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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Segunda Avaliação a Distância de Geometria Analítica I – Gabarito
Prof. Linhares e Prof. Leonardo Silvares – 2011-1
Nome:__________________________________________________________
 
Pólo:___________________________________________________________
Questão 1 (2,5 pontos): Determine a equação reduzida, o foco e o vértice da parábola que 
contém o ponto (1, 3), cuja diretriz é a reta x=−1 , e que tem a reta y=1 como eixo de 
simetria.
Solução: Como o eixo de simetria é horizontal, a equação da parábola é da forma
( y− y0)
2=±4 p( x−x0)
O ponto (1, 3), que está à direita da diretriz x=−1 , pertence à parábola, logo a equação 
será da forma
( y− y0)
2=4 p( x−x0) .
Como o eixo de simetria passa pelo vértice V, temos V=( x0, y0)=( x0, 1) , logo, a equação 
da parábola fica
( y−1)2=4 p (x− x0) .
Substituindo o ponto (1,2), que pertence à parábola, temos
(3−1)2=4 p (1− x0) ,
logo
x0=
p−1
p .
Por outro lado, a distância entre o vértice e a diretriz é igual a p, logo,
p=d (( x0,1) , x=−1)=x−(−1)=
p−1
p
+1 ,
assim,
p2= p−1+p ∴ p2−2 p+1=0 ∴ p = 1.
Com isso, obtemos que o vértice é V=(−1+ p ,1)=(0,1) , logo, a equação da parábola é
( y−1)2=4(x−0)⇔( y−1)2=4 x .
O foco será dado por F=(−1+2 p , 1)=(1,1) .
Questão 2 (2,5 pontos): Uma elipse, cujo eixo maior é paralelos à y = 0, é tangente aos 
eixos coordenados, e tem (10, 3) como seu ponto mais à direita. Determine sua equação, 
seus focos e seu centro.
Solução: Denotaremos por (x0, y0) o centro da elipse, a, b os comprimentos dos eixos 
maior e menor, respectivamente, e c a distância entre o centro e os focos. 
Como a elipse têm eixo focal (maior) paralelo ao eixo x, seu ponto mais à direita será 
V 1=(x0+a , y0) . Além disso, como ela é tangente aos eixos coordenados, seus focos
V 2=( x0 , y0−b) e V 3=(x0−a , y0) serão dados por
V 2=( x0, 0) e V 3=(0, y0) ,
logo y0=b e x0=a .
Assim, como V 1=(x0+a , y0)=(2 a , b)=(10,3) , temos a = 5, b = 3, o que nos dá c = 4. O 
centro da elipse será então (x0, y0)=(a , b)=(5,3) , logo, sua equação será
(x−5)2
52
+( y−3)
2
32
=1⇔( x−5)
2
25
+( y−3)
2
9
=1
Seus focos serão F 1=( x0+c , y0)=(5+4, 3)=(9,3) e F 2=( x0−c , y0)=(1,3) .
Questão 3 (2,5 pontos): Determine e equação e os focos da hipérbole equilátera com centro 
em (1,2), contendo o ponto (6, 6) e com eixos real e imaginário paralelos aos eixos 
coordenados.
Solução: Como a hipérbole é equilátera, temos a = b (veja EP 10). Assim, sua equação será 
de umas das formas
(x−1)2
a2
−( y−2)
2
a2
=1 ou ( y−2)
2
a2
−( x−1)
2
a2
=1 ,
dependendo de o eixo real ser paralelo ao eixo x ou y, respectivamente.
Substituindo o ponto (6,6) nas duas equações, temos
(6−1)2
a2
−(6−2)
2
a2
=1⇒52−42=a2⇒a2=9
na primeira equação e
(6−2)2
a2
−(6−1)
2
a2
=1⇒42−52=a2⇒a2=−9
na segunda, observando então que o segundo caso é impossível (não podemos ter a2 
negativo). Assim, temos a = 3, e, como equação da hipérbole,
(x−1)2
9
−( y−2)
2
9
=1 .
Como a = b = 3, e como c2 = a2 + b2, temos c=3√2 . Logo, como o eixo 
real (focal) é horizontal, os focos serão F 1=( x0+c , y0)=(1+3√2 , 2) e
F 2=( x0−c , y0)=(1−3√2 ,2) .
Questão 4 (2,5 pontos): Determine que tipo de cônica representa a equação 
16x² - 9y² - 64x + 36y + 172 = 0.
e dê seu(s) foco(s), comprimentos dos eixos, assíntotas (se existirem).
Solução: Primeiramente, vamos completar os quadrados para poder estudar a equação:
16 x2−9 y2−64 x+36 y+172=0⇔16( x2−4 x)−9 ( y2−4 y)+172=0⇔
⇔16( x2−4 x+4)−9( y2−4 y+4)+172−16⋅4+9⋅4=0⇔16(x−2)2−9( y−2)2+144⇔
⇔16( x−2)2−9( y−2)2=−144⇔9( y−2)2−16(x−2)2=144
Dividindo a equação por 144, obtemos
( y−2)2
16
−( x−2)
2
9
=1⇔( y−2)
2
42
−(x−2)
2
32
=1 ,
concluindo então que temos a hipérbole com eixo focal vertical, centro (2,2), a = 4 e b = 3. 
Temos ainda c2 = a2 + b2 = 25, logo c = 5, e então os focos serão F 1=(2, 2+c)=(2, 7) e 
F 2=(2,2−c)=(2,−3). .
As assíntotas serão dadas por
(x− x0)=±
b
a
( y− y0)⇔x−2=±
3
4
( y−2)⇔4 x−8=±3 ( y−2) ,
que nos dá as retas
4 x−3 y−2=0 e 4 x+3 y−14=0 .