Parte II

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
 Ciências Exatas e Tecnológicas 
CEQ – Profª Karla Faccio 
 1 
 
Material de apoio – Controle Estatístico da Qualidade 
Parte II 
 
Profa. Karla Faccio 
 
 
4. COMBINATÓRIA 
 
4.1 Fatorial 
 
n! = n.(n - 1).(n - 2) ... 3.2.1 e tem-se também que 0! = 1 
A relação n! = n.(n -1)! poderá ser útil em algumas situações. 
 
Exemplo: Um professor comprou 5 novos livros e quer colocá-los lado a lado em uma 
estante. Quantas maneiras diferentes existem de colocar os 5 livros? 
 
Solução: Para o primeiro espaço, existem 5 escolhas possíveis, uma para cada livro. 
Uma vez colocado o primeiro livro, restam 4 escolhas para o segundo espaço e assim 
por diante. Então o número de escolhas diferentes é: 5! = 5.4.3.2.1 = 120. 
 
4.2 Permutações (Arranjos) 
 
Uma permutação consiste do número de possíveis maneiras de arranjar certos conjuntos 
de objetos. 
O número de permutações de n objetos distintos tomados em grupos de r, onde r é 
menor que n é representado por P(n, r), e P(n, r) = n.(n - 1).(n - 2) ... (n - r + 1). 
Ou o número de permutações pode ser expresso em função do fatorial da seguinte 
forma: 
)!(
!),(
rn
nrnP

 
 
Exemplo: 
Calcular cada permutação: 
P(4, 2) = 4.3 = 12 
P(7, 3) = 7.6.5 = 210 
P(5, 5) = 5.4.3.2.1 = 120 = 5! 
 
4.3 Combinações 
 
Existem certos arranjos onde a ordem entre os elementos não é importante, por 
exemplo, para calcular a probabilidade de acertar a sena, a quina, etc. não é necessário 
saber a ordem em que os números foram sorteados, mas apenas a combinação de 
números. Permutações (arranjos) onde a ordem não interessa são denominadas de 
combinações. 
 
 
 
 
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O número de combinações de n objetos tomados em grupos de r, onde r n é dado por: 
)!!.(
!
!
),(),(
rnr
n
r
rnPrnC

 
 
Exemplo: 
Uma forma comum de pôquer consiste em conjuntos de cinco cartas cada, retiradas de 
um baralho padrão de 52 cartas. Quantos conjuntos diferentes são possíveis? 
 
Solução: Neste caso a ordem não é importante, pois um dado conjunto de cartas 
depende apenas das cartas que ele contém e não da ordem específica que ele foi dado. 
Neste caso, aplica-se o conceito de combinação: 
Assim 960.598.2
)!552!.(5
!52)5,52( 

C 
 
Exercício: Considere o jogo da Megasena, onde o jogador possui uma cartela com 60 
números e pode escolher 6 números. Calcule o número de combinações possíveis. 
 
 
 
 
 
5. DISTRIBUIÇÕES / MODELOS DE PROBABILIDADE 
 
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é uma descrição das 
probabilidades associadas com os valores possíveis de X. Em alguns casos, é 
conveniente expressar a probabilidade através de uma fórmula matemática, chamada de 
Modelo de Probabilidade. 
 
Há dois tipos de distribuição de probabilidades: 
 
1. Distribuições Discretas: Uma variável aleatória é considerada discreta se puder 
assumir um número finito de valores, ou ainda, se assumir uma seqüência infinita tal 
como 0, 1, 2, etc. 
 
2. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa em 
uma escala contínua, como por exemplo, o peso de peças produzidas, diâmetro, etc. 
 
No caso de distribuições discretas, a probabilidade que a variável X assuma um valor 
específico x é dada por: P(X = x) = f(x). Deste modo, a distribuição de probabilidades é 
definida por uma função de probabilidade. 
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de 
intervalos: 
b
a
dxxfbxaP )()( . Deste modo, a distribuição de probabilidades é 
definida por uma função de probabilidade. 
 
 
 
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Condições Necessárias: 
Como os valores das distribuições de probabilidade são probabilidades (cada possível 
valor da variável aleatória tem uma probabilidade associada), as seguintes condições se 
aplicam a qualquer distribuição de probabilidades: 
1)(  xf , se X for uma variável aleatória discreta 0 ≤ P(x) ≤1 para todo x. 
1)(  dxxf , se X for uma variável aleatória contínua 0 ≤ P(x) ≤1 para todo x. 
 
Valor esperado, esperança matemática, média ou valor esperado de uma variável 
aleatória X 
 
O valor esperado de uma variável aleatória X usa o modelo de probabilidade para 
ponderar os valores possíveis de X. A média ou o valor esperado de X, denotado por  
ou E(X) é expressa da seguinte forma: 
 



n
1i
)(. )( xfxXE  se X for variável aleatória discreta 
ou 



 dxxfxXE )(.)(  se X for variável aleatória contínua 
 
Variância e desvio padrão de uma variável aleatória X 
 
A variância de uma variável aleatória X é dada por: Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 , onde: 
 



n
1i
22 )(. )( xfxXE  se X for variável aleatória discreta 
ou 



 dxxfxXE )(.2 2)(  se X for variável aleatória contínua 
 
E o desvio padrão é )(XVar 
 
 
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5.1 Distribuições / Modelos de Probabilidade para Variáveis Aleatórias 
Discretas 
 
Existem algumas distribuições de probabilidade para variáveis discretas que pela sua 
freqüência de uso vale a pena estudar mais detalhadamente. Estas distribuições 
apresentam expressões para o cálculo das probabilidades, isto é, as probabilidades f(x) 
podem ser avaliadas através de um modelo matemático conhecido. Distribuições deste 
tipo são: Binomial, Poisson, Bernoulli, Binomial Negativa, Hipergeométrica, 
Multinomial, Pascal, Geométrica, etc. Estudaremos a distribuição Binomial, a 
Hipergeométrica e a Poisson. 
 
5.1.1 Distribuição / Modelo Binomial 
 
Seja um processo composto de uma seqüência de observações independentes, onde o 
resultado de cada observação pode ser um sucesso ou uma falha. A distribuição 
Binomial é usada com freqüência no controle de qualidade. Em aplicações de controle 
da qualidade, x em geral representa o número de defeituosos observados em uma 
amostra de n itens. É o modelo apropriado quando a amostragem é feita sobre uma 
população infinita ou muito grande. 
 
A distribuição Binomial é útil para avaliar experimentos em que somente dois 
resultados são possíveis: sucesso ou fracasso. As características desta distribuição são: 
 
1º) O experimento pode ser repetido “n” vezes em condições essencialmente 
inalteradas; 
2º) As probabilidades “p” (sucesso) e “1-p” (fracasso) permanecem constantes em 
todas as repetições. 
 
Definição: Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado. Seja A 
 S um evento de S. Seja n o número de vezes que o experimento E é repetido e seja 
“p” a probabilidade de A ocorrer em cada uma das n repetições de E, de modo que, “p“ 
permaneça constante durante as n repetições de E. Como existem apenas duas situações: 
A ocorre ou A não ocorre, pode-se determinar a probabilidade de A não ocorrer como 
sendo q = 1 - p. A probabilidade “p” é denominada de probabilidade de sucesso e a 
probabilidade “q” de probabilidade de fracasso. 
 
A equação matemática para a distribuição Binomial para se obterem x sucessos com 
probabilidade p é: 
  xnppCxXP xnx  1..)( , onde: )!!.(
!
xnx
nC nx 
 
 
Onde: nxC representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez; 
 P(X = x): probabilidade de x sucessosuma vez que n e p são conhecidos; 
 n: tamanho da amostra; 
 p: probabilidade de sucesso  q = (1-p): probabilidade de falha; 
 x: número de sucessos na amostra (x = 0, 1, 2, ... , n), ou seja, o valor que se 
deseja determinar. 
 
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Para simplificar a notação de uma variável aleatória discreta X com distribuição 
Binomial de parâmetros “n” e “p”, representa-se X ~ B(n ; p). 
 
OBS. A Média ou Esperança matemática de uma variável aleatória com distribuição 
binomial é μ = E(X) = n.p e a Variância é dada por Var (X) = n.p.(1-p) onde p é 
proporção/probabilidade de sucessos na amostra. 
 
Exemplo 1. Considere X como sendo a variável aleatória discreta igual ao “número de 
vezes que ocorre face cara em 5 lançamentos de uma moeda equilibrada”, determine a 
probabilidade de ocorrer: 
a) Duas caras. 
b) Quatro caras. 
c) No máximo duas caras. 
 
Solução: 
Neste caso, tem-se: 
n = 5 (número de lançamentos) 
X : número de caras nos 5 lançamentos  X(S) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
p = P(Cara em 1 lançamento ) = 0,50, pois a moeda é equilibrada. Logo q = 1 - p = 0,50 
X ~ B(5 ; 0,5) 
 
Então: 
P(X = x) = f(x) = 5xC .0,5x.0,55-x, para x = 0,1,2,3,4,5. 
 
a) P(X = 2) = f(x) = 52C .0,52.0,55-2 = 10.0,25.0,125 = 0,3125 
Logo, a probabilidade de ocorrer 2 caras é 0,3125, ou seja, tem 31,25% de chance disto 
ocorrer. 
 
b) P(X = 4) = f(x) = 54C .0,54.0,55-4 = 5.0,0625.0,5 = 0,1562 
Logo, a probabilidade de ocorrer 4 caras é 0,1562, ou seja, tem 15,62% de chance disto 
ocorrer. 
 
c) P(X  2) = 50C .0,50.0,55-0 + 
5
1C .0,51.0,55-1 + 
5
2C .0,52.0,55-2 = 0,55 + 5.0,55 + 10.0,55 
= 0,50 
Logo, a probabilidade de ocorrer no máximo duas caras é 0,50, ou seja, tem 50% de 
chance disto ocorrer. 
 
Ou realizando as contas no Excel: 
a) =DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
 =DISTR.BINOM(2;5;0,5;FALSO) 
 
b) =DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
 =DISTR.BINOM(4;5;0,5;FALSO) 
 
b) =DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
 =DISTR.BINOM(0;5;0,5;FALSO) + DISTR.BINOM(1;5;0,5;FALSO) + 
 DISTR.BINOM(2;5;0,5;FALSO) 
 
 
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Exemplo 2. Um processo industrial opera com média de 1% de defeituosos. 
Baseado em amostras de 100 unidades, calcule as probabilidades de uma amostra 
apresentar 0 , 1 , 2 , 3 e 4 defeituosos. 
 
Solução: 
Como a variável aleatória pode apresentar apenas duas possibilidades, ser boa ou 
defeituosa, a distribuição que melhor se ajusta é a distribuição binomial, com 
parâmetros p = 0,01 e n = 100, e como q = (1 – p) = (1-0,01) 
X ~ B(100 ; 0,01) 
 
Então, a probabilidade de uma amostra de tamanho n = 100 apresentar 0 defeituosos é: 
 
P(X = 0) = f(x) = 1000C .0,010.(1 - 0,01)100-0 = 0,366 
Logo, a probabilidade de ocorrer 0 defeituosos é 0,366, ou seja, tem 36,6% de chance 
disto ocorrer. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
=DISTR.BINOM(0;100;0,01;FALSO) 
 
1 defeituoso é: 
 
P(X = 1) = f(x) = 1001C .0,011.(1 - 0,01)100-1 = 0,370 
Logo, a probabilidade de ocorrer 1 defeituoso é 0,370, ou seja, tem 37,0% de chance 
disto ocorrer. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
=DISTR.BINOM(1;100;0,01;FALSO) 
 
2 defeituosos é: 
 
P(X = 2) = f(x) = 1002C .0,012.(1 - 0,01)100-2 = 0,185 
Logo, a probabilidade de ocorrer 2 defeituosos é 0,185, ou seja, tem 18,5% de chance 
disto ocorrer. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
=DISTR.BINOM(2;100;0,01;FALSO) 
 
3 defeituosos é: 
 
P(X =3) = f(x) = 1003C .0,013.(1 - 0,01)100-3 = 0,061 
Logo, a probabilidade de ocorrer 3 defeituosos é 0,061, ou seja, tem 6,1% de chance 
disto ocorrer. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
 
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=DISTR.BINOM(3;100;0,01;FALSO) 
 
4 defeituosos é: 
 
P(X =4) = f(x) = 1004C .0,014.(1 - 0,01)100-4 = 0,015 
Logo, a probabilidade de ocorrer 4 defeituosos é 0,015, ou seja, tem 1,5% de chance 
disto ocorrer. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
=DISTR.BINOM(4;100;0,01;FALSO) 
 
Exemplo 3: As entregas realizadas para uma empresa têm ocorrido dentro do prazo em 
86% dos pedidos. Se são prometidas 20 entregas deste tipo, qual a probabilidade de que 
exatamente 15 ocorram no prazo indicado? E qual deve ser a quantidade de entregas no 
prazo mais provável de ocorrer? 
 
Solução: 
X ~ B(20 ; 0,86) 
Como p = 0,86 e n = 20, a probabilidade de obter x entregas no prazo é calculada 
usando,   xnppCxXP xnx  1)( , neste exemplo, o solicitado é para x=15: 
  152086,0186,0)15( 152015  CXP = 0,0868 
 
Logo, a probabilidade de ocorrer 15 entregas no prazo é 0,0868, ou seja, tem 8,68% de 
chance disto ocorrer. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.BINOM(x;n;p;FALSO) ou seja: 
=DISTR.BINOM(15;20;0,86;FALSO) 
 
E a quantidade de entregas no prazo mais provável de ocorrer será dada pelo cálculo da 
média (esperança matemática) da distribuição Binomial é μ = E(X) = np = 20 . 0,86 = 
17,2 entregas, assim, espera-se que de 20 entregas, 17 ocorram no prazo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: 
Um processo opera segundo uma chance de falha de 2%. Coletando amostras de 25 
unidades, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar: 
 
a) Exatamente 2 defeituosos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Pelo menos (no mínimo) 2 defeituosos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2 defeituosos ou menos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.1.2 Distribuição / Modelo Hipergeométrico 
 
Um experimento hipergeométrico é um experimento com as seguintes propriedades: 
 
- Uma amostra de tamanho n é selecionada aleatoriamente sem reposição de uma 
população de N itens. 
- Na população, r itens podem ser classificados como sucessos e N – r itens como 
fracassos. 
 
Considere o seguinte experimento estatístico: 
Você possui uma urna com 10 bolinhas de gude, das quais 5 são vermelhas e 5 são 
verdes. Você selecciona aleatoriamente 2 bolinhas de gude sem reposição e conta o 
número de bolinhas vermelhas que você selecionou. => Este seria um experimento 
Hipergeométrico. Note que não será um experimento Binomial, uma vez que o 
experimento Binomial exige que a probabilidade de sucesso seja constante em cada 
tentativa. 
Com o experimento acima, a probabilidade de um sucesso muda em cada tentativa. No 
início, a probabilidade de selecionar uma bolinha vermelha é 5/10. Se você selecionar 
uma bolinha vermelha na primeira tentativa, a probabilidade de selecionar uma bolinha 
vermelha na segunda tentativa é 4/9. E se você selecionar uma bolinha verde na 
primeira tentativa, a probabilidade de selecionar uma bolinha vermelha na segunda 
tentativa é 5/9. 
Note ainda que se você selecionou as bolinhas com reposição, a probabilidade de 
sucesso não mudaria, isto é, seria 5/10 em cada tentativa. Então, este seriaum 
experimento Binomial. 
 
Desta forma, considere um conjunto de N elementos, r dos quais tem uma determinada 
característica (r  N) e N – r não tenham esta característica. 
Extrai-se n elementos (n  N) sem reposição. 
 
Seja X a variável aleatória igual ao número de elementos que possuem a característica 
entre os n retirados. X é denominada de variável aleatória Hipergeométrica. 
 
 As probabilidades de uma variável aleatória hipergeométrica podem ser avaliadas por: 
 
N
n
rN
xn
r
x
C
CCxXP


.
)( , com x = 0,1,2,··· ,min(n,r) 
 
Uma vez que X = x, se e somente se, forem retirados x elementos dentre os r que 
possuem a característica e forem retirados n – x dentre os N – r que não possuem a 
característica. 
 
Para simplificar a notação de uma variável aleatória discreta X com distribuição 
Hipergeométrica de parâmetros “r”, “n” e “N”, representa-se X ~ (r ; n; N). 
 
 
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OBS: A Média ou Esperança matemática de uma variável aleatória com distribuição 
hipergeométrica é μ = E(X) = 
N
nr. e a Variância é dada por Var (X) = 
)1(
)(.)(..


N
nN
N
rN
N
rn . 
 
OB: Se as extrações fossem feitas com reposição, iríamos ter uma distribuição 
Binomial, ou seja, para N suficientemente grande a distribuição Hipergeométrica pode 
ser aproximada pela distribuição Binomial. 
 
Exemplo 1: Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São 
escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que: 
 
a) Exatamente duas estejam queimadas? 
Solução: 
Tem-se N = 12, r = 5 e n = 6, ou seja, X ~ (5 ; 6; 12), então: 
 
3788,0
.
)2( 12
6
512
26
5
2 


C
CCXP = 37,88% 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DIST.HIPERGEOM.N(x;n;r;N;FALSO) ou seja: 
=DIST.HIPERGEOM.N(2;5;6;12;FALSO) 
 
b) Pelo menos duas estejam queimadas? 
Solução: 
  %88,878788,0..1)1()0(1)2(1)2( 12
6
512
16
5
1
12
6
512
06
5
0 










C
CC
C
CCXPXPXPXP
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=1 – (DIST.HIPERGEOM.N(0;5;6;12;FALSO) + 
DIST.HIPERGEOM.N(1;5;6;12;FALSO)) 
 
c) O número esperado de lâmpadas queimadas? 
Solução: 
E(X) = 50,2
12
6.5.

N
nr 
 
 
d) A variância do número de lâmpadas queimadas? 
Solução: 
s2= var (X) = 13,0
12.12.12
6.7.5
)1(
)(.)(.. 


N
nN
N
rN
N
rn 
 
 
 
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Exemplo 2: Suponha que sejam selecionadas aleatoriamente 5 cartas de baralho, sem 
reposição, de um maço baralho que possui 52 cartas. Qual é a probabilidade de obter 
exatamente 2 cartas de baralho vermelhas (isto é, copas ou ouros)? 
 
Solução: 
Tem-se N = 52, r = 26 cartas vermelhas, n = 5 cartas selecionadas aleatoriamente e 
x = 2, Logo X ~ (26 ; 5; 52), então: 
 
%51,3232513,0
2598960
2600.325..)2( 52
5
26
3
26
2
52
5
2652
25
26
2 


C
CC
C
CCXP 
Assim, a probabilidade de selecionar aleatoriamente 2 cartas vermelhas é 32,51%. 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DIST.HIPERGEOM.N(x;n;r;N;FALSO) ou seja: 
=DIST.HIPERGEOM.N(2;5;26;52;FALSO) 
 
Exercício 1: De uma urna com 8 bolas vermelhas, 6 pretas e 6 brancas são extraídas 10 
bolas. Calcule qual a probabilidade de que sejam extraídas exatamente 4 bolas brancas 
considerando os casos: 
a) Sem reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Com reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: Suponha que sejam selecionadas aleatoriamente 5 cartas de um maço de 
baralho que possui 52 cartas. Qual é a probabilidade de obter 2 cartas de copas ou 
menos considerando os seguintes casos: 
a) Sem reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Com reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.1.3 Distribuição / Modelo Poisson 
 
Depois da Binomial, a distribuição de Poisson é a distribuição de probabilidade discreta 
mais utilizada, pois pode ser aplicada a muitos casos práticos nos quais interessa o 
número de vezes que um determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de 
tempo ou num determinado ambiente físico, por exemplo: 
 
 O número de acidentes de carros por dia numa grande cidade. 
 O número de chamadas telefônicas por hora recebidas na central telefônica 
durante o período normal de operação de uma empresa. 
 O número de defeitos de soldagem em seis metros de tubo. 
 O número de garrafas mal fechadas por trinta minutos na máquina de 
enchimento de cerveja. 
 
A variável aleatória envolvida é discreta (número de ocorrências), no entanto, a unidade 
de medida é contínua (tempo, área). 
Exemplos de variáveis que podem pertencer a uma distribuição de Poisson: 
- Número de carros que passam pelo pedágio em 1 hora. 
- Número de clientes atendidos por um caixa em 1 dia. 
- Número de mortes por afogamento das 5:00 às 17:00hs. 
- Número de partículas emitidas por um corpo radioativo num certo período de tempo. 
Ou seja, numa distribuição de Poisson sempre temos que definir o intervalo / período da 
variável. 
A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da qualidade é como um 
modelo para o número de defeitos (não-conformidades) que ocorre por unidade de 
produto (por m2, por volume ou por tempo). 
Diz-se que existe um processo de Poisson se pudermos observar eventos discretos numa 
área de oportunidade (um intervalo contínuo, por exemplo, de tempo, de comprimento, 
de área, etc) de maneira tal que, reduzindo suficientemente essa área de oportunidade 
que pode ser um intervalo de tempo, espaço, ou área na qual mais de uma ocorrência de 
um evento pode ocorrer: 
1. A probabilidade de se observar apenas um sucesso no intervalo é estável; 
2. A probabilidade de se observar mais de um sucesso no intervalo é zero; 
3. A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente independente da 
ocorrência em qualquer outro intervalo. 
A distribuição de Poisson possui apenas um parâmetro, o  (lambda) que é taxa média 
de ocorrência por unidade de medida ou o número esperado de sucessos por unidade. A 
 
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variância desta distribuição é Var(X) = . O número de sucessos por área de 
oportunidade da variável aleatória X de Poisson varia de 0 a ∞. 
A equação matemática para a distribuição de Poisson para se obterem x sucessos, uma 
vez que  sucessos são esperados é: 
 
!
.)(
x
exXP
x
 , onde x = 0, 1, 2, ... 
 
Onde, P(x) = probabilidade de x sucessos, dado o conhecimento de  
= taxa / número esperado de sucessos. 
e = constante matemática (aproximadamente 2,71828). 
x = número de sucessos por unidade / número de eventos que ocorrem em um intervalo 
sobre o qual se espera uma média de ocorrências. 
 
A média e o desvio padrão da distribuição de Poisson são:   e   . 
 
Para simplificar a notação de uma variável aleatória discreta X com distribuição 
Poisson, com média , utiliza-se: X ~ P () 
 
Exemplo1: Em um certo tipo defabricação de fita magnética, ocorrem defeitos a uma 
taxa de 1 a cada 2000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 metros de 
fita magnética: 
a) Não tenha defeitos? 
b) Tenha no máximo dois defeitos? 
c) Tenha pelo menos dois defeitos? 
 
Solução: 
Neste caso, tem-se: 
 taxa de defeitos / número esperado de defeitos a cada 2000 metros. 
X: número de defeitos a cada 2000 metros. 
S = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
X ~ P(1) 
!
)(
x
exXP
x
 , para x = 0,1,2,3,... 
 
a) P(X=0) = 1
01
!0
1   ee = 0,3679 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DIST.POISSON(x;média;FALSO) ou seja: 
=DIST.POISSON(0;1;FALSO) 
b) P(X 2) = [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] = 
!2
1
!1
1
!0
1 211101 

eee = 0,9197 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DIST.POISSON(0;1;FALSO) + DIST.POISSON(1;1;FALSO) + 
DIST.POISSON(2;1;FALSO) 
 
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c) P(X2) = 1- P(X 1) =1 – [P(X=0) + P(X=1)] = 1- 







!1
1
!0
1 1101 ee = 1 – 2e-1 = 0,2642 
Ou realizando a conta no Excel: 
=1 – ((DIST.POISSON(0;1;FALSO) + DIST.POISSON(1;1;FALSO)) 
 
Exemplo 2: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. 
 
a) Qual a probabilidade que uma página contenha pelo menos 3 erros? 
 
Variável estudada (X): número de erros por página. 
S = {0,1,2,3,4,...} 
X ~ P(1) 
Logo, = 1 (taxa / número de erros esperado por página) 
 
P(X 3) = 
!x
e x = 1 – [ P(X 2) ] = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ] = 
 = 1 – 







!2
1
!1
1
!0
1 211101 eee = 1 – e-1 [ 1+1+1/2] = 0,0803 
Ou realizando a conta no Excel: 
=1 – ((DIST.POISSON(0;1;FALSO) + DIST.POISSON(1;1;FALSO + 
DIST.POISSON(2;1;FALSO)) 
 
b) Qual a probabilidade que em 3 páginas haja pelo menos 2 erros? 
 
Y: número de erros em 3 páginas. 
S = {0,1,2,...} 
X ~ P(3) 
Logo, = 3 (taxa / número esperado de erros em 3 páginas) 
 
P(Y 2) = 1 – [ P(Y1) ] = 1 – [ P(Y=0) + P(Y=1) ] = 1 - 







!1
3
!0
3 1303 ee = 0,8008 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=1 – ((DIST.POISSON(0;3;FALSO) + DIST.POISSON(1;3;FALSO)) 
 
Exemplo 3: Suponha que o número de óbitos semanais na emergência de um hospital 
siga uma distribuição de Poisson com  = 3. Então, a probabilidade que uma semana 
apresente: 
X ~ P(3) 
 
a) Exatamente três 4 óbitos. 
!
)(
x
exXP
x
 onde x = 4 e  = 3, então: 1680,0
24
81.0497870,0
!4
3)4(
43

eP 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DIST.POISSON(4;3;FALSO) 
 
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b) Mais de três óbitos será. 
 
 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=1 – ((DIST.POISSON(0;3;FALSO) + DIST.POISSON(1;3;FALSO + 
DIST.POISSON(2;3;FALSO+DIST.POISSON(3;3;FALSO)) 
 
 
Exercício 1: 
O pessoal da inspeção da qualidade de uma empresa afirma que os rolos de fita isolante 
apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Calcule a probabilidade de 
ocorrer: 
 
a) Nenhuma emenda em um rolo de 140 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Pelo menos duas emendas em um rolo de 120 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Exatamente quatro emendas em um rolo de 100 metros. 
 
 
 
 
3528,06472,01]224042,0224042,0149361,0049787,0[1
!3
3
!2
3
!1
3
!0
3[131
33231303


 eeeeXP
 
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Exercício 2: Os e-mails de clientes de uma grande rede de compras via internet chegam 
a uma central de relacionamento a uma taxa de 6,5 e-mails por hora. Determine a 
probabilidade de que, durante uma hora: 
 
a) Não chegue nenhum e-mail. (R: 0,00150344) 
 
 
 
 
 
 
b) Cheguem 5 e-mails. (R: 0,1453689) 
 
 
 
 
 
 
c) Chegue mais de 2 e-mails. (R: 0,956964) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.2 Distribuições / Modelos de Probabilidade para Variáveis Aleatórias 
Contínuas 
 
A distribuição de probabilidade contínua mais importante e mais utilizada na prática é a 
Distribuição Normal. Outros modelos importantes de distribuições contínuas são: 
Uniforme, Exponencial, Gama, Weibull, Qui-Quadrado, t de Student, F de Snedecor, 
etc. 
 
5.2.1 Distribuição / Modelo Exponencial 
 
Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definida como o número de 
ocorrências em determinado período, sendo a média das ocorrências no período definida 
como . 
Na Distribuição Exponencial, a variável aleatória é definida como o tempo entre duas 
ocorrências, sendo o tempo médio entre ocorrências igual a 1/. Por exemplo, se a 
média de atendimentos em um caixa bancário é de  = 6 atendimentos por minuto, 
então o tempo médio entre atendimentos é 1/ = 1/6 de minuto ou 10 segundos. Se os 
questionamentos de probabilidade se referirem ao tempo entre as ocorrências, 
utilizamos o modelo exponencial. 
As distribuições exponenciais envolvem probabilidades ao longo do tempo ou da 
distância entre ocorrências num intervalo contínuo. Podem ser usadas para os tempos 
entre falhas de equipamentos elétricos, os tempos de entregas aos clientes de uma loja, 
para os tempos entre chamadas telefônicas etc. 
 
Pode-se usar também esta distribuição para calcular probabilidades de falhas (no campo 
da confiabilidade), ou seja, o intervalo de tempo decorrido entre o instante em que uma 
peça é sujeita a um esforço mecânico e o instante em que ocorre uma falha (a quebra da 
peça, por exemplo). O parâmetro  representa a taxa de falha para o componente em 
uma unidade de tempo, e 1/ é o tempo médio até a falha. 
 
Se considerarmos a distribuição de Poisson como o modelo para o número de 
ocorrências de um evento no intervalo de [0, t] teremos: 
!
)()(
x
texXP
xt 
 e nesse 
caso pode ser demonstrado que a distribuição dos intervalos entre ocorrências irá seguir 
o modelo Exponencial com parâmetro . 
 
O modelo da distribuição Exponencial (ou seja, a função densidade de probabilidade 
da distribuição Exponencial) é dada por: 
 
tetf   .)( , para t  0 
 0, caso contrário 
 
Para simplificar a notação de uma variável aleatória contínua T com distribuição 
Exponencial, com média 1/, utiliza-se: T ~ E( 
 
 
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A média e o desvio-padrão da distribuição Exponencial são calculados usando: 

 1 e 


1
 . 
 
A função densidade de probabilidade acumulada da distribuição Exponencial (a qual 
é utilizada para o cálculo das probabilidades) é dada por: 
0 1}{)( a
0
  tedteaTPaF
a t  
 
Logo, 
aeaTP  1)( 
ou 
aeaTP  )( 
 
 
 
Exemplo 1: Suponha que uma máquina falhe em média uma vez a cada dois anos. 
Calcule a probabilidade da máquina falhar durante o próximo ano. 
 
Solução: 
Com a máquina falha em média 1 vez a cada 2 anos – a taxa anual é de =1/2=0,5 por 
ano. 
Assim, T ~ E(0,5) 
 
0,39350,6065-11)1()( 0,5.1  eTPaF 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.EXPON(a;;VERDADEIRO) ou seja: 
=DISTR.EXPON(1;0,5;VERDADEIRO) 
 
 
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Exemplo 2: Certo tipo de condensador tem tempo de vida distribuído exponencialmente 
com média de 250 horas. Determine a probabilidade de estes condensadores durarem 
menos que 320 horas. 
 
Solução: 
Sabe-se que o tempo de vida possui média de 250 horas, logo 250 = 

1 , assim = 0,004 
Assim, T ~ E(0,004) 
 
0,7220,278-11)320()( 0,004.320  eTPaF 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=DISTR.EXPON(a;;VERDADEIRO) ou seja: 
=DISTR.EXPON(320;0,004;VERDADEIRO) 
 
 
Exemplo 3: O tempo de vida de certas lâmpadas fluorescentes tem distribuição 
exponencial com média de 1500 h. Qual é a probabilidade de uma lâmpada durar mais 
do que 3000 h? 
 
Solução: 
Sabe-se que o tempo de vida de lâmpadas possui média de 1500 horas, logo 1500 = 

1 , 
assim = 0,0007 
Assim, T ~ E(0,0007) 
 
0,1225)3000( 000,0007..30  eTP 
 
Ou realizando a conta no Excel: 
=1 – DISTER.EXPON(a;;VERDADEIRO) ou seja: 
=1 – DISTR.EXPON(3000;0,0007;VERDADEIRO) 
 
 
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Exercício 1: Admita que o tempo de espera por atendimento em uma agência bancária 
seja exponencialmente distribuído com média de 15 minutos. Determine a probabilidade 
de um cliente esperar: 
a) Menos de 5 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mais de 10 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Entre 8 e 12 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de 
vida médio igual a 120 meses, seguindo comportamento exponencial. 
a) Qual é a probabilidade de uma lâmpada ter durabilidade superior a 100 meses? R: 
0,4346 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual deve ser a garantia do fabricante para que deva repor apenas 5% da produção? 
R: 6,2 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.2.2 Distribuição / Modelo Normal (Curva de Gauss) 
 
A Distribuição Normal ou Gaussiana é essencialmente importante na estatística por três 
razões principais: 
 
1. Inúmeros fenômenos contínuos parecem segui-la ou podem ser aproximados por 
meio da mesma. 
2. Podemos utilizá-la para aproximar várias distribuições de probabilidade discretas. 
3. Ela oferece a base para a inferência estatística clássica, devido à sua afinidade com o 
teorema do limite central (TCL). 
 
Os parâmetros da distribuição Normal são a média () e o desvio padrão (). Trata-se 
de uma distribuição simétrica, unimodal, em forma de sino. 
 
A função densidade de probabilidade da distribuição normal é dada por: 
 
2
2
1
2
1)(





 
 


x
exf , onde: 
 
e = constante matemática (aproximada por 2,71828) 
constante matemática (aproximada por 3,14159) 
 = média aritmética da população, onde , - <  <  
 = desvio padrão da população, onde  > 0 
x = qualquer valor da variável aleatória contínua, onde - < x <  
 
A distribuição Normal, independentemente dos valores dos parâmetros, apresenta 
sempre a seguinte relação: 
 
 
 
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Para simplificar a notação de uma variável aleatória contínua X com distribuição 
Normal, com média  e desvio padrão , utiliza-se: X ~ N( 
 
A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor 
que um dado valor a: 
dxedxxfaFaXP
xaa
2
2
1
2
1 )()()(





 

  



 
 
Essa integral não pode ser resolvida em forma fechada, mas a solução está apresentada 
em tabelas da distribuição Normal padronizada onde se entra com a variável reduzida Z 
(número de desvios-padrões distantes da média) e encontra-se F(Z) ou vice-versa. 
 
 )()( 





  ZFaZPaXP


 Valor tabelado (Procurar na tabela da 
distribuição Normal padrão) 
 
 
Ou utilizando o Excel: 
=DIST.NORM(a;média;desvio padrão;VERDADEIRO) – utilizando o Excel ele nos 
fornece a área à esquerda de a, ou seja, fornece a P(Xa). 
 
   )(111)( ZFaZPaXPaXP 





 

 
 )()( ZFaZPaXP 





 

 
 
P(a < X < b)  Probabilidade de X estar entre a e b, ou seja, é a área sob a curva entre 
a e b. 
 
 
 
 
 
 
x 
 
 a 
f(x) 
a ba ba b
 
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Distribuição Normal padrão ou Normal reduzida 
 
Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com quaisquer parâmetros média 
 e desvio-padrão . Se realizarmos a transformação abaixo obteremos uma nova 
variável Z com média 0 e variância 1. 
 
 X ~ N( ; )  



aZ  Z ~ N(0;1) 
 
Onde, a = valor de interesse da variável 
 = média populacional da variável 
 = desvio-padrão populacional da variável 
 
 
Qualquer variável com distribuição Normal pode ser padronizada para a Normal padrão. 
A distribuição Normal padrão (Z) é tabelada. 
 
OBS: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5. 
 
Exemplo: Transformação de uma variável X na variável padronizada Z (onde as 
probabilidades estão tabeladas de -∞ até um determinado z que é função de a). 
 
X ~ N(100,22)  



aZ  Z ~ N(0,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 102 104 10694 96 98
0
2
100100


z
X
Z0 +1 +2 +3-3 -2 -1
2
2
100104


z
3
2
10094


z
2100  
10  
    0013,0394  zPxP
    50,00100  zPxP
  9772,02(  zPXP
 
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Uso da Tabela Normal Padrão 
 
Como encontrar a área sob a curva da distribuição Normal Padrão N(0;1)? 
 
Exemplo: Seja Z ~ N(0;1), calcular: 
 
SITUAÇÃO 1: PROBABILIDADE INFERIOR A UM VALOR 
a) P(Z  0,32) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procurando a P(Z  0,32) na tabela da Normal padrão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, P(Z  0,32) = 0,6255. 
 
SITUAÇÃO 2: PROBABILIDADE SUPERIOR A UM VALOR 
b) P(Z  1,5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, P(Z > 1,5) = 1 – P(Z  1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668. 
 
0,62550,62170,61790,3
0,58700,58310,57920,2
0,54770,54370,53980,1
0,50790,50390,50000,0
210z
0,62550,62170,61790,3
0,58700,58310,57920,2
0,54770,54370,53980,1
0,50790,50390,50000,0
210z
 
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SITUAÇÃO 3: PROBABILIDADE ENTRE DOIS VALORES 
c) P(1,32 < Z  1,79)Logo, P(1,32 < Z  1,79) = P(Z  1,79) – P(Z  1,32) = 0,9633 - 0,9066 = 0,0567. 
 
d) P(-1  Z  2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, P(–1  Z  2) = P(Z  2) – P(Z  –1) = 
 = 0,9772 – 0,1587 = 0,8185. 
 
Como encontrar o valor z da distribuição Normal Padrão N(0;1)? 
 
Exemplo: Seja Z ~ N (0 ; 1), calcular: 
 
a) P(Z  z) = 0,975 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se z é tal que P(Zz) = 0,975. 
 
Zz Zz
 
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Pela tabela, z = 1,96, ou seja, este é o valor crítico cuja a área à esquerda deste z vale 
0,975 (“miolo” da tabela). 
 
b) P(– z  Z  z) = 0,80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se z é tal que P(Z  – z) = P(Z  z) = 0,1. 
 
Isto é, P(Z z) = 0,90 e assim, pela tabela, z = 1,28 e – z = 1,28. 
 
c) P(Z  z) = 0,975 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como P(Z z) = 0,975, então: P(Z z) = 1 – P(Z z)  P(Zz) = 0,0250  assim, 
pela tabela da Normal padrão, z = -1,96. 
 
d) P(Z  z) = 0,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como P(Z z) = 0,3, então: P(Z z) = 1 – P(Z z)  P(Z z) = 0,7  assim, pela 
tabela da Normal padrão, z = 0,53. 
 
Zz– z Zz– z
Zz Zz
Zz Zz
 
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Exemplo 1: O peso de um produto é uma característica muito importante. Sabe-se que o 
peso segue um modelo normal com média 1000 gramas e desvio padrão 40 gramas. Se a 
especificação técnica estabelece que o peso deve ser maior que 950 gramas, qual a 
probabilidade de que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação? 
 
 
 X ~ N(1000 ; 42)  Z ~ N(0 ; 12) 
 
8944,01056,01)25,1(1
40
10009501)950(1)950( 




  ZPZPXPXP
 
A probabilidade de que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação 
é de 89%. 
 
 
Exemplo 2: Sabe-se que X representa medições feitas em um processo que segue o 
modelo Normal com média 100 e desvio padrão 10. Se forem feitas 4000 medições, 
quantas estarão entre 95 e 112? 
 
X ~ N(100 ; 102)  Z ~ N(0 ; 12) 
 
5764,03085,08849,0
)05,()2,1()2,15,0(
10
100112
10
10095)11295(






 

 ZPZPZPZPXP
 
Ou seja, aproximadamente 58% estarão entre 95 e 112. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Padronização 
 
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Exemplo 3: Seja X ~ N(10 ; 64) ( = 10, 2 = 64 e  = 8). Calcule: 
 
a) P(6  X  12) 
2902,03085,05987,0
)05,()25,0()25,05,0(
8
1012
8
106)126(






 

 ZPZPZPZPXP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(X  8 ou X > 14) 
 
7098,0]6915,01[4013,0)]5,0(1[)25,0(
)5,0()25,0(
8
1014
8
108)14()8(






 




 
ZPZP
ZPZPZPZPXPXP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) k tal que P(X  k) = 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ZZ
ZZ
z
Pela 
Z
z
Pela 
Z
 
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95,0
8
1005,0
8
1005,0)( 




 




 
kZPkZPkXP 
 
Como z é tal que P(Zz) = 0,95, pela tabela da distribuição Normal padrão, observa-se 
que z = 1,64. 
 
Logo, 12,2364,1
8
10


 kkz 
 
d) k tal que P(X  k) = 0,025 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
025,0
8
10025,0)( 




 
kZPkXP 
Como z é tal que P(Z - z) = 0,025, pela tabela da distribuição Normal padrão, observa-
se que z = -1,96. 
 
Logo, 68,596,1
8
10


 kkz 
 
ZZ
 
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Exercício 1: Suponha que X: consumo diário de água, em litros, seja razoavelmente 
normal com média 20 e desvio padrão 4 entre as famílias de um bairro. Se observarmos 
uma particular família deste bairro ao acaso, determine a probabilidade de que seu 
consumo de água seja: 
 
a) Inferior a 20 litros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Inferior a 17 litros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Superior a 24 litros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Entre 18 e 29 litros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residências 
tenham distribuição normal com média de 9,4 kg e desvio-padrão de 4,2 kg, determine a 
probabilidade de uma residência aleatoriamente selecionada descartar: 
 
a) Menos de 10 Kg. (R: 0,5557) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Mais de 12 Kg. (R: 0,2676) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Entre 5,0 kg e 8,0 kg. (R: 0,2238) 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS (Distribuições probabilísticas): 
 
1. Um vendedor recebe 20 endereços para visitar a cada dia. Um morador de cada 
endereço manifestou, por correspondência, interesse de receber o vendedor e discutir o 
produto. A experiência do vendedor é que é feita uma venda em cada 10 domicílios. 
Qual é a probabilidade de que sejam feitas 5 vendas em determinado dia? 
 
2. A probabilidade de um componente eletrônico falhar durante sua utilização é de 2%. 
Em um teste de qualidade deste componente, 6 unidades foram testadas. Qual a 
probabilidade de: 
a) Todas unidades funcionarem corretamente. 
b) Ocorrer falha em 3 unidades. 
e) Ocorrer falha em no máximo 1 unidade. 
 
3. Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma. 10 aparelhos são 
inspecionados. O lote só é aceito se todos os itens forem perfeitos. Sabendo-se que a 
probabilidade de um aparelho ser defeituoso é de 1%, qual a probabilidade da firma 
aceitar todo o lote? 
 
4. Um vendedor de seguros vende apólices a 5 homens, todos da mesma idade e de boa 
saúde. De acordo com as estatísticas, a probabilidade de um homem dessa idade estar 
vivo daqui a 30 anos é de 67%. Determine a probabilidade de estarem vivos neste prazo 
todos os cinco homens. 
 
5. Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30% de sua produção apresenta algum 
defeito. Se tal suspeita é correta, determine a probabilidade de que, em uma amostra de 
4 peças sejam encontradas: 
a) Todas defeituosas. 
b) Nenhuma defeituosa. 
c) Uma peça defeituosa. 
d) No máximo 2 defeituosas. 
 
6. (2014/1) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças 
conterá, no máximo, duas defeituosas. Se uma caixa contém 18 peças, e a experiência 
tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% de peças defeituosas, qual 
a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia? 
 
7. Uma firma exploradora de petróleo verificou que 5% dos poços que perfura acusam 
depósito de gás natural. Se ela perfurar 6 poços, determine a probabilidade de pelo 
menos 1 ser depósito de gás natural. 
 
8. A probabilidade de um carro de determinada marca apresentar problemas no vidro 
elétrico dianteiro é de 2%. Se 8 carros desta marca são vendidos, qual a probabilidade 
de metade deles apresentar problemasvidro elétrico dianteiro? 
 
9. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria 
siderúrgica têm alergia aos poluentes lançados ao ar. Calcule a probabilidade de que 
pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 6 selecionados ao acaso. 
 
 
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10. A probabilidade do pouso de um avião ocorrer com sucesso usando um simulador 
de vôo é 70%. Quatro estudantes de pilotagem são convidados a tentar voar no avião 
usando o simulador. Qual é a probabilidade de: 
a) 2 deles pousarem com sucesso. 
b) todos pousarem com sucesso. 
c) nenhum deles pousarem com sucesso. 
d) no máximo 2 deles pousarem com sucesso. 
 
11. Uma moeda é lançada 20 vezes, independentemente. Qual é a probabilidade de 
saírem 8 caras? 
 
12. Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam 
pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 
 
13. Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 
alternativas e apenas uma correta. Se um aluno resolve a prova respondendo ao acaso as 
questões, qual a probabilidade de tirar nota 5,0? 
 
14. Em uma urna existem 18 bolas brancas e duas pretas. Calcule as probabilidade de 
retiradas 7 bolas, sair apenas uma bola preta, nos seguintes casos: 
a) As bolas são repostas na urna após as retiradas. 
b) As bolas não são repostas na urna após as retiradas. 
 
15. Uma loja tem um lote de 10 fechaduras, das quais 5 têm defeitos. Se uma pessoa 
comprar 3 fechaduras, qual a probabilidade de encontrar no máximo uma defeituosa? 
 
16. Numa Loteria, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54. Qual a probabilidade dele 
acertar 5 números? 
 
17. Num lote de 30 lâmpadas, sendo 4 defeituosas, foi selecionado sem reposição 3 
lâmpadas. Qual a probabilidade de ter obtido pelo menos uma defeituosa? 
 
18. De um lote de 140 celulares, foram selecionados sem reposição 20 celulares. 
a) Se 20 celulares são defeituosos, qual é a probabilidade de que ao menos um celular 
defeituoso apareça na amostra ? 
b) Se 5 celulares são defeituosos, qual é a probabilidade de que ao menos um celular 
defeituoso apareça na amostra? 
 
19. Uma urna contém 16 bolas brancas e 14 pretas. Calcular a probabilidade de ao 
serem retiradas 5 bolas, 3 serem brancas, quando a amostragem for: 
a) Sem reposição. 
b) Com reposição. 
 
20. De 6 empregados, 3 estão na companhia há cinco anos ou mais. Se 4 empregados 
são aleatoriamente escolhidos desse grupo de 6, qual a probabilidade de que 2 estejam 
na companhia há cinco anos ou mais? 
 
21. Em um lote de 20 motores há dois defeituosos. São retiradas cinco unidades para 
inspeção. Qual a probabilidade de se encontrar uma unidade defeituosa entre as cinco 
retiradas para inspeção? 
 
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22. Na Mega-Sena, um apostador escolhe 7 dezenas dentre 60. Qual a probabilidade 
dele acertar as 6 dezenas corretas? 
 
23. Na Mega-Sena, um apostador escolhe 6 dezenas dentre 60. Qual a probabilidade 
dele acertar as 6 dezenas corretas? 
 
24. (2017/1) Suponha que 10 peixes especiais são pescados e colocados no açude de um 
sitiante, que passa a ter, então, um total de 40 peixes. Num certo dia, o sitiante autoriza 
a realização de uma pescaria. Assuma que a quantidade de peixes no açude até esse dia 
não se alterou. Se 5 peixes são pescados, calcule a probabilidade de 2 peixes serem 
especiais: 
a) Supondo que os peixes pescados são colocados de volta no lago. 
b) Supondo que os peixes pescados não são colocados de volta no lago. 
 
25. Uma máquina produz 2 lâmpadas defeituosas a cada hora de produção. Qual a 
probabilidade desta máquina produzir 10 lâmpadas defeituosas no período de 12 horas? 
 
26. Na central telefônica do salão de beleza "Beleza Pura" chegam 50 chamadas por 
hora. Qual a probabilidade de que: 
a) Num minuto não haja nenhum chamado 
b) Em 2 minutos ocorram 2 chamados 
 
27. Na estrada Tabaí-Canoas em dias de chuva, ocorrem 2 acidentes a cada 50 Km. 
Qual a probabilidade de que em: 
a) 100 Km não ocorram acidentes? b) 160 Km ocorram 5 acidentes? 
 
28. Certa loja recebe, em média, 5 clientes por hora. Qual a probabilidade desta loja 
receber 2 clientes em 30 minutos? 
 
29. Um fábrica produz tecidos com 2.2 defeitos, em média, por peça. Determine a 
probabilidade de haver 3 defeitos em 2 peças. 
 
30. O número de mortos por suicídio em Nova York ocorre a uma taxa de 2 por dia. 
Determine a probabilidade de que não ocorram mortes por suicídio no período de 1 
semana. 
 
31. A taxa de chegada de clientes em uma agência bancária é de 4 clientes por minuto. 
Determine a probabilidade de chegarem 12 clientes nos próximos 2 minutos. 
 
32. O fluxo de carros que passam por um determinado pedágio é de 1,7 carros por 
minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente 2 carros em 2 minutos? 
 
33. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de 
que: 
a) Num minuto não ocorra qualquer chamada? 
b) Em 2 minutos ocorram 3 chamadas? 
c) Em 5 minutos ocorram pelo menos 3 chamadas? 
 
 
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34. Uma fábrica de pneus de competição verificou ao testar seus estouros na pista, que 
havia em média, um estouro a cada 5000 Km. Qual a probabilidade que num teste de 
3000 Km haja 1 pneu estourado? 
 
35. O número de mensagens enviadas para um boletim em um computador ocorre com 
uma taxa de 5 mensagens por hora. Qual a probabilidade de que: 
a) 5 mensagens cheguem em 1 hora 
b) Menos de 2 mensagens cheguem em meia hora. 
 
36. (2014/1) Os passageiros de uma empresa aérea chegam aleatoriamente e 
independentemente ao balcão de controle de passageiros de um importante aeroporto 
internacional. A taxa média de chegada são 10 passageiros por minuto. Calcule a 
probabilidade de ninguém chegar no período de 15 segundos. 
 
37. Falhas ocorrem no interior plástico usado em automóveis a uma taxa de 0,02 falhas 
por painel. Se 50 painéis forem inspecionados, qual a probabilidade de que não haja 
falhas? 
 
38. (2016/1) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 
defeito por metro quadrado. Qual é a probabilidade de aparecerem 2 defeitos numa 
parede 2m x 2m? 
 
39. (2016/2) O pessoal de inspeção de qualidade afirma que os rolos de fita isolante 
apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Calcule a probabilidade de 
ocorre: 
a) Nenhuma emenda em um rolo de 125 metros. 
b) Pelo menos uma emenda em rolo de 100 metros. 
 
40. Uma ferramenta produzida por uma indústria apresenta uma vida média de 80 horas. 
Considerando o comportamento segundo a distribuição exponencial, qual a 
probabilidade de essa ferramenta durar mais de 100 horas? 
 
41. Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial 
com vida média de 100 horas. Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 150 
horas? 
 
42. Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua 
fabricação é de 800 horas de uso contínuo e que a vida útil dos tubos segue uma 
distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir um 
tubo gratuitamente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso? 
 
43. A duração de certo tipo de condensador segue uma distribuição exponencial com 
média de 200 horas. Qual o percentual de condensadores que duram: 
a) Menos de 100horas? 
b) Mais de 500 horas? 
c) Entre 200 e 400 horas? 
 
44. Uma companhia fabrica lâmpadas com uma duração média de 100 horas e 
distribuição exponencial. 
a) Qual a probabilidade de uma lâmpada durar de 163 a 185 horas? 
 
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b) Qual deve ser a garantia do fabricante para repor apenas 5% da produção? 
45. O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição 
Exponencial com parâmetro horas. Qual a probabilidade de um destes 
ventiladores falhar nas primeiras 24000 horas de funcionamento? 
 
46. Certo tipo de condensador tem tempo de vida distribuído exponencialmente com 
média de 250 horas. Determine a probabilidade destes condensadores durarem menos 
que 320 horas. 
 
47. Os tempos até a falha de um dispositivo eletrônico seguem o modelo exponencial 
com uma taxa de falha a = 0,012 falha/hora. Indique qual a probabilidade de um 
dispositivo escolhido ao acaso sobreviver: 
a) No máximo 100 horas? 
b) No máximo 50 horas? 
 
48. O prazo de operação medido em horas de uma máquina de embalagem de frascos 
sem interrupções para manutenção tem distribuição exponencial com média de 2 horas. 
Qual a probabilidade desta máquina conseguir operar mais de 1 hora sem interrupção? 
 
49. Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial 
com vida média de 100 horas. 
a) Qual é a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas? 
b) Cada fusível tem um custo de R$ 10,00 e, se durar menos de 200 horas, existe um 
custo adicional de R$ 8,00. Qual é o preço justo a pagar por cada fusível? 
 
50. Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. 
Suposta uma produção de 10.000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 
55 horas? 
 
51. (2014/2) Uma lâmpada tem duração de acordo com a seguinte função densidade de 
probabilidade Exponencial: 
xexf .001,0.001,0)(  , para x  0 
 0, caso contrário 
 
Determine a probabilidade de que a lâmpada dure menos do que sua duração média. 
 
52. Suponha que a duração de ligações telefônicas em certa empresa tenha distribuição 
exponencial e que, em média, cada ligação dure 10 minutos. Se apenas um telefone está 
disponível e alguém começa a usar o telefone imediatamente antes de você, determine a 
probabilidade de que você precise esperar: 
a) Mais que 10 minutos. 
b) Entre 10 e 20 minutos. 
c) Mais que 12 minutos. 
 
53. Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de vida médio 
igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial. Qual é o percentual de 
lâmpadas com durabilidade superior a 100 meses? 
 
 
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54. (2014/2) Carros chegam a um posto de gasolina aleatoriamente a cada 2 minutos em 
média. Determine a probabilidade de o tempo entre chegadas não exceder 1 minuto. 
 
55. (2016/1) Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem 
exponencialmente. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra após 1 
hora de trabalho é de 0,22313. Determine a probabilidade de que a primeira falha ocorra 
após 3 horas de trabalho. 
 
56. (2017/2) O prazo de operação, medido em horas, de uma máquina de embalagem de 
frascos sem interrupções para manutenção tem distribuição exponencial com média de 
2,2 horas. Qual a probabilidade desta máquina conseguir operar mais de 1 horas sem 
interrupções? 
 
57. A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente 
distribuída com média de 850 dias e desvio-padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade 
de um componente durar: 
a) Entre 700 e 1000 dias. 
b) Mais de 800 dias. 
c) Menos de 750 dias. 
 
58. Determinado atacadista efetua suas vendas por telefone. Após alguns meses, 
verificou-se que os pedidos se distribuem normalmente com média de 3.000 pedidos e 
desvio-padrão de 180 pedidos. Qual a probabilidade de que um mês selecionado ao 
acaso esta empresa venda menos de 2700 pedidos. 
 
59. O conteúdo líquido das garrafas de 300 ml de um refrigerante é normalmente 
distribuído com média de 300 ml e desvio-padrão de 2 ml. Determine a probabilidade 
de uma garrafa selecionada ao acaso apresentar conteúdo líquido: 
a) Inferior a 306 ml. 
b) Superior a 305 ml. 
c) Entre 302 e 304 ml. 
 
60. O lucro mensal obtido com ações de determinada empresa tem distribuição normal 
com média de 12 mil reais e desvio-padrão de 5 mil reais. Qual a probabilidade de que 
em determinado mês o lucro desta empresa seja: 
a) Superior a 18 mil reais. 
b) Inferior a 8 mil reais. 
c) Entre 10 e 15 mil reais. 
 
61. Durante o mês de dezembro aumenta a procura por concessão de crédito para pessoa 
física. De acordo com dados históricos é possível verificar que a procura segue uma 
distribuição aproximadamente normal com média de 12,8 milhões e desvio-padrão de 
15 milhões. Se as instituições de crédito reservar 25 milhões para concessão de crédito, 
qual a probabilidade de faltar dinheiro para emprestar? 
 
62. Suponha que a renda média anual de uma grande comunidade tenha distribuição 
normal com média de 15 mil reais e com um desvio-padrão de 3 mil reais. Qual a 
probabilidade de que um indivíduo aleatoriamente selecionado deste grupo apresente 
uma média salarial anual superior a 18 mil reais? 
 
 
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63. O escore de um estudante no vestibular é uma variável com distribuição normal com 
média de 550 pontos e desvio-padrão de 30 pontos. Se a admissão em certa faculdade 
exige um escore mínimo de 575 pontos, qual é a probabilidade de um aluno ser 
admitido nesta faculdade? 
 
64. O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual é normalmente 
distribuído com uma média de 0,4 segundos com um desvio-padrão de 0,05 segundos. 
Qual a probabilidade de que uma reação de um motorista requeira: 
a) Mais de 0,5 segundos. 
b) Entre 0,4 e 0,5 segundos. 
 
65. O período de falta de trabalho em um mês por causa de doenças dos empregados é 
normalmente distribuído com uma média de 100 horas e desvio-padrão de 20 horas. 
Qual a probabilidade desse período no próximo mês estar: 
a) Entre 50 e 80 horas. 
b) Superior a 90 horas. 
c) Inferior a 60 horas. 
 
66. (2014/2) As vendas de um determinado produto tem distribuição aproximadamente 
normal, com média de 500 unidades e desvio padrão de 50 unidades. Se a empresa 
decide fabricar 600 unidades no mês de estudo, qual é a probabilidade de que não possa 
atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada? 
 
67. (2015/2) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma 
central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal com média de 8 minutos 
e desvio padrão de 2 minutos. Qual é a probabilidade de que um atendimento dure: 
a) Menos de 5 minutos. 
b) Entre 7 e 10 minutos. 
 
68. (2015/1) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus 
pneus e verificou que o mesmo obedecia a uma distribuição normal, com média de 
48.000 Km e desvio padrão de 1.500 Km. Calcular a probabilidade de que um pneu 
escolhido ao acaso: 
a) Dure mais que 47.000 Km. 
b) Dure menos que 48.000 Km. 
c) Dure entre 44.000 Km e 49.000 Km. 
 
69. (2016/2) O padrão de qualidade recomenda que os pontos impressos por uma 
impressora estejam entre 3,7 mm e 4,3 mm. Uma impressora imprime pontos, cujo 
diâmetro médio é igual a 4 mm e o desvio padrãoé 0,19 mm. Suponha que o diâmetro 
dos pontos tenha distribuição normal. 
a) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar fora do 
padrão? 
b) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar abaixo de 3,8 
mm? 
c) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto dessa impressora estar dentro do 
padrão? 
 
 
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70. (2016/2) Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos 
normalmente em torno de uma média de $360,00 com desvio padrão de $50,00. Pede-
se: 
a) Encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre $300,00 e 
$400,00. 
b) Encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal abaixo de $290,00. 
c) Encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal acima de $360,00. 
 
71. (2017/1) A saída de uma bateria segue razoavelmente o modelo Normal com média 
de 12,15 Volts e desvio padrão de 0,25 Volts. Encontre a probabilidade de não atender 
as especificações de 12 Volts ± 0,5 Volts. 
 
72. (2017/2) A força de tensão de sacos plásticos de supermercado é normalmente 
distribuída com média de 40 lb/in2 e desvio padrão de 2,3 lb/in2. O comprador exige que 
os sacos tenham resistência de pelo menos 25 lb/in2. Qual a probabilidade do produto 
atender a especificação? 
 
73. (2017/2) O diâmetro de uma peça segue a distribuição Normal com média 25,08 e 
desvio padrão 0,11. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15, determine o 
percentual (probabilidade) de unidades produzidas em conformidade com as 
especificações. 
 
RESPOSTAS: 
 
1. Binomial (n = 20 e p = 1/10) R: P(X=5) = 0,0319 
2. Binomial 
a) (n = 6 e p = 0,98) R: P(X=6) = 0,8858 
b) (n = 6 e p = 0,02) R: P(X=3) = 0,0001 
c) (n = 6 e p = 0,02) R: P(X ≤ 1) = 0,9943 
3. Binomial (n = 10 e p = 0,99) R: P(X=10) = 0,9044 
4. Binomial (n = 5 e p = 0,67) R: P(X=5) = 0,1350 
5. Binomial (n = 4 e p = 0,30) 
a) R: P(X=4) = 0,0080 
b) R: P(X=0) = 0,2401 
c) R: P(X=1) = 0,4116 
d) R: P( X≤ 2) = 0,9163 
6. Binomial (n = 18 e p = 0,05) R: P(X ≤ 2) = 0,94187 
7. Binomial (n = 6 e p = 0,05) R: P(X ≥ 1) = 0,2649 
8. Binomial (n = 8 e p = 0,02) R: P(X=4) = 0,000010331 
9. Binomial (n = 6 e p = 0,20) R: P(X ≥ 4) = 0,01696 
10. Binomial (n = 4 e p = 0,70) 
a) R: P(X=2) = 0,2646 
b) R: P(X=4) = 0,2401 
c) R: P(X=0) = 0,0081 
d) R: P(X ≤ 2) = 0,3483 
11. Binomial (n = 20 e p = ½) R: P(X=8) = 0,1201344 
12. Binomial (n = 20 e p = 0,40) R: P(X ≥ 2) = 0,999476 
13. Binomial (n = 50 e p = 1/5) R: P(X=25) = 0,0000016 
14. a) Binomial R: 0,3720 (n=7; p=2/20; x = 1) 
b) Hipergeométrica R: 0,4789 (N=20; n=7; x=1; r=2) 
 
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15. Hipergeométrica R: 0,50 
16. Hipergeométrica R: 0,0000112 (N=54; n=6; x=5; r=6) 
17. Hipergeométrica (N=30; n=3; r=4) R: 0,359606 
18. Hipergeométrica a) R: 0,964 b) R: 0,5429 
19. a) R: 0,35 (utiliza-se a Hipergeométrica (N=30; n=5; x=3; r=16)) 
b) R: 0,33 (utiliza-se a Binomial com n=5, x=3 e p=16/30) 
20. Hipergeométrica R:0,60 
21. Hipergeométrica R: 0,3947 
22. Hipergeométrica R: 1,3982.10-7 (N=60; n=7; x=6; r=6) 
23. Hipergeométrica R: 1,9974.10-8 (N=60; n=6; x=6; r=6) 
24. a) Binomial R: 0,26367 (n = 5 e p = 10/40) 
b) Hipergeométrica R: 0,27767 (N=40; n=5; r=10) 
25. Poisson X = nº de lâmpadas defeituosas por hora P(X=10) = 0,0006596 
26. Poisson X = nº de chamadas por hora 
a) P(X=0) = 0,44 b) P(X=2) = 0,26 
27. Poisson X = nº de acidentes por Km 
a) P(X=0) = 0,018 
b) P(X=5) = 0,149 
28. Poisson X = nº de clientes por hora P(X =2) = 0,256 
29. Poisson X = nº defeitos por peça P(X=3) = 0,174 
30. Poisson X = nº de mortos por suicídio por dia P(X=0) = 0,0000008 
31.Poisson X = nº de clientes que chegam por minuto P(X =12) = 0,048 
32. Poisson X = nº de carros que passam pelo pedágio por minuto P(X=2) = 0,193 
33. Poisson X = nº de chamadas telefônicas por hora 
a) P(X = 0) = 0,00673795 
b) P(X = 3) = 0,007566655 
c) P(X ≥ 3) = 0,999999995 
34. Poisson X = nº de estouros a cada Km P(X=1) = 0,329 
35. Poisson X = nº de mensagens por hora 
a) P(X=5) = 0,175 
b) P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 0,08 + 0,205 = 0,285 
36. Poisson P(X = 0) = 0,082085 
37. Poisson X = nº falhas por painel P(x=0) = 0,368 
38. Poisson R: 0,146525 
39. Poisson a) R: 0,082085 b) R: 0,864665 
40. Exponencial R: 0,2865 
41. Exponencial R. 0,2231 
42. Exponencial R: 0,3127 
43. Exponencial a) R: 39,35% b) R: 8,21% c) R: 23,26% 
44. Exponencial a) R: 0,0387 b) R: 5,13hs 
45. Exponencial R: 0,567 
46. Exponencial R: 0,72196 
47. Exponencial a) R: 0,6988 b) R: 0,4512 
48. Exponencial R: 0,6065 
49. Exponencial a) R: 0,2231 b) R:16,92 
50. Exponencial R: 737 
51. Exponencial R: 0,63212056 
52. Exponencial a) R: 0,3678 b) R: 0,2325 c) R: 0,3012 
53. Exponencial R.: 0,4346 
54. Exponencial R: 0,39345 
 
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55. Exponencial R: 0,011108997 
56. Exponencial R: 0,606531 
57. Normal a) 0,9992 b) 0,8665 c) 0,0132 
58. Normal P(vender < 2700 pedidos) = 0,0475 
59. Normal a) 0,9987 b) 0,0062 c) 0,1359 
60. Normal a) 0,1151 b) 0,2119 c) 0,3812 
61. Normal P(faltar dinheiro) = 0,2090 
62. Normal P(média salarial anula > 18 mil reais) = 0,1587 
63. Normal P(aluno ser admitido) = 0,2033 
64. Normal a) 0,0228 b) 0,4772 
65. Normal a) 0,1525 b) 0,6915 c) 0,0228 
66. Normal R: 0,9772 
67. Normal a) 0,0668 b) 0,5328 
68. Normal a) 0,7486 b) 0,50 c) 0,7448 
69. Normal a) 0,1142 b) 0,1469 c) 0,8858 
70. Normal a) 0,6730 b) 0,0808 c) 0,50 
71. Normal R: 0,0855 
72. Normal R: 0,9850 
73. Normal R: 0,7206 
 
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Tabela da Distribuição Normal Padrão 
 P(Z<z) – VALORES POSITIVOS 
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,96250,9633 
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
Zz Zz
 
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Tabela da Distribuição Normal Padrão 
P(Z<z) – VALORES NEGATIVOS 
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121 
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776 
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681 
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233 
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
 
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