b) 

11
10
11
9
 c) 

10
29
10
13
 d) 

4
2
4
5
 
e)

15
2
15
8
 f) 

3
7
3
10
 g) 

6
17
6
31
 h) 

6
5
6
1
6
11
 
i) 
1 2 4
3 9 3
 
 = j) 
1 7 3
10 10 10
 
= k) 
7 3 1
15 15 10
 
= l) 
7 2 1
8 8 8
 
= 
m)

5
2
3
1
 n) 

3
2
2
3
 o) 

4
3
6
7
2
 p) 

3
2
2
7
 
q) 
3
1
2
11
5
2
2 
= r) 

2
1
6
5
4
3
 s) 

4
1
2
 t) 
18
5
12
7

= 
u) 

10
7
3
2
1
5
4
1
 v) 

5
3
2
5
1
3
 w) 

3
2
4
5
6
1
 x) 

4
3
6
5
3
1
2
1
 
y) 

15
7
5
4
3
5
 z) 

12
5
3
2
4
9
 𝛼) 

6
5
3
1
2
1
 𝛽)

7
1
4
 
𝛾)

3
2
2
3
 𝛿) 

10
9
2
2
1
1
 𝜀) 

5
4
10
9
 𝜑) 

4
1
2
3
 
𝜃) 

8
5
2
1
5
4
 𝜇) 

8
5
12
11
 𝜌) 

2
1
5
4
 𝜎) 

6
5
2
3
2
7
 
Resp.: 
a) 9/13 
b) 19/11 
c) 21/5 
d) 3/2 
e) 6/15 
f) 1 
g) 7/3 
h) 17/6 
i) 17/9 
j) ½ 
k) 9/10 
l) ½ 
m) 11/15 
n) 13/6 
o) 19/12 
p) 25/6 
q) 247/30 
r) 13/12 
s) 9/4 
t) 93/108 
u) 5/6 
v) 29/5 
w) 25/12 
x) ¼ 
y) 44/15 
z) 10/3 
𝛼) 5 /3 
𝛽) 27/7 
𝛾) 5/6 
𝛿) 13/5 
ℇ)1/10 
𝜑) 5/4 
𝜃) 27/40 
𝜇) 39/8 
𝜌) 3/10 
𝜎) 29/6 
 
15. Efetue as multiplicações: 
a) 

2
1
.
4
3
 b) 

5
8
.
4
1
.
3
2
 c) 

2
9
.
3
25
.
5
6
 d) 

4
3
.
7
9
 
e) 

6
49
.
7
2
.
5
14
 f) 

8
5
.
14
7
.
15
16
 g) 

8
7
.
5
8
 h) 

16
45
.
3
1
.
15
8
 
i) 

9
22
.
28
2
.
12
18
 j) 

17
4
.
7
17
 k) 

3
14
.
9
4
.
7
3
 l) 

21
4
.
49
9
.
18
147
 
m)

5
2
.
3
1
 n) 

3
2
.
2
3
 o) 

4
3
.
6
7
.2
 p) 

3
2
.
2
7
 
Resp.: 
a) 3/8 
b) 2/15 
c) 45 
d) 27/28 
e) 98/15 
f) 1/3 
g) 7/5 
h) ½ 
i) 11/42 
j) 4/7 
k) 8/9 
l) 2/7 
m) 2/15 
n) 1 
o) 7/4 
p) 7/3 
 
16. Efetue as divisões: 
a) 

3
2
:
5
4
 b) 
2:
5
4
 c) 

14
39
:
49
13
 d) 

25
27
:
5
81
 
e) 

3
14
:
9
7
 f) 

9
5
:
3
10
 g) 

81
128
:
27
64
 h) 

3
1
2:
3
14
 
i) 

8
3
:
4
3
 j) 

5
4
:2
 k) 

3
2
:
15
6
 l) 

7
4
3:
4
1
2
 
m) 

15
12
:
5
24
 n) 

17
25
:
34
100
 o) 

3
7
:
5
42
 p) 
5
4
3
2
 
q) 

7
2
6
 r) 

2
5
6
 s) 
3
2
15
4
 t) 
8
3
24
12
 
Resp.: 
a) 6/5 
b) 2/5 
c) 14/147 
d) 15 
e) 1/6 
f) 6 
g) 3/2 
h) 2 
i) 2 
j) 5/2 
k) 3/5 
l) 63/100 
m) 6 
n) 2 
o) 18/5 
p) 5/6 
q) 3/7 
r) 3/5 
s) 2/5 
t) 4/3
 
17. Calcule: 
a) 






2
2
1 b) 






2
2
3 c) 






3
2
1 d) 






3
8
7 
e) 






4
3
1 f) 






3
2
1
1
 g) 






2
4
7
2
 h) 






4
5
2 
i) 






0
3
2 j) 






2
3
4 k) 






3
3
1
3
 l) 






1
7
2 
m) 






5
3
2 n) 






0
9
11 o) 






2
6
5 p) 






1
5
6 
q) 






2
2
1 r) 





2
2
3 s) 






3
2
1 t) 






3
8
7 
u) 






4
3
1 v) 






3
2
1
1
 w) 






2
4
7
2
 x) 






4
5
2 
Resp.: 
a) ¼ 
b) 9/4 
c) 1/8 
d) 343/512 
e) 1/81 
f) 27/8 
g) 225/16 
h) 16/625 
 
i) 1 
j) 16/9 
k) 1000/27 
l) 2/7 
m) 32/243 
n) 1 
o) 25/36 
p) 6/5 
 
q) 4 
r) 4/9 
s) 8 
t) 512/343 
u) 81 
v) 8/27 
w) 16/225 
x) 625/16 
 
18. Calcule o valor das expressões numéricas: 
a) 













3
2
4
5
5
2
2
3
 b) 













8
7
7
8
.
3
4
4
3
 
c) 













9
7
9
8
6
5
8
7
 d) 
3
7
.
2
3
5
2
.
3
1
5
3
.
2
1

= 
e) 













4
5
4
7
5
1
2
1
1
 f) 













5
1
2
1
.
4
13
2
11
7
= 
g) 













6
1
2
1
2
4
1
3
1
 h)













5
1
.
2
1
6
1
.
5
1
3
1
.
2
1
5
1
.
2
1
= 
i) 



















4
3
1
3
1
1
2
3
6
7
= j) 



















4
1
3.
3
1
12.
2
1
1
2
3
= 
k) 



















3
2
8
5
1
4
1
3
1
2
1
 l) 4
5.
25
7
10
3
.
3
2
2.
14
3
7
4
.
2
3



= 
m) 













3
2
4
5
5
2
2
3
 n) 













4
3
.
2
1
2:
5
7
.
7
10
5
3
.
3
1
 
o) 
4
11
1
5
3
:
2
13
.
169
12
2
2














 = p) 















6
1
:
25
27
:
5
3
2 
Resp.: 
a) 101/60 
b) 125/224 
c) 11/72 
d) 11/3 
e) 7/10 
f) 151/40 
g) 27/12 
h) 13/100 
i) 1/12 
j) 71/4 
k) 11/8 
l) 239/56 
m) 79/60 
n) 88/65 
o) 133/4 
p) 2
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande 
importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a 
importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os 
mais utilizados: 
 
1) 
    22 yxyxyx 
 
2) 
  222 yxy2xyx 
 
3) 
  32233 yxy3yx3xyx 
 
 
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não 
precisaremos mais decorá-los, observemos: 
 
 
 
a) 
     yxyx 
22 yxyyxx 22 yx 
 
 
 
b) 
   2yx      22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx 
 
 
 
c) 
   2yx      22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx 
 
 
 
d) 
   3yx          222 2 yxyxyxyxyx
 
 
 
 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx 
 
 
 
COMO UTILIZAREMOS OS PRODUTOS NOTÁVEIS? 
 
Exemplos para simplificações: 
 
a) 
 
     yx
3
yxyx
yx3
yx
y3x3
notável produto22 



 


 
 
b) 
  16x8x44.x.2x4x 2222 
 
 
Obs.: 
 24x 
 jamais será igual a 
16x 2 
, basta lembrarmos que: 
 
      16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Desenvolva cada produto indicado a seguir: 
a) (2x – 3)2 b) (-1 – 2x)2 c) (
22
1
 
3
2
yy

)2 
d) (x2 + 3y)2 e) (
3 5 
)2 f) (x2 + x + 1)2 
g) (2x2 + x)2 h) (
2 - 
2
3x
)2 i) (2a – b + a2)2 
j) (
 22 - 3
)2 k) (
2
a
 
3
2

a
)2 l) (x3 + x2 + x)2 
m) (
2 - 32
)2 n) (
b2 - 
2
b
)2 o) (
2 - 3 - 5
)2 
 
Resp.: 
a) 4x2 – 6x + 9 
b) 1 + 4x + 4x2 
c) 
35𝑦+8√6𝑦
24
 
d) x4 + 6x2y + 9y2 
e) 14 - 6√5 
f) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 
g) 4x4 + 4x3 + x2 
h) 
9
4
 x2 - 3√2 x + 2 
i) 4 a2 + 4ab + b2 + 4a3 – 2a2b + a4 
j) 17 - 12√2 
k) a4/9 + a3/3 + a2/4 
l) 2x5 + 3x4 + 3x3 + x2 
m) 14 – 2 √6 
n) 
9
2
 b – 2b√2 
o) 10 − 2 √15 − 2√10 + 2√6
 
2. Desenvolva cada produto indicado a seguir: 
a) (3x + 1)(3x – 1) b) (
2
x
2 
2

x
x
)(
2
x
2 
2

x
x
) 
c) (3p2 – p)(3p2 + p) d) (a + b + 1)(a + b – 1) 
e) (
3 5 
 )(
3 - 5
) f) (x – y + 2)(x – y – 2) 
g) (
23 - 32
)(
23 32 
) h) (b2 – b – 1)(b2 – b + 1) 
i) (
3 - 
2
3
)(
3 
2
3

) j) (
1 - 2 3 
 )( 
1 - 2 3 
) 
Resp.: 
a) 9x2 – 1 
b) x3/2 – 2x 
c) 9p4 – p2 
d) a2 + 2ab + b2 – 1 
e) -4 
f) x2 – 2xy + y2 – 4 
g) -6 
 
h) b4 – 2b3 + b2 – 1 
i) -9/4 
j) -2√2 
 
3. Utilizando produtos notáveis, desenvolva: 
a) 
   24yx
 
b)
   213x
 
c)
   2310 a
 
d)
   226 r
 
e)







2
2
1
x
 
f)







2
6
4
1
y
 
g)







2
2
1
3a
 
h) desafio 
   2528,0 y
 
 
Resp.: 
a) x
22 168 yxy 
 b) 9x
162  x
 
c) 100+20a
63 a
 
d) 36+12r 42 r 
e) x
2
12 x
 
f) 
2363
16
1
yy 
 
g) 9
4
1
32  aa
 
h) 0,64+
105 42,3 yy 
4. Utilizando produtos notáveis, desenvolva: 
a)
   24 yx
 
b)
   223 ba
 
c)
   227 x
 
 
d)
   232xy
 
e)
   26 11p
 
f)







2
4
5
x
 
g)
   23 6,0a
 
h)







2
3
3
2
ab
 
Resp.: 
a) 
22 816 yxyx 
 
b) 
22 4129 baba 
 
c) 
421449 xx 
 
d) 
632 44 xyxy 
 
e) 
12122 612  pp
 
f) 
16
25
2
52  xx
 
g) 
36,02,1 36  aa
 
h) 
36,02,1 36  aa
 
5. Utilizando produtos notáveis, desenvolva: 
a)
    baba
 
b)
    yxyx 2525
 
c)
    1818 aa
 
d)
   ayay 44 22
 
e)
   3535 yxyx
 
f)
    axyaxy
 
g)













2
1
2
1 22 xx
 
 
Resp.: 
a) 
22 ba 
 
b) 
22 425 yx 
 
c) 
164 2 a
 
d) 
24 16ay 
 
e) 
610 yx 
 
f) 
222 ayx 
 
g) 
4
14 x
 
6. Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva: 
a. 
 28x
 
b. 
 232 a
 
c. 
 223 yx 
 
d. 
   mm 5151 
 
e. 
 2cab
 
f. 
   3333 baba 
 
g. 
 24 h
 
h. 
   xaxa 22 1010 
 
i. 2
2







y
xj. 
   2323 bcabca 
 
k. 
 22xyy 
 
 
Resp.: 
a) x2 + 16x + 64 
b) 4 – 12a + a2 
c) 9x2 + 6xy + y4 
d) 1 – 25m2 
e) a2b2 – 2abc + c2 
f) a6 – b6 
g) 16 + 8h + h2 
h) 100 – a4x2 
i) x2 – xy + y2/4 
j) a6c2 – b4 
k) y2 + 4xy2 + 4x2y2 
 
7. Fatore cada uma das expressões algébricas: 
a) x2 – 121 b) 81 – q2 c) 4z2 – 25 
d) 5x + 5z e) a(x – 2) + b(x – 2) f) ax2 + bx + cx 
g) x + bx + cz +dz h) 5z2t + 10t – 3ab +5b i) bd + cd +d + cx + bx +x 
j) z2 – 26z + 169 k) 4x2 + 12x + 9 l) 49x2 – 56xy + 16y2 
 
Resp.: 
a) (x + 11) (x – 11) 
b) (9 + q) (9 – q) 
c) (2z + 5) (2z – 5) 
d) 5(x + z) 
e) (x – 2) (a + b) 
f) x(ax + b + c) 
g) x(1 + b) + z(c + ) 
h) 5t(z² + 2) – b(3a – 5) 
i) (b + c + 1)(d+x) 
j) (z – 13)² 
k) (2x + 3)² 
l) (7x – 4y)²
 
 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 Para simplificar as frações algébricas temos algumas técnicas, segue abaixo 
alguns passos essenciais para esta operação: 
PASSO 1: Multiplique termos entre parênteses por suas constantes: 
 Exemplo: 8(2x - 5) = 16x - 40 
PASSO 2: Some as variáveis semelhantes. 
 Exemplo: 5 x + 2 x + 3 – 4x + 9 = 3x + 12 
PASSO 3: Simplifique frações numéricas dividindo ou "cancelando fatores 
 Exemplo: 
50 𝑥
15
=
5.10 𝑥
3.5
= 
10𝑥
3
 
PASSO 4: Em frações com variáveis, cancele os fatores variáveis. 
 Exemplo: 
36 𝑥2𝑦3𝑧
6𝑥3𝑦2
 = 
6.6.𝑥.𝑥.𝑦.𝑦.𝑦.𝑧
6.𝑥.𝑥.𝑥.𝑦.𝑦
= 
6𝑦𝑧
𝑥
 
PASSO 5: Simplifique usando fatoração: 
 Exemplo: 
𝑥2−9
𝑥−3
= 
(𝑥−3)(𝑥+3)
𝑥−3
= 𝑥 + 3 
 
Exercícios: 
 
1. Determine a condição para que o denominador de cada fração algébrica a seguir 
não seja nulo. 
 
a) 
13
53


y
y b) 
62
²


x
yx c) 
pp
p
3²
6³8

 d) 
ba
a

 
e) 
x
xx 953 2 
 f) 
9
3
2 m
 g) 
2
85
n
n 
 h) 
y
y 53 
 
 
Resp.: 
a) y ≠ 13 
b) x ≠ 3 
c) p ≠ 0 e p ≠ -3 
d) a ≠ b 
e) x ≠ 0 
f) ∀ m 
g) 𝑛 ≠ 0 
h) 𝑦 ≠ 0
 
2. Simplifique as frações abaixo 
a) 
aa
aa
4²4
²3

 b) 
1
3²3


a
a c) 
²3²3
²² 33
yx
yxyyxx

 
d) 
mn
nm
22
8²8 2

 e) 
²1616²4
2
baba
ba

 f) 
4
34
²18
24
yx
zyx 
g) 
1²³
14


yyy
y h) 
9²
99²³


a
aaa i) 
𝑎3− 𝑎2
4𝑎2− 4𝑎
 
j) 
3𝑎2 − 3
𝑎+1 
 k) 
8𝑚2 − 8𝑛2
2𝑛−2𝑚
 l) 
𝑎−2𝑏
4𝑎2− 16𝑎𝑏+16𝑏2
 
 
Resp.: 
a) a/4 b) 3a – 3 c) 
3𝑥+3𝑦+𝑥𝑦
3𝑥+3𝑦
 
d) -8m - 8n 
e) 
1
4𝑎−8𝑏
 
f) 
4𝑥2𝑧
3𝑦
 
g) (y2 + 1)(y + 1) 
h) a – 1 
i) a/4 
j) 3a – 3 
k) -4m – 4n 
l) 1/(4a – 8b)
 
3. O professor Fabiano propôs que Beatriz e Patrícia simplificassem a fração 
²
²³
x
xx  . Observe a simplificação que as meninas fizeram: 
 
Qual das meninas acertou na simplificação da fração algébrica? Justifique. 
Resp.: Patrícia acertou, pois colocou o x em evidência e depois simplificou, a Beatriz 
usou simplificação errada pois cancelou uma das parcelas da soma, o que não é possível. 
 
4. Numa disputa matemática entre duas salas, quatro alunos tiveram de simplificar 
algumas frações algébricas. Veja os cálculos no quadro-de-giz abaixo. 
 
 Quais alunos fizeram as simplificações corretamente? 
Resp.: Carol e Luís fizeram as simplificações corretas. Sérgio e Bia cancelaram parcelas 
de somas, o que não é permitido. 
 
5. Observe as respostas para as simplificações das seguintes frações algébricas 
realizadas por quatro alunos. 
 
 
Qual aluno (a) fez a simplificação correta? 
Resp.: Aluno 2.