Ep 17 Tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anal´ıtica I
Exerc´ıcios Programados 17
Gabarito
Prezados Tutores,
Como exerc´ıcios extras, transcrevo abaixo as questo˜es da AP2 do semestre anterior. E´ importante
ressaltar para os alunos que este na˜o e´ um modelo da avaliac¸a˜o que eles fara˜o, que eles devem fazer os
exerc´ıcios apresentados nos EP’s e no mo´dulo e que devem analisar as resoluc¸o˜es apresentadas para
as questo˜es da AD2.
Atenciosamente,
Marcelo Correˆa
Coordenador de Geometria Anal´ıtica I
Questa˜o 1: Mostre que a simetria (reflexa˜o) com relac¸a˜o a um ponto e´ uma isometria, isto e´, ela
preserva distaˆncias. Mais precisamente, mostre que se P e Q sa˜o dois pontos quaisquer do plano e
se P ′ e Q′ sa˜o os sime´tricos destes pontos com relac¸a˜o a um ponto P0, enta˜o
d(P,Q) = d(P ′, Q′).
Resoluc¸a˜o: Sejam P ′ = (x′1, y
′
1) e Q
′ = (x′2, y
′
2) os sime´tricos de P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) com
relac¸a˜o ao ponto P0 = (x0, y0). Pela equac¸a˜o (31) na pa´gina 85 do mo´dulo, temos que
(x′1, y
′
1) = (2x0 − x1, 2 y0 − y1)
(x′2, y
′
2) = (2x0 − x2, 2 y0 − y2).
Logo,
d(P,Q)2 = (x′1 − x′2)2 + (y′1 − y′2)2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 = d(P,Q)2
e, sendo assim, d(P ′, Q′) = d(P,Q).
Questa˜o 2: Mostre que a equac¸a˜o 9x2 − 16 y2 − 54x − 64 y − 127 = 0 determina uma hipe´rbole
na˜o-degenerada e, em seguida, encontre as equac¸o˜es de suas ass´ıntotas. Indique explicitamente uma
troca de varia´veis que obte´m a forma reduzida da hipe´rbole.
Resoluc¸a˜o: Para obter a forma reduzida da coˆnica, vamos completar quadrados:
1
9x2 − 54x− 16 y2 − 64 y − 127 = 0
m
9 [x2 − 6x]− 16 [y2 + 4 y]− 127 = 0
m
9 [(x− 3)2 − 9]− 16 [(y + 2)2 − 4]− 127 = 0
m
9 (x− 3)3 − 81− 16 (y + 2)2 + 64− 127 = 0
m
(x− 3)2
16
− (y + 2)
2
9
= 1
m
(x′)2
42
− (y
′)2
32
= 1
sendo que, no u´ltimo passo, usamos as mudanc¸as de coordenadas x′ = x− 3 e y′ = y + 2. No sistema
de coordenadas O′X ′Y ′ as ass´ıntotas desta hipe´rbole tem equac¸o˜es
y′ = −(3/4)x′ e y′ = +(3/4)x′.
No sistema de coordenadas OXY , estas equac¸o˜es ficam assim:
y = −3
4
(x− 3) − 2 e y = +3
4
(x− 3) − 2.
Questa˜o 3: Considere a coˆnica de equac¸a˜o
4xy − 3 y2 − 36 = 0.
a) Fazendo o uso de rotac¸o˜es e translac¸o˜es apropriadas, encontre a forma reduzida da equac¸a˜o Conclua
que esta equac¸a˜o determina uma hipe´rbole na˜o-degenerada! Indique explicitamente a mudanc¸a de
coordenadas que voceˆ usou!
b) Determine as coordenadas dos ve´rtices ve´rtices e equac¸o˜es cartesianas das ass´ıntotas da hipe´rbole,
tanto no sistema em que foi obtida a equac¸a˜o reduzida quanto no sistema OXY .
Resoluc¸a˜o:
a) Note que A = 0, B = 4, C = −3, D = 0, E = 0 e F = −36, de modo que o indicador da coˆnica C e´
IC(C) = 4AC −B2 = −16 < 0.
Logo, C e´ do tipo hiperbo´lico, isto e´, C e´ uma hipe´rbole possivelmente degenerada. Fazendo a troca
de varia´veis {
x = x′cos(θ)− y′sen(θ),
y = x′sen(θ) + y′cos(θ),
a equac¸a˜o da coˆnica fica assim:
A′(x′)2 +B′x′y′ + C ′(y′)2 + F ′ = 0,
onde os coeficientes A′, B′, C ′ e F ′ sa˜o dados, respectivamente, por


A′ = −3 sen2(θ) + 4 cos(θ)sen(θ),
B′ = −4 sen2(θ)− 6 cos(θ)sen(θ) + 4cos2(θ),
C ′ = − 4 cos(θ)sen(θ)− 3 cos2(θ),
F ′ = −36.
Para obter a forma canoˆnica, devemos impor que B′ = 0. Isto induz o seguinte sistema na˜o-linear:
2
{ −4 sen2(θ)− 6 cos(θ)sen(θ) + 4cos2(θ) = 0,
cos2(θ) + sen2(θ) = 1.
⇔
{ −4 s2 − 6 cs + 4 c2 = 0,
c2 + s2 = 1,
sendo que c = cos(θ) e s = sen(θ). Seguindo a convenc¸a˜o estabelecida no mo´dulo, vamos procurar
por uma soluc¸a˜o deste sistema com c > 0 e s > 0. Fazendo as contas, obtemos que
c = cos(θ) =
2
√
5
5
e s = sen(θ) =
√
5
5
.
Substituindo estes valores nas expresso˜es para A′, B′, C ′ e F ′, segue-se que
A′ = 1, B′ = 0, C ′ = −4 e F ′ = 5.
Consequ¨entemente, no sistema de coordenadas OX ′Y ′, a coˆnica C tem equac¸a˜o (x′)2− 4(y′)2− 36 = 0
ou, ainda,
(x′)2
62
− (y
′)2
32
= 1.
b) No sistema de coordenadas O′X ′Y ′, esta hipe´rbole tem ve´rtices (−6, 0)O′X′Y ′ e (+6, 0)O′X′Y ′ , e
ass´ıntotas
2 y′ − x′ = 0 e 2 y′ + x′ = 0.
Para obter as coordenadas dos ve´rtices da hipe´rbole no sistema OXY , basta usar as relac¸o˜es
{
x = +x′cos(θ)− y′sen(θ)
y = +x′sen(θ) + y′cos(θ)
⇔


x = +
2
√
5
5
x′ −
√
5
5
y′
y = +
√
5
5
x′ − 2
√
5
5
y′
.
De fato, substituindo os valores (x′, y′) = (−6, 0)O′X′Y ′ e (x′, y′) = (+6, 0)O′X′Y ′ nestas equac¸o˜es,
conclu´ımos que os ve´rtices da hipe´rbole no sistema OXY sa˜o dados por (−12√5/5,−6√5/5)OXY
e (+12
√
5/5,+6
√
5/5)OXY , respectivamente.
Para obter as equac¸o˜es das ass´ıntotas da hipe´rbole no sistema OXY , vamos usar as relac¸o˜es (42)
na pa´gina 106 do mo´dulo:
{
x′ = +xcos(θ) + ysen(θ)
y′ = −xsen(θ) + ycos(θ) ⇔


x′ = +
2
√
5
5
x+
√
5
5
y
y′ = −
√
5
5
x+
2
√
5
5
y
.
Substituindo estas expresso˜es para x′ e y′ nas equac¸o˜es 2 y′ − x′ = 0 e 2 y′ + x′ = 0 das diretrizes no
sistema O′X ′Y ′ e simplificando o resultado, obtemos as equac¸o˜es destas diretrizes no sistema OXY :
−3x+ 4 y = 0 e y = 0.
Questa˜o 4: Considere a regia˜o R do plano que, em coordenadas polares, e´ definida pelas condic¸o˜es
1 ≤ ρ ≤ 2 e pi
4
≤ θ ≤ pi
2
.
a) Fac¸a o desenho da regia˜o R em um sistema Oθρ de coordenadas polares no plano.
3
b) Fac¸a o desenho da regia˜o R em um sistema OXY de coordenadas cartesianas no plano.
Resoluc¸a˜o:
a)
0 a b 0
1
2
r
sendo que r = ρ, t = θ, a = pi/4 e b = pi/2.
b)
0 a b x
1
2
y
sendo que a =
√
2
2
e b =
√
2.
4
Questa˜o 5: Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a elipse de equac¸a˜o
(x− 2)2
4
+
(y + 3)2
9
= 1.
Resoluc¸a˜o: As equac¸o˜es {
x = +2 + 2 · cos(t),
y = −3 + 3 · sen(t),
com t ∈ [0, 2 · pi] fornecem uma parametrizac¸a˜o para a elipse! De fato:
(x− 2)2
4
+
(y + 3)2
9
=
(+2 + 2 · cos(t)− 2)2
4
+
(−3 + 3 · sen(t) + 3)2
9
=
(2 · cos(t))2
4
+
(3 · sen(t))2
9
=
(4 · cos2(t))
4
+
(9 · sen2(t))
9
= cos2(t) + sen2(t)
= 1.
5