Aula 02 - Estudo dos Vetores Força

Prévia do material em texto

MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 02AULA 02
REVISÃO DE VETORES 
©2004 by Pearson Education 1-2
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
O que é Mecânica?O que é Mecânica?
“O ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do
estado de repouso ou de movimento de corpos submetidos
à ação de forças”
©2004 by Pearson Education 1-3
• AMecânica é uma ciência aplicada, e não apresenta o empirismo
encontrado em algumas ciências.
• A Mecânica constitui a base de muitas ciências da engenharia,
sendo pré-requisito indispensável para o estudo dessas ciências.
Estática e
cinemática
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Mecânica dos 
corpos rígidos
Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis
cinemática
Dinâmica
Mecânica dos 
fluidos
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Idealizações
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Grandezas
Básicas
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
A MAIORIA DAS QUANTIDADES FÍSICAS, EM MECÂNICA, 
PODEM SER EXPRESSAS MATEMATICAMENTE POR: 
GRANDEZAS ESCALARES x GRANDEZAS VETORIAIS
Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real.
Exemplo: tempo, massa, volume, comprimento.
Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência deUma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de
três elementos fundamentais, possuindo módulo (intensidade),
direção e sentido. Exemplo: força, momento, aceleração.
FORÇA
-Pode ser definida como uma ação que um corpo aplica em
outro corpo...
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
outro corpo...
- 3ª Lei de Newton: Para toda ação haverá sempre uma
reação que apresenta o mesmo módulo, mesma direção,
porém com sentido contrário;
- No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica
de força é o Newton (N);de força é o Newton (N);
- 1N representa a força necessária para que um corpo com
massa de 1 kg apresente uma aceleração igual a 1 m/s².
1 kgf ≈ 10 N 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Unidades Derivadas
©2004 by Pearson Education 1-9
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
REPRESENTAÇÃO VETORIAL
Flecha (intensidade, direção e sentido)
©2004 by Pearson Education 1-10
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLOS DE REPRESENTAÇÃO VETORIAL
©2004 by Pearson Education 1-11
OPERAÇÕES VETORIAIS Adição vetorial
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Um conjunto de forças concorrentes
aplicadas em uma partícula pode ser
substituído por uma única força resultante
Vetor resultante: Regra do Paralelogramo
substituído por uma única força resultante
que é o vetor equivalente à soma vetorial
das forças aplicadas!
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Subtração Vetorial
©2004 by Pearson Education 1-13
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
ADIÇÃO DE FORÇAS VETORIAIS
©2004 by Pearson Education 1-14
OPERAÇÕES VETORIAIS
- Aplicação direta: Lei dos senos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
- Aplicação direta: Lei dos cossenos
B
B
C
C
- A adição de vetores é comutativa
PQQP rrrr +=+
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 01
O parafuso está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a
intensidade e a direção da força resultante.intensidade e a direção da força resultante.
©2004 by Pearson Education 1-16
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-17
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-18
EXEMPLO 02
- O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1
e F2. Determinar o módulo e a direção da força resultante.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
R: FR = 298 N 
α=39°; β=71°α=39°; β=71°
EXEMPLO 03
- Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se
encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a
força resultante é igual a 30kN, encontrar as componentes
nas direções AC e BC
R: FAC = 20,52 kN
FBC = 15,96 kN
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 04
©2004 by Pearson Education 1-21
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-22
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 05
©2004 by Pearson Education 1-23
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-24
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 06
©2004 by Pearson Education 1-25
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-26
OPERAÇÕES COM 3 OU MAIS VETORES
- Pode ser resolvido pela aplicação sucessiva da regra do
paralelogramo, calculando dois a dois os vetores resultantes.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
paralelogramo, calculando dois a dois os vetores resultantes.
- Resolvido pela soma vetorial
MÉTODO DAS COMPONENTES RETANGULARES
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
-Observa-se que, quanto maior o número de forças
envolvidos num sistema, maior será o tempo necessário para
aplicação da regra do paralelogramo;
-Uma opção é trabalhar com as componentes de cada vetor
segundo dois eixos perpendiculares entre si, formando, dessesegundo dois eixos perpendiculares entre si, formando, desse
modo, um sistema de forças colineares, facilitando a soma
dos vetores;
Vetores Unitários
yx FFF
rrr
+=
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
As componentes de um vetor podem ser expressos
como produtos dos vetores unitários pelas
Define-se os vetores unitários perpendiculares 
que são paralelos aos eixos x e y.
j e i rr
como produtos dos vetores unitários pelas
intensidades dos componentes do vetor.
Fx e Fy são chamados de componentes escalares de 
.
jFiFF yx
rrr
+=
F
r
SQPR rrrr ++=
• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais
forças concorrentes,
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
( ) ( ) jSQPiSQP
jSiSjQiQjPiPjRiR
yyyxxx
yxyxyxyx
rr
rrrrrrrr
+++++=
+++++=+
• Para isso, decompõe-se cada força em
componentes retangulares
• Os componentes escalares da resultante são
iguais à soma dos componentes escalares
∑=
++=
x
xxxx
F
SQPR
correspondentes das forças dadas.
∑=
++=
y
yyyy
F
SQPR
x
y
yx R
R
RRR arctg22 =+= θ
• Para encontrar a intensidade e a direção da 
resultante,
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
FORÇAS COPLANARES
©2004 by Pearson Education 1-31
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a
lança.
Exemplo 07
lança.
©2004 by Pearson Education 1-32
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-33
EXEMPLO 08
- Dado o parafuso da figura submetido as forças abaixo
indicadas, determinar a força resultante e sua direção.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
indicadas, determinar a força resultante e sua direção.
R: FR = 199,6 N
α= 4,1°
EXEMPLO 09
- Determinar o valor da força F1 e a inclinação do ângulo θ
sabendo que o vetor da Força Resultante esteja orientado ao
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
sabendo que o vetor da Força Resultante esteja orientado ao
longo do eixo y, para cima, com valor igual a 800 N.
R: FR ≈ 275 N
α= 29,1°
VETORES NO ESPAÇO
- Um vetor pode ter uma, duas ou três componentes ao longo
dos eixos de coordenadas x, y e z.
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
- A quantidade de componentes depende de como o vetor
está orientado em relação a esses eixos
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
• O vetor está F
r
• Decompomos em 
uma componente 
F
r
• Decompomos em 
componentes 
hF• O vetor está 
contido no plano 
OBAC.
uma componente 
horizontal e outra 
vertical
yh FF θsen =
yy FF θcos=
componentes 
retangulares
φθ
φ
φθ
φ
sen sen 
sen 
cossen
cos
y
hy
y
hx
F
FF
F
FF
=
=
=
=
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
©2004 by Pearson Education 1-38
“Cossenos Diretores de A”
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
• A direção do vetor A é especificada usando-se um VETOR UNITÁRIO que tem a mesma direção 
de A.de A.
• Assim, A define o módulo do vetor A e uA (vetor adimensional) a direção e o sentido do vetor A.
• Vetores Cartesianos Unitários i, j e k.
©2004 by Pearson Education 1-39
MECÂNICA DOSSÓLIDOS
REPRESENTAÇÃO DOS VETORES CARTESIANOS
©2004 by Pearson Education 1-40
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETORES CARTESIANOS
sese
e se
então
©2004 by Pearson Education 1-41
logo
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES CARTESIANOS
©2004 by Pearson Education 1-42
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Exemplo 10
- Determinar o valor da Força Resultante e sua direção para o anel da
figura abaixo solicitado pelas forças F1 e F2.figura abaixo solicitado pelas forças F1 e F2.
©2004 by Pearson Education 1-43
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-44
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Expresse a força F1 como vetor cartesiano.
Exemplo 11
©2004 by Pearson Education 1-45
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-46
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETOR POSIÇÃO
O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do
espaço em relação a outro.espaço em relação a outro.
©2004 by Pearson Education 1-47
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
VETOR POSIÇÃO
O vetor posição é orientado de A para B no espaço.
©2004 by Pearson Education 1-48
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Uma fita está presa aos pontos A e B. Determine seu comprimento e sua
direção, medidos de A para B.
Exemplo 12
direção, medidos de A para B.
©2004 by Pearson Education 1-49
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
A cobertura da laje de um prédio da UFRN é suportada por
cabos que exercem as forças FAB = 100 N e FAC = 120 N no
Exemplo 13
cabos que exercem as forças FAB = 100 N e FAC = 120 N no
gancho A. Determine a intensidade da força resultante que
atua em A.
©2004 by Pearson Education 1-50
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
©2004 by Pearson Education 1-51