Aula 5_Análise dimensional_Semelhança

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ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a Determinação de 
adimensionais;
1.2 - Adimensionais importantes na área dos fluidos;
1.3 - Semelhança de escoamento e Estudos de 
Modelos e protótipos
Mecânica dos Fluidos
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Mecânica dos Fluidos
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Vamos inicialmente 
discutir quais as 
vantagens de 
recorrermos a 
análise dimensional 
e semelhança.
1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
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Introdução
esfera
Teorema 
experiência
Análise Dimensional
e semelhança mecânica
17/4/2005 - v4
vantagens
força de arraste
"pi"
viscosímetro
1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
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Mecânica dos Fluidos
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 A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser
resolvidos com procedimentos analíticos, apenas utilizando
procedimentos experimentais;
 Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e
analítica;
 Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente
aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser
utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar);
Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo
de laboratório e o “outro” sistema.
1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
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Mecânica dos Fluidos
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo
uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e
leis de conservação.
O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de :
 análise teórica
 resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório)
Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no
fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas.
A análise dimensional permite associar variáveis em grupos
adimensionais.
Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é
impossível ou caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos.
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Pelo procedimento chamado análise dimensional, o 
fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um 
conjunto de grupos adimensionais das variáveis. 
Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos :
 o maior número de informações 
 o menor número de ensaios
Análise dimensional

Parâmetros adimensionais
(apresentação resumida em gráficos)
Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem :
 parâmetros geométricos
 parâmetros do escoamento
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Exemplo : Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D,
estacionária, imersa em um escoamento uniforme de velocidade V.
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Mecânica dos Fluidos Aplicada
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F sobre a
esfera ?
Sabemos que F = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial.
[mas, esta hipótese é razoável?]
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório.
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios.
Faremos 10 ensaios para cada variável:
Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ  10 ensaios
Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ  10 ensaios
Curva F vs. r com parâmetros D, V, m  10 ensaios
Curva F vs. m com parâmetros D, V, r  10 ensaios
TOTAL : 104 ensaios
Se cada ensaio leva 0,5 hora  8 horas/dia  2,5 anos para completar o trabalho ! !
Existirá uma enorme dificuldade na apresentação dos resultados.
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Mecânica dos Fluidos Aplicada
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um
fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa.
Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão por unidade
de comprimento do tubo Δp1?
Sabemos que Δp1 = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial.
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório.
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios.
Faremos 10 ensaios para cada variável:
Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ  5 ensaios
Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ  5 ensaios
Curva Δp1 vs. r com parâmetros D, V, m  5 ensaios
Curva Δp1 vs. m com parâmetros D, V, r  5 ensaios
TOTAL : 104 ensaios
.
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Podemos constatar facilmente que a curva representada no
slide anterior é uma curva particular, mesmo porque
apresenta, tanto na ordenada como na abscissa,
grandezas dimensionais.
Objetivo - Generalizar as informações obtidas em
laboratório.
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL








m
r
r
VD
V
pD
2
1
Podemos agrupar as variáveis em duas combinações adimensionais 
(denominados grupos adimensionais) de modo que:
Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais em vez de 
trabalhar com 5 variáveis.
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
Instrumentos da Análise Dimensional
Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos:
 o teorema de Bridgman
 o teorema de Buckingham
Teorema de Bridgman
O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente
pode ser expressa por um produto de grandezas primárias.
Exemplo: E = f(m, V)
 E = C m V2, onde C = cte.
Teorema de Buckingham
O teorema dos p de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros
dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais.
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a 
Determinação de adimensionais
Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. 
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a 
Determinação de adimensionais
É o teorema que nos 
permite determinar os 
números adimensionais a 
partir da função 
característica. 
Partindo-se da função 
característica, f (F, V, ρ, µ, 
D) = 0, a aplicação do 
teorema dos π respeita a 
seguinte sequência: 
1º PASSO: 
Determinar o número de grandezas 
que influenciam o fenômeno - n 
n = 5
2º PASSO: 
Escrevemos a equação 
dimensional de cada uma das 
grandezas. 
[F] = F 
[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T 
[D] = L 
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a 
Determinação de adimensionais
3º PASSO: 
Determinamos o número de 
grandezas fundamentais 
envolvidas no fenômeno - K.
K = 3 
4º PASSO: 
Determinamos o número de 
números adimensionais que 
caracterizam o fenômeno -
m 
m = n - K m = 2 
5º PASSO: 
Estabelecemos a base dos 
números adimensionais. 
Definição de base - É um 
conjunto de K variáveis 
independentes comuns aos 
adimensionais a serem 
determinados, com exceção dos 
seus expoentes. 
Variáveis independentes- São 
aquelas que apresentam as suas 
equações dimensionais diferentes 
entre si de pelo menos uma 
grandeza fundamental. 
Para o exemplo, temos: 
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como 
variáveis independentes. 
ρ e µ como variáveis dependentes. 
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a 
Determinação de adimensionais
Bases possíveis para o exemplo: 
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. 
Para obtermos os adimensionais já 
estabelecidos para os estudos de 
Mecânica dos Fluidos, geralmente 
adotamos a base ρ V D, ou a que 
mais se assemelha a esta. 
Para o exemplo, adotamos a base 
ρ V D.
6º PASSO : 
Escrevemos os números 
adimensionais, 
multiplicando a base 
adotada por cada uma das 
variáveis que restaram na 
função característica após 
a sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F 
π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a 
Determinação de adimensionais
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada
uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional,
inclusive o número adimensional.
Para p1 tem-se:
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1 - Teorema Pi de Buckingham e a 
Determinação de adimensionais
Para p2 tem-se:
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.2 - Adimensionais importantes na área 
dos fluidos

r





m
r

r


lV
 We Weber,de Número
V
l
St Strouhal, de Número
c
V
M Mach, de Número
lg
V
Fr Froude, de Número
lV
Re Reynolds, de Número
V
p
 Eu Euler, de Número
2
2
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.2 - Adimensionais importantes na área 
dos fluidos
Significado Físico
ilidadecompressib de força
inercial força
M
inercial força
centrífuga força
St 
lsuperficia tensão de força
inercial força
We 
Compressibilidade 
importante V >0,3c
Componente não permanente se 
repete periodicamente
A tensão superficial 
influencia o 
escoamento 
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.2 - Adimensionais importantes na área 
dos fluidos
inercial força
pressão de força
Eu 
viscosa força
inercial força
Re 
gravidade da força
inercial força
Fr 
Escoamento nos quais a queda 
pressão é significativa
Escoamento influenciados por 
efeitos viscosos
Escoamento influenciados pela 
gravidade:escoamento de 
superfície livre
Significado Físico
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as
seguintes condições
Semelhança geométrica
Semelhança cinemática
Semelhança dinâmica
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
 Semelhança geométrica
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
 Semelhança cinemática
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
 Semelhança dinâmica
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
Condição de semelhança Completa
Para que possamos obter as informações do
protótipo (fenômeno não ensaiado), através das
informações obtidas no ensaio do modelo, ambos
devem ser caracterizados pela mesma função
características, o que equivale a dizer, que tanto
o protótipo, como o modelo, serão definidos pela
mesma função equivalente
W [W (π1 , π2 , π3 ....)=0].
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
A condição de semelhança completa estabelece que:
π1m = π1p
π2m = π2p
π3m = π3p . . .
Escala de Semelhança
A escala de semelhança de uma propriedade α qualquer é
sempre definida como sendo a relação entre αm e αp.
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1 – ANÁLISE DIMENSIONAL
1.3 - Semelhança de escoamento e 
Estudos de Modelos e protótipos
Exemplo: