4726 AP2 CIII 2006 2 gab

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
2a Avaliação Presencial de Cálculo III 
 
 
1a Questão (2,0 pontos) - Seja ( )2 2( , , ) lnT x y z z x y= . Determine: 
 
a) ( 1,1,1)T
u
∂ −∂G , sendo u o vetor unitário na direção e sentido do vetor 2 9 ; 
G
6i j− + GG G k
b) a taxa máxima de crescimento de T no ponto (-1,1,1). 
 
 
Solução: 
 
a) Note que 
 
( )2 2 22 2 2 2( , , ) 2 , 2 ,lnz zT x y z xy x y x yx y x y⎛ ⎞∇ = ⎜ ⎟⎝ ⎠2 ⇒ ( )( 1,1,1) 2,2,0T∇ − = − 
 
e 2 2 22 ( 9) 6 121 11u = + − + = =G . 
 
Assim, temos que 
 
( )2 9 6 2 9 6 4 18 22( 1,1,1) ( 1,1,1). , , 2,2,0 . , , 0 2
11 11 11 11 11 11 11 11 11
T T
u
∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ∇ − − = − − = − − + = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠G 
 
 
b) A taxa máxima de crescimento ocorre na direção do vetor gradiente (-2,2,0) e é dada por: 
 
( ) ( )2 2 21,1,1 2 2 0 8 2 2T∇ − = − + + = = 
 
 
 
2a Questão (2,5 pontos) - Determine os valores máximo e mínimo absolutos de 
2( , ) 4 2f x y y xy x= − + na região triangular fechada D do plano xy com vértices (0,0), (0,3) e 
(3,0). 
 
Solução: Como f é contínua, temos que f assume valor máximo e valor mínimo na região triangular 
fechada D. 
 
 
Fazendo ( )0 ( , ) 4 2,2 4f x y y y x= ∇ = − + − , verificamos que o único ponto crítico de f é o ponto 
1 1,
4 2
⎛⎜⎝ ⎠
⎞⎟ que se encontra no interior da região D. Note que 1 1,4 2f
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
21 1 1 14. . 2.
2 4 2 4
⎛ ⎞ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
1
4
. 
 
 
 y 
 
A(0,3) 
 
 
 O B(3,0) x 
Passemos então à análise de f na fronteira da região D. 
 
A fim de facilitar a nossa redação denote por O, A e B os 
vértices da região D, conforme figura ao lado. Precisamos 
analisar o comportamento de f em OA, OB e AB. 
 
 
Em OB 
Note que os valores da f restrita ao segmento OB (y = 0) tornam-se: ( ) ( ,0) 2 , 0 3g x f x x x= = ≤ ≤ 
⇒ o maior e o menor valor de f em OB são, respectivamente, (3,0) 6f = e . (0,0) 0f =
 
Em OA 
Note que os valores da f restrita ao segmento OA (x =0) tornam-se: 2( ) (0, ) , 0 3h y f y y y= = ≤ ≤ 
⇒ o maior e o menor valor de f em OA são, respectivamente, (0,3) 9f = e . (0,0) 0f =
 
Em AB 
Analisaremos este caso usando os multiplicadores de Lagrange: 
 
 
24 2 .1
4
2 22
2 24 22 4 .1
4 4 4
2 2 3 183 3 4 2 2 3 24
4 8 5
18 642 3 85 5
8 8 5
1822 75
4 4 5
y y
yy x x
x y
x
y
3
8
λλ
λ λλ λλ λλ
λ λ λ λ λ
λ
−− + = ⇒ =
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = ⇒ = = = =
− −+ = ⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ = −
+
⇒ = = =
+−⇒ = = =
 
 
⇒ 8 7,
5 5
⎛⎜ . Note que ⎞⎟⎝ ⎠
8 7,
5 5
f ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
27 8 7 8 49 224 80 95 194. . 2.
5 5 5 5 25 25
− +
5
⎛ ⎞ − + = = − = −⎝ ⎠⎜ ⎟ 
 
Assim, para descobrirmos os valores máximos e mínimos de f na região D devemos considerar a 
seguinte tabela: 
 
 
(x,y) ( , )f x y situação 
(0,0) 0 
(0,3) 9 Valor máximo
(3,0) 6 
1 1,
4 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1
4
 
 
8 7,
5 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
19
5
− Valor mínimo
 
 
 
 
 
 
3a Questão (3,5 pontos) - Seja definida por 2:g R R→ 2 2 2( , ) (2 , 1)g u v uv u v= + − . Considere 
2:f R → R uma função real de classe em 2C 2R de tal modo que 
 e (2,1) (2,1) (2,1) 1x xy yxf f f= = = − (2,1) (2,1) (2,1) 1y xx yyf f f= = . Determine: =
 
a) o conjunto de nível ; ( , ) (2,1)g u v =
b) a matriz diferencial de em ( ); g 2,1
c) a matriz diferencial de fog em (1,1); 
d) ( )2 (1,1)fog
v u
∂
∂ ∂ . 
 
 
Solução: 
 
a) o conjunto de nível ( , ) (2,1)g u v =
 
 
2 2( , ) (2 , 1) (2,1)g u v uv v u= + − = ⇔ 
 
2 2uv = ⇔ 1v
u
= e 2 2 2u v+ =
 
( )2 22 4 2 21 2 2 1 0 1 0
1 1
1 1
u u u u
u
u v
u v
⎛ ⎞+ = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⇒ =
= − ⇒ = −
2 1u =
 
 
 
 
 
 
Assim, temos que o conjunto de nível ( , ) (2,1)g u v = é o conjunto ( ) ( ){ }1,1 , 1, 1− − 
 
 
 
b) a matriz diferencial de em (1,1); g
 
( )
( )
( )
( )
( )
, ,
2 2
' ,
2 2, ,
x u v x u v
v uu v
g u v
u vy u v y u v
u v
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
 ⇒ ( ) 2 2' 1,1
2 2
g ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
c) a matriz diferencial de fog em (1,1); 
 
Note que 2 2g fR R R⎯⎯→ ⎯⎯→ . 
 
Pela regra da cadeia temos 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, ,
' , ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , ))
, ,
x y
x u v x u v
u v
fog u v f x u v y u v f x u v y u v
y u v y u v
u v
∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
 ⇒ 
 
 
( ) ( ) [ ] [2 2 2 2' 1,1 (2,1) (2,1) 1 1 0 0
2 2 2 2x y
fog f f ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ]= 
 
 
 
d) ( )2 (1,1)fog
v u
∂
∂ ∂ . 
 
Note que 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ), , , 2 2f x f y f fz f x u v y u v v
u u x u y u x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u+ ⇒ 
 
( ) ( )2 2 2z fz v
v u v u v x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f u = 
 
( )2 2 2 22 22 2 2f x f y f f x f y fv uv y x v x x y v v yx y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 = 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2f f f f fu v v u v uy x x x yx y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2(1,1) 2 2 2,2 2 2,1 2 2,1 2 2 2,1 2 2,1f f f f ffogv u y x x x yx y
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝
2 ⎞⎟⎠
 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 (1,1) 2 2 1 2. 1 2 1 2 2 1 2.1 2 1 2fog
v u
∂ = ⋅ + − + ⋅ − + − + = ⋅ − = −∂ ∂ 
 
( )2 (1,1) 2fog
v u
∂⇒ =∂ ∂ −
2
 
 
 
 
4ª Questão (2,0 pontos) - As equações 22u x y= − e v xy= definem, implicitamente, 
x e y como funções diferenciáveis de u e v (i. e. ( , ), ( , )x x u v y y u v= = ) Determine 
, ,x y x e
u u v
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
y
v
. 
 
Solução: 
Derivando as equações em relação a u, obtemos: 2 2 x y2x y
u u
∂ ∂= − ∂ e 0∂
y xx y
u u
∂ ∂= +∂ ∂ 
 
 
 
Resolvendo o sistema 
2 2 2x yx y
u u
∂ ∂= −∂ ∂ 
0 x yy x
u u
∂ ∂= +∂ ∂ 
 
obtemos: 2 2 2
2
2 2 2
x x x
u x y x y
∂ = =∂ + + e 2 2 2
2
2 2
y y y
u 2x y x y
∂ −= = −∂ + + 
 
Derivando as equações em relação a v, obtemos: 0 2 2x yx y
v v
∂ ∂= −∂ ∂ e 1
y xx y
v v
∂ ∂= +∂ ∂ 
Resolvendo o sistema 
0 2 2x yx y
v v
∂ ∂= −∂ ∂ 
1 x yy x
v v
∂ ∂= +∂ ∂ 
 
obtemos: 2 2 2
2
2 2 2
x y y
v x y x y
∂ = =∂ + + e 2 2 2
2
2 2
y x x
v 2x y x y
∂ = =∂ + +