AD2 GAI GABARITO 1 2009

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Segunda Avaliação a Distância de Geometria Analítica I 
Prof. Linhares 
 
Nome:__________________________________________________________ 
 
Pólo:___________________________________________________________ 
 
 
Questão 1 (2 pontos): Verifique se existe um paralelogramo que admite os vértices )1,1(A , 
)1,2( −B e )3,1(C , e, em caso afirmativo, determine a área deste paralelogramo. 
 
Solução: Considere os vetores )2,1( −== ABv e )2,0(== ACw 
Como os vetores não são paralelos, temos que existe um paralelogramo que admite os 
pontos A , B e C como vértices. A área do paralelogramo é dada por: 
241620, 222 ==−=><−= wvwvÁrea u.a 
 
Questão 2 (2 pontos): Verifique o que representa a equação abaixo: 
00,,,,22 >>∈=+ βαγβαγβα eRyx 
Solução: Se 0=γ , a equação representa um único ponto que é )0,0( . 
Se 0>γ , dividindo ambos os lados da equação dada por γ , obtemos: 
1
22
=+ βγαγ
yx
 
Fazendo αγ=2a e βγ=2b , obtemos 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 que representa uma elipse. 
Se 0<γ , dividindo ambos os lados da equação dada por γ , obtemos 1
22
−=+ βγαγ
yx
 
que representa o conjunto vazio. 
 
 
Questão 3 (2 pontos): Verifique o que representa a equação abaixo: 
00,,,,2222 >>∈=− βαγβαγβα eRyx 
Solução: Se 0=γ , fatorando a equação dada por ( )( ) 0=+− yxyx βαβα , obtemos as retas 
0=− yx βα ou 0=+ yx βα . 
Se 0>γ , dividindo ambos os lados da equação dada por γ , obtemos: 
12
2
2
2
=− βγαγ
yx
 
Fazendo 22 αγ=a e 22 βγ=b , obtemos 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 que representa uma hipérbole. 
 
Se 0<γ , dividindo ambos os lados da equação dada por γ , obtemos 
12
2
2
2
−=− βγαγ
yx
 que representa uma hipérbole 12
2
2
2
=−
b
x
a
y
 , com 
22 αγ=a e 
22 βγ=b . 
 
Questão 4 (2 pontos): Verifique que a equação abaixo representa uma parábola. Dê o 
vértice, o foco e a diretriz. 
08105 2 =+−− yxx 
Solução: 
)12(5303)12(508105 222 +−=−⇔=+−+−⇔=+−− xxyyxxyxx 
2)1(53 −=−⇔ xy 
 
Fazendo 3´1´ −=−= yyexx 
2
´5´ xy = ou ´
5
1
´
2 yx = 
Que representa uma parábola com vértice )0,0(´=V , foco )201,0´(F e diretriz 
20
1
´´: −=yr 
Logo, a equação dada representa uma parábola com vértice )3,1(=V , foco )
20
61
,1(F e 
diretriz 
20
59
: =yr 
 
Questão 5 (2 pontos): Encontre R∈λ para que a projeção ortogonal do vetor ),1( λ=u 
sobre o vetor )1,2( −=v seja um vetor unitário. 
 
Solução: A projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v é dada por v
vv
vu
u
,
,
~
= . 
Logo, 
5
2,
,
,
~
λ−
===
v
vu
v
vv
vu
u . 
Assim, 521~ =−⇔= λu ∴ 52 ±=−λ 
 
Portanto, 52 +=λ ou 52 −=λ