Fascículo_3 _ 3º_Ano_Matemática [Equação da Circunferência]

Prévia do material em texto

Equação da 
Circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISDB 
 
GOVERNO de Pernambuco. Secretaria de Educação e Esportes. 
Matemática: Equação da circunferência. – Recife: Secretaria de Educação 
e Esportes, 2020. 
15 p.: il. 
3º Ano. Educa-PE. Fascículo 3. 
1. Matemática. 2. Geometria analítica. 3. Circunferência. I. Título. 
CDU – 51 
 
Elaborado por Hugo Carlos Cavalcanti | CRB-4 2129 
Expediente 
 
Governador de Pernambuco 
Paulo Henrique Saraiva Câmara 
Vice-governadora de Pernambuco 
Luciana Barbosa de Oliveira Santos 
Secretário de Educação e Esportes de Pernambuco 
Frederico da Costa Amancio 
Autores 
Prof. Alexandre Sena 
Prof.ª. Delba Costa 
Revisão de Língua Portuguesa 
Aline Vieira de Oliveira Couto 
Projeto gráfico 
Clayton Quintino de Oliveira 
Diagramação 
Caio Renato Tavares da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você já viu uma Roda Gigante? 
Daquelas de parques de diversão? 
Fantástica, né!? 
Em qualquer cadeira que você estiver sentado, 
a distância do apoio da cadeira para o centro 
(eixo) da Roda é a mesma, sabia? Ela tem a 
forma de uma circunferência. 
É dessa forma geométrica que vamos falar! 
01 
 
 
 
 
A CIRCUNFERÊNCIA 
 
A circunferência é uma figura geométrica plana, com forma circular, onde qualquer 
ponto dela está a mesma distância do centro. 
Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer ponto que estiver na linha vermelha (linha que representa a circunferência) 
é equidistante do cento (representado pelo ponto azul). 
 
E-Q-U-I-D-I-S-T-A-N-T-E! 
 
Eita! Essa palavra bonita quer dizer que está a mesma distância. 
 
Agora, esta distância do centro para qualquer ponto da circunferência é chamado de 
RAIO (R). 
 
 
 
 
 
 
02 
Se liga! DIÂMETRO 
é o dobro do RAIO! 
 
 
 
 
 
 
Mas, será que, além dessa representação (desenho geométrico), a gente consegue 
representar a circunferência de outras formas? 
 
Já que a matemática tem fórmula para “tudo”, será que tem uma fórmula para 
representar a circunferência? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Lembra do plano cartesiano? Dos eixos perpendiculares X e Y? 
 
Nesse plano, cada ponto tem um endereço representado por um par ordenado (x, y), 
que são as coordenadas desse ponto. A primeira coordenada do par, o x, é chamado 
de abscissa e a segunda, o y, de ordenada. 
 
Sabe a Geometria Analítica? É! Aquela que une a geometria 
e a álgebra e que teve forte influência de René Descartes? 
Sim, essa mesma! Linkou com história, né?! 
 
Pois é! Ela representou no Plano Cartesiano, através de 
coordenadas (x, y), os elementos da circunferência (centro e raio) 
e, usando a distância entre dois pontos, conseguiu algebrizar a 
situação. Sim, uma fórmula para representar uma circunferência! 
Vamos ver como é essa equação! 
03 
 
 
 
 
Par ordenado porque, se invertermos a ordem, o endereço pode mudar! 
 
Se liga! O par (2, 3) é diferente do (3, 2)! 
 
E aí? Você vai parar no endereço errado! Se perde, não! 
 
Agora, acompanha comigo! 
 
A circunferência, representada no plano cartesiano a seguir, tem como centro o ponto C(a, b) e 
raio r. Escolhemos um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. No caso, veja que 
escolhemos representar esse ponto por P(x, y). 
 
 
 
Identificou tudo na representação? 
 
Ora, a distância entre o ponto P(x, y) e o centro C(a, b) é o raio. 
 
Então, vamos lá! Vamos calcular a distância entre esses dois pontos. 
 
Mas, antes desse cálculo, pergunto a você: “Lembra da fórmula que calcula a distância entre 
dois pontos? Aqueeeeela que veio do Teorema de Pitágoras?”. 
 
Se você esqueceu, vou te dar uma colher de chá! 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 Sejam dois pontos 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e B(𝑥𝐵, 𝑦𝐵), a distância entre esses dois ponto, 𝑑𝐴𝐵, é 
calculada pela fórmula 
 
𝒅𝑨𝑩
𝟐 = (𝒙𝑩 − 𝒙𝑨)
𝟐 + (𝒚𝑩 − 𝒚𝑨)
𝟐 
 
Ou 
 
𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular a distância entre os pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) e C(𝑎, 𝑏). 
 
𝒅𝑪𝑷
𝟐 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 
 
Mas, você percebeu que essa distância é o tamanho do raio r? 
Então, fica assim, 
 
𝒓𝟐 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 
 
RELEMBRANDO: Distância entre dois pontos 
Agora, sim! Depois de matar saudade, volta para a 
representação da circunferência e acompanha. 
05 
 
 
 
 
 
Ou, de uma maneira mais “elegante” 
 
(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 
 
E, agora, é correr para o abraço! 
 
Essa é a equação que representa uma circunferência de centro C(𝑎, 𝑏) e raio 𝒓. 
 
Ela é chamada de Equação Reduzida da Circunferência. 
 
Quer ver um exemplo?! 
Se a equação tiver o centro no ponto C(3, 2) e raio medindo 5, ela vai ter a equação 
 
(𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟓𝟐 
 
(𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟐5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 01 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02 
 
 
 
 
 
 
 
Qual das equações a seguir representa uma circunferência que tem centro no 
ponto (0, 4) e raio de medida 6? 
 
a) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 6 
b) 𝑥2 + (𝑦 − 4)2 = 6 
c) 𝑥2 + (𝑦 − 4)2 = 36 
d) (𝑥 − 4)2 + 𝑦2 = 36 
e) (𝑥 − 4)2 + 𝑦2 = 6 
 
 (Resposta no Gabarito) 
Qual é a equação da circunferência representada 
no gráfico ao lado? 
 
a) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 4)2 = 3 
b) 𝑥2 + (𝑦 − 3)2 = 9 
c) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 6 
d) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 36 
e) (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 9 
 
07 
(Resposta no Gabarito) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Sabe o oitavo ano? Aquele que você treinou muito álgebra. Pois é, tem um assunto 
dele que vamos matar saudade: quadrado da soma ou quadrado da diferença. 
 
Sei que você se lembra. 
Mais ainda! Sei que você se lembra e quer muito que eu coloque aqui! 
Então, seu pedido será atendido! 
 
 (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐 e (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐 
 
Mas, se você quiser, pode usar a propriedade distributiva. 
É! O famoso “chuveirinho”. Lembrou, né! 
 
 
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝒂𝟐 + 𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐 
 
Você já viu como representar uma circunferência por uma equação . 
Mas, será que essa equação sempre aparece nessa forma reduzida? 
E esses quadrados não são desenvolvidos? 
Respondo só se for agora! 
08 
 
 
 
 
Vamos usar este resultado na equação reduzida da circunferência? 
(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 
 
𝒙𝟐 − 𝟐. 𝒂. 𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐. 𝒃. 𝒚 + 𝒃𝟐 = 𝒓𝟐 
Elegantemente escrita 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝒚 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎 
 
Essa é a Equação Geral da Circunferência de centro (a, b) e raio r. 
 
 
 
 
Olha só! Se for dada a circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 2𝑦 + 17 = 0, como 
você descobriria as coordenadas do centro e o raio? 
 
Isso!!! Comparando a equação dada com a equação geral!! Os termos equivalentes 
têm que ser iguais. 
 
Vamos fazer com calma. Termo a termo. 
 
 𝒙𝟐 = 𝑥2 (iguais) 
 
 𝒚𝟐 = 𝑦2 (iguais) 
 
 −𝟐𝒂𝒙 = −10𝑥 (Opa! Então 𝒂 = 5) 
 
 −𝟐𝒃𝒚 = − 2y (Opa! Então 𝒃 = 1) 
 
 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 17 ( Opa! Agora, encontro o raio.) 
 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟏𝟕 → 𝟐𝟓 + 𝟏 − 𝟏𝟕 = 𝒓𝟐 → 𝟗 = 𝒓𝟐 → 𝟑 = 𝒓 
 
Percebeu que é a mesma equação escrita de forma diferente?Agora, ela está desenvolvida. Só isso! 
09 
 
 
 
 
Assim, a circunferência representada pela equação geral 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 2𝑦 + 17 = 0 
tem centro (5, 1) e raio igual a 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Confidencial! 
Você notou que, quando na equação geral os coeficientes de 𝒙𝟐 e 𝒚𝟐 (aqueles 
números que acompanham 𝑥2 e 𝑦2) é o número 1, para você descobrir as 
coordenadas do centro (a, b), basta dividir por -2 os termos que tem x e y. 
 
Agora, cuidado! O número que não tem x nem y, o termo independente não é o 
raio. 
O raio, na equação geral da circunferência, é calculado em 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝒓𝟐. 
 
Tudo certo? Vamos exercitar! 
 
 
 (Resposta no Gabarito) 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Quais são as coordenadas do centro C e a medida do raio R da circunferência 
que tem como equação 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 4 = 0? 
 
a) C (-2, 3) e R = 2 
b) C (-2, 3) e R = 1 
c) C ( 2, 3) e R = 3 
d) C ( 2, - 3) e R = 2 
e) C ( 2, - 3) e R = 3 
Qual é a equação geral da circunferência representada no gráfico? 
 
 
a) x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 6𝑦 + 4 = 0 
d) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 3 = 0 
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = 0 
 
(Resposta no Gabarito) 
(Resposta no Gabarito) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Questão 01 
O centro está no ponto (0, 4) e o raio mede 6. 
Substituindo os valores na equação reduzida da circunferência 
(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 
temos: 
(𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟔𝟐 
 
𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟑𝟔 
 
Alternativa: C 
 
Questão 02 
Observe que o centro da circunferência está no ponto (4, 3). E a distância do 
centro até onde ela toca o eixo x é 3. Essa é a medida do raio. 
Substituindo os valores na equação: 
 
(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 
temos: 
(𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟑𝟐 
 
(𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟗 
 
Alternativa: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
A equação da circunferência dada é 
 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 4 = 0 
 
Como os coeficientes de 𝑥2 e 𝑦2 é 1, vamos dividir por (- 2) os termos em x e 
em y, para encontrarmos a abscissa a e a ordenada b, respectivamente. 
 
𝑎 =
−4
−2
= 2 e b =
6
−2
= −3 
E para o raio, temos 
𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 4 
22 + (−3)2 − 𝑟2 = 4 
4 + 9 − 𝑟2 = 4 
13 − 4 = 𝑟2 
9 = 𝑟2 
𝟑 = 𝒓 
Portanto, C(2, -3) e Raio = 3. 
 
Alternativa: E 
Questão 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04 
Observe que o centro da circunferência está no ponto (2, -3). 
E como a distância do centro até um ponto dela é a medida do raio, temos, no 
caso, que é 4 unidades. 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores na equação geral 
 
 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0 
 
Temos 
𝑥2 + 𝑦2 − 2.2. 𝑥 − 2. (−3). 𝑦 + 22 + (−3)2 − 42 = 0 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6 𝑦 + 4 + 9 − 16 = 0 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟔 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 
 
Alternativa: E 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
15