1EEGabarito - 2016 2

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UFPE-DEPARTAMENTO DEMATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
ÁREA II
10 Exercício Escolar
06/09/2016
1. (2.0) Seja a função f (x, y) = x
3+y3
x2+y2 definida e contínua em R
2 − {(0, 0)}. É possível
estender f de modo que ela seja contínua em todoR2? Caso afirmativo determine tal
extensão.
RESOLUÇÃO
Primeiro usando Coordenadas Polares temos
lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
= lim
r→0+
(r cosθ)3 + (r sinθ)3
r2
= 0.
Com isto podemos definir uma extensão F de f como
F
(
x, y
)
=
x
3+y3
x2+y2 se
(
x, y
)
, (0, 0)
0 se
(
x, y
)
= (0, 0)
2. (2.5) Considere função f (x, y) = 1 + x ln(xy − 5).
(a) (1.5) Encontre a linearização da função no ponto (2, 3).
(b) (1.0) A linerização encontrada no item anterior é uma boa aproximação para a
função no ponto dado (2, 3)?
RESOLUÇÃO
(a) Calculando as derivadas parciais
fx(x, y) = ln(xy − 5) + x · y · 1xy − 5 .
fy(x, y) = x2 · 1xy − 5 .
Assim, fx(2, 3) = 6 e fy(2, 3) = 4. Portanto,
L(x, y) = f (2, 3) + fx(2, 3)(x − 2) + fy(2, 3)(y − 3) = 6x + 4y − 23.
(b)
1
Note que ambas as derivadas parciais são contínuas para xy > 5. Portanto f é
diferenciável no ponto (2, 3). Sendo f diferenciável (2, 3) temos que a linearização é
uma boa aproximação da função.
3. (3.0) Sejam f (x, y) = x2 + y2 + 2xy e g(x, y) = x + y.
(a) (0.5) Esboce, separadamente, as curvas de nível de f e g.
(b) (1.0) Considere a função h(x, y) = f (x,y)g(x,y) . Determine o Domínio de h.
(c) (1.0) É possível estender a função h a uma função H : R2 −→ R, de modo que H
seja contínua?
(d) (0.5) Caso a função H do item anterior exista, ela é diferenciável?
RESOLUÇÃO:
a Curvas de nível de f e g na figura abaixo
Figura 1: Terceira Questão (a)
(b)Ambas as funções f e g estão definidas em todo oR2, porém a expressão de h não
pode ser calcula para nos pontos (x, y) tal que g(x, y) = 0. Então o domínio da função
h é o conjunto D = {(x, y) ∈ R2|x + y , 0}.
( c)Para que tal função H exista devemos ter lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = H(x0, y0) para todo
par (x0, y0) fora do domínio de h, isto é, para todo par (x0, y0) tal que x0 + y0 = 0.
Calculando esse limite:
lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
(x + y)2
x + y
= lim
(x,y)→(x0,y0)
x + y = x0 + y0 = 0.
2
Assim
H(x, y) =
{
h(x, y), se x + y , 0
0, se x + y = 0
(d)Sim, pois as suas derivadas parciais Hx(x, y) = 1 e Hy(x, y) = 1 existem e são
contínuas em todo o R2, com x + y , 0 e Hx(x, y) = Hy(x, y) = 1 quando x + y = 0 .
Note que no caso x + y = 0, devemos usar a definição.
Hx(x,−x) = lim
h→0
H(x + h,−x) −H(x,−x)
h
= lim
h→0
(x + h − x) − 0
h
= lim
h→0
h
h
= 1
De forma análoga obtemos Hy(x,−x) = 1
4. (2.5) Considere que z3 − xz − y = 0.
(a) (1.5) Encontre ∂z∂y e
∂z
∂x .
(b) (1.0) Verifique que
∂2z
∂x∂y
= − 3z
2 + x
(3z2 − x)3
Solução.
(a) Primeiro calculamos ∂z∂y . Para isso derivamos parcialmente a equação z
3− xz− y = 0
com respeito a y, obtendo
3z2zy − xzy − 1 = 0 =⇒ zy(3z2 − x) = 1,
ou seja
∂z
∂y
=
1
3z2 − x . (1)
Agora derivamos parcialmente a equação z3 − xz − y = 0 com respeito a x,
3z2zx − z − xzx = 0 =⇒ zx = z3z2 − x , (2)
(b) Agora, derivamos (1) parcialmente com respeito a x,
∂
∂x
(
∂z
∂y
)
=
∂2z
∂x∂y
=
∂
∂x
( 1
3z2 − x
)
,
3
ou seja
∂2z
∂x∂y
=
−6zzx + 1
(3z2 − x)2 . (3)
Note que em (3) precisamos substituir zx = ∂z∂x .
∂2z
∂x∂y
=
−6z
(
z
3z2−x
)
+1
(3z2 − x)2 =
( −6z2
3z2−x
)
+1
(3z2 − x)2
=
−6z2+3z2−x
3z2−x
(3z2 − x)2 =
−3z2 − x
(3z2 − x)3
= − 3z
2 + x
(3z2 − x)3 (4)
Portanto, de fato
∂2z
∂x∂y
= − 3z
2 + x
(3z2 − x)3 . (5)
Todas as respostas devem ser justificadas!!
4