119 AD1 CIII 2007 1 prova

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
1a Avaliação a Distância de Cálculo III – data de entrega 17/03/2007 
 
1ª Questão (2,5 pontos) - Seja 
2 2
( , )
2
y xf x y
y
−= 
a) Determine o domínio de f. 
b) Determine a equação e faça um esboço da curva de nível kyxf =),( , para k = 1, k = 0 e k = -1 
c) Calcule 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y→
, ou mostre que este limite não existe. 
d) Calcule, caso existam, f
x
∂
∂ e 
f
y
∂
∂ . 
 
 
2a Questão (3,0 pontos) - Calcule, caso seja possível, os seguintes limites. E quando não existir, 
justifique sua resposta. 
 
a) ( ) ( )( )
22
22( , ) (0,2)
1 2
lim
2x y
x x y
x y→
− + −
+ −
 b)
2 2 2
2 2 2( , , ) (0,0,0)
lim
1 1x y z
x y z
x y z→
+ +
− + + +
 c) 5 5
5 5( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
⎛ ⎞+⎜ ⎟−⎝ ⎠
 
 
3a Questão (2,0 pontos) - Dado que y
x
ez
x
zy
z
ysenxw 222 ln +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= , verifique que 
w
z
wz
y
wy
x
wx 2=∂
∂+∂
∂+∂
∂ 
 
4a Questão (2,5 pontos) Seja 
2 2
2 2 ( , ) (0,0)( , )
0 ( , ) (
x y se x y
f x y x y
se x y
⎧ ≠⎪= +⎨⎪ =⎩ 0,0)
. 
a) Calcule, caso existam, ( , )f x y
x
∂
∂ e ( , )
f x y
y
∂
∂ , ( , ) (0,0)x y∀ ≠ . 
b) Calcule, caso existam, (0,0)f
x
∂
∂ e (0,0)
f
y
∂
∂ . 
c) Verifique se f
x
∂
∂ e 
f
y
∂
∂ são contínuas em (x,y) = (0,0). Justifique sua resposta. 
d) Podemos afirmar que f é diferenciável em (x,y) = (0,0)? Justifique sua resposta.