119 AD1 CIII 2007 2 gabarito

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
1a Avaliação a Distância de Cálculo III – data de entrega 25/08/2007 
 
Nome:____________________________________________________Pólo:________________ 
 
1ª Questão (1,5 ponto) - Seja 2( , ) 4 2z f x y x y= = + − 2 . Determine e faça um esboço para 
a) o domínio de f; 
b) a curva de nível k = 1 de f; 
c) o gráfico de f. 
 
 
Solução: 
 
a) ⇒ ⇒ 2 24 2 0x y+ − ≥ 2 24 2y x≥ −
2 2
1
4 2
y x− ≤ 
 
 
 
y
x
 
⇒ dom (f) = região do plano situada entre os ramos da hipérbole 1
42
22
=+ yx e que contém os 
seus ramos. 
 
 
b) 2 21 4 2x y= + − ⇒ 221 4 2x y= + − ⇒ ⇒ 2 23 2y x= − ( )
2 2
1
33
2
y x− = 
 
 
y
x
 
 
 
 c) 2 24 2z x= + − y ⇒ 4 2z x y= + − 2 2 22 4z x y ⇒ 2 2 2 − + = ⇒ 
2 2 2
1
4 2 4
z x y− + = 
 
O gráfico de f corresponde à parte superior do hiperbolóide 
2 2 2
1
4 2 4
z x y− + = conforme indica a 
figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
2a Questão (2,5 pontos) - Calcule, caso seja possível, os seguintes limites. E quando não 
existir, justifique sua resposta. 
 
a) 
( , , ) (4,3,0)
1
lim
1x y z
x z y
x y z→
+ − +
− + − b) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
→ yx
yx
yx )0,0(),(
lim c) 
3 3
2 2( , ) (0,0)
lim cos
x y
x y
x y→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
 
 
Solução: 
 
 
a) ( )
( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
( , , ) (4,3,0) ( , , ) (4,3,0)
( , , ) (4,3,0) ( , , ) (4,3,0)
11 1lim lim
1 1 1
1 1 1lim lim
41 1 1
x y z x y z
x y z x y z
x z yx z y x z y
x y z x z y x y z x z y
x y z
x y z x z y x z y
→ →
→ →
+ + ++ − + + − −
1
= =− + − + + + − + − + + +
− + −= =− + − + + + + + + =
 
 
 
b) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
→ yx
yx
yx )0,0(),(
lim 
 
Note que: 
 
• o “limite” de f na origem ao longo do eixo x é dado por 1limlim
0
0)0,0(),(
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
=→→ x
x
yx
yx
y
xyx
 
• o “limite”de f na origem ao longo do eixo y é dado por 1limlim
0
0)0,0(),(
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−
=→→ y
y
yx
yx
x
yyx
 
Logo não existe limite de f na origem. 
 
 
 
c) 
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0
coslim cos lim cos
cosx y r
x y r r sen
x y r r sen
θ θ
θ θ→ →
⎛ ⎞ ⎛− −= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎟⎠
 
fazendo x = rcosθ 
 y = rsenθ 
 ( )
( ) ( )( )
3 3 3
3 3
2 2 20 0
cos
lim cos lim cos cos cos0 1
cosr r
r sen
r sen
r sen
θ θ θ θθ θ→ →
⎛ ⎞−⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
= = 
 limitada 
 
 
 
 
 
3a Questão (3,0 pontos) - Seja
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+
−
=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
33
yxse
yxse
yx
xyyx
yxf 
 
a) Calcule ),( yx
x
f
∂
∂ e ),( yx
y
f
∂
∂ para (x,y) ≠ (0,0). 
b) Calcule )0,0(
x
f
∂
∂ e )0,0(
y
f
∂
∂ . 
c) Verifique se f é contínua. Justifique sua resposta. 
 
d) Verifique se f é diferenciável na origem. Justifique sua resposta. 
 
Solução: 
 
a) Suponha (x,y) ≠ (0,0) 
 ( )( ) ( )
( )222
333222 23),(
yx
xxyyxyyxyxyx
x
f
+
−−−+=∂
∂
( )222
324532324 223
yx
yxyxyyxyxyx
+
−−−+−= 
( )222
5324 4),(
yx
yyxyxyx
x
f
+
−+=∂
∂ 
 
 ( )( ) ( )
( ) =+
−−−+=∂
∂
222
332322 23),(
yx
yxyyxxyxyxyx
y
f
( )222
423423235 2233
yx
xyyxxyyxyxx
+
−−−+−= 
( )222
2345 4),(
yx
yxxyxyx
y
f
+
−−=∂
∂ 
 
b) Para calcular )0,0(
x
f
∂
∂ e )0,0(
y
f
∂
∂ , usaremos a definição 
 
 
000lim)0,0()0,(lim)0,0(
00
=−=−=∂
∂
→→ xx
fxf
x
f
xx
 
 
 000lim)0,0(),0(lim)0,0(
00
=−=−=∂
∂
→→ yy
fyf
y
f
xy
 
 
 
c) Verifique se f é contínua. Justifique sua resposta. 
 
Para (x,y) ≠ (0,0), temos que f é contínua pois ela é definida pela razão de funções polinomiais 
(que são contínuas), com . 022 >+ yx
 
Na origem precisamos calcular o limite para verificar se f é contínua ou não: 
 
 
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−+=+
−
→→→ xyyx
yxy
yx
x
yx
xy
yx
yx
yx
xyyx
yxyxyx 22
2
22
2
)0,0(),(22
3
22
3
)0,0(),(22
33
)0,0(),(
limlimlim 
 
)0,0(0limlim 22
2
)0,0(),(22
2
)0,0(),(
fxy
yx
yxy
yx
x
yxyx
==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+= →→ ⇒ f também é contínua na origem. 
 
 
 Funções limitadas 
 
10 22
22
22
2
=+
+≤⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+≤ yx
yx
yx
x e 10 22
22
22
2
=+
+≤⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+≤ yx
yx
yx
y 
 
d) 
( )
( )
3 3
2 22 2
32 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2
( , )lim lim lim
x y x y x y
x y xy
xy x yx yE x y
x y x y x y
→ → →
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ −+⎝ ⎠= =
+ + +
= 
 
fazendo x = rcosθ e y = rsenθ 
 
 ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
3 3( , ) (0,0) 02 2 22 2
4
30 0
cos cos
lim lim
cos cos 2
lim lim cos cos2 0
x y r
r r
xy x y r sen r r sen
x y r
r sen
r sen
r
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ
→ →
→ →
− −= =
+
= = =
 
 
Logo, f é diferenciável na origem. 
 
 
 
 
4ª Questão (3,0 pontos) - Calcule as derivsdas parciais f
x
∂
∂ e 
f
y
∂
∂ para cada uma das seguintes 
funções: 
a) ( )( , ) . xf x y y sen y= , 0y ≠
b) ( , ) , 0 0.
x
y
sentf x y dt x e y
t
= >∫ > 
c) 2 2( , ) y xf x y x ln y ln
x y
⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, 0xy > 
 
 
 
Solução: 
 
 
a) ( ) ( ) ( )1.cos . cosf x xy y y yx∂ = =∂ , 
 ( ) ( ) ( ) ( )21. cos . cosf xx x x xsen y seny y yy yy⎛ ⎞∂ −= + = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ x y 
 
 
 
b) f senx
x x
∂ =∂ 
 
f seny
y y
∂ = −∂ 
 
c) 
2
2 2
2
1 1 12 2f y y yxln x y xln x
y
y
x x yxx
x y
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥= + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
x x
+ 
2
2 2
2
1 1 12 2f x x x xx yln y yln y
yy x y y yx y
x y
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + + − = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
−