Lista 8 sistemas lineares e matrizes

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Lista 6 de Álgebra Linear Aplicada 
Sistemas e Matrizes 
Professora Ana Carolina Carius* 
 
 
*E-mail: carol.carius.oliveira@gmail.com 
 
1) Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação gaussiana: 
( A ) 
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 8
−𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
3𝑥1 − 7𝑥2 + 4𝑥3 = 10
 ( B ) 
2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 0
−2𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 = 1
8𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = −1
 
 
( C ) 
−2𝑏 + 3𝑐 = 1
3𝑎 + 6𝑏 − 3𝑐 = −2
6𝑎 + 6𝑏 + 3𝑐 = 5
 
2) Resolva a seguinte equação matricial em termos de a, b, c e d: 
 
[
𝑎 − 𝑏 𝑏 + 𝑐
3𝑑 + 𝑐 2𝑎 − 4𝑑
] = [
8 1
7 6
] 
3) Considere as matrizes: 
𝐴 = [
3 0
−1 2
1 1
], 𝐵 = [
4 −1
0 2
] , 𝐶 = [
1 4
3 1
 
2
5
], 𝐷 = [
1 5
−1 0
 
2
1
3 2 4
], 𝐸 = [ 
6 1 3
−1 1 2
4 1 3
] 
Calcule os seguinte (quando possível) 
( A ) D+E ( E ) 4E – 2D ( I ) 2𝐴𝑇 + 𝐶 
( B ) 2B – C ( F ) tr(D-3E) ( J ) 𝐷𝑇 − 𝐸𝑇 
( C ) tr (D ) ( G ) 2ª ( K ) (𝐷 − 𝐸)𝑇 
( D ) D – E ( H ) 4 tr (7B) ( L ) 𝑡𝑟(𝐶𝑇𝐴𝑇 + 2𝐸𝑇) 
4) Sejam 𝐴 = [
3 −2 7
6 5 4
0 4 9
] e 𝐵 = [
6 −2 4
0 1 3
7 7 5
]. Determine AB. 
5) Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares: 
( A ) [
3 −1 2
4 3 7
−2 1 5
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
2
−1
4
] ( B ) [
3 −2 0
5 0 2
3 1 4
 
1
−2
7
−2 5 1 6
] [
𝑤
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
0
0
0
] 
6) Prove: Se A e B são matrizes n x n, então tr(A+B)= tr (A) + tr (B) 
7) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta 
dando um argumento lógico ou um contra-exemplo: 
( A ) As expressões 𝑡𝑟(𝐴𝐴𝑇) e 𝑡𝑟(𝐴𝑇𝐴) estão sempre definidas, independentemente do tamanho de A. 
( B ) 𝑡𝑟(𝐴𝐴𝑇) = 𝑡𝑟(𝐴𝑇𝐴) para qualquer matriz A. 
( C ) Se a primeira coluna de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de 
qualquer produto AB. 
 
 Lista 6 de Álgebra Linear Aplicada 
Sistemas e Matrizes 
Professora Ana Carolina Carius* 
 
 
*E-mail: carol.carius.oliveira@gmail.com 
 
( D ) Se a primeira linha de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de 
qualquer produto AB. 
( E ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então AA tem duas linhas idênticas. 
( F ) Se A é uma matriz quadrada e AA tem uma coluna toda constituída de zeros, então 
necessariamente A tem uma coluna toda constituída de zeros. 
( G ) Se a soma de matrizes AB + BA estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas.