119 EP6 GAI 1 2007 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anal´ıtica I
Exerc´ıcios Programados 6
Versa˜o Tutor
Prezados Tutores,
Os alunos podera˜o ter maiores dificuldades para fazer a ana´lise da posic¸a˜o relativa de c´ırculos, iso-
ladamente, e tambe´m para a determinac¸a˜o da distaˆncia entre c´ırculos. Sugiro, enta˜o, que esta parte seja
trabalhada com bastante cuidado, destacando as ac¸o˜es que podem ser efetuadas para a resoluc¸a˜o de tais
problemas, como descritas a seguir.
Para a ana´lise da posic¸a˜o relativa de c´ırculos e tambe´m para a determinac¸a˜o da distaˆncia entre
c´ırculos, pode-se efetuar as seguintes ac¸o˜es:
• determinar distaˆncia entre centros;
• comparar a distaˆncia entre os centros e o raio de cada c´ırculo, a fim de identificar se o centro de um
dos c´ırculos esta´ contido no interior ou exterior do outro (ou mesmo se pertence ao outro c´ırculo).
Por exemplo, dados dois c´ırculos Γ1 e Γ2, o centro P2 do c´ırculo Γ2
– esta´ no interior do c´ırculo Γ1, de raio r1 e centro P1, se d(P1, P2) < r1;
– esta´ no exterior de Γ1, se d(P1, P2) > r1 e
– pertence ao c´ırculo Γ1, se d(P1, P2) = r1
De modo ana´logo, determina-se a posic¸a˜o do centro P1 de Γ1 em relac¸a˜o a` Γ2.
• comparar o raio de um dos c´ırculos e a soma do raio do outro com a distaˆncia entre os centros, a
fim de identificar se o interior de um c´ırculo esta´ contido no interior do outro.
Por exemplo, o interior Ω2 de Γ2 esta´ contido no interior Ω1 de Γ1, se d(P1, P2) + r2 ≤ r1.
• comparar a soma dos dois raios e a distaˆncia entre os centros, para verificar se os c´ırculos se
intersectam. Por exemplo:
– se d(P1, P2) > r1 + r2, enta˜o os c´ırculos Γ1 e Γ2 na˜o se intersectam;
– se d(P1, P2) = r1 + r2, enta˜o os c´ırculos sa˜o tangentes, tendo um u´nico ponto de intersec¸a˜o;
– se d(P1, P2) < r1 + r2, enta˜o temos as seguintes possibilidades:
∗ se cada centro esta´ no exterior do outro c´ırculo, ou seja se d(P1, P2) > r1 e d(P1, P2) > r2,
enta˜o os c´ırculos se intersectam em dois pontos,
∗ se um dos centros pertence ao outro c´ırculo, enta˜o os c´ırculos tambe´m se intersectam em
dois pontos,
1
∗ um dos centros pode estar no interior do outro c´ırculo, por exemplo se P2 pertence ao
interior de Γ1 dado que d(P1, P2) < r1, enta˜o
· se d(P1, P2) + r2 = r1, enta˜o os c´ırculos sa˜o tangentes, tendo um u´nico ponto de
intersec¸a˜o, e
· se d(P1, P2) + r2 < r1, enta˜o os c´ırculos na˜o se intersectam.
Estimulem os alunos a esboc¸ar diagramas que ilustrem os casos descritos acima.
Atenciosamente,
Marcelo Correˆa
Coordenador de Geometria Anal´ıtica I
Exerc´ıcio 1: Determine a distaˆncia do ponto P = (−5, 4) ao c´ırculo Γ : (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 4.
Resoluc¸a˜o: Primeiramente, observe que (−5 + 1)2 + (4− 2)2 = (−4)2 + 22 = 20 > 4. Portanto, P e´ um
ponto no exterior do c´ırculo Γ.
Olhando para a figura 68 da Aula 6, vemos que a fo´rmula (26) dessa Aula se reescreve como:
d(P,Γ) = ‖−−→PQ‖ = | d(P0, P )− d(P0, Q) |
= ‖−−→P0P‖ − ‖−−→P0Q‖
= ‖−−→P0P‖ − r ,
onde r = 2 e´ o raio de Γ e P0 = (−1, 2) e´ o centro do c´ırculo.
Temos:
−−→
P0P = P − PO = (−5− (−1), 4− 2) = (−4, 2) =⇒ ‖−−→P0P‖ =
√
(−4)2 + 22 = √20 = 2√5.
Logo, d(P,Γ) = 2
√
5− 2.
Exerc´ıcio 2 (Exerc´ıcio 6 da Aula 6): Determine a posic¸a˜o relativa dos c´ırculos Γ1 e Γ2, sendo
item a) Γ1 : (x− 1)2 + (y − 3)2 = 4 e Γ2 : (x− 1)2 + (y − 7)2 = 4
item b) Γ1 : (x− 1)2 + (y + 3)2 = 4 e Γ2 : (x− 1)2 + (y − 7)2 = 4
Resoluc¸a˜o:
a) O ponto P1 = (1, 3) e´ o centro e r1 = 2 e´ o raio do c´ırculo Γ1.
O ponto P2 = (1, 7) e´ o centro e r2 = 2 e´ o raio do c´ırculo Γ2.
• A distaˆncia entre os centros e´ d(P1, P2) =
√
(1− 1)2 + (7− 3)2 =√0 + (4)2 = 4;
• Como d(P1, P2) > r2, enta˜o P1 esta´ no exterior de Γ2;
• Como d(P1, P2) > r1, enta˜o P2 esta´ no exterior de Γ1;
• Como d(P1, P2) = 4 = 2 + 2 = r1 + r2, enta˜o os c´ırculos Γ1 e Γ2 sa˜o tangentes, tendo um u´nico
ponto de intersec¸a˜o;
• Como d(P1, P2) + r2 = 4 + 2 = 6 > 2 = r1, enta˜o o interior Ω2 de Γ2 na˜o esta´ contido no interior
Ω1 de Γ1;
2
• De modo ana´logo, como d(P1, P2) + r1 = 4 + 2 = 6 > 2 = r2, enta˜o o interior Ω1 de Γ1 tambe´m
na˜o esta´ contido no interior Ω2 de Γ2;
Como os c´ırculos se interceptam, naturalmente a distaˆncia entre eles e´ nula e, de fato,
d(Γ1,Γ2) = d(P1, P2)− r1 − r2 = 4− 2− 2 = 0.
1
3
7
-
6
µ´¶³
µ´¶³
b) O ponto P1 = (1,−3) e´ o centro e r1 = 2 e´ o raio do c´ırculo Γ1.
O ponto P2 = (1, 7) e´ o centro e r2 = 2 e´ o raio do c´ırculo Γ2.
• A distaˆncia entre os centros e´ d(P1, P2) =
√
(1− 1)2 + (7− (−3))2 =√0 + (10)2 = 10;
• Novamente, como d(P1, P2) > r2 , enta˜o P1 esta´ no exterior de Γ2, e como d(P1, P2) > r1, enta˜o
P2 esta´ no exterior de Γ1;
• Como d(P1, P2) = 10 > 2 + 2 = r1 + r2, enta˜o os c´ırculos Γ1 e Γ2 na˜o se interceptam.
• Como d(P1, P2) > r1 e d(P1, P2) > r2, enta˜o os interiores de Γ1 e Γ2 na˜o tem pontos em comum,
ou seja, Ω1 ∩ Ω2 = ∅;
Observe que d(Γ1,Γ2) = d(P1, P2)− r1 − r2 = 10− 2− 2 = 6.
1
−3
7
-
6
µ´¶³
µ´¶³
Exerc´ıcio 3 (Exerc´ıcio 4a da Aula 6): Calcule a distaˆncia entre os c´ırculos Γ1 e Γ2, sendo
Γ1 : (x− 5)2 + (y − 1)2 = 36 e Γ2 : (x− 3)2 + (y + 2)2 = 1 .
Resoluc¸a˜o: O ponto P1 = (5, 1) e´ o centro e r1 = 6 e´ o raio do c´ırculo Γ1.
O ponto P2 = (3,−2) e´ o centro e r2 = 1 e´ o raio do c´ırculo Γ2.
• A distaˆncia entre os centros e´
d(P1, P2) =
√
(3− 5)2 + (−2− 1)2 =√(−2)2 + (−3)2 = √4 + 9 = √13;
• Como d(P1, P2) =
√
13 > 1 = r2, enta˜o P1 esta´ no exterior de Γ2;
3
• Como d(P1, P2) =
√
13 < 6 = r1, enta˜o P2 esta´ no interior de Γ1;
• Como d(P1, P2) + r2 =
√
13 + 1 < 6 = r1, pois 3 <
√
13 < 4. Enta˜o, o interior de Γ2 esta´ contido
no interior de Γ1, ou seja, Ω2 ⊂ Ω1. Ale´m disso, os c´ırculos na˜o se interceptam, visto que
d(P1, P2) + r2 =
√
13 + 1 6= 6 = r2.
Logo, d(Γ1,Γ2) = r1 − d(P1, P2)− r2 = 6−
√
13− 1 = 5−√13.
3
5−2
1 -
6
&%
'$
f
Exerc´ıcio 4: Dados os c´ırculos Γ1 : (x+ 2)2 + (y − 1)2 = 16 e Γ2 : x2 + y2 = 1 e a reta s : x+ y = 6,
determine:
a) a distaˆncia de s a Γ1,
b) a posic¸a˜o relativa dos c´ırculos Γ1 e Γ2 e a distaˆncia entre eles.
Resoluc¸a˜o:
a) A equac¸a˜o cartesiana de s e´ x+ y − 6 = 0.
O centro do c´ırculo Γ1 e´ o ponto P = (−2, 1) e o seu raio e´ r = 4.
Observe que, A reta s e o c´ırculo Γ1 na˜o se interceptam (s ∩ Γ1 = ∅), pois a distaˆncia do centro de Γ1 a
s e´ maior que o seu raio: d(P, s) =
|(−2) + 1− 6|√
12 + 12
=
| − 7|√
2
=
7
√
2
2
> 4 = r1 .
Logo, d(s,Γ) = d(P, s)− r = |(−2) + 1− 6|√
12 + 12
− 4 = | − 7|√
2
− 4 = 7
√
2
2
− 4
b) Observe que:
• O centro do c´ırculo Γ2 e´ a origem do plano cartesiano O = (0, 0) e o seu raio r2 e´ 1.
• O centro de Γ2 (a origem) esta´ no interior de Γ1, visto que a distaˆncia entre os dois centros e´ menor
que o raio de Γ1 (d(O,P ) =
√
(−2− 0)2 + (1− 0)2 = √5 < 4);
• O centro P de Γ1 esta´ no exterior de Γ2, pois a distaˆncia entre os dois centros e´ maior que o raio de
Γ2 (d(O,P ) =
√
5 > 1).
• A distaˆncia entre os dois centros somado com o raio de Γ2 e´ menor que o raio de Γ1
(d(O,P ) + r2 =
√
5 + 1 < 4 = r1, pois 2 <
√
5 < 3).
Logo, Γ2 esta´ no interior de Γ1 e esses c´ırculos na˜o se interceptam.
-
6
f½¼
ff»
−2
1
Portanto, d(Γ1,Γ2) = r1 − r2 − d(O,P ) = 4− 1−
√
5 = 3−√5.
4