Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II PRIMEIRO SEMESTRE DE 2016 2ª Prova de Álgebra Linear - 20/05/2016 Nome:____________________________________________________ ATENÇÃO: • Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução. • Não esqueça de justificar as respostas. • Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução • Não destaque as folhas do caderno de prova 1ª Questão: [2,5 pontos] Obtenha, por composição, a matriz associada a uma reflexão pelo eixo � � � �� na base canônica (�) do ��. Dica: Numa base ( ), onde o eixo de reflexão é um dos eixos coordenados, a transformação leva um vetor �� � � ���� à sua imagem ��� � � � ����, se o eixo for horizontal (ou, alternativamente, à imagem ���� �� se o eixo for vertical). Note também que esta base pode ser obtida a partir da base canônica por rotação. Resposta: Na base � ���√���√��� � � ��√����√������ obtida por rotação de �����a partir da base canônica � � ����� � ���� , � �� � �� �� ���! Como " #� � ��√��� �√���√��� �√���� e, inversamente, " �# � ��√��� √����√��� �√����, então � ## � " #� � �� " �# � � � ���� � �! (Alternativamente, $ � ��√���√���� � ��√���√��� �� obtida por rotação de ���, " #�$ ��√��� �√���√��� √��� �, " �$# � � √��� √����√��� √���� e � ## � " #�$ � �$�$ " �# � � � ���� � �!) 2ª Questão: Considere a transformação �%�&' ( )�*� que associa: + , -� , .�� , /�' ( �+ , - ./ + � -� a) (1,0 ponto) Determine se a transformação é sobrejetora.�Justifique sua resposta. b) (1,0 ponto) Determine se a transformação é injetora. Justifique sua resposta. c) (1,5 ponto) Determine se a transformação é inversível. Caso positivo, determine sua inversa. Justifique sua resposta! Resposta: a) Como �+ , - ./ + � -� � + �� �� �� , - �� �� ��� , . �� �� �� , / �� �� �� e estes vetores geradores de "01�2 são L.I., então formam uma base de "01�2! Mas como 4 vetores L.I. em )�*� são uma base para este espaço vetorial, então "01�2 � )�*� e T é sobrejetora. b) Como �+ , - ./ + � -� � �� �� �� implica em + � - � . � / � ���então 3451�2 � 6�7 e portanto T é injetora. c) Como T é sobrejetora e injetora, T é inversível, e, portanto, leva base em base. Tomando � � 6�� �� ��� �'7� a base canônica de &'� temos então �6�1�2� �1�2� �1��2� �1�'27 � ��� �� �� � �� �� ��� � �� �� �� � �� �� �� ! A transformação inversa, portanto levará esta base de volta a �� ou seja, �89:�1�2; � �� �89:�1�2; � �� �89:�1��2; � ��� �89:�1�'2; � �'! Na base � um vetor de )�*� tem componentes: �+ -. /� � � �� �� �� , � �� �� ��� , < �� �� �� , =� �� �� �� � �� , � <= � � �� ( � > + � � , �- � <. � =/ � � � � ( > � � 1+ , /2��< � -= � .� � 1+ � /2��! Como �89 é linear, �89 �+ -. /� � ���89 �� �� �� , ���89 �� �� ��� ,<��89 �� �� �� , =��89 �� �� �� � ?@AB� C 1�2 , ?@8B� C 1�2 , -1��2 , .1�'2! 3ª Questão: [2,5 pontos] Considere a matriz: D � E� � �� F GH I JK! a) Determine a transformação �% &� ( �' associada à matriz D com relação às bases � � 6� , �� � � �� ��7� � LE���K � E ���K � E ���KM! b) Determine a dimensão de "01�2 e a dimensão de 345�1�2 a partir da matriz D! c) A transformação � é um isomorfismo? Os espaços vetoriais &�� �'são isomorfos? Justifique. Resposta: a) Se D N � �# ��então: � � , � � � E��HK � �! E ���K , �! E ���K , H! E ���K ( �1� , �2 � E ��F� K� � � � � � � E�FIK � �! E ���K , F! E ���K , I! E ���K ( �1� � �2 � E �FH� K� � �� � � E�GJK � �! E ���K , G! E ���K , J! E ���K ( �1��2 � E �IJ� K! Se �� � + , -� , .�� O &�� �� # � P1� , �2 , Q1� � �2 , 01��2 ������������������ 1P , Q2 , 1P � Q2� , 01��2 para qualquer � O �� portanto L+ � P , Q- � P � Q. � 0����� �� ( L P � 1+ , -2��Q � 1+ � -2��0 � .�������������������e, como � é linear, �1+ , -� , .��2 � P��1� , �2 , Q��1� � �2 , 0��1��2 � + , -� E��F� K , + � -� E �FH� K , . E �IJ� K � E ���F�+ � ��F�- , �I.G+ � - , J.��F�+ � ��F�- , �. K! b) E� � �� F GH I JK R E � � �� �� �G� �G ���K R E � � �� � �� � �K R E � � �� � �� � �K R E � � ��� � �� � � K Portanto, o posto de D � STU1"0��2 � � e a nulidade de D � � � � � � �STU1345 �2! c) Como STU1345 �2 � � V �� � não é injetora e, portanto, não é um isomorfismo. No entanto &�� �'são isomorfos. Considere a transformação que leva a base canônica de &� na base canônica de �': �W1+ , -� , .��2 � �+-.�! Esta transformação é um isomorfismo (STU1345 �W2 � �� STU &� � STU �'2�e, portanto, estes espaços vetoriais são isomorfos. 4ª Questão: [2,5 pontos] Determine se a transformação associada à matriz X � E� � �� � �� � �K é diagonalizável, e, caso positivo, ache uma base para a qual a matriz associada à transformação é diagonal, e que forma assume esta matriz. Resposta: &1Y2 � � Z� � Y � �� � � Y �� � � � YZ � 1� � Y2' � 1� � Y2 � 1� � Y2 1� � [2� � � � � ( ���Y � � ou 1� � [2� � ���� ( ���� � [ � \���� ( ���[ � ���� ou ���[ � �! Como temos 3 autovalores distintos para a matriz X1� * �2� necessariamente temos 3 autovetores L.I. e portanto uma base para �'de autovetores de �]%��' ( �'� e a transformação é diagonalizável. A fim de determinar a base de autovetores, resolvemos o sistema 1X � Y"2�� � �^� para: i) [ � �%� E� � �� � �� � �K � ��<� � E ���K �� ( �� L < � �� � �� � � �� ( � �� � � E ���K � � V �!� ii) [ � �%� E� � �� � �� � �K � ��<� � E ���K ( �� L � , < � �� � �� , < � � �� ( � �� � � E ����K � � V �!��� iii) [ � �%� E�� � �� �� �� � ��K � ��<� � E ���K �� ( �� L �� , < � ��� � �� � < � � �� ( � �� � � E ���K � � V �! Portanto, na base _�� � �� L�E���K � E ����K � E ���K�M a matriz assume a forma: �] `` � aa� E���Kb` a� E ����Kb` E� E ���K�K`b � E � � �� � �� � �K!
Compartilhar