livro texto matematica I parte IV

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Unidade IV
7 Outras funções 
Nesta unidade, iremos relembrar os conceitos de funções exponenciais, funções logarítmicas e 
trigonométricas. Antes de introduzirmos funções trigonométricas, relembraremos trigonometria no 
triângulo retângulo.
7.1 função exponencial 
Funções exponenciais são funções nas quais a variável x encontra-se no expoente da expressão. Sua 
definição matemática é:
 Observação
xf(x) a b= × com a 0≠ , b 0> , b 1≠
Exemplos:
xf(x) 2= 
xf(x) 5 8= ×
x
23
f(x)
2
=
 3x1
f(x)
4
 
=   
7.1.1 Propriedades
As funções exponenciais são calculadas por meio de uma potenciação, então as regras usuais para 
essa operação valem também para as exponenciais. As principais são:
( )
0
x y (x y)
x
(x y)
y
yx (x y)
1) b 1
2) b b b
b
3) b
b
4) b b
+
−
×
=
× =
=
=
( )x x x
x x
x
x
x
x
y xy
5) b c b c
b b
6) 
c c
1
7) b
b
8) b b
−
× = ×
 
=  
=
= 
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7.1.2 Domínio
Embora a potenciação só seja definida para expoentes inteiros, a função exponencial pode ser 
contínua, podendo ser calculada para qualquer valor real de x. Isso pode parecer estranho, mas a função 
exponencial não é definida com bases na operação de potenciação, e sim por meio da aproximação 
por polinômios. Para checar isso, basta usar qualquer calculadora que tenha a função x^y (apenas ^ em 
algumas) e, nesse caso, x será a base e y o expoente. Exemplos:
22 4= 
0,44 1,65480pi =
32 8= e2 2,56532=
2,52 5,65685.....= 31,56 2,16023=
0,364 0,60709.....− =
 3
2 1,82263=
7.1.3 Gráficos
Considerando-se uma função exponencial no modelo f(x) - a × bx, há quatro modelos de gráficos 
possíveis para uma função exponencial, que variam de acordo com os valores de a e b na função.
1º caso:
a > 0, b > 1
2º caso:
a > 0, 0 < b < 1
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3º caso:
a < 0, b > 1
4º caso:
a < 0, 0 < 1
7.1.4 Comparativo
A função exponencial cresce muito mais rapidamente do que qualquer função polinomial, como 
as conhecidas funções linear e quadrática. Veja a seguir um gráfico e uma tabela comparando os 
crescimentos dessas três funções.
Gráfico comparativo das funções linear, quadrática e exponencial
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Tabela comparativa das funções linear, quadrática e exponencial 
7.2 função logarítmica
Muitas vezes, ao resolvermos problemas que envolvem funções exponenciais, o que não sabemos 
é o próprio valor da variável independente, o x. Nesses casos, precisamos recorrer à função inversa da 
exponencial, que é a função logarítmica.
Os logaritmos são usados há muito tempo na matemática, mas foi um matemático escocês, John 
Napier, que no século XVII estudou e desenvolveu o uso sistemático dos logaritmos. 
A função inicial dos logaritmos era facilitar operações com grandes números, pois naquela época 
não havia calculadoras e o desenvolvimento manual de expressões complexas tomava grande parte do 
próprio raciocínio matemático.
7.2.1 Definição
As funções logarítmicas são definidas matematicamente da seguinte forma:
 Observação
bf(x) a log x= × , com a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1, x > 0
Exemplos:
2f(x) 2 log x= × f(x) 5 lnx= − ×
f(x) logx= − 3f(x) 3 log x= × 
Assim como as exponenciais, as funções logarítmicas podem ser de qualquer base (b), porém as bases 
mais usadas são a base 10 (log) e a base e (ln). Quando a logarítmica aparece em outra base, geralmente 
usamos regras para conversão para uma das bases anteriores.
7.2.2 Propriedades
As funções logarítmicas vêm da exponenciação, e suas propriedades são bastante semelhantes. As 
principais são:
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1. b b blog (x y) log x log y× = + 
2. b b b
x
log log x log y
y
= − 
3. nb blog x n log x= ×
4. cb
c
log x
log x
log b
=
exemplos de aplicação
1. Nos EUA, em anos recentes, a população pode ser modelada pela função exponencial 
tp(t) 205 (1,0068)= × , na qual p é a população (em milhões) e t é o tempo em anos, com t = 0 
correspondendo a 1970. Determine:
a) A população americana em 2000.
b) A população americana em 2010.
c) Em que ano a população americana ultrapassará a casa dos 300 milhões de pessoas.
Resolução:
a) O problema nos informou que a contagem inicial é a partir de 1970, pois nesse ano temos que 
t = 0. Assim, para sabermos quantos anos decorrerão até 2000 fazemos: 2000 - 1970 = 30.
Agora é só substituir na variável t para obtermos a população em 2000:
30p(t) 205 (1,0068)
p(t) 205 1,22545
p(t) 251,21760
p(t) 251
= ×
= ×
=
≅
 
b) Devemos proceder como no exercício anterior. Para sabermos quantos anos decorrerão até 2010 
fazemos: 2010 - 1970 = 40.
Agora é só substituir na variável t para obtermos a população em 2010:
40p(t) 205 (1,0068)
p(t) 205 1,31137
p(t) 268,83272
p(t) 269
= ×
= ×
=
≅
c) Agora o problema nos informa a quantidade da população, porém não fornece o tempo. Nesse 
caso, devemos aplicar a propriedade dos logaritmos:
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t
t
t
300 205 (1,0068)
300
(1,0068)
205
1,46341 (1,0068)
= ×
=
=
Agora temos a variável no expoente. Para resolvermos essa questão, temos que aplicar o log dos dois 
lados da igualdade. Podemos utilizar outra base, por exemplo, ln, porém deve ser aplicada dos dois lados 
da igualdade como segue abaixo:
tlog1,46341 log1,0068
log1,46341 t log1,0068
log1,46341
t
log1,0068
t 56,18569
t 56
=
= ×
=
=
≅
Se 1970 é t = 0, então 1970 + 56 = 2026.
2. Certa aplicação financeira rende 0,9% a.m. Considerando-se uma aplicação inicial de R$ 10.000,00, 
determine: 
a) Qual o montante da aplicação após 1 ano. 
b) Em quanto tempo a aplicação terá um saldo de R$ 15.000,00?
Resolução:
a) Para resolvermos esse problema, devemos primeiro identificar quem são as variáveis:
Capital C 10.000
taxa i 0,9% ou 0,9 100 0,009
tempo t 1 ano = 12 meses
Montante Capital + Juro
= =
= = ÷ =
= =
=
 Observação
Para efetuar esses cálculos, devemos sempre utilizar o mesmo padrão 
de equivalência, ou seja, se a taxa for calculada mensalmente, o tempo 
também deverá ser calculado em meses. Ou, caso seja mais conveniente 
ser calculado anualmente, as duas grandezas devem ser calculadas 
anualmente.147
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Para resolvermos esse problema, podemos utilizar a fórmula do montante, que em matemática 
financeira é:
nM C(1 i)= + , sendo. 
M = montante (capital inicial + juros do período);
C = capital inicial;
i = taxa de juros;
n ou t = tempo.
Substituindo, temos:
12M 10.000 (1 0,009)
M 10.000 1,11350
M 11.135,09
M 11.135,00
= × +
= ×
=
≅
b) Agora nos foi informado o montante e devemos descobrir o tempo. Substituindo na fórmula, 
temos:
n
n
n
n
15.000 10.000 (1 0,009)
15.000 10.000 (1,009)
15.000
1,009
10.000
1,5 1,009
= × +
= ×
=
=
Novamente, temos a variável no expoente. Para resolvermos essa questão temos que aplicar o log 
dos dois lados da igualdade. Podemos utilizar outra base, por exemplo ln, porém deve ser aplicado dos 
dois lados da igualdade como segue abaixo:
nln1,5 ln1,009
ln1,5 n ln1,009
ln1,5
n
ln1,009
n 45,25410
n 45
=
= ×
=
=
≅
 
3. Suponha que o valor de um terreno dobre a cada 15 anos. Se você comprou o terreno por 
R$ 64.000,00, o valor do terreno anos após a data da compra será dado por 
t
15V(t) 64000 2= × . 
Determine:
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a) O valor do terreno 5 anos após a compra.
b) O valor do terreno 20 anos após a compra.
c) Em quanto tempo ele valerá R$ 100.000,00.
Resolução:
a) Como temos a função modelada, basta substituir o tempo de 5 anos nessa função. Assim, temos:
5
15v(t) 64.000 2
v(t) 64.000 1,25992
v(t) 80.634,94
v(t) 80.635,00
= ×
= ×
=
≅
b) Devemos fazer o mesmo procedimento anterior, porém ao invés de serem 5 anos, calcularemos 
para 20 anos:
20
15v(t) 64.000 2
v(t) 64.000 2,51984
v(t) 161.269,89
v(t) 161.270,00
= ×
= ×
=
≅
c) Nesse caso, o problema nos apresenta quanto valerá o terreno, porém não nos informa em quanto 
tempo. Utilizaremos o mesmo procedimento, alterando somente o valor das grandezas:
t
15
t
15
t
15
t
15
100.000 64.000 2
100.000
2
64.000
1,5625 2
log1,5625 log2
t
log1,5625 log2
15
log1,5625 t
log2 15
t
0,64385
15
t 0,64385 15
t 9,65784
t 10
= ×
=
=
=
= ×
=
=
= ×
=
≅
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4. Um automóvel que custava inicialmente R$ 16.000,00 se deprecia de tal forma que a cada ano 
vale 
3
4
 do que valia no ano anterior. Escreva uma expressão para o valor do automóvel em função do 
tempo (v(t)) e determine o valor do carro após 4 anos.
Resolução:
Modelando a função, temos:
tv(t) 16.000 (0,75)= ×
Substituindo para sabermos o preço do carro após 4 anos, temos:
4v(t) 16.000 (0,75)
v(t) 16.000 0,31640
v(t) 5062,50
= ×
= ×
=
8 trigOnOmetria
8.1 trigonometria no triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é uma figura plana que possui um ângulo reto (ângulo de 90º) e os outros 
dois ângulos são agudos.
Em um triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre as medidas dos seus lados, que 
podem ser os catetos ou a hipotenusa. Os catetos são os lados que formam o ângulo reto e também que 
possuem medida menor em relação à hipotenusa. 
A hipotenusa é o lado que possui maior medida do triângulo retângulo. Ela também fica localizada 
opostamente ao ângulo reto (ângulo formado pelos catetos).
Outra informação relevante é que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos, conforme o teorema de Pitágoras.
Vamos observar a figura a seguir:
a b
c
b
a
Hipotenusa = a
Cateto = b
Cateto = c
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8.1.1 Relações métricas no triângulo retângulo 
Existem algumas relações métricas no triângulo retângulo que são:
1º 2 2 2a b c= + → teorema de Pitágoras
2º 2b m a= ×
3º 2c n a= ×
4º 2h m n= ×
5º b c a h× = ×
 saiba mais
Para ver as demonstrações dessas relações vocês podem acessar:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo>
<http://www.colegioweb.com.br/matematica/relacoes-metricas-nos-
triangulos-retangulos.html>
8.1.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo, dizemos que o seno de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto 
oposto a esse ângulo sobre a hipotenusa.
Por exemplo:
a b
c
b
a
O seno do ângulo a é dado pela relação: 
cateto oposto a b
hipotenusa a
α
=
O seno do ângulo b é dado pela relação: 
cateto oposto a c
hipotenusa a
β
=
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Nesse mesmo triângulo retângulo, é possível identificar o cosseno. Dizemos que o cosseno de 
um ângulo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo sobre a hipotenusa. Por 
exemplo:
a b
c
b
a
O cosseno do ângulo a é dado pela relação: cateto adjacente a c
hipotenusa a
α
=
O cosseno do ângulo b é dado pela relação: 
cateto adjacente a b
hipotenusa a
β
=
Ainda no triângulo retângulo, temos outra relação trigonométrica: a tangente. Dizemos que a 
tangente de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo sobre o cateto 
adjacente a esse ângulo. Por exemplo:
a b
c
b
a
A tangente do ângulo a é dada pela relação: 
cateto oposto a b
cateto adjascente a c
α
=
α
A tangente do ângulo b é dada pela relação: 
cateto oposto a c
cateto adjascente a b
β
=β
Tabela de relações trigonométricas:
seno sen x
cateto oposto
hipotenusa
cosseno cos x
cateto adjacente
hipotenusa
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tangente tg x
cateto oposto sen
cateto adjacente cos
=
cossecante cosec x
hipotenusa 1
cateto oposto sen
=
secante sec x
hipotenusa 1
cateto adjacente cos
=
cotangente cot x
cateto adjacente 1
cateto oposto tg
=
Essas relações podem ser representadas como funções trigonométricas. Essas funções são divididas em duas partes:
1ª Temos representadas as funções: seno, cosseno e tangente, conforme a figura a seguir:
2ª Temos representadas as funções: cossecante, secante e cotangente que são consideradas funções 
inversas, conforme a figura a seguir:
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8.1.3 Ângulos notáveis
Existem alguns ângulos que, devido ao seu uso constante, acabam sendo mais explorados.É o caso 
dos ângulos de 30, 45 e 60 graus. Abaixo está a representação desses ângulos no ciclo trigonométrico:
 
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Tabela dos ângulos notáveis:
Relações 30º 45º 60º
Seno
 
1
2
2
2
3
2
Cosseno
3
2
2
2
1
2
Tangente
3
3
 1 3
 saiba mais
Para ver o exemplo das demonstrações dos valores da tabela dos ângulos 
notáveis, você pode consultar:
• BARRETO Filho, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula. Volume 
único. Ensino Médio. São Paulo: FTD, 2000.
• http://www.brasilescola.com/matematica/angulos-notaveis.htm
 Observação
A circunferência pode ser dividida tanto em graus como em radianos. 
Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento 
do raio da circunferência no qual está inserido. 
Uma circunferência de raio r = 1possui a medida de 2π radianos.
Tabela da relação entre as medidas:
Arco
90º 180º 270º 360º
Grau
Radiano
2
pi
rad πrad
3
2
pi
rad 2πrad
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 Lembrete
Para conversões, utiliza-se normalmente a relação: 180º → π rad. 
8.1.4 Relação fundamental
Seja x ∈� 2 2sen x cos x 1+ =
Para demonstrarmos essa igualdade, temos:
a b
c
b
a
Temos que:
b
sen
a
c
cos
a
α =
α =
Para demonstrarmos 2 2sen cos 1α + α = , substituiremos:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
sen cos 1
b c
1
a a
b c
1
a a
b c
1
a
α + α =
   
+ =      
+ =
+
=
Sabemos que, segundo Pitágoras:
2 2 2a b c= + , então:
2
2
a
1
a
1 1
=
=
Assim, fica demonstrada a relação fundamental da trigonometria: 2 2sen cos 1α + α = .
156
Unidade IV
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 8.1.5 Lei dos senos
Se considerarmos um triângulo qualquer, podemos verificar que as medidas dos lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
Assim, a lei dos senos é representada por:
^ ^ ^
a b c
senA senB senC
= =
Por exemplo:
X
y
8
30º
Resolução: 
8 x
sen 90º sen 30º
8 x
1 0,5
x 4
=
=
=
8.1.6 Lei dos cossenos
Se considerarmos um triângulo qualquer, podemos verificar que o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto destes pelo cosseno do 
ângulo formado. Assim, a lei dos cossenos é representada por:
^
2 2 2
^
2 2 2
^
2 2 2
a b c 2bc cos A
b a c 2ac cosB
c a 2ab cosC
 
= + −
= + −
= + −
Por exemplo:
5
a
x
13
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Resolução:
^
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
a b c 2bc cos A
13 b 5 2 b 5 cos90º
169 b 25 10b 0
b 25 169 
b 144( 1)
b 144
b 12
= + −
= + − × ×
= + − ×
− = + −
− = − × −
=
=
8.2 funções trigonométricas 
8.2.1 Círculo trigonométrico
Algumas características do círculo trigonométrico são:
• o seu centro é a origem dos pontos no plano cartesiano, ou seja, ponto (0,0);
• o raio é unitário, ou seja, r = 1.
O círculo trigonométrico possui dois sentidos:
• Horário: esse é o sentido dos ponteiros do relógio. No círculo trigonométrico ele é negativo.
• Anti-horário: esse é o sentido contrário dos ponteiros do relógio. No círculo trigonométrico ele é 
positivo.
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8.2.2 Seno de arcos notáveis
A seguir, representaremos o seno dos arcos 0º, 90º, 180º, 270º e 360º que são considerados arcos 
notáveis no círculo trigonométrico, pois cada 90º percorridos no sentido anti-horário significa a 
passagem por um quadrante.
Se calcularmos o seno de 0º, iremos notar que no eixo das ordenadas não existe arco. Logo 
sen0º = 0
Se calcularmos o seno de 90º, iremos notar que no eixo das ordenadas existe um ângulo de 90º 
formado pelo arco que inicia em B e termina em C, sendo C(0,1). Logo sen90º=1.
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Se calcularmos o seno de 180º, iremos notar que no eixo das ordenadas existe um 
ângulo de 180º formado pelo arco que inicia em B e termina em D, sendo D(-1,0). 
Logo, sen180º = 0.
Se calcularmos o seno de 270º, iremos notar que no eixo das ordenadas existe um ângulo de 270º 
formado pelo arco que inicia em B e termina em E, sendo E(0,-1). Logo, sen270º = –1.
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Se calcularmos o seno de 360º, ou seja, a volta completa no círculo, iremos notar que no eixo das 
ordenadas existe um ângulo de 360º formado pelo arco que inicia em B e termina em B, sendo B(1,0). 
Logo, sen360º = 0.
8.3 função seno
Chamamos de função seno a função f : ,f(x) sen x→ =� � .
A representação gráfica da função seno é:
A seguir estão representados os valores notáveis da função seno:
º rad sen
0 0 0
30 π/6 1/2
45 π/4 √2/2
60 π/3 √3/2
90 π/2 1
O domínio da função seno é constituído pelo conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem da 
função seno é o intervalo [-1;1].
A função seno é uma função periódica cujo período é o número 2π.
8.3.1 Cosseno de arcos notáveis 
A seguir representaremos os cossenos dos arcos 0º, 90º, 180º, 270º e 360º que são considerados 
arcos notáveis no círculo trigonométrico, pois cada 90º percorridos no sentido anti-horário significa a 
passagem por um quadrante.
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Se calcularmos o cosseno de 0º, iremos notar que no eixo das abscissas não existe arco. Porém, o eixo 
das abscissas é representado pelo cosseno. Logo, cos0º = 1.
Se calcularmos o cosseno de 90º, iremos notar que existe um arco que inicia em B e termina em C, 
cujo ponto é C = (0,1). Logo, cos90º = 0.
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Se calcularmos o cosseno de 180º, iremos notar que existe um arco que inicia em B e termina em D, 
cujo ponto é D = (-1,0). Logo, cos180º = -1.
Se calcularmos o cossenode 270º, iremos notar que existe um arco que inicia em B e termina em E, 
cujo ponto é E = (-1,0). Logo, cos270º = 0.
Se calcularmos o cosseno de 360º, iremos notar que existe um arco que inicia-se em B e termina em 
B, cujo ponto é B=(1,0). Logo, cos360º=1.
8.4 função cosseno
Chamamos de função cosseno a função f : ,f(x) cos x→ =� � .
A representação gráfica da função cosseno é:
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A seguir estão representados os valores notáveis da função cosseno:
º rad cos
0 0 1
30 π/6 √3/2
45 π/4 √2/2
60 π/3 1/2
90 π/2 0
O domínio da função cosseno é constituído pelo conjunto dos números reais. Já o conjunto imagem 
da função cosseno é o intervalo [-1;1].
A função cosseno também é uma função periódica cujo período é o número 2π.
8.5 função tangente
Chamamos de função tangente a função f : x | x 2k , f(x) tg x
2
pi 
∈ ≠ + pi → =  � �
.
A representação gráfica da função tangente é:
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A seguir estão representados os valores notáveis da função tangente:
º rad tg
0 0 0
30 π/6 √3/3
45 π/4 1
60 π/3 √3
90 π/2 n/a
O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais.
A função tangente também é uma função periódica, porém seu período é π.
 Observação
Funções inversas
f(x)
1
f(x)
f(x)-1
sen x cosec x arcsen x
cos x sec x arccos x
tg x cotg x arctg x
exemplos de aplicação 
1. Num triângulo retângulo, a soma das medidas dos catetos vale 7 cm. Determinar as medidas 
desses catetos, sabendo que a hipotenusa vale 5 cm.
Resolução:
Primeiro vamos modelar o problema utilizando Pitágoras:
2 2 2
2 2 2
a 5
a b c
5 b c
=
= +
= +
O problema nos informa que:
b + c = 7, com essas informações podemos modelar um sistema:
2 2
b c 7 equação I
b c 25 equação II
+ = →
+ = →
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Agora podemos isolar b ou c . Isolando b , temos:
b 7 c equação III= − → .
Substituindo a equação III em II, temos:
2 2
2
2 2
2
2
b c 25
(7 c) 25
49 14c c c 25
2c 14c 49 25 0
2c 14c 24 0
+ =
− =
− + + =
− + − =
− + =
Chegamos a uma equação de 2º grau e utilizaremos Bhaskara para resolver:
( )
2
2
b 4ac
14 4 2 24
196 192
4
∆ = −
∆ = − − × ×
∆ = −
∆ =
b
x
2a
( 14) 4
x
2 2
14 2
x
4
− ± ∆
=
− − ±
=
×
±
=
14 2 16
x ' 4
4 4
+
= = =
14 2 12
x ' 3
4 4
−
= = =
2. João pretende fazer uma experiência com uma bolinha de borracha. Ele vai soltar a bolinha de 
uma plataforma que forma um ângulo de 30 graus com a parede vertical. O topo dessa plataforma tem 
6 metros de distância em relação ao solo. Determine o comprimento da plataforma.
Resolução:
Vamos reproduzir a figura da rampa:
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a
30º
b
6
Visualizando a figura, podemos calcular:
C.O
cos30º
hip
3 6
2 a
a 3 12
12
a
3
12 3
a
3 3
12 3
a
3
a 4 3
=
=
=
=
= =
×
=
=
3. Para quais valores de k a equação sen x = k² - 1 tem solução?
Sabemos que a função sen:
 
2
1 senx 1
1 k 1 1
− ≤ ≤
− ≤ − ≤
Faremos essa inequação em dois sistemas:
2
2
1 k 1 inequação I
k 1 1 inequação II
− ≤ − →
− ≤ →
Resolvendo I, temos:
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2
2
2
1 1
1 1
0
k
k
k k
− ≤ −
≥ − +
≥ ⇒ ∀ ∈�
Resolvendo II, temos:
2
2
2
k 1 1
k 1 1
k 2
k 2
− ≤
≤ +
≤
≤
V k / 2 k 2= ∈ − ≤ ≤�
4. Considere a função f(x) = 10 + 5 cos 2x. 
Resolução:
a) Qual o menor valor que a função atinge?
b) Para qual valor de x a função atinge seu mínimo?
Sabemos que 1 cos x 1− ≤ ≤ .
Portanto, o menor valor de f(x) será quando cos x = -1.
Assim, teremos:
f(x) 10 5 ( 1) 5= + × − = 
Considerando o item anterior temos que f(x) = 5, então temos:
5 10 5cos x
10 5 5cos x
5 5cos x
cos x 1
= +
− + =
− =
= −
x 2k,k= pi + ∈�
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 resumo
Nesta unidade estudamos outros modelos de funções como as 
exponenciais e logarítmicas, que também são utilizadas para a resolução de 
problemas cotidianos. Resgatamos também os conceitos de trigonometria 
para que pudéssemos trabalhar com as funções trigonométricas.
 exercícios
Questão 1. (ENEM/2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, 
está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, 
diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o 
valor de r em função de t seja dado por
r t
x t
( ) =
+ ( )
5865
1 0 15 0 06, cos ,
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da 
Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. 
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:
A) 12.765 km.
B) 12.000 km.
C) 11.730 km.
D) 10.965 km.
E) 5.865 km.
Resposta correta: alternativa B.
Análise das alternativas
Na equação dada, como -1 < cos(0,06t)< 1, teremos:
Passo 1) máximo
5865 5865 5865
r 6900
1 0,15.( 1) 1 0,15 0,85
= = = =
+ − −
Passo 2) mínimo
5865 5865 5865
r 5100
1 0,15.(1) 1 0,15 1,15
= = = =
+ +
Logo, máximo mínimoS r r 6900 5100 12000= + = + =
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Então:
A) Alternativa incorreta
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2. (FUVEST-2010) Tendo em vista as aproximações 10log 2 0,30≅ , 10log 3 0,48≅ , então, o 
maior número inteiro n que, satisfazendo n 41810 12≤ , é igual a:
A) 424
B) 437
C) 443
D) 451
E) 460
Resolução desta questão na Plataforma.
170
FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
BL PL - CIÊNCIAS MATEMÁTICA NÚMEROS PRIMOS.JPG. Largura: 400 pixels.Altura: 63 pixels. 8,3 Kb. 
Formato JPEG. Disponível em: <http://mesquita.blog.br/ciencias-matematica-numeros-arabicos>. 
Acesso em: 11 abr. 2011.
REFERÊNCIAS 
Textuais
BARBONI, A.; PAULETTE, W. Cálculo e análise (cálculo diferencial e integral): fundamentos de 
matemática. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2007.
BARRETO Filho, B.; SILVA, C. X. Matemática aula por aula. Ensino Médio. São Paulo: Editora FTD, 
2000.
BRADLEY, G. L.; HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2008.
DEMANA, F. et al. Pré-cálculo. 1. ed. São Paulo: Editora Pearson Education do Brasil, 2009.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: 
Editora Makron, 1992.
GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI Jr., J.R. A conquista da matemática. Ensino Fundamental. 
São Paulo: Editora FTD, 1998. 4 v.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1997. 
HOFFMANN, L. D. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 
2002.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. Ensino Fundamental. 5. ed. São Paulo: 
Editora Atual, 2005. 4 v.
MORETTIN, P. A.; HARZZAN, S. B. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 
2003.
STEWART, J. Cálculo. Vol. I. São Paulo: Editora Pioneira-Thomson Learning, 2001.
THOMAS, G. Cálculo. Vol. I. 11. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2009.
171
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade II – Questão 2: FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST). Vestibular 2007 
1ª fase: conhecimentos gerais. Questão 31. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2007/provas/
p1f2007v.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemática. Questão 
11. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. Acesso 
em: 18 mai. 2011.
Unidade IV – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA 
(INEP). Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Disponível em: <http://download.inep.
gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Unidade IV – Questão 2: FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST). Vestibular 2010 1ª 
fase: conhecimentos gerais. Questão 73. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2010/1fase/p1f2010v.
pdf>. Acesso em: 18 mai. 2011.
Sites
<http://www.brasilescola.com/matematica/angulos-notaveis.htm>
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo>
<http://www.colegioweb.com.br/matematica/relacoes-metricas-nos-triangulos-retangulos.html>
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000