Prova com Gab - 1ºEE

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Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Física
Física Experimental 1 - 2013.1
1
o
Exercício Escolar - Data: 12/08/2013
Nome: Turma:
1. Uma chapa de alumínio é cortada na forma de um triângulo equilátero. Mede-se o comprimento L de uma das
arestas usando uma régua com resolução de 1 cm, conforme a Figura 1a.
(a) (1,0) Indique a leitura da medida l e sua incerteza σl na forma L = l ± σL.
(b) (1,0) Determine as expressões para a área AT do triângulo e sua incerteza, em função de L e σL.
(c) (0,5) Calcule então, a área AT do triângulo e sua incerteza. Expresse o resultado na forma A1 = AT ±σAT .
(d) (1,0) Um furo circular de área AF = (20 ± 4) cm2 é feito na chapa, como mostra a Figura 1b. Calcule a
área restante de alumínio e sua incerteza.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
5 
10 
15 
Figura 1a Figura 1b 
(cm) 
2. O histograma da �gura abaixo foi elaborado a partir de dados obtidos no experimento de pêndulo simples
realizado no laboratório e refere-se a medidas do período de um pêndulo simples com um cronômetro digital de
resolução igual a 0, 01 s. As medidas são efetuadas para uma única oscilação.
1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20
Período T(s)
0
5
10
15
20
25
30
Fr
eq
uê
nc
ia
 A
bs
ol
ut
a
1
(a) (0,5) Qual o número N de medidas realizadas pelos estudantes?
(b) (0,5) Determine a fração das medidas no intervalo [1, 72s ; 1, 90s[ .
(c) (1,0) Determine o valor médio 〈T 〉 das medidas do período. Indique a expressão matemática utilizada em
seus cálculos de�nindo claramente todas as quantidades utilizadas.
(d) (1,0) Suponha que o desvio padrão seja σT (não precisa calcular esta quantidade). Estime o número
mínimo de medidas que deve ser realizado para que a incerteza estatística seja menor ou igual à incerteza
instrumental. Deixe sua resposta em função de σT .
3. No experimento de colisões um estudante observou que, após colidir com a mesa, a esfera alcança uma altura h
menor que a altura de saída da rampa, H = (31, 90 ± 0, 05) cm (ver Figura). A diferença deve-se à dissipação
de energia no primeiro impacto com a mesa. O estudante realizou as seguintes medidas de X1 e X2:
X1(cm) 31, 20± 0, 05 31, 30± 0, 05 31, 05± 0, 05 31, 40± 0, 05 31, 50± 0, 05
X2(cm) 36, 31± 0, 05 37, 00± 0, 05 35, 60± 0, 05 35, 55± 0, 05 36, 10± 0, 05 
 
 
 
 
X
1
 
X
2
 
H 
h 
A 
B 
C 
D 
(a) (1,0) Obtenha os valores médios 〈X1〉 e 〈X2〉; e as incertezas estatísticas associadas a estas quantidades.
(b) (1,5) Calcule a velocidade vx com que a bola deixa a rampa e sua incerteza. Escreva na forma vx ± σvx .
(c) (1,0) A perda de energia pode ser mensurada pelo coe�ciente de restituição γ =
√
mgh/mgH. Supondo
que a velocidade vx não muda durante o movimento, o coe�ciente de restituição é γ = (X2/2X1). Calcule
γ e sua incerteza.
Formulário:
Propagação de incerteza: σ2f =
[
∂f(x, y)
∂x
σx
]2
+
[
∂f(x, y)
∂y
σy
]2
Desvio padrão: σ2x = 〈x2〉 − 〈x〉2 ; Desvio padrão da média: σ〈x〉 =
σx√
N
2
1o. Exercício Escolar - Física Experimental 1 - 01.2013
Gabarito
1. Chapa de alumínio em forma de um triângulo equilátero
(a) (1,0) O resultado da medida contém um algarismo duvidoso cujo valor podemos estimar pelo fato do
instrumento de medida ser �analógico�. A incerteza neste caso é metade da menor divisão: σL = 0, 5 cm.
Da �gura
L = 14, 7± 0, 5 cm .
(b) (1,0) Conforme a �gura abaixo, a área do triângulo equilátero é
AT = (B ×H)/2 = (L · L · sen60)/2 = L2 ·
√
3
4
,
cuja incerteza é
σAT = 2 · L · σL ·
√
3
4
=
√
3
2
· L · σL .
 
 
 
 
 
H 
B 
60
o
 
L 
(c) (0,5) A área do triângulo será, portanto,
AT = 93.569714...± 6, 36528... cm2 → AT = 94± 6 cm2 .
(d) (1,0) A área do restante do triângulo após fazermos o furo é AR = AT −AF = 94− 20 cm2, e a incerteza
nesta quantidade é σAR =
√
σ2AT + σ
2
AF
=
√
62 + 42 cm2 = 7, 21 cm2 → 7 cm2, de modo que a área
restante do triângulo será
AR = 74± 7 cm2 .
2. (a) (0,5) O número N de medidas realizadas pelos estudantes é a soma das frequências absolutas mostradas
no histograma:
N = 1 + 0 + 2 + 17 + 23 + 20 + 25 + 7 + 3 + 0 + 2 = 100
.
(b) (0,5) A fração fintervalo das medidas no intervalo [1, 72s ; 1, 90s[ é
fintervalo =
Nintervalo
N
=
17 + 23 + 20
100
= 0, 6
.
3
(c) (1,0) O valor médio 〈T 〉 das medidas do período é dada por
〈T 〉 =
N∑
i=1
fi · Ti ,
onde fi é a frequência com a qual o período Ti é medido. No caso, Ti será a mediana dos intervalos
registrados, de modo que a média dos períodos será
〈T 〉 = (1, 57 · 0, 01 + 1, 63 · 0, 00 + 1, 69 · 0, 03 + 1, 75 · 0, 17 + 1, 81 · 0, 23
+ 1, 87 · 0, 20 + 1, 93 · 0, 25 + 1, 99 · 0, 07 + 2, 05 · 0, 03 + 2, 11 · 0 + 2, 17 · 0, 02) s
⇒ 〈T 〉 = 1, 8640 s
(d) (1,0) A incerteza estatística é o desvio padrão da média σ〈T 〉 = σT /
√
N . Para que esta quantidade seja
menor que a incerteza instrumental σinst, supondo que o desvio padrão seja constante, obtemos que o
número mínimo de medidas a serem feitas é de�nida por
σT /
√
N = σinst ⇒ N =
( σT
σinst
)2
.
Apesar de não solicitado na questão (2), podemos calcular o desvio padrão através da expressão
σT =
√
〈T 2〉 − 〈T 〉2 =
√√√√ N∑
i=1
fi · T 2i −
(
N∑
i=1
fi · Ti
)2
〈T 2〉 = (1, 572 · 0, 01 + 1, 632 · 0, 00 + 1, 692 · 0, 03 + 1, 752 · 0, 17 + 1, 812 · 0, 23
+ 1, 872 · 0, 20 + 1, 932 · 0, 25 + 1, 992 · 0, 07 + 2, 052 · 0, 03 + 2, 112 · 0 + 2, 172 · 0, 02) s2
〈T 2〉 = 3, 48396 s2 ⇒ σT =
√
3, 48396− 1, 86402s = 0, 09730 s → σT = 0, 1 s
A incerteza instrumental é dada pela resolução do cronômetro, que é σinst = 0, 01 s e o número de medidas
necessárias para que a incerteza estatística seja menor que a incerteza instrumental será N = (0, 1/0, 01)2 =
100. Isto signi�ca que o conjunto de medidas realizadas neste experimento satisfaz esta condição.
3. (a) (1,0) Os valores médios podem ser calculados pelas equações
〈X〉 = 1
N
N∑
i=1
Xi ; σ
2
X =
1
N − 1
N∑
i=1
(Xi − 〈X〉)2 ; σ〈X〉 =
σX√
N
efetuando este cálculos obtemos:
〈X1〉 = 31, 29 cm σX1 = 0, 1746 cm σ〈X1〉 = 0, 0781 cm ⇒ X1 = 31, 29± 0, 08 cm
〈X2〉 = 36, 112 cm σX2 = 0, 592849 cm σ〈X2〉 = 0, 265130 cm ⇒ X2 = 36, 1± 0, 3 cm
(b) (1,5) Conhecendo o alcance X1 da esfera e a altura H da qual ela foi lançada, a velocidade horizontal é
obitada das equações da cinemática
H =
1
2
g t2q → tq =
√
2H
g
= 0, 2554 s ; vx tq = X1 ⇒ 〈vx〉 = 〈X1〉
tq
= 〈X1〉
√
g
2H
= 1, 2251 m/s
4
A incerteza no tempo de queda é σtq =
1
2
√
2
g · σHH3/2 e a incerteza na velocidade vx (em m/s) será
σvx =
√(
∂vx
∂X1
· σX1
)2
+
(
∂vx
∂tq
· σtq
)2
=
√(
σX1
tq
)2
+
(〈X1〉
t2q
· σtq
)2
σvx = 0, 003m/s
A velocidade, portanto, será:
vx = (1, 225± 0, 003) m/s
(c) (1,0) O coe�ciente de restituição é
γ =
〈X2〉
2 · 〈X1〉 =
36, 1
2 · 31, 112 = 0, 5769 ,
e a sua incerteza
σγ =
√(
∂γ
∂〈X1〉 · σ〈X1〉
)2
+
(
∂γ
∂〈X2〉 · σ〈X2〉
)2
=
√(
− 〈X2〉
2 · 〈X1〉2 · σ〈X1〉
)2
+
(
σ〈X2〉
2 · 〈X1〉
)2
= 0, 0005
Com isto o coe�ciente de restituição é
γ = 0, 5769± 0, 0005
5