119 EP10 C3 aluno 07 01

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Cálculo III 
Exercícios Programados 10 - versăo aluno 
Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, 
aquele que sabe geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. 
B. Pascal (1623-62) – filósofo e matemático do século séc.XVII 
 
1) Nos exemplos abaixo, determine os pontos críticos de f e classifique-os como pontos 
de máximo / pontos de mínimo / pontos de sela. 
a) yxyxyxf +−= 2),(
b) yxyxyxf 55),( 55 −−+=
c) 2 2( , ) 4 9 12f x y x y xy= + + 
 
2) Obtenha o máximo de para yxxyeyxf −−=),( .0,0 ≥≥ yx 
 
3) Diz-se que uma função f de duas variáveis é harmônica quando satisfaz a equação 
de Laplace 02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
y
f
x
f
. Mostre que são harmônicas as seguintes funções: 
a) b) xesenyeyxf yx cos),( += ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yyxf arctan),( 
 
 
Caiu em prova... 
4) (AP1-C3-2005-1 / 3a Questão) – Seja . Mostre que 322 52),( yxyyxyxf ++=
a) f
y
fy
x
fx 3=∂
∂+∂
∂
 b) f
y
fy
yx
fxy
x
fx 62 2
2
2
2
2
2
2 =∂
∂+∂∂
∂+∂
∂
 
 
 
5) (AD2-C3-2006-1 / 1a Questão) – Determine os pontos críticos da função 
 e classifique-os (em máximo local, mínimo local e ponto 
de sela). 
4 4( , ) 4 2f x y x y xy= + − −
 
Um abraço e até a próxima! 
Prof. Wanderley. 
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