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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Primeira Avaliação a Distância de Geometria Analítica I - critério
Prof. Linhares e Prof. Leonardo Silvares
Nome:__________________________________________________________
 
Pólo:___________________________________________________________
Questão 1 (2,0 pontos): Considere os vetores u = (3, – 4), v = (1, – 5) e w = (2, 1). Mostre 
que v pode ser escrito, de modo único, como combinação linear de u e w, e determine os 
coeficientes da combinação linear.
Solução: Escrevendo (1, – 5) = λ (3, – 4) + β (2, 1) = (3λ + 2β , – 4λ + β ), temos: 
{3 λ+2 β=1−4 λ+β=−5 e det( 3 2−4 1)=11≠0 . 
Logo o sistema possui solução única, ou seja, v pode ser escrito, de modo único, como 
combinação linear de u e w.
Resolvendo o sistema acima, obtemos β = − 1 e λ = 1.
Questão 2 (2,0 pontos): Ache as equações paramétricas e cartesiana da reta que passa 
pelos pontos P(1, −2) e Q(3, 2).
Solução: O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P e Q é 
m= 2−(−2 )
3−1
=4
2
=2 .
Logo, a equação cartesiana da reta é y – (–2) = 2 (x – 1), ou seja, 2x – y – 4 = 0. Agora, um 
vetor direção da reta é v = Q⃗P = (3 – 1, 2 – (– 2)) = (2, 4). Portanto, a equações 
paramétricas da reta são:
{x=1+2 ty=−2+4 t , t∈ℝ
 
Questão 3 (4,0 pontos): Sendo A(1,2), B(3,0) e C(x, y), determine:
(a) ∥⃗AB∥ (0,5 pontos)
(b) ∥⃗AC∥ e ∥⃗BC∥ em função de x e y. (1,0 ponto)
(c) Uma equação de satisfeita por todos os valores de x e y tais que ∥⃗AC∥=∥B⃗C∥
(0,5 pontos)
(d) Que tipo de objeto representa a equação encontrada no item anterior? Por que era de 
se esperar que a equação obtida representasse esse tipo de objeto? (1,0 ponto)
(e) Os valores de x e y para que ∥⃗AC∥=∥B⃗C∥=∥⃗AB∥ (1,0 ponto)
Solução: 
(a) Sabemos que ∥⃗AB∥=d (A,B )=√ (3−1)2+(0−2)2=√4+4=2√2 .
(b) ∥⃗AC∥=d (A,C )=√( x−1)2+( y−2)2=√ x2+y2−2x−4 y+5 e
 ∥⃗BC∥=d (B,C )=√( x−3)2+( y−0)2=√ x2+y2−6 x+9 
(c) Como queremos ∥⃗AC∥=∥B⃗C∥ , utilizando o obtido no item anterior,
∥⃗AC∥=∥⃗BC∥
√ x2+ y2−2 x−4 y+5=√ x2+ y2−6 x+9
∴ x2+ y2−2 x−4 y+5=x 2+ y 2−6 x+9
∴−2 x−4 y+5=−6 x+9
∴ 4 x−4 y−4=0
∴ x− y−1=0
(d) A equação representa uma reta, o que já era esperado, pois o conjunto dos pontos 
equidistantes a dois pontos dados é a reta mediatriz destes pontos.
(e) Como ∥⃗AC∥=∥B⃗C∥ , temos x− y−1=0 , logo x=1+y (I). Como ∥⃗AC∥=∥A⃗B∥ , 
temos , logo x2 +y2−2x−4 y+ 5=8 (II). Substituindo (I) em (II), temos 
(1+ y )2+ y 2−2(1+ y)−4 y+5=8∴2 y2−4 y+4=8∴ y2−2 y−2=0∴ y=1±√3
Se y=1+√3 , temos x= 2+√3 ; se y=1−√3 , temos x= 2−√3 . Assim, os pontos são
(2+√3,1+√3) e (2−√3,1−√3) 
Questão 4 (2,0 pontos) Dada a reta r: 2x – 3y + 6 = 0, determine
(a) Um vetor paralelo à r. (0,5 pontos)
(b) Uma reta com a mesma direção de r e que passa pelo ponto (3,4) (1,0 ponto)
(c) Utilizando apenas os conceitos aprendidos até o momento neste curso, encontre a 
distância entre a reta obtida no item anterior e a reta r? (0,5 pontos)
Solução:
(a) Podemos obter um vetor direção para r determinando dois pontos desta reta. Fazendo
x = 0, teremos 2∙0 – 3y + 6 = 0 ∴ 3y = 6 ∴ y = 2. Fazendo y = 0, teremos 2x – 3∙0 + 6 = 0 
∴ 2x = 6 ∴ x = –3. Assim, os pontos (0, 2) e (–3, 0) estão em r, logo o vetor
v = (–3 – 0, 0 – 2) = (–3, –2) determina a direção de r.
Obs: É possível também determinar tal direção a partir da equação paramétrica de r. 
Fazendo x = t, temos r: 2t – 3y + 6 = 0, logo y = 2 + (2/3)t. Assim,
r :{x=ty=2+23 t , t∈ℝ 
o que nos dá v = (1, 2/3) como possível vetor direção (note que esse vetor é paralelo ao 
vetor v encontrado anteriormente). 
(b) Como a reta procurada tem a mesma direção de r, terá o mesmo vetor direção
v = (–3, –2). Assim, podemos determinar a equação paramétrica de tal reta, sabendo que ela 
passa pelo ponto (3,4):
{x=3−3 ty=4−2 t ,t∈ℝ
(c) Observe que o ponto (3,4) pertence à reta r, pois 2∙3 – 3∙4 + 6 = 6 – 12 + 6 = 0. Assim, 
a reta encontrada em (b) passa por um ponto de r, e tem a mesma direção, o que nos leva a 
concluir que as duas são a mesma reta! Com isso, a distância entre elas é 0 (zero).
	Prof. Linhares e Prof. Leonardo Silvares