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Prova com gabarito de algebra linear - 3ºEE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II 
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2016 
2ª Prova de Álgebra Linear - 20/05/2016 
 
Nome:____________________________________________________ 
 
ATENÇÃO: 
• Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. 
• Não esqueça de justificar as respostas. 
• Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução 
• Não destaque as folhas do caderno de prova 
 
1ª Questão: [2,5 pontos] Obtenha, por composição, a matriz associada a uma reflexão 
pelo eixo � � � �� na base canônica (�) do ��. 
Dica: Numa base (	), onde o eixo de reflexão é um dos eixos coordenados, a 
transformação leva um vetor 
��
� � ���� à sua imagem 
���
� � � ����, se o eixo for 
horizontal (ou, alternativamente, à imagem ���� �� se o eixo for vertical). Note também 
que esta base pode ser obtida a partir da base canônica por rotação. 
 
Resposta: Na base 	 � ���√���√��� � � ��√����√������ obtida por rotação de �����a partir da 
base canônica � � ����� � ���� , 
�
�� � �� �� ���! Como 
"
#� � ��√��� �√���√��� �√���� e, 
inversamente, 
"
�# � ��√��� √����√��� �√����, então 
�
## � 
"
#�
�
��
"
�# � � � ���� � �! 
(Alternativamente, 	$ � ��√���√���� � ��√���√��� �� obtida por rotação de ���, 
"
#�$ ��√��� �√���√��� √��� �, 
"
�$# � � √��� √����√��� √���� e 
�
## � 
"
#�$
�
�$�$
"
�# � � � ���� � �!) 
 
 
2ª Questão: Considere a transformação �%�&' ( )�*� que associa: 
+ , -� , .�� , /�' ( �+ , - ./ + � -� 
a) (1,0 ponto) Determine se a transformação é sobrejetora.�Justifique sua resposta. 
b) (1,0 ponto) Determine se a transformação é injetora. Justifique sua resposta. 
c) (1,5 ponto) Determine se a transformação é inversível. Caso positivo, determine 
sua inversa. Justifique sua resposta! 
Resposta: 
a) Como �+ , - ./ + � -� � + �� �� �� , - �� �� ��� , . �� �� �� , / �� �� �� e 
estes vetores geradores de "01�2 são L.I., então formam uma base de "01�2! Mas como 4 vetores L.I. em )�*� são uma base para este espaço 
vetorial, então "01�2 � )�*� e T é sobrejetora. 
b) Como �+ , - ./ + � -� � �� �� �� implica em + � - � . � / � ���então 3451�2 � 6�7 e portanto T é injetora. 
c) Como T é sobrejetora e injetora, T é inversível, e, portanto, leva base em 
base. Tomando � � 6�� �� ��� �'7� a base canônica de &'� temos então 	 �6�1�2� �1�2� �1��2� �1�'27 � ��� �� �� � �� �� ��� � �� �� �� � �� �� �� ! A 
transformação inversa, portanto levará esta base de volta a �� ou seja, �89:�1�2; � �� �89:�1�2; � �� �89:�1��2; � ��� �89:�1�'2; � �'! 
Na base 	� um vetor de )�*� tem componentes: �+ -. /� � � �� �� �� , � �� �� ��� , < �� �� �� , =� �� �� �� 
� �� , � <= � � �� ( � >
+ � � , �- � <. � =/ � � � � ( >
� � 1+ , /2��< � -= � .� � 1+ � /2��! 
Como �89 é linear, �89 �+ -. /� � ���89 �� �� �� , ���89 �� �� ��� ,<��89 �� �� �� , =��89 �� �� �� � ?@AB� C 1�2 , ?@8B� C 1�2 , -1��2 , .1�'2! 
 
3ª Questão: [2,5 pontos] Considere a matriz: 
D � E� � �� F GH I JK! 
a) Determine a transformação �% &� ( �' associada à matriz D com relação às 
bases � � 6� , �� � � �� ��7� 	 � LE���K � E
���K � E
���KM! 
b) Determine a dimensão de "01�2 e a dimensão de 345�1�2 a partir da matriz D! 
c) A transformação � é um isomorfismo? Os espaços vetoriais &�� �'são 
isomorfos? Justifique. 
 
Resposta: 
a) Se D N 
�
�# ��então: 
�
� , �
� � E��HK � �! E
���K , �! E
���K , H! E
���K ( �1� , �2 � E
��F� K� 
�
� � �
� � E�FIK � �! E
���K , F! E
���K , I! E
���K ( �1� � �2 � E
�FH� K� 
�
��
� � E�GJK � �! E
���K , G! E
���K , J! E
���K ( �1��2 � E
�IJ� K! 
Se �� � + , -� , .�� O &�� 
��
# � P1� , �2 , Q1� � �2 , 01��2 ������������������ 1P , Q2 , 1P � Q2� , 01��2 
para qualquer � O �� portanto L+ � P , Q- � P � Q. � 0����� �� ( L
P � 1+ , -2��Q � 1+ � -2��0 � .�������������������e, como � é linear, �1+ , -� , .��2 � P��1� , �2 , Q��1� � �2 , 0��1��2 
� + , -� E��F� K , + � -� E
�FH� K , . E
�IJ� K � E
���F�+ � ��F�- , �I.G+ � - , J.��F�+ � ��F�- , �. K! 
b) E� � �� F GH I JK R E
� � �� �� �G� �G ���K R E
� � �� � �� � �K R E
� � �� � �� � �K R E
� � ��� � �� � � K 
 
Portanto, o posto de D � STU1"0��2 � � e a nulidade de D � � � � � � �STU1345 �2! 
 
c) Como STU1345 �2 � � V �� � não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo. 
No entanto &�� �'são isomorfos. Considere a transformação que leva a base 
canônica de &� na base canônica de �': �W1+ , -� , .��2 � �+-.�! Esta 
transformação é um isomorfismo (STU1345 �W2 � �� STU &� � STU �'2�e, 
portanto, estes espaços vetoriais são isomorfos. 
 
4ª Questão: [2,5 pontos] Determine se a transformação associada à matriz 
X � E� � �� � �� � �K 
é diagonalizável, e, caso positivo, ache uma base para a qual a matriz associada à 
transformação é diagonal, e que forma assume esta matriz. 
Resposta: 
 &1Y2 � � Z� � Y � �� � � Y �� � � � YZ � 1� � Y2' � 1� � Y2 � 1� � Y2
1� � [2� � �
 � � ( ���Y � � ou 1� � [2� � ���� ( ���� � [ � \���� ( ���[ � ���� ou ���[ � �! 
Como temos 3 autovalores distintos para a matriz X1� * �2� necessariamente temos 3 
autovetores L.I. e portanto uma base para �'de autovetores de �]%��' ( �'� e a 
transformação é diagonalizável. 
A fim de determinar a base de autovetores, resolvemos o sistema 1X � Y"2�� � �^� para: 
i) [ � �%� E� � �� � �� � �K �
��<� � E
���K �� ( �� L
< � �� � �� � � �� ( � �� � � E
���K � � V �!� 
ii) [ � �%� E� � �� � �� � �K �
��<� � E
���K ( �� L
� , < � �� � �� , < � � �� ( � �� � � E
����K � � V �!��� 
iii) [ � �%� E�� � �� �� �� � ��K �
��<� � E
���K �� ( �� L
�� , < � ��� � �� � < � � �� ( � �� � � E
���K � � V �! 
Portanto, na base _�� � �� L�E���K � E
����K � E
���K�M a matriz assume a forma: 
�]
`` � aa� E���Kb` a� E
����Kb` E� E
���K�K`b � E
� � �� � �� � �K!

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