Distribuições de Probabilidade Contínuas

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Probabilidade e Estat´ıstica
Aula 13
Distribuic¸o˜es de probabilidade cont´ınuas
Isis Didier Lins
Curso de Graduac¸a˜o em Engenharia de Produc¸a˜o
Departamento de Engenharia de Produc¸a˜o
Universidade Federal de Pernambuco
Recife, 22 de abril de 2016
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Modelo Normal
Exerc´ıcio 1
Se X ∼ N (90, 100), calcule:
a) P(X ≤ 115).
b) P(X ≥ 80).
c) P(X ≤ 75).
d) P(85 ≤ X ≤ 110).
e) P(|X − 90| ≤ 10).
f) Valor de a tal que P(90− a ≤ X ≤ 90 + a) = α, para α =
0,95.
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Modelo Normal
Exerc´ıcio 2
Uma indu´stria fabrica suco de laranja e usa uma ma´quina que
enche automaticamente garrafas de 500 mL. No entanto, ha´
variac¸o˜es na quantidade de l´ıquido colocada nas garrafas.
Observou-se que essa quantidade e´ bem modelada por uma
distribuic¸a˜o normal com me´dia 500 mL e desvio padra˜o 25 mL.
Determine:
a) A proporc¸a˜o de garrafas com mais de 525 mL de suco de
laranja.
b) A proporc¸a˜o de garradas com mais de 490 mL e menos de 510
mL de suco de laranja.
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Aproximac¸a˜o Normal para a Binomial
Grande nu´mero de repetic¸o˜es da prova de Bernoulli (n) no
experimento Binomial.
Se X ∼ Binomial(n, p) e W ∼ N (np, np(1− p)), enta˜o X
tem aproximadamente a mesma distribuic¸a˜o de W para n
grande. Portanto:
Z =
W − np√
np(1− p) e´ aproximadamente N (0, 1).
Fator de correc¸a˜o de continuidade:
P(X ≤ x) ≈ P(W ≤ x + 0,5).
P(X ≥ x) ≈ P(W ≥ x − 0,5).
Boa aproximac¸a˜o para np > 5 e np(1− p) > 5.
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Aproximac¸a˜o Normal para a Binomial
Exerc´ıcio 3
Com base em experieˆncias anteriores, uma empresa de servic¸os de
telefonia sabe que 10% das contas de seus clientes em uma
determinada regiao sa˜o pagas com atraso. Para os itens a seguir
obtenha o valor exato e o encontrado por meio de uma
aproximac¸a˜o Normal:
a) Se 20 contas sa˜o enviadas para essa regia˜o, qual a
probabilidade de que menos do que treˆs sejam pagas com
atraso?
b) Se 150 contas sa˜o enviadas mensalmente para essa regia˜o,
qual a probabilidade de 17 ou mais serem pagas com atraso?
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Aproximac¸a˜o Normal para a Poisson
Poisson → Binomial quando n→∞.
Se X ∼ Poisson(λ) e W ∼ N (λ, λ), enta˜o X tem
aproximadamente a mesma distribuic¸a˜o de W . Portanto:
Z =
W − λ√
λ
e´ aproximadamente N (0, 1).
Boa aproximac¸a˜o para λ > 5.
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Modelo Exponencial
Conexa˜o com a distribuic¸a˜o de Poisson:
Seja N ∼ Poisson(λx) o nu´mero de ocorreˆncias em x unidades
de comprimento / tempo.
Seja X a distaˆncia / intervalo entre ocorreˆncias.
Qual a probabilidade de na˜o haver ocorreˆncias por pelo menos
x unidades de distaˆncia / tempo?
P(X > x) = P(N = 0) =
(λx)0e−λx
0!
= e−λx .
FX (x) = P(X ≤ x) = 1− P(X > x) =?
fX (x) =?
X ∼ Exp(λ).
Falta de memo´ria: P(X > t + s|X > t) = P(X > s).
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Varia´veis aleato´rias cont´ınuas
Modelo Exponencial
Valor esperado e variaˆncia:
E (X ) =
1
λ
var(X ) =
1
λ2
.
Exerc´ıcio 4
O tempo T (em minutos) de uso de um caixa eletroˆnico e´ bem
modelado por uma distribuic¸a˜o Exponencial com me´dia treˆs
minutos. Determine:
a) A probabilidade de o uso do caixa ser finalizado em ate´ 4
minutos.
b) Um nu´mero a tal que P(T ≤ a) = 0,4.
c) Se voceˆ e´ o primeiro da fila e esta´ esperando ha´ treˆs minutos
nessa posic¸a˜o, qual a probabilidade de voceˆ esperar pelo
menos mais dois minutos para usar o caixa eletroˆnico?
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Distribuic¸o˜es cont´ınuas
Resumo
Distribuic¸a˜o Paraˆmetros Me´dia Variaˆncia
Uniforme a, b b+a2
(b−a)2
12
Normal µ, σ2 µ σ2
Exponencial λ 1λ
1
λ2
Ha´ muitas outras distribuic¸o˜es de probabilidade cont´ınuas:
Log-normal;
Weibull;
Gama;
Qui-quadrado;
t-Student;
Beta;
...
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