EP5 CIII 2012 2 Aluno

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP5 – CA´LCULO III – 2012-2
Exerc´ıcio 1 Determine os seguintes limites:
(a) lim
(푥,푦)→(0,1)
(
푥2푦 − 2푥3 − 푥− 1
푦
)
(b) lim
(푥,푦)→(∞,−2)
(
3
푥+ 푦
+ 2
)
(c) lim
(푥,푦)→(0,2)
푠푒푛(푥푦)
푥
(d) lim
(푥,푦)→(0,0)
(푥2 + 푦2) cos
(
1
2푥2 + 푦2
)
(e) lim
(푥,푦)→(0,0)
∣푥∣푥2 + ∣푦∣푦2
∣푥∣+ ∣푦∣
Exerc´ıcio 2 Calcule os seguintes limites envolvendo indeterminac¸o˜es
(a) lim
(푥,푦)→(0,0)
√
푥+ 3−√3
푥푦 + 푥
(b) lim
(푥,푦)→(0,0)
2푥4 + 푦3
푥2 + 푦2
Exerc´ıcio 3 Mostre que os seguintes limites na˜o existem.
(a) lim
(푥,푦)→(0,0)
푥푦 + 2푦2
푥2 + 푦2 − 푥푦
(b) lim
(푥,푦)→(0,1)
5푥2(푦 − 1)2
푥4 + (푦 − 1)4
(c) lim
(푥,푦)→(0,0)
푥4 + 푦2
푥2푦 + 2푥4
(d) lim
(푥,푦)→(0,0)
푥2 + 푦
푥4 + 3푦2
Exerc´ıcio 4 Verifique se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas nos pontos indicados
(a) 푓(푥, 푦) =
{
3푥− 푦 se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
2 se (푥, 푦) = (0, 0)
, em 푃 (0, 0).
CA´LCULO III EP5 2
(b) 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
푥푦
푥2 + 푦2
se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
0 se (푥, 푦) = (0, 0)
, em 푃 (0, 0).
(c) 푓(푥, 푦) =
푥2 + 푦2 − 1
푥+ 푦
, em 푃 (1, 1)
Exerc´ıcio 5 Determine o valor de 푏 para que a func¸a˜o seja cont´ınua em (0, 0).
(a) 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
(3푥2 + 푦2) sen
1
푥2 + 푦2
se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
푏 se (푥, 푦) = (0, 0)
(b) 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
푥2푦2√
푦2 + 1− 1 se (푥, 푦) ∕= (0, 0)
푏− 5 se (푥, 푦) = (0, 0)
Exerc´ıcio 6 Seja a func¸a˜o 푓(푥, 푦) =
⎧⎨
⎩
2푥3 + 3푦3 + 푧3
푥2 + 푦2 + 푧2
se (푥, 푦, 푧) ∕= (0, 0, 0)
0 se (푥, 푦, 푧) = (0, 0, 0) .
Calcule
(a) lim
ℎ→0
푓(ℎ, 0, 0)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
(b) lim
ℎ→0
푓(0, ℎ, 0)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
(c) lim
ℎ→0
푓(0, 0, ℎ)− 푓(0, 0, 0)
ℎ
Exerc´ıcio 7 Determine, se existir, os seguintes limites
(a) lim
(푥,푦,푧)→(0,0,0)
푥4 + 푦3 + 푧3
푥2 + 푦2 + 푧4
(b) lim
(푥,푦,푧)→(0,1,2)
(푦 − 1)4
푥2 + (푦 − 1)2 + (푧 − 2)2
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