matemática financeira slide

Prévia do material em texto

MA12 - Unidade 9
Matema´tica Financeira
Paulo Cezar Pinto Carvalho
PROFMAT - SBM
31 de Marc¸o de 2013
Conceitos Ba´sicos
Principal (P): capital investido
Juro (J): remunerac¸a˜o do capital
Montante (M = P + J): principal acrescido do juro
Taxa de juros (i =
J
P
): raza˜o entre juro e principal (referido a`
durac¸a˜o do investimento)
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 2/14
Juros Compostos
Regime de investimento em que o capital e´ reinvestido por
sucessivos per´ıodos, acrescido dos juros.
(que sempre incidem sobre o capital acumulado).
Exemplo: Principal de R$ 10000,00, investidos por 3 meses a`
taxa de 2% ao meˆs.
Ao final do 1o meˆs: M = 10000 + 0, 02 · 10000 = 10200
Ao final do 2o meˆs: M = 10200 + 0, 02 · 10200 = 10404
Ao final do 3o meˆs: M = 10404 + 0, 02 · 10404 = 10612, 08
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 3/14
Teorema
No regime de juros compostos de taxa i , um principal C0
transforma-se, depois de n per´ıodos de tempo, em um
montante Cn = C0(1 + i)
n.
No exemplo anterior, o montante ao final de 3 meses e´:
M = 10000 · (1 + 0, 02)3 = 10612, 08
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 4/14
Juros compostos × juros simples
Juros simples: M = C · (1 + n · i)
Juros compostos: M = C · (1 + i)n
Muito raramente, o modelo de juros simples e´ realista, ja´ que
os juros esta˜o dispon´ıveis para reinvestimento.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 5/14
O dinheiro no tempo
Valor acumulado apo´s n per´ıodos: Cn = C0(1 + i)
n.
C0 e´ o valor atual do capital.
Cn e´ o valor futuro do capital
Para deslocar uma quantia para o futuro: multiplicar por
1 + i em cada per´ıodo.
Para deslocar uma quantia para o passado: dividir por 1 + i
em cada per´ıodo.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 6/14
Comparando fluxos de caixa
Um fluxo de caixa e´ uma sequeˆncia de pagamentos e
recebimentos ao longo do tempo.
Para comparar fluxos de caixa e´ essencial reduzi-los a uma
mesma data, movimentando, se necessa´rio, as quantias ao
longo do tempo.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 7/14
Exemplo
Pedro tomou um empre´stimo de 300 reais, a juros de 15% ao
meˆs. Dois meses apo´s, Pedro pagou 150 reais e, um meˆs apo´s
esse pagamento, Pedro liquidou seu de´bito. Qual o valor desse
u´ltimo pagamento?
1) Representar os pagamentos ao longo do tempo:
2) Escolher uma e´poca para igualar os pagamentos: 0, por
exemplo.
3) Igualar os pagamentos nesta data:
300 =
150
(1 + 0, 15)2
+
P
(1 + 0, 15)3
.
O u´ltimo pagamento foi P = R$ 283,76.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 8/14
Exemplo
Pedro tem duas opc¸o˜es de pagamento na compra de um
televisor:
i) treˆs prestac¸o˜es mensais de R$ 160,00 cada;
ii) sete prestac¸o˜es mensais de R$ 70,00 cada.
Em ambos os casos, a primeira prestac¸a˜o e´ paga no ato da
compra. Se o dinheiro vale 2% ao meˆs para Pedro, qual a
melhor opc¸a˜o?
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 9/14
Soluc¸a˜o
Os esquemas de pagamento:
Calculando os valores na e´poca 2:
a = 160(1 + 0, 02)2 + 160(1 + 0, 02) + 160 = 489, 66
b = 70(1 + 0, 02)2 + 70(1 + 0, 02) + 70 +
70
1 + 0, 02
+
70
(1 + 0, 02)2
+
70
(1 + 0, 02)3
+
70
(1 + 0, 02)4
= 480, 77.
Pedro deve preferir o pagamento em sete prestac¸o˜es.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 10/14
Uma loja oferece duas opc¸o˜es de pagamento:
i) a` vista, com 30% de desconto.
ii) em duas prestac¸o˜es mensais iguais, sem desconto, a primeira
prestac¸a˜o sendo paga no ato da compra.
Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?
Esquemas de pagamento:
Igualando os valores na e´poca 0:
70 = 50 +
50
1 + i
.
Da´ı, i = 1, 5 = 150%
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 11/14
A Fo´rmula das Taxas Equivalentes
Se a taxa de juros relativamente a um determinado per´ıodo de
tempo e´ igual a i , a taxa de juros relativamente a n per´ıodos
de tempo e´ I tal que 1 + I = (1 + i)n.
Exemplo: A taxa anual de juros equivalente a 12% ao meˆs e´
I tal que 1 + I = (1 + 0, 12)12Da´ı,I≈ 2, 90 = 290% ao ano.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 12/14
Taxas equivalentes e taxas proporcionais
Uma taxa mensal de 2% ao meˆs na˜o resulta em uma taxa
anual de 24% ao ano, e sim de
1, 0212 − 1 ≈ 1, 268− 1 = 26, 8%.
Ha´, no entanto, o (mau) ha´bito de se referir a esta taxa como
sendo de ”24% ao ano, capitalizados mensalmente”.
A taxa de 24% ao ano e´ a taxa proporcional, enquanto a de
26, 8% ao ano e´ a taxa efetiva.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 13/14
Exemplo
Um capital e´ a juros de 6% ao ano com capitalizac¸a˜o mensal.
Qual a taxa anual de juros a` qual esta´ investido o capital?
A taxa de 6% ao ano e´ a taxa proporcional, que corresponde a
uma taxa mensal de i = 612 = 0, 5% ao meˆs.
A taxa efetiva anual e´ I tal que 1 + I = 1, 00512, o que
fornece I = 0, 0617.
Logo, a taxa efetiva anual e´ de 6, 17%.
PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 9, Matema´tica Financeira slide 14/14