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Soluções para exercícios em
Introdução ao crescimento económico
(Segunda edição)
Charles I. Jones (com Chao Wei 
e Jesse Czelusta)
Departamento de Economia
UC Berkeley
Berkeley, CA 94720-3880
18 de setembro de 2001
1
1. Introdução
Sem problemas.
2 O SolowModel
Exercício 1. A diminuição da taxa de investimento.Exercício 1. A diminuição da taxa de investimento.
A diminuição da taxa de investimento faz com que o s ~A diminuição da taxa de investimento faz com que o s ~A diminuição da taxa de investimento faz com que o s ~ y curva de se deslocar para baixo: em qualquery curva de se deslocar para baixo: em qualquer
determinado nível de ~determinado nível de ~ k, a taxa de investimento em tecnologia é menor com a nova taxa de sav-k, a taxa de investimento em tecnologia é menor com a nova taxa de sav-
ing / investimento.
Assumindo que a economia começou no estado estacionário, a razão capital-tecnologia é agora mais elevada do que é 
consistente com a taxa de poupança reduzida, de modo que diminui gradualmente, como mostrado na Figura 1.
Figura 1: uma diminuição da taxa de investimento
(N + g + d) k
~
s '' y
k ** k *
s'y ~
~
~ ~
O registo da produção por trabalhador y evolui como na Figura 2, e a dinâmica da taxa de crescimento são O registo da produção por trabalhador y evolui como na Figura 2, e a dinâmica da taxa de crescimento são O registo da produção por trabalhador y evolui como na Figura 2, e a dinâmica da taxa de crescimento são 
apresentadas na Figura 3. Lembrar que registroapresentadas na Figura 3. Lembrar que registro y = α registroy = α registro k e ˙ ~k e ˙ ~k e ˙ ~ k / ~k / ~k =
s '' ~s '' ~s '' ~k α - 1 - ( n + g + d).k α - 1 - ( n + g + d).k α - 1 - ( n + g + d).k α - 1 - ( n + g + d).k α - 1 - ( n + g + d).k α - 1 - ( n + g + d).k α - 1 - ( n + g + d).
A política reduz permanentemente o nível de produção por trabalhador, mas a taxa de crescimento por 
trabalhador é apenas temporariamente reduzida e voltará ao g a longo prazo.trabalhador é apenas temporariamente reduzida e voltará ao g a longo prazo.trabalhador é apenas temporariamente reduzida e voltará ao g a longo prazo.
2
Figura 2: y (t)Figura 2: y (t)
LOG y
TEMPO
Figura 3: Taxa de crescimento da produção por trabalhador
y. / y
TEMPO
t *
g
3
Exercício 2. Um aumento na força de trabalho.Exercício 2. Um aumento na força de trabalho.
A chave para esta questão é reconhecer que o efeito inicial de um súbito aumento na força de 
trabalho é reduzir a relação capital-trabalho, desde k ≡ K / L e Ktrabalho é reduzir a relação capital-trabalho, desde k ≡ K / L e Ktrabalho é reduzir a relação capital-trabalho, desde k ≡ K / L e Ktrabalho é reduzir a relação capital-trabalho, desde k ≡ K / L e Ktrabalho é reduzir a relação capital-trabalho, desde k ≡ K / L e Ktrabalho é reduzir a relação capital-trabalho, desde k ≡ K / L e K
é fixado em um momento no tempo. Assumindo que a economia estava em estado estacionário antes do aumento da força de 
trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança trabalho, k cai de k * a algum novo nível k 1. Observe que este é um movimento ao longo a sy e ( n + d) k curvas em vez de um mudança 
de qualquer esquema: ambas as curvas são representados como funções de k, de modo que uma mudança na k é um de qualquer esquema: ambas as curvas são representados como funções de k, de modo que uma mudança na k é um de qualquer esquema: ambas as curvas são representados como funções de k, de modo que uma mudança na k é um de qualquer esquema: ambas as curvas são representados como funções de k, de modo que uma mudança na k é um de qualquer esquema: ambas as curvas são representados como funções de k, de modo que uma mudança na k é um 
movimento ao longo das curvas. (Por essa razão, é um pouco complicado para colocar esta pergunta primeiro!)
em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙em k 1, sy> (n + d) k 1, de modo a ˙ k> 0, ea economia evolui de acordo comk> 0, ea economia evolui de acordo comk> 0, ea economia evolui de acordo com
a dinâmica Solow habituais, como mostrado na Figura 4.
Figura 4: um aumento na força de trabalho
(N + d) k
sy
kk k *
1
No curto prazo, o produto capita e soltar capital por em resposta a uma inlarge fluxo de trabalhadores. Em 
seguida, essas duas variáveis ​​começam a crescer (a uma taxa decrescente), até que no longo prazo retornos de 
capital per capita ao nível original, k *. No longo prazo, nada mudou!capital per capita ao nível original, k *. No longo prazo, nada mudou!capital per capita ao nível original, k *. No longo prazo, nada mudou!capital per capita ao nível original, k *. No longo prazo, nada mudou!
Exercício 3. Um imposto de renda.Exercício 3. Um imposto de renda.
Suponha que o governo joga fora os recursos que recebe em impostos. Em seguida, um imposto de renda 
reduz a quantidade total disponível para investir e desloca a curva de investimento baixo, conforme mostrado na 
Figura 5.
4
Figura 5: um imposto de renda
(N + g + d) k 
sy
sy
~
k 
~
k *k ** ~ 
~
~ (1- τ)~ (1- τ)
~
A política fiscal reduz permanentemente o nível de produção por trabalhador, mas a taxa de crescimento por 
trabalhador é apenas temporariamente abaixada. Note-se que esta experiência tem basicamente os mesmos resultados 
que que no Exercício 2.
Para mais pensamento: o que acontece se, em vez de jogar fora os recursos que recolhe o governo 
usa toda a sua receita fiscal para realizar investimentos?
Exercício 4. Manna cai mais rápido.Exercício 4. Manna cai mais rápido.
A Figura 6 mostra o diagrama de Solow para esta questão. Acontece, porém, que é mais fácil responder a 
esta pergunta usando a versão dinâmicas de transição do diagrama, comomostrado na Figura 7. Quando g sobe esta pergunta usando a versão dinâmicas de transição do diagrama, como mostrado na Figura 7. Quando g sobe esta pergunta usando a versão dinâmicas de transição do diagrama, como mostrado na Figura 7. Quando g sobe 
para g ', ˙para g ', ˙para g ', ˙para g ', ˙
~
k / ~k / ~k torna-se negativo, como se mostra nak torna-se negativo, como se mostra na
A Figura 7 e ˙A Figura 7 e ˙ A / A = g ', a nova taxa de crescimento de estado estacionário. Para ver o que isso A / A = g ', a nova taxa de crescimento de estado estacionário. Para ver o que isso A / A = g ', a nova taxa de crescimento de estado estacionário. Para ver o que isso 
implica sobre a taxa de crescimento de y, Recordamos queimplica sobre a taxa de crescimento de y, Recordamos queimplica sobre a taxa de crescimento de y, Recordamos que
y˙
y = ˙y = ˙
~y
~y + ˙y + ˙
UMA
A = α
˙ 
~
k
~
k + g '.k + g '.
Assim, para determinar o que acontece com a taxa de crescimento y no momento da mudança de g; nós temos que Assim, para determinar o que acontece com a taxa de crescimento y no momento da mudança de g; nós temos que Assim, para determinar o que acontece com a taxa de crescimento y no momento da mudança de g; nós temos que Assim, para determinar o que acontece com a taxa de crescimento y no momento da mudança de g; nós temos que Assim, para determinar o que acontece com a taxa de crescimento y no momento da mudança de g; nós temos que 
determinar o que acontece com ˙determinar o que acontece com ˙
~
k / ~k / ~k naquele momento. Como pode ser visto nak naquele momento. Como pode ser visto na
Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as Figura 7, ou por álgebra, esta taxa de crescimento cai g - g '< 0 - é o negativo da diferença entre as 
duas linhas horizontais.
Substituindo na equação acima, vemos que ˙Substituindo na equação acima, vemos que ˙ y / y imediatamente após ay / y imediatamente após a
5
Figura 6: Um aumento na gFigura 6: Um aumento na g
sy (n + g + d) k
k ** kk * (n 
+ g '+ d) k
~
~~ ~ 
~ ~
Figura 7: Um aumento na g: transição DynamicsFigura 7: Um aumento na g: transição DynamicsFigura 7: Um aumento na g: transição Dynamics
s'k ~ a-1s'k ~ a-1
k / k
k 
n + g + d
~
k ** ~ 
~
n + g '+ d
k * ~. 
~
-
6
aumentar em g ( suponha que isso ocorre no momento t = 0) É dado poraumentar em g ( suponha que isso ocorre no momento t = 0) É dado poraumentar em g ( suponha que isso ocorre no momento t = 0) É dado poraumentar em g ( suponha que isso ocorre no momento t = 0) É dado poraumentar em g ( suponha que isso ocorre no momento t = 0) É dado poraumentar em g ( suponha que isso ocorre no momento t = 0) É dado por
y˙
y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.y | t = 0 = α (g - g ') + g '= ( 1 - α) g '+ αg> 0.
Note-se que este valor, que é uma média ponderada de g ' e g; é estritamente menor queNote-se que este valor, que é uma média ponderada de g ' e g; é estritamente menor queNote-se que este valor, que é uma média ponderada de g ' e g; é estritamente menor queNote-se que este valor, que é uma média ponderada de g ' e g; é estritamente menor queNote-se que este valor, que é uma média ponderada de g ' e g; é estritamente menor queNote-se que este valor, que é uma média ponderada de g ' e g; é estritamente menor que
g '.g '.
depois de um tempo t = 0, ˙depois de um tempo t = 0, ˙depois de um tempo t = 0, ˙depois de um tempo t = 0, ˙ y / y aumenta-se a g '( que pode ser visto olhando para oy / y aumenta-se a g '( que pode ser visto olhando para oy / y aumenta-se a g '( que pode ser visto olhando para oy / y aumenta-se a g '( que pode ser visto olhando para oy / y aumenta-se a g '( que pode ser visto olhando para o
dinâmica implicadas pela Figura 6). Portanto, sabemos que a dinâmica da taxa de crescimento da produção por 
trabalhador olhar como os mostrados na Figura 8.
Figura 8: Taxa de crescimento da produção por trabalhador
g g' 
y / y
.
TEMPO
7
Exercício 5. podemos salvar demais?Exercício 5. podemos salvar demais?
A partir do modelo de Solow padrão, sabemos que a produção de estado estacionário per capita é dada por y * = ( sA partir do modelo de Solow padrão, sabemos que a produção de estado estacionário per capita é dada por y * = ( sA partir do modelo de Solow padrão, sabemos que a produção de estado estacionário per capita é dada por y * = ( sA partir do modelo de Solow padrão, sabemos que a produção de estado estacionário per capita é dada por y * = ( s
n + d) αn + d) α
1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou1 - α. consumo de estado estacionário por trabalhador é ( 1 - s) y *, ou
c * = ( 1 - s)c * = ( 1 - s)c * = ( 1 - s)c * = ( 1 - s)c * = ( 1 - s)
( s( s
n + d
) α
1 - α.1 - α.1 - α.
A partir desta expressão, vemos que um aumento na taxa de poupança tem dois efeitos. Em primeiro lugar, aumenta a 
produção em estado estacionário por trabalhador e, portanto, tende a aumentar o consumo. Em segundo lugar, reduz a 
quantidade de produto que é consumido.
Para maximizar c *, tomamos a derivada desta expressão em relação a s e defini-lo igual a zero:Para maximizar c *, tomamos a derivada desta expressão em relação a s e defini-lo igual a zero:Para maximizar c *, tomamos a derivada desta expressão em relação a s e defini-lo igual a zero:Para maximizar c *, tomamos a derivada desta expressão em relação a s e defini-lo igual a zero:Para maximizar c *, tomamos a derivada desta expressão em relação a s e defini-lo igual a zero:Para maximizar c *, tomamos a derivada desta expressão em relação a s e defini-lo igual a zero:
∂C *∂C *
∂S = - ( s∂S = - ( s∂S = - ( s n + d
) α
1 - α + ( 1 - s) α1 - α + ( 1 - s) α1 - α + ( 1 - s) α1 - α + ( 1 - s) α1 - α + ( 1 - s) α1 - α + ( 1 - s) α1 - α + ( 1 - s) α
1 - α1 - α1 - α
s αs α
1 - α - 11 - α - 11 - α - 11 - α - 11 - α - 1
( n + d) α( n + d) α( n + d) α( n + d) α
1 - α1 - α1 - α
= 0.
Reorganizar a equação, temos
1 = 1 - s *1 = 1 - s *1 = 1 - s *1 = 1 - s *
s *s *
α
1 - α,1 - α,1 - α,
e, portanto,
s * = α.s * = α.s * = α.A taxa de poupança que maximiza os iguais de consumo de estado estacionário α.A taxa de poupança que maximiza os iguais de consumo de estado estacionário α.
Agora vire para o produto marginal do capital, MPK. Dada a função de produção y = k α, o produto Agora vire para o produto marginal do capital, MPK. Dada a função de produção y = k α, o produto Agora vire para o produto marginal do capital, MPK. Dada a função de produção y = k α, o produto Agora vire para o produto marginal do capital, MPK. Dada a função de produção y = k α, o produto Agora vire para o produto marginal do capital, MPK. Dada a função de produção y = k α, o produto Agora vire para o produto marginal do capital, MPK. Dada a função de produção y = k α, o produto 
marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,marginal do capital é αk α - 1. Avaliada no valor de estado estacionário k *,
MPK = α (k *) ( α - 1) = αMPK = α (k *) ( α - 1) = αMPK = α (k *) ( α - 1) = αMPK = α (k *) ( α - 1) = αMPK = α (k *) ( α - 1) = αMPK = α (k *) ( α - 1) = α
( n + d( n + d( n + d( n + d
s
)
.
Quando a taxa de poupança está definido para maximizar o consumo por pessoa, s * = α, de modo que o produto Quando a taxa de poupança está definido para maximizar o consumo por pessoa, s * = α, de modo que o produto Quando a taxa de poupança está definido para maximizar o consumo por pessoa, s * = α, de modo que o produto Quando a taxa de poupança está definido para maximizar o consumo por pessoa, s * = α, de modo que o produto Quando a taxa de poupança está definido para maximizar o consumo por pessoa, s * = α, de modo que o produto 
marginal do capital é
MPK * = n + d.MPK * = n + d.MPK * = n + d.MPK * = n + d.
Ou seja, o produto marginal de estado estacionário do capital é igual a n + d em que o consumo por pessoa é Ou seja, o produto marginal de estado estacionário do capital é igual a n + d em que o consumo por pessoa é Ou seja, o produto marginal de estado estacionário do capital é igual a n + d em que o consumo por pessoa é 
maximizada. Alternativamente, esta expressão sugere que o líquidomaximizada. Alternativamente, esta expressão sugere que o líquido
produto marginal do capital - ou seja, o produto marginal do capital líquido de depreciação - é igual à taxa de 
crescimento da população. Esta relação está representada graficamente na Figura 9.
8
Figura 9: nós podemos salvar Too Much?
(D + n) k
y
sy
k * k *
E se s> α, em seguida, o consumo de estado estacionário pode ser aumentada através da redução da E se s> α, em seguida, o consumo de estado estacionário pode ser aumentada através da redução da E se s> α, em seguida, o consumo de estado estacionário pode ser aumentada através da redução da 
taxa de poupança. Esse resultado está relacionado com os retornos decrescentes associados com a 
acumulação de capital. Quanto maior é a taxa de poupança, menor é o produto marginal do capital. O produto 
marginal do capital é o retorno para investir - se você investir uma unidade de produto, quanto você voltar? A 
intuição é mais clara se pusermos n = 0 para o momento. Então, a condição diz que o produto marginal do intuição é mais clara se pusermos n = 0 para o momento. Então, a condição diz que o produto marginal do intuição é mais clara se pusermos n = 0 para o momento. Então, a condição diz que o produto marginal do intuição é mais clara se pusermos n = 0 para o momento. Então, a condição diz que o produto marginal do 
capital deve ser igual à taxa de depreciação, ou o retorno líquido ao capital deve ser zero. Se o produto 
marginal do capital cai abaixo da taxa de depreciação, então você está recebendo menos do que você 
colocar, e, portanto, você está investindo muito.
Exercício 6. Solow (1956) versus Solow (1957).Exercício 6. Solow (1956) versus Solow (1957).
a) Este é um caminho fácil. O crescimento da produção por trabalhador no estado estacionário inital é 2 por cento e no novo a) Este é um caminho fácil. O crescimento da produção por trabalhador no estado estacionário inital é 2 por cento e no novo 
estado de equilíbrio é de 3 por cento.
b) equação recordação (2,15)b) equação recordação (2,15)
y˙
y = α ˙y = α ˙
k
k + ˙k + ˙
B
B
y˙
y 
α ˙α ˙
k
k
˙
B
B
SS inicial . 02 1/3 * (. 02) 2/3 * (. 02) =. 0133
nova SS . 03 1/3 * (. 03) 2/3 * (. 03) =. 0200
mudança .01 1/3 * (. 01) 2/3 * (. 01) = 0,0067
9
Em outras palavras, Solow (1957) diria que 1/3 do crescimento mais rápido na produção por trabalhador é 
devido ao capital e 2/3 é devido à tecnologia.
c) A contabilidade do crescimento acima sugere atribuindo parte do crescimento mais rápido ao capital e c) A contabilidade do crescimento acima sugere atribuindo parte do crescimento mais rápido ao capital e 
alguns a tecnologia. Claro que isto é verdadeiro no sentido contabilístico. No entanto, sabemos de Solow (1956) 
que o crescimento mais rápido em tecnologia é em si a causa do crescimento mais rápido do capital por 
trabalhador. É neste sentido que a imagem de contabilidade às vezes pode ser enganosa.
10
3 aplicações empíricas de modelos de crescimento neoclássicos
Exercício 1. Onde estão essas economias indo?Exercício 1. Onde estão essas economias indo?
A partir da equação (3.9), obtemos
yˆ * =y * =
( ˆ( ˆ
s Ks K
Xˆ
) α
1 - α ˆ1 - α ˆ1 - α ˆ1 - α ˆ
h ˆh Aˆ =
( 
sˆ Ks K
̂
( n + 0,075)( n + 0,075)( n + 0,075)
) α
1 - α1 - α1 - α
e ψ (u - você NOS) ˆe ψ (u - você NOS) ˆe ψ (u - você NOS) ˆe ψ (u - você NOS) ˆe ψ (u - você NOS) ˆe ψ (u - você NOS) UˆMA,
onde o ( ) é utilizado para denotar uma variável relativa ao seu valor e US x = n + g + d.onde o ( ) é utilizado para denotar uma variável relativa ao seu valor e US x = n + g + d.onde o ( ) é utilizado para denotar uma variável relativa ao seu valor e US x = n + g + d.onde o ( ) é utilizado para denotar uma variável relativa ao seu valor e US x = n + g + d.
Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.Os cálculos a seguir assume α = 1/3 e ψ = . 10, como no capítulo.
Aplicando esta equação usando os dados fornecidos no exercício conduz aos seguintes resultados para os 
dois casos: Caso (a) mantém as proporções da PTF 1990, enquanto que caso (b) tem níveis TFP equalizados entre 
os países. A coluna Rácio relata a relação entre esses níveis de estado estacionário para os valores em 1997.
yˆ 97 y 97 (uma) ˆ(uma) yˆ * Proporção (b) ˆy * Proporção (b) ˆy * Proporção (b) ˆy * Proporção (b) ˆ y * relaçãoy * relaçãoy * relação
EUA 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
Canadá 0,864 1,030 1,193 1,001 1,159
Argentina 0,453 0,581 1,283 0,300 0,663 Tailândia 
0,233 0,554 2,378 0,259 1,112
Camarões 0,048 0,273 5,696 0,064 1,334
O mais longe país de seu estado de equilíbrio vai crescer mais rápido. (Observe que, por mais distante que significa 
em termos percentuais). Portanto, no caso (a), os países são classificados por suas taxas de crescimento, com os 
Camarões prevista para crescer mais rápido e os Estados Unidos prevista paracrescer o mais lento. No caso (b), 
Camarões ainda está prevista para crescer o mais rápido enquanto a Argentina está prevista para crescer o mais lento.
Exercício 2. As reformas políticas e crescimento.Exercício 2. As reformas políticas e crescimento.
A primeira coisa fi para calcular neste problema é a inclinação aproximada da relação na Figura 3.8. Eyeballing-lo, 
parece que cortar a produção por trabalhador em metade em relação ao seu valor de estado estacionário eleva o 
crescimento durante um período de 37 anos em cerca de 2 pontos percentuais. (Coréia é cerca de 6 por cento de 
crescimento, os países ao nível 1/2 são cerca de 4 por cento, e os países em seu estado estacionário são cerca de 2 por 
cento).
11
a) Duplicação UMA vai cortar o valor corrente de y / A ao meio, empurrando a economia que começa em estado a) Duplicação UMA vai cortar o valor corrente de y / A ao meio, empurrando a economia que começa em estado a) Duplicação UMA vai cortar o valor corrente de y / A ao meio, empurrando a economia que começa em estado a) Duplicação UMA vai cortar o valor corrente de y / A ao meio, empurrando a economia que começa em estado a) Duplicação UMA vai cortar o valor corrente de y / A ao meio, empurrando a economia que começa em estado a) Duplicação UMA vai cortar o valor corrente de y / A ao meio, empurrando a economia que começa em estado 
estacionário a 1/2 do seu valor de estado estacionário. De acordo com o cálculo acima, isso deve aumentar o crescimento 
por algo como 2 pontos percentuais ao longo dos próximos 37 anos.
b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α b) A duplicação da taxa de investimento s K elevará o nível estável de produção por trabalhador por um fa c tor de 2 α 
/ ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual / ( 1 - α) de acordo com a equação (3.8). E se α = 1/3, então este é igual a √ 2 ≈ 1.4. Portanto, a relação entre a produção atual 
por trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1.4 ≈. 70, ou seja, a setenta por cento de seu por trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1.4 ≈. 70, ou seja, a setenta por cento de seu por trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1.4 ≈. 70, ou seja, a setenta por cento de seu por trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1.4 ≈. 70, ou seja, a setenta por cento de seu por trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1.4 ≈. 70, ou seja, a setenta por cento de seu 
nível de estado estacionário. Dividindo-se o intervalo entre 1/2 e 1,0 em décimos, que são 3 / 5ths do caminho no 
sentido de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 3/5 * (. 02) = 1,2 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.sentido de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 3/5 * (. 02) = 1,2 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.sentido de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 3/5 * (. 02) = 1,2 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.sentido de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 3/5 * (. 02) = 1,2 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.sentido de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 3/5 * (. 02) = 1,2 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.
c) Aumentar você por 5 anos de escolaridade vai elevar o nível estável de produção por trabalhador por um fator c) Aumentar você por 5 anos de escolaridade vai elevar o nível estável de produção por trabalhador por um fator c) Aumentar você por 5 anos de escolaridade vai elevar o nível estável de produção por trabalhador por um fator c) Aumentar você por 5 anos de escolaridade vai elevar o nível estável de produção por trabalhador por um fator 
de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por de expψ * 5 de acordo com a equação (3.8). E se ψ = . 10, então este é igual a 1,65, ea relação de saída de corrente por 
trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1,65 ≈. 60, ou seja, a sessenta por cento do seu trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1,65 ≈. 60, ou seja, a sessenta por cento do seu trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1,65 ≈. 60, ou seja, a sessenta por cento do seu trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1,65 ≈. 60, ou seja, a sessenta por cento do seu trabalhador para a saída de estado estacionário por trabalhador cai 1 / 1,65 ≈. 60, ou seja, a sessenta por cento do seu 
nível de estado estacionário. Dividindo-se o intervalo entre 1/2 e 1,0 em décimos, somos 4 / 5ths do caminho no sentido 
de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 4/5 * (. 02)= 1,6 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 4/5 * (. 02) = 1,6 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 4/5 * (. 02) = 1,6 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 4/5 * (. 02) = 1,6 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.de 1/2, de modo que o crescimento deve subir 4/5 * (. 02) = 1,6 pontos percentuais durante os próximos 37 anos.
Exercício 3. Quais são variáveis ​​de estado?Exercício 3. Quais são variáveis ​​de estado?
Considere a função de produção
Y = K α ( AH) 1 - α.Y = K α ( AH) 1 - α.Y = K α ( AH) 1 - α.Y = K α ( AH) 1 - α.Y = K α ( AH) 1 - α.Y = K α ( AH) 1 - α.
Dividindo ambos os lados por AL rendimentosDividindo ambos os lados por AL rendimentosDividindo ambos os lados por AL rendimentos
y
A =
( k( k
UMA
)
α
h 1 - α.h 1 - α.h 1 - α.h 1 - α.
Use o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA e reescrever esta equação comoUse o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA e reescrever esta equação comoUse o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA e reescrever esta equação comoUse o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA e reescrever esta equação comoUse o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA e reescrever esta equação como
~y = ~y = ~ k α h 1 - α.k α h 1 - α.k α h 1 - α.k α h 1 - α.k α h 1 - α.k α h 1 - α.
Agora vire à equação acumulação de capital padrão:
˙
K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.
Usando as técnicas padrão, esta equação pode ser reescrita em termos da razão capitaltechnology quanto 
˙ 
~
k = s K ~k = s K ~k = s K ~ y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~ k.
12
Em estado estacionário, ˙Em estado estacionário, ˙
~
k = 0 de modo ak = 0 de modo ak = 0 de modo a
~
k = s Kk = s K
n + g + d ~n + g + d ~
y = s Ky = s K
n + g + d ~n + g + d ~
k α h 1 - α,k α h 1 - α,k α h 1 - α,k α h 1 - α,k α h 1 - α,k α h 1 - α,
e, portanto,
~
k * =k * =
( s K( s K( s K
n + g + d
) 1
1 - α h.1 - α h.1 - α h.1 - α h.
Substituindo esta na função de produção ~Substituindo esta na função de produção ~ y = ~y = ~ k α h 1 - α Nós temosk α h 1 - α Nós temosk α h 1 - α Nós temosk α h 1 - α Nós temosk α h 1 - α Nós temosk α h 1 - α Nós temosk α h 1 - α Nós temos
~y * =y * =
( s K( s K( s K
n + g + d
) α
1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =1 - α h α h 1 - α =
( s K( s K( s K
n + g + d
) α
1 - α h.1 - α h.1 - α h.1 - α h.
Finalmente, note que ~Finalmente, note que ~ y = y / A, conseqüentementey = y / A, conseqüentemente
y * ( t) =y * ( t) =y * ( t) =
( s K( s K( s K
n + g + d
) α
1 - α chapéu),1 - α chapéu),1 - α chapéu),1 - α chapéu),
que é a mesma que a equação (3.8).
Exercício 4. falácia de Galton.Exercício 4. falácia de Galton.
No exemplo das alturas da mãe e sua filha, é verdade que as mães altas tendem a ter filhas 
mais curtos e vice-versa. Sob a hipótese de (uniformes) distribuições independentes, idênticos entre 
as alturas de mães e filhas, temos o seguinte quadro:
altura da 
mãe 
5'1 5'2 5'3 5'4 5'5 5'6 5'7 5'8 5'9 5'10
probabilidade de mais 
curto filha 
0 
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
As mães com altura 5'1” ter zero chance de ter filhas menores, porque ninguém pode ser inferior a 
5'1” . As mães com estatura 5'2” tem 15'1” . As mães com estatura 5'2” tem 1
10 possibilidade de ter10 possibilidade de ter
filhas com altura 5'1” . Outros casos podem ser fundamentado da mesma forma.
No exemplo acima, não há claramente convergência ou estreitamento da distribuição de alturas: há 
sempre uma pessoa muito alta e uma pessoa muito curto, etc., em cada geração. No entanto, nós 
apenas mostraram que, apesar do facto de que as alturas das mães e filhas têm a mesma distribuição 
(não convergentes), podemos ainda observar o fenómeno que mães altas tendem a ter filhas mais curtos, 
e vice-versa. Deixe as alturas correspondem aos níveis de renda, e considerar observando os níveis de 
renda em dois pontos no tempo. falácia de Galton implica que, apesar de
13
observa-se que os países com renda inicial mais baixo crescer mais rápido, isso não significa necessariamente que a 
distribuição da renda mundial está a diminuir ou convergentes.
As figuras deste capítulo não são inúteis, mas falácia de Galton sugere que é preciso ter cuidado na 
interpretação deles. Em particular, se um é curioso sobre se ou não fazem convergir, então simplesmente 
traçando as taxas de crescimento contra o resultado inicial não é claramente suficiente. As figuras no capítulo 
fornecer outros tipos de provas. Figura 3.3, por exemplo, PIB parcelas per capita para várias economias 
industrializadas diferentes a partir de 1870 a 1994. O estreitamento das lacunas entre países avançados é 
evidente nesta figura. Da mesma forma, as proporções em Figura 3.9 sugerem uma falta de qualquer 
estreitamento na distribuição dos níveis de renda para o mundo como um todo.
Exercício 5. Reconsiderando os resultados Baumol.Exercício 5. Reconsiderando os resultados Baumol.
Como na Figura 3.3, William Baumol (1986) apresentaram evidência do estreitamento das lacunas entre várias economias 
industrializadas de 1870. Mas De Long (1988) afirma que este efeito é largamente devido a “selecção de polarização”. Primeiro, 
apenas os países que eram ricos no final da amostra (ou seja, na década de 1980) foram incluídos. Para ver o problema com esta 
seleção, suponha que os níveis de renda dos países eram como alturas das mulheres no exercício anterior. Ou seja, eles são números 
aleatórios em cada período, digamos desenhado com igual probabilidade de 1,2,3, ..., 10. Suponha que olhar apenas para países com 
níveis de renda maior ou igual a 6 no segundo período. Devido a esta aleatoriedade, sabendo que um país é rico no segundo período 
implica nada sobre a sua renda no primeiro período - daí a distribuição provavelmente será “mais ampla” no primeiro período do que 
no segundo, e vamos ver a aparência de convergência, embora neste simples experimento sabemos não há convergência. A omissão 
da Argentina a partir de dados de Baumol é um bom exemplo do problema. Argentina era rico em 1870 (digamos, um nível relativo de 
renda de 8), mas menos rico em 1987 (digamos, um nível de renda relativa de 4). Devido ao seu baixo rendimento no último período, 
não é parte da amostra e esta observação “divergente” está faltando. Argentina era rico em 1870 (digamos, um nível relativo de renda 
de 8), mas menos rico em 1987 (digamos, um nível de renda relativa de 4). Devido ao seu baixo rendimento no último período, não é 
parte da amostra e esta observação “divergente” está faltando. Argentina era rico em 1870 (digamos, um nível relativo de renda de 8), 
mas menos rico em 1987 (digamos, um nível de renda relativa de 4). Devido ao seu baixo rendimento no último período, não é parte 
da amostra e esta observação “divergente” está faltando.
Esta crítica aplica-se sempre que os países são selecionados com base na última observação. O que 
acontece se os países são selecionados com base em ser rico para a observação primeiro? O mesmo 
argumento se sugere que deve haver uma tendência para a divergência. Portanto, na medida em que os 
países da OCDE já eram ricos em 1960, o resultado da convergência da OCDE é uma evidência ainda mais 
forte de convergência.
Para a evidência relacionada com o mundo como um todo, não há claramente viés de seleção - todos os países 
estão incluídos.
Exercício6. O modelo Mankiw-Romer-Weil (1992).Exercício 6. O modelo Mankiw-Romer-Weil (1992).
14
A partir do modelo theMankiw-Romer-Weil (1992), temos a função de produção:
Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.Y = K α H β ( AL) 1 - α - β.
Dividir ambos os lados por AL para obterDividir ambos os lados por AL para obterDividir ambos os lados por AL para obter
y
A =
( k( k
UMA
)
α ( hα ( h
UMA
)
β
.
Usando o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA, esta equação pode ser reescrita comoUsando o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA, esta equação pode ser reescrita comoUsando o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA, esta equação pode ser reescrita comoUsando o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA, esta equação pode ser reescrita comoUsando o ( ~) para indicar a relação de um para variável UMA, esta equação pode ser reescrita como
~y = ~y = ~ k α ~k α ~k α ~h β.h β.
Agora vire à equação acumulação de capital:
˙
K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.K = s K Y - dK.
Como de costume, esta equação pode ser escrita para descrever a evolução da ~Como de costume, esta equação pode ser escrita para descrever a evolução da ~ k Comok Como
˙ 
~
k = s K ~k = s K ~k = s K ~ y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~ k.
Da mesma forma, podemos obter uma equação que descreve a evolução de ~Da mesma forma, podemos obter uma equação que descreve a evolução de ~ h Comoh Como
˙ 
~
h = s H ~h = s H ~h = s H ~ y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~y - ( n + g + d) ~ h.
Em estado estacionário, ˙Em estado estacionário, ˙
~
k = 0 e ˙ ~k = 0 e ˙ ~k = 0 e ˙ ~k = 0 e ˙ ~ h = 0. Assim sendo,h = 0. Assim sendo,h = 0. Assim sendo,
~
k = s Kk = s K
n + g + d ~n + g + d ~
y,
e 
~
h = s Hh = s H
n + g + d ~n + g + d ~
y.
Substituindo esta relação de volta para a função de produção,
~y = ~y = ~ k α ~k α ~k α ~h β =h β =
( s K( s K( s K
n + g + d ~n + g + d ~
y
)
α ( s Hα ( s Hα ( s H
n + g + d ~n + g + d ~
y
)
β
.
Resolver esta equação para ~Resolver esta equação para ~ y produz o nível de estado estacionárioy produz o nível de estado estacionário
~y * =y * =
{( s K{( s K{( s K
n + g + d
)
α ( s Hα ( s Hα ( s H
n + g + d
)
β} 1β} 1 1 - α - β1 - α - β1 - α - β1 - α - β1 - α - β
.
15
Finalmente, podemos escrever a equação em termos de produção por trabalhador como
y * ( t) =y * ( t) =y * ( t) =
{( s K{( s K{( s K
n + g + d
)
α ( s Hα ( s Hα ( s H
n + g + d
)
β} 1β} 1 1 - α - β1 - α - β1 - α - β1 - α - β1 - α - β
Um (t).
Compare esta expressão com a equação (3.8),
y * ( t) =y * ( t) =y * ( t) =
{ s K{ s K{ s K
n + g + d
} α} α
1 - α chapéu).1 - α chapéu).1 - α chapéu).1 - α chapéu).
No caso especial β = 0, a solução do modelo Mankiw-Weil-Romer é diferente a partir da equação No caso especial β = 0, a solução do modelo Mankiw-Weil-Romer é diferente a partir da equação No caso especial β = 0, a solução do modelo Mankiw-Weil-Romer é diferente a partir da equação No caso especial β = 0, a solução do modelo Mankiw-Weil-Romer é diferente a partir da equação 
(3.8) apenas por uma constante h. Observe a simetria no modelo entre o capital humano e capital (3.8) apenas por uma constante h. Observe a simetria no modelo entre o capital humano e capital (3.8) apenas por uma constante h. Observe a simetria no modelo entre o capital humano e capital 
físico. Neste modelo, o capital humano é acumulado pelo que precede o consumo, assim como o 
capital físico. No modelo no capítulo, o capital humano é acumulada em uma forma diferente - por 
passar o tempo, em vez de saída.
16
4 A Economia dos Idéias
Exercício 1. Classificação de mercadorias.Exercício 1. Classificação de mercadorias.
Figura 10:
Produtos rivais Produtos não-rivais
Excludente 
Grau de
Alto
Baixo
Frango
Um farol?
Música de um 
disco compacto
Ar puro?
Floresta tropical
segredo Coca-Cola 
Trade para
Uma galinha e uma floresta são claramente rivalrous-consumo de quer por uma pessoa diminui a quantidade 
disponível para o outro. bens privados como uma galinha ter definido os direitos bem de propriedade que os tornam 
excludable a um grau muito elevado. Para algumas florestas tropicais, os direitos de propriedade parecem ser menos 
bem-definidos.
O segredo comercial para a Coca-Cola é uma idéia não competitivo. Apesar de não ser protegido por uma 
patente, o bom é protegido por segredo comercial (embora Pepsi e outros refrigerantes fazer imitar a fórmula). 
Música de um disco compacto é fundamentalmente um conjunto de 0 e 1 e assim também é não competitivo. O 
grau de possibilidade de exclusão é uma função do sistema de direitos de propriedade. Dentro os EUA a aplicação 
parece ser bastante forte, mas isso é menos verdade em alguns outros países, onde a pirataria de discos 
compactos é um problema.
O farol (uma torre fl luzes incineração para fornecer orientações aos navios à noite) às vezes é pensado como 
um bem público. Observe que não é verdadeiramente não competitivo
- Se um milhão de navios queria usar um farol, haveria alguns efeitos que se aglomeram. Possibilidade de 
exclusão é, como sempre, uma função de mercado no lugar. Veja o
17
próximo exercício para uma discussão sobre este ponto por Ronald Coase (o vencedor 1991 do Prêmio Nobel de 
Economia).
Da mesma forma, o ar limpo não é realmente não competitivo. Se eu respirar um molécula de ar, então você não 
pode respirar a mesma molécula (pelo menos no mesmo momento no tempo). Em termos de possibilidade de 
exclusão, no entanto, é muito difícil para monitorar o consumo de um indivíduo de ar e cobrar por isso.
Exercício 2. Fornecimento de bens.Exercício 2. Fornecimento de bens.
Frango são rivais e altamente excludente. O mercado faz um bom trabalho de prestação de frango em 
uma base a oferta ea demanda.
O segredo comercial para a Coca-Cola é não competitivo e parcialmente excludente. Alguém poderia pensar 
que a divulgação do segredo comercial iria enfraquecer seriamente a posição competitiva da Coca-Cola, mas, na 
prática, isso não parece ser o caso. Outras bebidas não alcoólicas, embora não seja produzido com exatamente os 
mesmos ingredientes, são substitutos próximos, ainda Coca-Cola é uma empresa grande e próspera. Da mesma 
forma, a falta de uso de qualquer mecanismo cial fi como patentes para proteger os direitos de propriedade 
intelectual não parece ser um problema sério nesta indústria -que ver inovações como refrigerantes diet e New 
Coke.
Música de um disco compacto é não competitivo e parcialmente Excluível (no entanto, o especi fi c disco 
compacto é rivalrous). Os mercados devem fornecer a música, porque não há um incentivo para os lucros no 
negócio de produção de música. No entanto, uma vez que um disco compacto é produzido, é fácil de replicar. Os 
governos normalmente intervir para proteger os direitos de propriedade intelectual para que as pessoas podem 
beneficiar de seus talentos musicais e terá os incentivos para produzir melhor música. Uma questão interessante é 
se ou não a China deve proteger os direitos de propriedade intelectual dos músicos norte-americanos.
A floresta tropical é rivalrous mas apenas parcialmente excludente. Por exemplo, a poluição que ocorre 
quando as florestas são queimadas é uma externalidade séria sobre vizinhos (nem sempre dentro do mesmo 
país). Será que o proprietário da terra tem o direito de queimá-loe poluir o ar do vizinho, ou o vizinho tem o 
direito de limpar o ar em sua propriedade? Se esses direitos são bem definido, então o teorema de Coase sugere 
que a negociação pode alcançar o resultado fi ciente ef. Na ausência de bem-de fi nida direitos de propriedade 
sobre esta questão, alguns envolvimento do governo pode ser necessária. Outras questões relacionadas com as 
florestas tropicais também surgem, como a biodiversidade eo aquecimento global.
Problemas semelhantes se aplicam para limpar o ar de forma mais geral.
O farol tem sido usada (por Mill, Pigou, Samuelson e outros) como um exemplo clássico de um 
bem público que deve ser fornecido pelo governo. o
18
alegação é que é impossível cobrar a passagem de navios para a sua utilização do farol e que o custo 
marginal de permitir mais um navio a passar é zero.
Ronald Coase em “The Lighthouse em Economia” ( Journal of Law and Economics, Outubro 1974: Ronald Coase em “The Lighthouse em Economia” ( Journal of Law and Economics, Outubro 1974: Ronald Coase em “The Lighthouse em Economia” ( Journal of Law and Economics, Outubro 1974: 
357-376) proporciona uma excelente discussão sobre a história dos faróis como um exemplo de um bem 
público na economia. Coase mostra que em faróis fato na Grã-Bretanha nos séculos 17 e 18 foram muitas 
vezes fornecidos com muito sucesso pelo sistema de mercado privado em conjunto com patentes 
concedidas pelo governo. Os indivíduos seriam aplicáveis ​​ao governo autorização para construir e manter 
um farol em troca do direito de cobrar qualquer navio que atracou em portos próximos uma taxa 
especificada (com base no tamanho do navio, etc.).
Exercício 3. Preços com retornos crescentes de escala.Exercício 3. Preços com retornos crescentes de escala.
a) C = wL = w ( 5a) C = wL = w ( 5a) C = wL = w ( 5
100 + F)100 + F)
b) C (Y) = W ( Yb) C (Y) = W ( Yb) C (Y) = W ( Y
100 + F)100 + F)
c) dCc) dC
dY = WdY = W 100
d) Cd) C
Y = WY = W 100 + F100 + F Y W, d (C / Y )Y W, d (C / Y )Y W, d (C / Y )Y W, d (C / Y )dY < 0,dY < 0,
e) π = PY - C (Y) = We) π = PY - C (Y) = We) π = PY - C (Y) = We) π = PY - C (Y) = We) π = PY - C (Y) = W
100 Y - W( Y100 Y - W( Y100 Y - W( Y100 Y - W( Y100 Y - W( Y 100 + F) = - WF < 0.100 + F) = - WF < 0.100 + F) = - WF < 0.100 + F) = - WF < 0.100 + F) = - WF < 0.
19
5 o motor do crescimento
Exercício 1. Um aumento na produtividade da investigação.Exercício 1. Um aumento na produtividade da investigação.
Figura 11: Um aumento na δFigura 11: Um aumento na δ
eu UMAeu UMAΑ /Α = δ /UMA
Α /Α = δ
eu UMA / UMAeu UMA / UMAeu UMA / UMA
A / A
.
g A = ng A = ng A = n
g UMA /g UMA / g UMA / δg UMA / δg UMA / δδ '
' eu UMA / UMA' eu UMA / UMA' eu UMA / UMA' eu UMA / UMA
.
.
Figura 12: A taxa de crescimento de Tecnologia
TEMPO
A / A
.
n
t = 0
Como mostrado nas Figuras 11 e 12, um aumento em δ provoca um aumento temporário da taxa de Como mostrado nas Figuras 11 e 12, um aumento em δ provoca um aumento temporário da taxa de Como mostrado nas Figuras 11 e 12, um aumento em δ provoca um aumento temporário da taxa de 
crescimento da tecnologia: o nível inicial de eu UMA, pesquisa é mais produtivo e a economia produz mais idéias. crescimento da tecnologia: o nível inicial de eu UMA, pesquisa é mais produtivo e a economia produz mais idéias. crescimento da tecnologia: o nível inicial de eu UMA, pesquisa é mais produtivo e a economia produz mais idéias. crescimento da tecnologia: o nível inicial de eu UMA, pesquisa é mais produtivo e a economia produz mais idéias. 
Com o tempo, a taxa de crescimento cai como eu UMACom o tempo, a taxa de crescimento cai como eu UMACom o tempo, a taxa de crescimento cai como eu UMA
UMA
20
Figura 13: O nível de tecnologia
} Nível} Nível
efeito
LOG A
TEMPO
t = 0
diminui quando ˙diminui quando ˙
UMA
A> n. No longo prazo, a taxa de crescimento da tecnologia retorna aoA> n. No longo prazo, a taxa de crescimento da tecnologia retorna aoA> n. No longo prazo, a taxa de crescimento da tecnologia retorna ao
n. O efeito do nível de longo prazo de um aumento δ é mostrado na Figura 13.n. O efeito do nível de longo prazo de um aumento δ é mostrado na Figura 13.n. O efeito do nível de longo prazo de um aumento δ é mostrado na Figura 13.n. O efeito do nível de longo prazo de um aumento δ é mostrado na Figura 13.
Exercício 2. Muito de uma coisa boa?Exercício 2. Muito de uma coisa boa?
Solução.
A partir da equação (5.11), temos
y * ( t) =y * ( t) =y * ( t) =
( 
s Ks K
n + g A + dn + g A + dn + g A + d
) α
1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R1 - α ( 1 - s R) δ s R
g UMAg UMA
G (t).
Para maximizar a saída por trabalhador ao longo de uma trajectória de crescimento equilibrado, tomar a derivada em relação ao s R:Para maximizar a saída por trabalhador ao longo de uma trajectória de crescimento equilibrado, tomar a derivada em relação ao s R:Para maximizar a saída por trabalhador ao longo de uma trajectória de crescimento equilibrado, tomar a derivada em relação ao s R:
∂ y * ( t) s ∂ R∂ y * ( t) s ∂ R∂ y * ( t) s ∂ R∂ y * ( t) s ∂ R
= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R= ∂ B ( 1 - s R) s R
∂ s R∂ s R
,
Onde
B =
( 
s Ks K
n + g A + dn + g A + dn + g A + d
) α
1 - α AL (t)1 - α AL (t)1 - α AL (t)1 - α AL (t)
g UMAg UMA
.
O máximo ocorre quando este derivado é igual a zero, e ∂ y * ( t)O máximo ocorre quando este derivado é igual a zero, e ∂ y * ( t)O máximo ocorre quando este derivado é igual a zero, e ∂ y * ( t)O máximo ocorre quando este derivado é igual a zero, e ∂ y * ( t)
∂ s R = 0∂ s R = 0∂ s R = 0
implica que
1 - 2 s * R = 0,1 - 2 s * R = 0,1 - 2 s * R = 0,1 - 2 s * R = 0,1 - 2 s * R = 0,1 - 2 s * R = 0,1 - 2 s * R = 0,
e, portanto,
s * R = 1s * R = 1s * R = 1s * R = 1
2.
21
Observe que a primeira vez s R aparece, ela entra negativamente para refletir o fato de que mais Observe que a primeira vez s R aparece, ela entra negativamente para refletir o fato de que mais Observe que a primeira vez s R aparece, ela entra negativamente para refletir o fato de que mais Observe que a primeira vez s R aparece, ela entra negativamente para refletir o fato de que mais 
pesquisadores significa menos trabalhadores produzindo saída. O segundo tempo, entra positivamente para 
refletir o fato de que mais pesquisadores significa mais idéias, o que aumenta a produtividade da economia. s * R = 1refletir o fato de que mais pesquisadores significa mais idéias, o que aumenta a produtividade da economia. s * R = 1refletir o fato de que mais pesquisadores significa mais idéias, o que aumenta a produtividade da economia. s * R = 1refletir o fato de que mais pesquisadores significa mais idéias, o que aumenta a produtividade da economia. s * R = 1refletir o fato de que mais pesquisadores significa mais idéias, o que aumenta a produtividade da economia. s * R = 1
2 atinge o equilíbrio entre2 atinge o equilíbrio entre
estes dois efeitos. E se s * R> 1estes dois efeitos. E se s * R> 1estes dois efeitos. E se s * R> 1estes dois efeitos. E se s * R> 1estes dois efeitos. E se s * R> 1
2, o efeito negativo de mais pesquisadores domina2, o efeito negativo de mais pesquisadores domina
o efeito positivo. Como resultado, podemos ter muito de uma coisa boa.
Exercício 3. O futuro de crescimento econômico.Exercício 3. O futuro de crescimento econômico.
a) A partir da equação (5.6), temosa) A partir da equação (5.6), temos
0 = λ ˙0 = λ ˙0 = λ ˙
eu UMAeu UMA
eu UMAeu UMA
- ( 1 - φ) ˙- ( 1 - φ) ˙- ( 1 - φ) ˙- ( 1 - φ) ˙- ( 1 - φ) ˙
UMA
UMA,
o queimplica que
λ
1 - φ = ˙1 - φ = ˙1 - φ = ˙1 - φ = ˙
UMA
UMA / ˙UMA / ˙
eu UMAeu UMA
eu UMAeu UMA
= 2= 2
3.
b) A partir da equação (5.7), temosb) A partir da equação (5.7), temos
g A = Xng A = Xng A = Xn
1 - φ.1 - φ.1 - φ.
assumindo λassumindo λ
1 - φ na economia mundial é a mesma que a calculada a partir dos países avançados, 1 - φ na economia mundial é a mesma que a calculada a partir dos países avançados, 1 - φ na economia mundial é a mesma que a calculada a partir dos países avançados, 1 - φ na economia mundial é a mesma que a calculada a partir dos países avançados, 
obtemos
g A = 2g A = 2g A = 2
3 ×. 01 = 23 ×. 01 = 23 ×. 01 = 23 ×. 01 = 2 3 = 0,0067.
A taxa de crescimento de estado estacionário de longo prazo da produção na economia mundial per capita também é igual a este 
valor.
c) g y é diferente de ˙c) g y é diferente de ˙c) g y é diferente de ˙c) g y é diferente de ˙c) g y é diferente de ˙
UMA
UMA dada na pergunta porque ˙UMA dada na pergunta porque ˙UMA dada na pergunta porque ˙
eu UMAeu UMA
eu UMA é substancialmenteeu UMA é substancialmenteeu UMA é substancialmente
mais elevado do que o crescimento da população. Isto significa que os países avançados estão em fase de transição, onde eu UMA/ eu está mais elevado do que o crescimento da população. Isto significa que os países avançados estão em fase de transição, onde eu UMA/ eu está mais elevado do que o crescimento da população. Isto significa que os países avançados estão em fase de transição, onde eu UMA/ eu está mais elevado do que o crescimento da população. Isto significa que os países avançados estão em fase de transição, onde eu UMA/ eu está mais elevado do que o crescimento da população. Isto significa que os países avançados estão em fase de transição, onde eu UMA/ eu está 
a aumentar nos dados. g y é a taxa de crescimento de estado estacionário de longo prazo, enquanto que o nível atual de ˙a aumentar nos dados. g y é a taxa de crescimento de estado estacionário de longo prazo, enquanto que o nível atual de ˙a aumentar nos dados. g y é a taxa de crescimento de estado estacionário de longo prazo, enquanto que o nível atual de ˙a aumentar nos dados. g y é a taxa de crescimento de estado estacionário de longo prazo, enquanto que o nível atual de ˙a aumentar nos dados. g y é a taxa de crescimento de estado estacionário de longo prazo, enquanto que o nível atual de ˙
UMA
UMA é re dinâmica reflete transição. A implicaçãoUMA é re dinâmica reflete transição. A implicação
é que, segurando, taxas de crescimento constantes Tudo o resto pode diminuir substancialmente no futuro.
d) O facto de muitos países em desenvolvimento estão a começar a envolver-se em I & D sugere que a d) O facto de muitos países em desenvolvimento estão a começar a envolver-se em I & D sugere que a 
diminuição no crescimento em eu UMA pode não ocorrer por um longo tempo. O declínio no crescimento sugerido pela diminuição no crescimento em eu UMA pode não ocorrer por um longo tempo. O declínio no crescimento sugerido pela diminuição no crescimento em eu UMA pode não ocorrer por um longo tempo. O declínio no crescimento sugerido pela diminuição no crescimento em eu UMA pode não ocorrer por um longo tempo. O declínio no crescimento sugerido pela 
parte (c) pode, portanto, ser adiada por algum tempo.
Exercício 4. A parte do excedente apropriado pelos inventores.Exercício 4. A parte do excedente apropriado pelos inventores.
22
denotar Π como o fi pro t capturado pelo monopolista. O monopolista escolhe o preço P Para denotar Π como o fi pro t capturado pelo monopolista. O monopolista escolhe o preço P Para denotar Π como o fi pro t capturado pelo monopolista. O monopolista escolhe o preço P Para denotar Π como o fi pro t capturado pelo monopolista. O monopolista escolhe o preço P Para denotar Π como o fi pro t capturado pelo monopolista. O monopolista escolhe o preço P Para 
maximizar Π, Ondemaximizar Π, Ondemaximizar Π, Onde
Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).Π = ( P - MC) Q (P) = (P - c) (a - pb).
Configuração ∂ Π / ∂P = 0 produz a condição de primeira ordem:Configuração ∂ Π / ∂P = 0 produz a condição de primeira ordem:Configuração ∂ Π / ∂P = 0 produz a condição de primeira ordem:Configuração ∂ Π / ∂P = 0 produz a condição de primeira ordem:Configuração ∂ Π / ∂P = 0 produz a condição de primeira ordem:Configuração ∂ Π / ∂P = 0 produz a condição de primeira ordem:
uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.uma - bP - b (P - c) = 0.
resolvendo para P, , encontramos o monopolista escolhe um preço deresolvendo para P, , encontramos o monopolista escolhe um preço deresolvendo para P, , encontramos o monopolista escolhe um preço de
P * = a + bcP * = a + bcP * = a + bc
2 b2 b
e ganha lucros
Π * =Π * =
( a + bc( a + bc
2 b - c2 b - c2 b - c2 b - c
) (
uma - a + bcuma - a + bcuma - a + bc
2
)
=
( uma - bc( uma - bc( uma - bc( uma - bc
2 b2 b
) ( uma - bc) ( uma - bc) ( uma - bc) ( uma - bc
2
)
= 1= 1
4 BA - bc) 2.4 BA - bc) 2.4 BA - bc) 2.4 BA - bc) 2.4 BA - bc) 2.
O potencial excedente do consumidor, CS, é a área do triângulo sombreada na figuraO potencial excedente do consumidor, CS, é a área do triângulo sombreada na figuraO potencial excedente do consumidor, CS, é a área do triângulo sombreada na figura
5.4:
CS = 1CS = 1
2 ( uma2 ( umab - MC) (um - BMC) = 1b - MC) (um - BMC) = 1b - MC) (um - BMC) = 1b - MC) (um - BMC) = 1b - MC) (um - BMC) = 1b - MC) (um - BMC) = 1 2 BA - bc) 2.2 BA - bc) 2.2 BA - bc) 2.2 BA - bc) 2.2 BA - bc) 2.
Portanto, a proporção de lucro para o excedente do consumidor é 1/2.
23
6 um modelo simples de Crescimento e Desenvolvimento
Exercício 1. A importância de UMA versus h na produção de capital humano.Exercício 1. A importância de UMA versus h na produção de capital humano.Exercício 1. A importância de UMA versus h na produção de capital humano.Exercício 1. A importância de UMA versus h na produção de capital humano.Exercício 1. A importância de UMA versus h na produção de capital humano.Exercício 1. A importância de UMA versus h na produção de capital humano.
A equação (6.8) pode ser reescrita para isolar o efeito da escolaridade quanto
y * ( t) = Z (t) e ψy * ( t) = Z (t) e ψy * ( t) = Z (t) e ψy * ( t) = Z (t) e ψ
γ você,γ você,
(1)
Onde Z é o conjunto de todos os outros termos (por exemplo, a que envolve a taxa e o investimento Onde Z é o conjunto de todos os outros termos (por exemplo, a que envolve a taxa e o investimento Onde Z é o conjunto de todos os outros termos (por exemplo, a que envolve a taxa e o investimento 
físico UMA * ( t) prazo).físico UMA * ( t) prazo).físico UMA * ( t) prazo).físico UMA * ( t) prazo).físico UMA * ( t) prazo).
Isto pode ser comparado com o modelo do capítulo 3, onde a equação (3.8) e o fato de que h = e ψu nesse Isto pode ser comparado com o modelo do capítulo 3, onde a equação (3.8) e o fato de que h = e ψu nesse Isto pode ser comparado com o modelo do capítulo 3, onde a equação (3.8) e o fato de que h = e ψu nesse Isto pode ser comparado com o modelo do capítulo 3, onde a equação (3.8) e o fato de que h = e ψu nesse 
capítulo implicam
y * ( t) = Z 3 ( t) e ψu,y * ( t) = Z 3 ( t) e ψu,y * ( t) = Z 3 ( t) e ψu,y * ( t) = Z 3 ( t) e ψu,y * ( t) = Z 3 ( t) e ψu,y * ( t) = Z 3 ( t) e ψu,
Onde Z 3 representa alguns outros termos do capítulo 3, semelhantes aos que compõem Z acima.Onde Z 3 representa alguns outros termos do capítulo 3, semelhantes aos que compõem Z acima.Onde Z 3 representa alguns outros termos do capítulo 3,semelhantes aos que compõem Z acima.Onde Z 3 representa alguns outros termos do capítulo 3, semelhantes aos que compõem Z acima.Onde Z 3 representa alguns outros termos do capítulo 3, semelhantes aos que compõem Z acima.Onde Z 3 representa alguns outros termos do capítulo 3, semelhantes aos que compõem Z acima.
No Capítulo 3, foi utilizado um fato documentado por Mincer (1974) e muitos outros economistas do 
trabalho que um ano adicional de escolaridade - você - tende a gerartrabalho que um ano adicional de escolaridade - você - tende a gerartrabalho que um ano adicional de escolaridade - você - tende a gerar
proporcional efeitos sobre o salário, e, por conseguinte, a produção por trabalhador. Em particular, a evidência do proporcional efeitos sobre o salário, e, por conseguinte, a produção por trabalhador. Em particular, a evidência do 
mercado de trabalho a partir de uma ampla gama de países sugere que a diferença um ano de escolaridade 
traduz-se em cerca de dez diferença percentual nos salários. Desde o salário é proporcional à produção por 
trabalhador (lembre-se que o produto marginal do trabalho neste modelo é ( 1 - α) Y / L), isso nos leva a escolher um trabalhador (lembre-se que o produto marginal do trabalho neste modelo é ( 1 - α) Y / L), isso nos leva a escolher um trabalhador (lembre-se que o produto marginal do trabalho neste modelo é ( 1 - α) Y / L), isso nos leva a escolher um trabalhador (lembre-se que o produto marginal do trabalho neste modelo é ( 1 - α) Y / L), isso nos leva a escolher um trabalhador (lembre-se que o produto marginal do trabalho neste modelo é ( 1 - α) Y / L), isso nos leva a escolher um 
valor de 0,10 para
ψ no Capítulo 3:ψ no Capítulo 3:
∂ registro y = ∂u ψ = . 10.∂ registro y = ∂u ψ = . 10.∂ registro y = ∂u ψ = . 10.∂ registro y = ∂u ψ = . 10.∂ registro y = ∂u ψ = . 10.
Recorde-se que o derivado de um registo é como uma variação percentual, de modo que este expressão pode ser escrito como 
% Δ y% Δ y
Δ u = = ψ . 10,Δ u = = ψ . 10,Δ u = = ψ . 10,Δ u = = ψ . 10,
isto é, uma alteração em uma unidade você leva a uma alteração de 10 por cento em y.isto é, uma alteração em uma unidade você leva a uma alteração de 10 por cento em y.isto é, uma alteração em uma unidade você leva a uma alteração de 10 por cento em y.isto é, uma alteração em uma unidade você leva a uma alteração de 10 por cento em y.
Se aplicarmos essa mesma lógica para a equação (1) acima, vemos um resultado interessante:
∂ registro y = ∂u ψ / γ.∂ registro y = ∂u ψ / γ.∂ registro y = ∂u ψ / γ.
Ou seja, no modelo no Capítulo 6, uma mudança em uma unidade você aumenta o produto por pessoaOu seja, no modelo no Capítulo 6, uma mudança em uma unidade você aumenta o produto por pessoaOu seja, no modelo no Capítulo 6, uma mudança em uma unidade você aumenta o produto por pessoa
- e, portanto, o salário - pela ψ / γ unidades. Se aplicarmos o mesmo raciocínio acima, isso sugeriria escolher os e, portanto, o salário - pela ψ / γ unidades. Se aplicarmos o mesmo raciocínio acima, isso sugeriria escolher os e, portanto, o salário - pela ψ / γ unidades. Se aplicarmos o mesmo raciocínio acima, isso sugeriria escolher os 
valores dos parâmetros de tal forma que ψ / γ = . 10. Isso permite que a nossavalores dos parâmetros de tal forma que ψ / γ = . 10. Isso permite que a nossavalores dos parâmetros de tal forma que ψ / γ = . 10. Isso permite que a nossavalores dos parâmetros de tal forma que ψ / γ = . 10. Isso permite que a nossavalores dos parâmetros de tal forma que ψ / γ = . 10. Isso permite que a nossa
24
modelo para coincidir com a evidência do mercado de trabalho que um ano adicional de escolaridade aumenta o 
salário típico de 10 por cento. O que isto significa é que mesmo que nós adicionamos um novo parâmetro para o 
modelo, as diferenças na escolaridade na calibradomodelo, as diferenças na escolaridade na calibrado
modelo (ou seja, o modelo, uma vez que você escolheu valores para os parâmetros) terá exatamente o mesmo efeito 
sobre a produção por trabalhador como no Capítulo 3. Por esta conclusão, nós não precisamos de dizer nada em 
particular sobre γ. Tudo o que importa é a relaçãoparticular sobre γ. Tudo o que importa é a relaçãoparticular sobre γ. Tudo o que importa é a relação
ψ / γ.
o parâmetro γ tem efeitos importantes sobre a dinâmica de transição do modelo. Por exemplo, na equação o parâmetro γ tem efeitos importantes sobre a dinâmica de transição do modelo. Por exemplo, na equação o parâmetro γ tem efeitos importantes sobre a dinâmica de transição do modelo. Por exemplo, na equação 
(6.5), γ determina a rapidez com que a acumulação de habilidade ocorre em um país como uma função de quão (6.5), γ determina a rapidez com que a acumulação de habilidade ocorre em um país como uma função de quão (6.5), γ determina a rapidez com que a acumulação de habilidade ocorre em um país como uma função de quão 
longe o país é de fronteira do conhecimento do mundo ( h / d). Pode-se tentar usar evidências sobre dinâmicas de longe o país é de fronteira do conhecimento do mundo ( h / d). Pode-se tentar usar evidências sobre dinâmicas de longe o país é de fronteira do conhecimento do mundo ( h / d). Pode-se tentar usar evidências sobre dinâmicas de 
transição para determinar esse valor.
Exercício 2. Compreender as diferenças de renda.Exercício 2. Compreender as diferenças de renda.
Este modelo explica as diferenças no nível de renda entre os países, apelando para as diferenças de s K e Este modelo explica as diferenças no nível de renda entre os países, apelando para as diferenças de s K e Este modelo explica as diferenças no nível de renda entre os países, apelando para as diferenças de s K e Este modelo explica as diferenças no nível de renda entre os países, apelando para as diferenças de s K e 
você. No entanto, esta explicação levanta novas questões: Por que é que alguns países investir mais do que você. No entanto, esta explicação levanta novas questões: Por que é que alguns países investir mais do que 
outros e por que indivíduos em tempo alguns países spendmore aprender a usar novas tecnologias? Este 
modelo não pode responder a estas perguntas. Além disso, sabemos do Capítulo 3 que as diferenças na s K e você modelo não pode responder a estas perguntas. Além disso, sabemos do Capítulo 3 que as diferenças na s K e você modelo não pode responder a estas perguntas. Além disso, sabemos do Capítulo 3 que as diferenças na s K e você modelo não pode responder a estas perguntas. Além disso, sabemos do Capítulo 3 que as diferenças na s K e você modelo não pode responder a estas perguntas. Além disso, sabemos do Capítulo 3 que as diferenças na s K e você 
Não vou explicar inteiramente as diferenças de rendimentos entre os países. Lembre-se que as diferenças de 
produtividade também foram necessários, ea teoria no Capítulo 6 não nos ajuda a entender por que os países 
têm diferentes níveis de produtividade.
Exercício 3. Compreender as diferenças nas taxas de crescimento.Exercício 3. Compreender as diferenças nas taxas de crescimento.
Uma implicação-chave do modelo é que todos os países compartilham as mesmas taxas de crescimento a longo 
prazo, dado pela taxa em que a fronteira tecnológica mundial se expande. Mesmo sem diferenças entre os países na taxa 
de crescimento de longo prazo, podemos explicar a grande variação nas taxas de crescimento com dinâmicas de 
transição. Na medida em que os países estão mudando suas posições dentro da distribuição de renda a longo prazo, eles 
podem crescer a taxas diferentes. É natural neste modelo a suspeitar de que os países que estão abaixo seus caminhos 
de crescimento equilibrado de estado estacionário deve crescer mais rápido do que
g; e os países que estão acima de suas trajetórias de crescimento em estado estacionário devem crescer mais g; e os países que estão acima de suas trajetórias de crescimento em estado estacionário devem crescermais 
lentamente. Mudanças na política pode causar uma economia de estar longe de seu estado estacionário. [É preciso ter 
cuidado na fi ning distância de do estado de equilíbrio neste modelo desde a dinâmica de transição agora envolvem 
duas dimensões (correspondente ao capital físico e capital humano.)
Exercício 4. O papel de μ.Exercício 4. O papel de μ.Exercício 4. O papel de μ.
25
Figura 14: O estado estacionário A / h proporçãoFigura 14: O estado estacionário A / h proporçãoFigura 14: O estado estacionário A / h proporção
. h / 
h
g
Ahhh
. = e ψ u (A / h). = e ψ u (A / h). = e ψ u (A / h)
h / h
. = μ e ψ você. = μ e ψ você. = μ e ψ você. = μ e ψ você. = μ e ψ você
μ
'
ge- ψ você / μge- ψ você / μge- ψ você / μge- ψ você / μge -ψ você / μ 'ge -ψ você / μ 'ge -ψ você / μ 'ge -ψ você / μ 'ge -ψ você / μ '
(A / h)
A equação abaixo é verdadeiro neste modelo:
( h( h
UMA
)
*
=
( μ( μ
ge ψuge ψu
) 1
γ.
Para ter certeza de que a relação hPara ter certeza de que a relação h
UMA é inferior a um, devemos terUMA é inferior a um, devemos ter
( μ( μ
ge ψuge ψu
) 1
γ < 1,γ < 1,
que implica
μ <GE - ψu.μ <GE - ψu.μ <GE - ψu.
Portanto, exigimos essa condição de manter para o maior valor possível de você.Portanto, exigimos essa condição de manter para o maior valor possível de você.
No modelo, o parâmetro μ pode ser interpretado como a produtividade da economia no uso da No modelo, o parâmetro μ pode ser interpretado como a produtividade da economia no uso da No modelo, o parâmetro μ pode ser interpretado como a produtividade da economia no uso da 
educação para aprender a usar novas idéias. Um bom sistema educacional, por exemplo, pode ser 
refletida por um valor mais elevado de μ. Ou, como a próxima pergunta discute, pode refletir a abertura da refletida por um valor mais elevado de μ. Ou, como a próxima pergunta discute, pode refletir a abertura da refletida por um valor mais elevado de μ. Ou, como a próxima pergunta discute, pode refletir a abertura da 
economia à transferência de tecnologia.
Exercício 5. Um aumento na μ.Exercício 5. Um aumento na μ.Exercício 5. Um aumento na μ.
a) A Figura 14 mostra o experimento. A linha ˙a) A Figura 14 mostra o experimento. A linha ˙a) A Figura 14 mostra o experimento. A linha ˙
h
h = μ e ψu ( UMAh = μ e ψu ( UMAh = μ e ψu ( UMAh = μ e ψu ( UMA h
)
diz que o
taxa de crescimento de competências acumuladas é proporcional à razão de UMA para h, que é a proximidade taxa de crescimento de competências acumuladas é proporcional à razão de UMA para h, que é a proximidade taxa de crescimento de competências acumuladas é proporcional à razão de UMA para h, que é a proximidade taxa de crescimento de competências acumuladas é proporcional à razão de UMA para h, que é a proximidade taxa de crescimento de competências acumuladas é proporcional à razão de UMA para h, que é a proximidade 
entre habilidade atual ea fronteira do conhecimento. A linha ˙entre habilidade atual ea fronteira do conhecimento. A linha ˙
h
h = gh = g
26
Figura 15: h / A Ao longo do tempoFigura 15: h / A Ao longo do tempoFigura 15: h / A Ao longo do tempo
t = 0 
TEMPO
Um h /
(H / A) * (H 
/ A) **
mostra a taxa de crescimento de competências acumuladas em estado estacionário. O ponto de intersecção destas duas linhas 
indica o valor de estado estacionário do UMAindica o valor de estado estacionário do UMA
h raz.h raz.
b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No b) A partir do estado estacionário, um aumento na μ faz com que a taxa de crescimento de h para ser mais elevada do que g. No 
prazo intermediário, h cresce mais rápido do que UMA, conseqüentemente UMAprazo intermediário, h cresce mais rápido do que UMA, conseqüentemente UMAprazo intermediário, h cresce mais rápido do que UMA, conseqüentemente UMAprazo intermediário, h cresce mais rápido do que UMA, conseqüentemente UMAprazo intermediário, h cresce mais rápido do que UMA, conseqüentemente UMAprazo intermediário, h cresce mais rápido do que UMA, conseqüentemente UMA
h diminuih diminui
ao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMAao longo do tempo até que a taxa de crescimento de h retorna ao g. Um aumento na μ tem um efeito no nível do rácio de UMA
h, mas o efeito do crescimento não a longo prazo.h, mas o efeito do crescimento não a longo prazo.
c) O comportamento do h / A ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 15.c) O comportamento do h / A ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 15.c) O comportamento do h / A ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 15.c) O comportamento do h / A ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 15.
d) O comportamento do h (t) ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 16.d) O comportamento do h (t) ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 16.d) O comportamento do h (t) ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 16.d) O comportamento do h (t) ao longo do tempo é representado graficamente na Figura 16.
e) Um aumento na μ pode ser entendido como um aumento na abertura da economia à transferência de e) Um aumento na μ pode ser entendido como um aumento na abertura da economia à transferência de e) Um aumento na μ pode ser entendido como um aumento na abertura da economia à transferência de e) Um aumento na μ pode ser entendido como um aumento na abertura da economia à transferência de 
tecnologia. Como ilustrado acima, o aumento da abertura da economia pode encolher a distância entre 
habilidade de estado estacionário ea tecnologia de ponta, aumentando assim o rendimento steady-state de um 
país.
27
Figura 16: h (t) Ao longo do tempoFigura 16: h (t) Ao longo do tempoFigura 16: h (t) Ao longo do tempo
} Nível} Nível
efeito
TEMPO
t = 0
LOG h (t)
28
7 Infra-estrutura Social e de longo prazo Perfor- Económica
mance
Exercício 1. Relação custo-bene fi análise t.Exercício 1. Relação custo-bene fi análise t.
Solução
a) F = $ 1000, Π = 100a) F = $ 1000, Π = 100a) F = $ 1000, Π = 100a) F = $ 1000, Π = 100
(1+ r) ( 1 + 1(1+ r) ( 1 + 1(1+ r) ( 1 + 1(1+ r) ( 1 + 1 (1+ r) + · · ·) = 100(1+ r) + · · ·) = 100(1+ r) + · · ·) = 100(1+ r) + · · ·) = 100(1+ r) + · · ·) = 100r = 2000r = 2000
Π> F, de modo que o investimento vale a pena empreendimento.Π> F, de modo que o investimento vale a pena empreendimento.Π> F, de modo que o investimento vale a pena empreendimento.
b) F = 5000. Π < F, de modo que o investimento não vale a pena empreendimento.b) F = 5000. Π < F, de modo que o investimento não vale a pena empreendimento.b) F = 5000. Π < F, de modo que o investimento não vale a pena empreendimento.b) F = 5000. Π < F, de modo que o investimento não vale a pena empreendimento.b) F = 5000. Π < F, de modo que o investimento não vale a pena empreendimento.
c) O valor de corte é de US $ 2000.c) O valor de corte é de US $ 2000.
Exercício 2. diferenças na utilização dos fatores de produção pode explicar as diferenças na TFP?Exercício 2. diferenças na utilização dos fatores de produção pode explicar as diferenças na TFP?
a) Para este problema, pense em todas as variáveis ​​como denotando proporções de valor no país a) Para este problema, pense em todas as variáveis ​​como denotando proporções de valor no país 
mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K mais produtivo para o valor no país menos produtivo. Com esta notação, I = 10. E se m indica a fracção de K 
que é utilizado, então
Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).Y = (mK) α ( hl) 1 - α = m α K α ( hl) ( 1 - α).
Assim sendo,
Eu = m α,Eu = m α,
e
m = I 1m = I 1
α = 10 3.α = 10 3.α = 10 3.
Partindo deste pressuposto, precisamos da utilização do capital para variar por um fator de 1000 para 
explicar a variação da PTF. Isto significa que se um país utiliza todo o seu capital físico, outro país só 
utiliza 1/1000, o que parece bastante improvável.
b) Suponha que a utilização de ambos capital físico e habilidades variam da mesma forma em todos os países. b) Suponha que a utilização de ambos capital físico e habilidades variam da mesma forma em todos os países. 
Então
Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.Y = (mK) α ( MHL) 1 - α = mK α ( hl) 1 - α.
Então,
Eu = m 1,Eu = m 1,
29
e
m = I = 10.m = I = 10.
Sob este pressuposto, que precisa de um factor de 10 variação na utilização de ambos os factores. Note que é 
importante que esta variação ser perfeitamente correlacionados entre os países.
c) Esses cálculos sugerem que é improvável que as diferenças na utilização de capital físico entre os c) Esses cálculos sugerem que é improvável que as diferenças na utilização de capital físico entre os 
países pode explicar totalmente as diferenças de produtividade. Diferenças na utilização de factores de 
produção têm poder explicativo mais forte se as variações na utilização de habilidades são introduzidas, 
mas ainda parece improvável que esta é a explicação completa. Outra explicação possível é diferenças nas 
tecnologias utilizadas em diferentes países (que também poderia ser devido a diferenças na infra-estrutura).
Exercício 3. infra-estrutura social e da taxa de investimento.Exercício 3. infra-estrutura social e da taxa de investimento.
a) Suponha que a taxa de investimento de um país é escolhido pelos investidores internacionais que igualam a) Suponha que a taxa de investimento de um país é escolhido pelos investidores internacionais que igualam 
taxas de retorno entre os países. Com esta função de produção, o produto marginal do capital é igual a αY / K, de taxas de retorno entre os países. Com esta função de produção, o produto marginal do capital é igual a αY / K, de taxas de retorno entre os países. Com esta função de produção, o produto marginal do capital é igual a αY / K, de 
modo que igualar o produto marginal do capital entre os países é o mesmo que equacionar a relação 
capital-produto. Lembre-se que a relação capital-produto no estado estacionário é dado por s / (n + g + d), de modo capital-produto. Lembre-se que a relação capital-produto no estado estacionário é dado por s / (n + g + d), de modo capital-produto. Lembre-se que a relação capital-produto no estado estacionário é dado por s / (n + g + d), de modo 
que se os produtos marginais do capital são equiparados, em seguida, as taxas de investimento diferem entre os 
países apenas na medida em que n + g + d difere. Em particular, as diferenças nas Eu Não importa para taxas de países apenas na medida em que n + g + d difere. Em particular, as diferenças nas Eu Não importa para taxas de países apenas na medida em que n + g + d difere. Em particular, as diferenças nas Eu Não importa para taxas de países apenas na medida em que n + g + d difere. Em particular, as diferenças nas Eu Não importa para taxas de países apenas na medida em que n + g + d difere. Em particular, as diferenças nas Eu Não importa para taxas de 
investimento neste cenário. Eles afetam a relação capital-trabalho, no entanto, como pode ser visto notando que o 
produto marginal do capital também pode ser escrita como αI (K / L) α - 1.produto marginal do capital também pode ser escrita como αI (K / L) α - 1.produto marginal do capital também pode ser escrita como αI (K / L) α - 1.produto marginal do capital também pode ser escrita como αI (K / L) α - 1.produto marginal do capital também pode ser escrita como αI (K / L) α - 1.
b) Suspeita-se que diferenças nas instituições e políticas governamentais - infra-estrutura - mostram-se, em parte, b) Suspeita-se que diferenças nas instituições e políticas governamentais - infra-estrutura - mostram-se, em parte, 
como diferenças nas taxas fiscais ou taxas de desapropriação (por exemplo, quando uma indústria privada é 
nacionalizado com pouca ou nenhuma compensação para os proprietários). Neste caso, é o depois de impostos taxa de nacionalizado com pouca ou nenhuma compensação para os proprietários). Neste caso, é o depois de impostos taxa de nacionalizado com pouca ou nenhuma compensação para os proprietários). Neste caso, é o depois de impostos taxa de 
retorno que, provavelmente, ser equalizada entre os países pelos investidores internacionais. Deixei τ denotar a taxa retorno que, provavelmente, ser equalizada entre os países pelos investidores internacionais. Deixei τ denotar a taxa retorno que, provavelmente, ser equalizada entre os países pelos investidores internacionais. Deixei τ denotar a taxa 
efectiva de imposto sobre o rendimento de capital, de modo que os investidores recebam ( 1 - τ) vezes o produto marginal efectiva deimposto sobre o rendimento de capital, de modo que os investidores recebam ( 1 - τ) vezes o produto marginal efectiva de imposto sobre o rendimento de capital, de modo que os investidores recebam ( 1 - τ) vezes o produto marginal efectiva de imposto sobre o rendimento de capital, de modo que os investidores recebam ( 1 - τ) vezes o produto marginal efectiva de imposto sobre o rendimento de capital, de modo que os investidores recebam ( 1 - τ) vezes o produto marginal 
do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai do capital. Nesse caso, ( 1 - τ) αY / K é equalizada entre os países, e pelo argumento dado acima, as diferenças de τ vai 
levar a diferenças nas taxas de investimento entre os países.
Exercício 4. O significado da citação.Exercício 4. O significado da citação.
As empresas e os indivíduos vão fazer o melhor que podem, dadas as restrições que eles enfrentam. Um dos 
teoremas fundamentais da economia, observado desde o início por Adam
30
Smith, é que esse tipo de comportamento auto-interessado, em certas circunstâncias, maximizar o bem-estar da 
sociedade como um todo. No entanto, tais circunstâncias não podem sempre realizar. Por exemplo, pro fi 
t-maximizando firmas podem fazer o seu melhor para monopolizar um mercado, o que pode restringir a 
concorrência e reduzir o bem-estar. Ou, os indivíduos podem tentar contornar mal definidos direitos de propriedade, 
a fim de melhorar o seu próprio bem-estar, em detrimento dos outros. Mas se tais direitos de propriedade são 
facilmente contornadas, todos pode ser pior.
A cotação também observa que a inovação e lucro pode não ser sempre a mesma coisa. Claramente, os 
incentivos à inovação pode ser reduzida em indivíduos que procuram contornar os direitos de propriedade.
31
8 Teorias alternativas de crescimento endógeno
Exercício 1. O crescimento da população no modelo AK.Exercício 1. O crescimento da população no modelo AK.
a) Y = AKL 1 - α. Substituir este na equação acumulação de capital padrão:a) Y = AKL 1 - α. Substituir este na equação acumulação de capital padrão:a) Y = AKL 1 - α. Substituir este na equação acumulação de capital padrão:a) Y = AKL 1 - α. Substituir este na equação acumulação de capital padrão:a) Y = AKL 1 - α. Substituir este na equação acumulação de capital padrão:a) Y = AKL 1 - α. Substituir este na equação acumulação de capital padrão:
˙
K = sY - dK ⇒ ˙K = sY - dK ⇒ ˙K = sY - dK ⇒ ˙K = sY - dK ⇒ ˙K = sY - dK ⇒ ˙
K
K = SAL 1 - α - d.K = SAL 1 - α - d.K = SAL 1 - α - d.K = SAL 1 - α - d.K = SAL 1 - α - d.K = SAL 1 - α - d.
Tomando logs e derivados da função de produção:
˙
Y
Y = ˙Y = ˙
UMA
A + ˙A + ˙
K
K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙
eu
EU.
Neste modelo, UMA é alguma constante, por isso,Neste modelo, UMA é alguma constante, por isso,Neste modelo, UMA é alguma constante, por isso,
˙
Y
Y = ˙Y = ˙
K
K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙K + ( 1 - α) ˙
eu
L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.L = SAL 1 - α - d + ( 1 - α) n.
A taxa de crescimento de saída é uma função crescente EU.A taxa de crescimento de saída é uma função crescente EU.
b) E se eu está crescendo em algum taxa constante n em seguida, a taxa de crescimento da própria saída está a crescer a b) E se eu está crescendo em algum taxa constante n em seguida, a taxa de crescimento da própria saída está a crescer a b) E se eu está crescendo em algum taxa constante n em seguida, a taxa de crescimento da própria saída está a crescer a b) E se eu está crescendo em algum taxa constante n em seguida, a taxa de crescimento da própria saída está a crescer a b) E se eu está crescendo em algum taxa constante n em seguida, a taxa de crescimento da própria saída está a crescer a b) E se eu está crescendo em algum taxa constante n em seguida, a taxa de crescimento da própria saída está a crescer a 
(aproximadamente) uma taxa exponencial. Empiricamente, não vemos isso ocorrendo.
c) Considere-se uma função de produção standard,c) Considere-se uma função de produção standard,
Y = BK α eu 1 - α.Y = BK α eu 1 - α.Y = BK α eu 1 - α.Y = BK α eu 1 - α.Y = BK α eu 1 - α.Y = BK α eu 1 - α.
Suponha-se que a acumulação de capital gera novos conhecimentos sobre a produção na economia como 
um todo, enquanto a utilização de trabalho produz externalidade negativa. Especí fi camente assumir que
B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,B = AK 1 - α eu α - 1 = Ak 1 - α,
Onde UMA é alguma constante.Onde UMA é alguma constante.Onde UMA é alguma constante.
Substituindo esta equação na função de produção, obtemos
Y = AK.
Como resultado, mesmo se n> 0,Como resultado, mesmo se n> 0,Como resultado, mesmo se n> 0,
˙
Y
Y = sA - d.Y = sA - d.Y = sA - d.
32
eo crescimento do produto é constante em vez de crescer.
d) Trabalho afeta a produção em um), mas não em c). A razão é que temos especificada a externalidade d) Trabalho afeta a produção em um), mas não em c). A razão é que temos especificada a externalidade 
em termos da relação capital-trabalho, em vez de em termos de capital social agregado: aumentos no trabalho 
tenderá a elevar a parte “privada” de saída, mas eles reduzem B de uma forma externa de uma forma que deixa tenderá a elevar a parte “privada” de saída, mas eles reduzem B de uma forma externa de uma forma que deixa tenderá a elevar a parte “privada” de saída, mas eles reduzem B de uma forma externa de uma forma que deixa 
a produção total inalterada. De acordo com esta função de produção, se a economia dobra seu estoque de mão 
de obra, o produto agregado é inalterada.
O que vemos a partir deste exercício é que, neste modelo, a fim de que mudanças no trabalho para afetar a saída 
(como parece plausível), o crescimento da produção em si deve crescer ao longo do tempo com a população. Isto parece 
contrafactual. Por outro lado, para eliminar esse resultado, temos de eliminar o efeito do trabalho sobre a produção, o que 
também parece implausível. Esta é uma razão pela qual os economistas que estudam o crescimento se mudaram para 
modelos mais sofisticados.
Exercício 2. Um aumento permanente s K no modelo de Lucas.Exercício 2. Um aumento permanente s K no modelo de Lucas.Exercício 2. Um aumento permanente s K no modelo de Lucas.Exercício 2. Um aumento permanente s K no modelo de Lucas.Exercício 2. Um aumento permanente s K no modelo de Lucas.
Um aumento permanente s K tem um efeito de nível, mas não um efeito de crescimento. Para ver a razão, lembre-se Um aumento permanente s K tem um efeito de nível, mas não um efeito de crescimento. Para ver a razão, lembre-se Um aumento permanente s K tem um efeito de nível, mas não um efeito de crescimento.Para ver a razão, lembre-se Um aumento permanente s K tem um efeito de nível, mas não um efeito de crescimento. Para ver a razão, lembre-se 
que no modelo de Lucas, h entra na função de produção da economia, assim como a mudança tecnológica de aumento de que no modelo de Lucas, h entra na função de produção da economia, assim como a mudança tecnológica de aumento de que no modelo de Lucas, h entra na função de produção da economia, assim como a mudança tecnológica de aumento de 
trabalho no modelo de Solow originais. Assim, os resultados padrão do modelo de Solow se aplicam aqui. A taxa de 
crescimento de estado estacionário é determinado pelo tempo gasto acumulando habilidade. s K não tem efeito crescimento de estado estacionário é determinado pelo tempo gasto acumulando habilidade. s K não tem efeito crescimento de estado estacionário é determinado pelo tempo gasto acumulando habilidade. s K não tem efeito crescimento de estado estacionário é determinado pelo tempo gasto acumulando habilidade. s K não tem efeito 
crescimento a longo prazo.
Exercício 3. estrutura do mercado no modelo de LucasExercício 3. estrutura do mercado no modelo de Lucas
Vimos neste capítulo que a concorrência e / ou externalidades imperfeita são apelou para sempre um modelo 
de crescimento exposições retornos crescentes de escala. Portanto, esta questão é realmente sobre se deve ou não 
as exposições modelo Lucas retornos crescentes.
A função de produção para a saída no modelo de Lucas é
Y = K α ( hl) 1 - α.Y = K α ( hl) 1 - α.Y = K α ( hl) 1 - α.Y = K α ( hl) 1 - α.Y = K α ( hl) 1 - α.Y = K α ( hl) 1 - α.
Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados Há retornos constantes de K e EU. Portanto, parece que há retornos crescentes de K, EU, e h tomados 
em conjunto. No entanto, este acaba por ser uma forma enganosa de ver o modelo. A razão é que o h em conjunto. No entanto, este acaba por ser uma forma enganosa de ver o modelo. A razão é que o h 
é incorporada em EU,é incorporada em EU,
de modo que estes não são realmente duas entradas separadas. Por exemplo, se fôssemos escrever a função 
de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.de produção como Y = K α H 1 - α, com H = hL depois há retornos constantes de K e H.
Lucas (1988) pensa em firmas que contratam o capital K e trabalhadores eu com nível de habilidade hLucas (1988) pensa em firmas que contratam o capital K e trabalhadores eu com nível de habilidade hLucas (1988) pensa em firmas que contratam o capital K e trabalhadores eu com nível de habilidade hLucas (1988) pensa em firmas que contratam o capital K e trabalhadores eu com nível de habilidade hLucas (1988) pensa em firmas que contratam o capital K e trabalhadores eu com nível de habilidade hLucas (1988) pensa em firmas que contratam o capital K e trabalhadores eu com nível de habilidade h
que é pago um salário que é uma função do seu nível de habilidade. Essas firmas são perfeitamente
33
competitivo, e, pelo menos na configuração descrita aqui, não há necessidade de quaisquer externalidades.
Exercício 4. Crescimento em relação a muito longo prazo.Exercício 4. Crescimento em relação a muito longo prazo.
modelos de crescimento endógeno baseado em idéia sugerem que o crescimento é o resultado endógena de 
uma economia em que os indivíduos pro fi procurando t-que têm permissão para ganhar rendas sobre os frutos do 
seu trabalho procurar ideias novas e melhores. Esta história tem forte poder explicativo para a evidência histórica.
A Revolução Industrial - o início do crescimento econômico sustentado - ocorreu quando as instituições que 
protegem os direitos de propriedade intelectual foram su fi cientemente bem desenvolvido que os empresários 
poderiam capturar como um retorno privado alguns dos enormes retornos sociais suas inovações criaria. Enquanto 
os incentivos governamentais, tais como prêmios ou financiamento público poderia substituir estes incentivos de 
mercado em certos casos, a história sugere que é apenas quando os incentivos de mercado eram su fi ciente de 
que a inovação eo crescimento generalizado tomou conta.
Outros modelos também contribuir de outras formas para esse entendimento. Aprender fazendo modelos 
sugerem adequadamente essa experiência na produção é um fator importante no aumento da produtividade. A 
aceleração das taxas de crescimento mais muito da história do mundo é potencialmente consistentes com um 
grande número de modelos, incluindo o modelo de “AK” discutido no primeiro exercício neste capítulo, o modelo de 
crescimento endógeno Romer (1990), eo crescimento semi-endógena versão desse modelo em que o crescimento 
per capita é proporcional ao crescimento da população (lembre-se a partir da Figura
4.4 que as taxas de crescimento da população também se aceleraram ao longo do tempo).
Exercício 5. A função ideia produção.Exercício 5. A função ideia produção.
A função de produção é
˙
A = AL UMA UMA φ.A = AL UMA UMA φ.A = AL UMA UMA φ.A = AL UMA UMA φ.
Um justi fi cação económica para esta estrutura é
1. Tanto o trabalho de pesquisa e conhecimento acumulado contribuir para a produção de novas ideias.
2. eu UMA entra linearmente para capturar retornos constantes de insumos rivais: dobrar2. eu UMA entra linearmente para capturar retornos constantes de insumos rivais: dobrar2. eu UMA entra linearmente para capturar retornos constantes de insumos rivais: dobrar2. eu UMA entra linearmente para capturar retornos constantes de insumos rivais: dobrar
o número de idéias produzidas em qualquer ponto no tempo, nós simplesmente configurar outro laboratório de pesquisa 
com o mesmo número de trabalhadores. Esta negligencia qualquer duplicação que possa ocorrer.
34
3. φ> 0 re fl ete um transbordamento conhecimento positivo na pesquisa. O estoque de idéias3. φ> 0 re fl ete um transbordamento conhecimento positivo na pesquisa. O estoque de idéias3. φ> 0 re fl ete um transbordamento conhecimento positivo na pesquisa. O estoque de idéias3. φ> 0 re fl ete um transbordamento conhecimento positivo na pesquisa. O estoque de idéias
é uma entrada não competitivo para a produção denovas ideias.
É esta última característica que sugere que os retornos crescentes podem ser aplicadas para a produção de novas idéias, 
especialmente se não há efeito congestionamento na investigação (relacionado com o ponto 2).
35
9 Recursos Naturais e Crescimento Econômico
Exercício 1. dinâmicas de transição no modelo de terra.Exercício 1. dinâmicas de transição no modelo de terra.
Definem z ≡ K / Y =Definem z ≡ K / Y =Definem z ≡ K / Y =Definem z ≡ K / Y =
(
BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,BK α - 1 T β eu 1 - α - β) - 1. Tomando logs e derivados,
temos
z˙
z = - (z = - (
g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙
K
K + ( 1 - α - β) nK + ( 1 - α - β) nK + ( 1 - α - β) nK + ( 1 - α - β) nK + ( 1 - α - β) nK + ( 1 - α - β) n
)
. (2)
A partir da equação acumulação de capital ea definição de z, nos tambem temosA partir da equação acumulação de capital ea definição de z, nos tambem temosA partir da equação acumulação de capital ea definição de z, nos tambem temos
˙
K
K = sK = s z - d. z - d. z - d. 
(3)
Substituindo esta segunda equação na primeira e reorganizando termos dá
z˙
z = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) s z - φ, z - φ, z - φ, 
(4)
Onde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados porOnde φ ≡ ( 1 - α - β) n + g B + ( 1 - α) d é uma constante. Multiplicando ambos os lados por
z, temos uma equação diferencial linear que é fácil de analisar:z, temos uma equação diferencial linear que é fácil de analisar:
z˙ = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. (5)
O estado estacionário ocorre quando ˙O estado estacionário ocorre quando ˙ z = 0, de modo que a relação capital-produto em constantez = 0, de modo que a relação capital-produto em constantez = 0, de modo que a relação capital-produto em constante
estado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) s
φ 
. Para analisar a dinâmica de transição, podemos olhar
em cada equação (5) ou a equação (4). Ele acaba por ser mais conveniente para olhar para a equação 
diferencial que envolve a taxa de crescimento z, por isso vamos focar na equação (4). A estabilidade do sistema diferencial que envolve a taxa de crescimento z, por isso vamos focar na equação (4). A estabilidade do sistema diferencial que envolve a taxa de crescimento z, por isso vamos focar na equação (4). A estabilidade do sistema 
e ao facto da taxa de crescimento dos declínios relação capital-produto (ou aumentos) suavemente ao longo do 
tempo é aparente a partir da Figura 17. Note-se que esta figura pode ser analisada tal como a versão 
crescimento do diagrama Solow no Capítulo 2.
Exercício 2. dinâmicas de transição no modelo de energia.Exercício 2. dinâmicas de transição no modelo de energia.
Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1Este problema é resolvido apenas como o primeiro exercício. Definem z ≡ K / Y = (BK α - 1 E γ eu 1 - α - γ) - 1
. Tomando logs e derivados, temos
z˙
z = - (z = - (
g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙g B + ( α - 1) ˙
K
γ K + ˙γ K + ˙
E
E + ( 1 - α - γ) nE + ( 1 - α - γ) nE + ( 1 - α - γ) nE + ( 1 - α - γ) nE + ( 1 - α - γ) nE + ( 1 - α - γ) n
)
. (6)
36
Figura 17: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de terraFigura 17: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de terraFigura 17: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de terraFigura 17: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de terraFigura 17: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de terra
φ
(1 - α ) s / z
z / z
.
z * z
A partir da equação acumulação de capital ea definição de z, nos tambem temosA partir da equação acumulação de capital ea definição de z, nos tambem temosA partir da equação acumulação de capital ea definição de z, nos tambem temos
˙
K
K = sK = s z - d. z - d. z - d. 
(7)
Substituindo esta segunda equação na primeira, observando que ˙Substituindo esta segunda equação na primeira, observando que ˙ E / E = - s E, eE / E = - s E, eE / E = - s E, eE / E = - s E, eE / E = - s E, e
rearranjando termos dá 
z˙
z = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) sz = ( 1 - α) s z - φ, z - φ, z - φ, 
(8)
Ondeφ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é Onde φ ≡ ( 1 - α - γ) n + g B - yS E + ( 1 - α) d é uma constante, a qual vai ser positivo enquanto yS E não é 
muito grande (que supomos). Multiplicando ambos os lados por z, temos uma equação diferencial linear que muito grande (que supomos). Multiplicando ambos os lados por z, temos uma equação diferencial linear que muito grande (que supomos). Multiplicando ambos os lados por z, temos uma equação diferencial linear que 
é fácil de analisar:
z˙ = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. z = ( 1 - α) s - φz. (9)
O estado estacionário ocorre quando ˙O estado estacionário ocorre quando ˙ z = 0, de modo que a relação capital-produto em constantez = 0, de modo que a relação capital-produto em constantez = 0, de modo que a relação capital-produto em constante
estado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) sestado é dada pela z * = ( 1 - α) s
φ 
. Para analisar a dinâmica de transição, podemos olhar
em cada equação (9) ou a equação (8). Ele acaba por ser mais conveniente para olhar para a equação 
diferencial que envolve a taxa de crescimento z, por isso vamos focar na equação (8). A estabilidade do sistema diferencial que envolve a taxa de crescimento z, por isso vamos focar na equação (8). A estabilidade do sistema diferencial que envolve a taxa de crescimento z, por isso vamos focar na equação (8). A estabilidade do sistema 
e ao facto da taxa de crescimento dos declínios relação capital-produto (ou aumentos) suavemente ao longo do 
tempo é aparente a partir da Figura 18. Note-se que esta figura pode ser analisada tal como a versão 
crescimento do diagrama Solow no Capítulo 2.
37
Figura 18: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de EnergiaFigura 18: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de EnergiaFigura 18: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de EnergiaFigura 18: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de EnergiaFigura 18: A dinâmica de z ≡ K / Y no Modelo de Energia
φ
(1 - α ) s / z
z / z
.
z * z
Exercício 3. Um modelo com terra e energia.Exercício 3. Um modelo com terra e energia.
Usando o mesmo processo que nos duas questões anteriores, é fácil mostrar que a relação capital-produto será constante 
ao longo de uma trajectória de crescimento equilibrado. Dado este fato, podemos derivar a taxa de crescimento em estado 
estacionário para a produção por trabalhador como segue:
Y = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY = BK α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γ
⇒ Y 1 - α = B ( KY 1 - α = B ( KY 1 - α = B ( KY 1 - α = B ( KY 1 - α = B ( KY 1 - α = B ( K
Y) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu 1 - α - β - γ
⇒ ( Y( Y
EU ) 1 - α = B ( KEU ) 1 - α = B ( KEU ) 1 - α = B ( KEU ) 1 - α = B ( KEU ) 1 - α = B ( KEU ) 1 - α = B ( K Y) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γY) α T β ( s E R 0 e - s E t) γ eu - β - γ
⇒
Y
G = B 1G = B 1
1 - α ( K1 - α ( K1 - α ( K1 - α ( K
Y) αY) α
1 - α T β1 - α T β1 - α T β1 - α T β1 - α T β 1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1- α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ1 - α ( s E R 0 e - s E t) γ 1 - α eu β + γ1 - α eu β + γ1 - α eu β + γ1 - α eu β + γ1 - α eu β + γα - 1α - 1α - 1
Tomando logs e derivados desta última equação (e usando os fatos que o capitaloutput é constante em um 
estado de equilíbrio e que T e s E não variam com o tempo), obtemos:estado de equilíbrio e que T e s E não variam com o tempo), obtemos:estado de equilíbrio e que T e s E não variam com o tempo), obtemos:estado de equilíbrio e que T e s E não variam com o tempo), obtemos:estado de equilíbrio e que T e s E não variam com o tempo), obtemos:estado de equilíbrio e que T e s E não variam com o tempo), obtemos:
g y =g y =
1
1 - αg B - γ1 - αg B - γ1 - αg B - γ1 - αg B - γ1 - αg B - γ1 - αg B - γ 1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ1 - aS E - β + γ 1 - αn1 - αn1 - αn
= 
1
1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]1 - α [g B - yS E - ( β + γ) n]
38
Exercício 4. taxa de extracção óptima.Exercício 4. taxa de extracção óptima.
Definem y ≡ YDefinem y ≡ YDefinem y ≡ YDefinem y ≡ Y
EU . Dado que a relação capital-produto é constante, a equação 9.17EU . Dado que a relação capital-produto é constante, a equação 9.17
detém e sabemos que
y (t) = y 0 e [ g - ¯y (t) = y 0 e [ g - ¯y (t) = y 0 e [ g - ¯y (t) = y 0 e [ g - ¯y (t) = y 0 e [ g - ¯y (t) = y 0 e [ g - ¯
γ (s E + n)] t = B 0 K αγ (s E + n)] t = B 0 K αγ (s E + n)] t = B 0 K αγ (s E + n)] t = B 0 K αγ (s E + n)] t = B 0 K αγ (s E + n)] t = B 0 K αγ (s E + n)] t = B 0 K α
0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 
e [ g - ¯e [ g - ¯e [ g - ¯e [ g - ¯
γ (s E + n)] t,γ (s E + n)] t,γ (s E + n)] t,
Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor Onde B 0, K 0, R 0, e eu 0 são o tempo de zero valores de B, K, R, e K, respectivamente. Isto implica que o valor 
presente descontado ( PDV) do produto por trabalhador é dada pelapresente descontado ( PDV) do produto por trabalhador é dada pelapresente descontado ( PDV) do produto por trabalhador é dada pela
PDV = B 0 K αPDV = B 0 K αPDV = B 0 K αPDV = B 0 K α
0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0
∫ ∞∫ ∞
0
e [ g - ¯e [ g - ¯e [ g - ¯e [ g - ¯
γ (s E + n) - r] t dtγ (s E + n) - r] t dtγ (s E + n) - r] t dtγ (s E + n) - r] t dtγ (s E + n) - r] t dtγ (s E + n) - r] t dt
= B 0 K α= B 0 K α= B 0 K α= B 0 K α= B 0 K α
0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 
[ e [ g - ¯[ e [ g - ¯[ e [ g - ¯[ e [ g - ¯[ e [ g - ¯
γ (s E + n) - r] tγ (s E + n) - r] tγ (s E + n) - r] tγ (s E + n) - r] tγ (s E + n) - r] t
g - ¯g - ¯g - ¯ γ (s E + n) - r] ∞ 0γ (s E + n) - r] ∞ 0γ (s E + n) - r] ∞ 0γ (s E + n) - r] ∞ 0γ (s E + n) - r] ∞ 0γ (s E + n) - r] ∞ 0γ (s E + n) - r] ∞ 0
E se r ≥ g - ¯E se r ≥ g - ¯E se r ≥ g - ¯E se r ≥ g - ¯E se r ≥ g - ¯E se r ≥ g - ¯ γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯γ (s E + n), então lim t → ∞ [ e [ g - ¯
γ (SE + n) - r] tγ (SE + n) - r] tγ (SE + n) - r] t
g - ¯g - ¯g - ¯γ (s E + n) - r] e existe o integral éγ (s E + n) - r] e existe o integral éγ (s E + n) - r] e existe o integral éγ (s E + n) - r] e existe o integral éγ (s E + n) - r] e existe o integral éγ (s E + n) - r] e existe o integral é
bem definida. Se este não for o caso, então não temos um problema de maximização NED fi bem-de, então 
vamos assumir que r ≥ g - ¯vamos assumir que r ≥ g - ¯vamos assumir que r ≥ g - ¯vamos assumir que r ≥ g - ¯vamos assumir que r ≥ g - ¯vamos assumir que r ≥ g - ¯ γ (s E + n) detém. Nesse caso,γ (s E + n) detém. Nesse caso,γ (s E + n) detém. Nesse caso,γ (s E + n) detém. Nesse caso,
PDV = B 0 K αPDV = B 0 K αPDV = B 0 K αPDV = B 0 K α
0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0
r + ¯r + ¯ γ (s E + n) - g.γ (s E + n) - g.γ (s E + n) - g.γ (s E + n) - g.γ (s E + n) - g.
Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valorde s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E Nossa tarefa é encontrar o valor de s E, s * E, que maximiza PDV. Notar que PDV é uma função da côncava s E 
sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero sobre a fracção relevante, podemos achar s * E igualando o derivado de PDV em relação a s E igual a zero 
e resolvendo para s E:e resolvendo para s E:e resolvendo para s E:
∂PDV
∂S E∂S E
= yS α - 1= yS α - 1= yS α - 1= yS α - 1= yS α - 1
E B 0 K αE B 0 K αE B 0 K αE B 0 K αE B 0 K α 0 R γ0 R γ0 R γ0 eu - α - γ0 eu - α - γ0 eu - α - γ0 eu - α - γ0 eu - α - γ0 eu - α - γ0 
[ r + ¯[ r + ¯[ r + ¯ γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯γ (s E + n) - g] - 1 - ¯ γ [r + ¯γ [r + ¯ γ (s E + n) - g] - 2γ (s E + n) - g] - 2γ (s E + n) - g] - 2γ (s E + n) - g] - 2γ (s E + n) - g] - 2γ (s E + n) - g] - 2γ (s E + n) - g] - 2
B 0 K αB 0 K αB 0 K αB 0 K α
0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0 ( s E R 0) γ eu - α - γ0
= 0
⇒ s * E = ( 1 - α) (r + ¯s * E = ( 1 - α) (r + ¯s * E = ( 1 - α) (r + ¯s * E = ( 1 - α) (r + ¯s * E = ( 1 - α) (r + ¯s * E = ( 1 - α) (r + ¯s * E = ( 1 - α) (r + ¯
γn - g)γn - g)γn - g)
1 - γ1 - γ1 - γ
Várias interpretações interessantes surgem. Como r aumenta, o consumo futuro tem um valor menos presentes, Várias interpretações interessantes surgem. Como r aumenta, o consumo futuro tem um valor menos presentes, Várias interpretações interessantes surgem. Como r aumenta, o consumo futuro tem um valor menos presentes, 
de modo optimização requer o uso de uma maior proporção de recursos não renováveis, em qualquer momento 
dado. À medida que a importância relativa dos recursos não renováveis ​​em aumentos de produção (conforme γ aumentos), dado. À medida que a importância relativa dos recursos não renováveis ​​em aumentos de produção (conforme γ aumentos), dado. À medida que a importância relativa dos recursos não renováveis ​​em aumentos de produção (conforme γ aumentos), 
s * E aumenta. Este efeito é composto por um aumento na taxa de crescimento populacional, n. O crescimento da s * E aumenta. Este efeito é composto por um aumento na taxa de crescimento populacional, n. O crescimento da s * E aumenta. Este efeito é composto por um aumento na taxa de crescimento populacional, n. O crescimento da s * E aumenta. Este efeito é composto por um aumento na taxa de crescimento populacional, n. O crescimento da s * E aumenta. Este efeito é composto por um aumento na taxa de crescimento populacional, n. O crescimento da s * E aumenta. Este efeito é composto por um aumento na taxa de crescimento populacional, n. O crescimento da 
população torna-se mais rápido, optimização requer que uma maior proporção de recursos não renováveis ​​ser 
utilizado em todos os pontos no tempo. Finalmente, como o progresso tecnológico acelera ( g B aumentos), torna-se utilizado em todos os pontos no tempo. Finalmente, como o progresso tecnológico acelera ( g B aumentos), torna-se utilizado em todos os pontos no tempo. Finalmente, como o progresso tecnológico acelera ( g B aumentos), torna-se utilizado em todos os pontos no tempo. Finalmente, como o progresso tecnológico acelera ( g B aumentos), torna-se 
óptimo para preservar mais recursos não renováveis ​​para uso futuro, quando eles serão relativamente mais produtivo 
com a presente.
39
Exercício 5. resolvendo para τ.Exercício 5. resolvendo para τ.Exercício 5. resolvendo para τ.
A equação (9.20) implica que
[ e (. 018 - r) t[ e (. 018 - r) t[ e (. 018 - r) t[ e (. 018 - r) t[ e (. 018 - r) t
.018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t018 - r] ∞ 0 = ( 1 - τ) [E (. 021 - r) t .021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0
⇒ τ = [ e (. 021 - r) tτ = [ e (. 021 - r) tτ = [ e (. 021 - r) tτ = [ e (. 021 - r) tτ = [ e (. 021 - r) t
. 021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t021 - r] ∞ 0 - [ e (. 018 - r) t . 018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0
[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t
. 021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0
= 1 - [ e (. 018 - r) t= 1 - [ e (. 018 - r) t= 1 - [ e (. 018 - r) t= 1 - [ e (. 018 - r) t= 1 - [ e (. 018 - r) t= 1 - [ e (. 018 - r) t
. 018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0018 - r] ∞ 0
[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t[ e (. 021 - r) t
. 021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0021 - r] ∞ 0
= 1 - r -. 021= 1 - r -. 021= 1 - r -. 021= 1 - r -. 021= 1 - r -. 021
r -. 018 E se r>. 021r -. 018 E se r>. 021r -. 018 E se r>. 021r -. 018 E se r>. 021r -. 018 E se r>. 021r -. 018 E se r>. 021
Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:Usando a fórmula acima, que pode agora calcular valores de τ para r = . 04 e r = . 08:
τ. 04 ≈. 1364τ. 04 ≈. 1364τ. 04 ≈. 1364τ. 04 ≈. 1364
τ. 08 ≈. 0484τ. 08 ≈. 0484τ. 08 ≈. 0484τ. 08 ≈. 0484
Observe que, como r aumenta, a pessoa representativa é menos paciente e dispostos a dar-se a menos de sua Observe que, como r aumenta, a pessoa representativa é menos paciente e dispostos a dar-se a menos de sua Observe que, como r aumenta, a pessoa representativa é menos paciente e dispostos a dar-se a menos de sua 
renda em troca de crescimento da renda mais rápido.
Exercício6. Robustez dos cálculos de crescimento de arrasto.Exercício 6. Robustez dos cálculos de crescimento de arrasto.
(Suponha que todos os valores, exceto aqueles para β e γ, são os mesmos que no texto.)(Suponha que todos os valores, exceto aqueles para β e γ, são os mesmos que no texto.)(Suponha que todos os valores, exceto aqueles para β e γ, são os mesmos que no texto.)(Suponha que todos os valores, exceto aqueles para β e γ, são os mesmos que no texto.)(Suponha que todos os valores, exceto aqueles para β e γ, são os mesmos que no texto.)
Caso a) β = . 05, γ = . 05Caso a) β = . 05, γ = . 05Caso a) β = . 05, γ = . 05Caso a) β = . 05, γ = . 05Caso a) β = . 05, γ = . 05Caso a) β = . 05, γ = . 05Caso a) β = . 05, γ = . 05
Arrasto Crescimento = ( ¯Arrasto Crescimento = ( ¯ β + ¯β + γ¯) n + ¯γ) n + ¯yS E = (. 05 / 0,8 + 0,05 / 0,8) 0,01 + (. 05 / 0,8), 005 = 0,0015625.yS E = (. 05 / 0,8 + 0,05 / 0,8) 0,01 + (. 05 / 0,8), 005 = 0,0015625.yS E = (. 05 / 0,8 + 0,05 / 0,8) 0,01 + (. 05 / 0,8), 005 = 0,0015625.
Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,Observe que r = . 06 ≥. 0195625 ( veja o Problema 5). Portanto,
τ = 1 -. 06 -. 0195625τ = 1 -. 06 -. 0195625τ = 1 -. 06 -. 0195625τ = 1 -. 06 -. 0195625τ = 1 -. 06 -. 0195625τ = 1 -. 06 -. 0195625
.06 -. 018 = 0,037202381.06 -. 018 = 0,037202381.06 -. 018 = 0,037202381.
Caso b) β = . 05, γ = . 02Caso b) β = . 05, γ = . 02Caso b) β = . 05, γ = . 02Caso b) β = . 05, γ = . 02Caso b) β = . 05, γ = . 02Caso b) β = . 05, γ = . 02Caso b) β = . 05, γ = . 02
Arrasto Crescimento = ( ¯Arrasto Crescimento = ( ¯ β + ¯β + ¯ γ) n + ¯γ) n + ¯ yS E = (. 05 / 0,8 + 0,02 / 0,8) 0,01 + (0,02 / 0,8) 0,005 = 0,001.yS E = (. 05 / 0,8 + 0,02 / 0,8) 0,01 + (0,02 / 0,8) 0,005 = 0,001.yS E = (. 05 / 0,8 + 0,02 / 0,8) 0,01 + (0,02 / 0,8) 0,005 = 0,001.
40
Dado r = . 06 ≥. 019,Dado r = . 06 ≥. 019,Dado r = . 06 ≥. 019,Dado r = . 06 ≥. 019,Dado r = . 06 ≥. 019,Dado r = . 06 ≥. 019,
τ = 1 -. 06 -. 019τ = 1 -. 06 -. 019τ = 1 -. 06 -. 019τ = 1 -. 06 -. 019τ = 1 -. 06 -. 019τ = 1 -. 06 -. 019
.06 -. 018 = 0,0238095238.06 -. 018 = 0,0238095238.06 -. 018 = 0,0238095238.
Assim, parece que as magnitudes dos nossos resultados dependem crucialmente o que supomos sobre 
as ações de terra e energia. No entanto, o ponto qualitativo que a presença de recursos naturais na produção 
retarda o crescimento de forma não-trivial ainda se mantém mesmo sob estimativas reduzidos de β e γ.retarda o crescimento de forma não-trivial ainda se mantém mesmo sob estimativas reduzidos de β e γ.retarda o crescimento de forma não-trivial ainda se mantém mesmo sob estimativas reduzidos de β e γ.retarda o crescimento de forma não-trivial ainda se mantém mesmo sob estimativas reduzidos de β e γ.
Exercício 7. Uma parte da terra mudando.Exercício 7. Uma parte da terra mudando.
(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.(uma) Y = Y A + Y H = T β ( AL A) 1 - β + AL H = T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.
(B) O nosso problema é:
max
s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,s T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L,
onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação onde a maximização está sujeita a 0 ≤ s ≤ 1. Tomando a derivada da nossa função objetivo em relação 
ao s e definir este igual a zero nos dá a condição de primeira ordem (notar que a segunda condição ao s e definir este igual a zero nos dá a condição de primeira ordem (notar que a segunda condição ao s e definir este igual a zero nos dá a condição de primeira ordem (notar que a segunda condição 
para que a maximização, ou seja, que a segunda derivada do nosso objectivo é menor que zero, é 
satisfeita):
(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0(1 - β) ALT β ( ASL) - β - AL = 0
⇒ (1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1(1 - β) t β ( ASL) - β = 1
⇒ s * = Ts * = Ts * = T
AL ( 1 - β) 1AL ( 1 - β) 1AL ( 1 - β) 1AL ( 1 - β) 1AL ( 1 - β) 1
β.
(C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos(C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos (C) Como UMA e eu aumentar, s * diminui. Ou seja, como UMA e eu aumento, os rendimentos 
decrescentes na agricultura associados ao fornecimento fixo de terras. Portanto, a alocação ótima 
envolve mudança de trabalho fora da agricultura e para a indústria (que não usa a terra).
(D) Se o preço da terra é dada pelo seu produto marginal, em seguida,
P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.P = T βT β - 1 ( ASL) 1 - β.
41
Agora temos 
P T TP T TP T T
Y =
βT β ( ASL) 1 - ββT β ( ASL) 1 - ββT β ( ASL) 1 - ββT β ( ASL) 1 - ββT β ( ASL) 1 - ββT β ( ASL) 1 - β
T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.T β ( ASL) 1 - β + UMA( 1 - s) L.
Desde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T TDesde a 0 ≤ β ≤ 1, P T T
Y diminui conforme UMA e eu aumentar. A parcela de terra de pro-Y diminui conforme UMA e eu aumentar. A parcela de terra de pro-Y diminui conforme UMA e eu aumentar. A parcela de terra de pro-Y diminui conforme UMA e eu aumentar. A parcela de terra de pro-Y diminui conforme UMA e eu aumentar. A parcela de terra de pro-Y diminui conforme UMA e eu aumentar. A parcela de terra de pro-
dução diminui ao longo do tempo como retornos decrescentes, em conjunto e de trabalho é deslocado para fabricação.
Exercício 8. a participação da energia em uma função de produção CES.Exercício 8. a participação da energia em uma função de produção CES.
(A) Considere o que acontece se aumentarmos todos os fatores de produção por um fator de N(A) Considere o que acontece se aumentarmos todos os fatores de produção por um fator de N
( N = 2 se dobrar todas as entradas):( N = 2 se dobrar todas as entradas):( N = 2 se dobrar todas as entradas):( N = 2 se dobrar todas as entradas):
F (NK, NE, NL) = [(NK) ρ + ( BNE) ρ] αF (NK, NE, NL) = [(NK) ρ + ( BNE) ρ] αF (NK, NE, NL) = [(NK) ρ + ( BNE) ρ] αF (NK, NE, NL) = [(NK) ρ + ( BNE) ρ] αF (NK, NE, NL) = [(NK) ρ + ( BNE) ρ] α
ρ ( ANL) 1 - αρ ( ANL) 1 - αρ ( ANL) 1 - αρ ( ANL) 1 - αρ ( ANL) 1 - α
= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α= [ N ρ K ρ + N ρ ( ESTAR) ρ] α
ρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - α
= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α
ρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - αρ N 1 - α ( AL) 1 - α
= N [K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N [K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N [K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N [K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N [K ρ + ( ESTAR) ρ] α= N [K ρ + ( ESTAR) ρ] α
ρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - α
= NF (K, E, G)= NF (K, E, G)
Assim, se se duplicar todas as entradas, duplas, ou seja, de saída esta função de produção apresenta rendimentos constantes de 
escala.
(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K(B) O factor de partes para K, EU, e E são dadas pela P K K
Y, P eu euY, P eu euY, P eu euY, P eu eu Y, e P E EY, e P E EY, e P E EY, e P E EY, e P E E Y, res-Y, res-
vamente. Tendo em conta que fatores são pagos os seus produtos marginais, temos:
P K = αP K = αP K = α
ρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρρ ρK ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρ
ρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - α
P E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρP E = aB ρ E ρ - 1 [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α - ρ
ρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - αρ ( AL) 1 - α
P L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] αP L = ( 1 - α) A 1 - α eu - α [ K ρ + ( ESTAR) ρ] α
ρ
Assim sendo,
P K KP K KP K K
Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = αK ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1
P E EP E EP E E
Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1Y = α (BE) ρ [ K ρ + ( ESTAR) ρ] - 1
P eu euP eu euP eu eu
Y = 1 - αY = 1 - αY = 1 - αY = 1 - α
Note que, enquanto a participação do trabalho é equivalente ao caso Cobb-Douglas, as ações fatores para o 
capital e energia agora depender de quanto capital e energia são empregados.
42
(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Comρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K(C) Com ρ < 0, Como B aumenta, P K K
Y 
aumenta, P E Eaumenta, P E Eaumenta, P E Eaumenta, P E E
Y diminui, e P eu euY diminui, e P eu euY diminui, e P eu euY diminui, e P eu euY diminui, e P eu eu Y é un-Y é un-
afetados. A parcela de energia em declínio é compensado por um aumento da participação dos rendimentos pagos a capital.
10 Recursos Naturais e Crescimento Econômico
Sem problemas.
43
Uma revisão Matemática
Exercício 1
a) ˙a) ˙
y
y = ˙y = ˙
X
x = 0,05 e 0,05 tx = 0,05 e 0,05 tx = 0,05 e 0,05 tx = 0,05 e 0,05 tx = 0,05 e 0,05 te 0,05 t = 0,05,e 0,05 t = 0,05,e 0,05 t = 0,05,e 0,05 t = 0,05,
b) ˙b) ˙
y
y = ˙y = ˙
z
z = 0,01 e 0,01 tz = 0,01 e 0,01 tz = 0,01 e 0,01 tz = 0,01 e 0,01 tz = 0,01 e 0,01 te 0,01 t = 0,01,e 0,01 t = 0,01,e 0,01 t = 0,01,e 0,01 t = 0,01,
c) ˙c) ˙
y
y = ˙y = ˙
X
x + ˙x + ˙
z
z = 0,06,z = 0,06,
d) ˙d) ˙
y
y = ˙y = ˙
X
X - ˙X - ˙X - ˙
z
z = 0,04,z = 0,04,
e) ˙e) ˙
y
y = β ˙y = β ˙y = β ˙
X
x + ( 1 - β) ˙x + ( 1 - β) ˙x + ( 1 - β) ˙x + ( 1 - β) ˙x + ( 1 - β) ˙
z
z = 1z = 1 2 × 0,05 + 12 × 0,05 + 12 × 0,05 + 12 × 0,05 + 1 2 × 0,01 = 0,03,2 × 0,01 = 0,03,2 × 0,01 = 0,03,
f) ˙f) ˙
y
y = β ˙y = β ˙y = β ˙
X
X - β ˙X - β ˙X - β ˙X - β ˙
z
z = 1z = 1 3 × 0,05 - 13 × 0,05 - 13 × 0,05 - 13 × 0,05 - 13 × 0,05 - 1 3 × 0,01 = 0,01333.3 × 0,01 = 0,01333.3 × 0,01 = 0,01333.
exercício 2
a) ˙a) ˙
y
y = β ˙y = β ˙y = β ˙
k
k,
b) ˙b) ˙
y
y = ˙y = ˙
k
k - ˙k - ˙k - ˙
m
m,
c) ˙c) ˙
y
y = β ( ˙y = β ( ˙y = β ( ˙
k
k + ˙k + ˙
eu
l + ˙l + ˙
m
m),
d) ˙d) ˙
y
y = β ( ˙y = β ( ˙y = β ( ˙
k
k + ˙k + ˙
eu
eu ) - ( 1 - β) ˙eu ) - ( 1 - β) ˙eu ) - ( 1 - β) ˙eu ) - ( 1 - β) ˙eu ) - ( 1 - β) ˙eu ) - ( 1 - β) ˙
m
m.
exercício 3
Somos informados de que ˙Somos informados de que ˙
X
x = 0,1. Agora integrar ambos os lados desta equação,x = 0,1. Agora integrar ambos os lados desta equação,x = 0,1. Agora integrar ambos os lados desta equação,
∫
d registro x (t) =d registro x (t) =d registro x (t) =
∫
0,1 dt,0,1 dt,
o que implica que
registro x (t) = 0,10 t + C.registro x (t) = 0,10 t + C.registro x (t) = 0,10 t + C.registro x (t) = 0,10 t + C.registro x (t) = 0,10 t + C.
Dado x ( 0) = 2,Dado x ( 0) = 2,Dado x ( 0) = 2,
x (t) = 2 e 0,1 t.x (t) = 2 e 0,1 t.x (t) = 2 e 0,1 t.x (t) = 2 e 0,1 t.x (t) = 2 e 0,1 t.
Pelo mesmo raciocínio,
z (t) = E 0,02 t.z (t) = E 0,02 t.z (t) = E 0,02 t.
a) y (t) = x (t), z (t),a) y (t) = x (t), z (t),
b) y (t) = Z (t) / x (t) ,b) y (t) = Z (t) / x (t) ,b) y (t) = Z (t) / x (t) ,
44
t x (t) z (t) y = xz y = z / x
0 2,000 1,000 2,000 0,500
1 2,210 1,020 2,254 0,462
2 2,443 1,041 2,543 0,426
5,437 1,221 6,639 10 0,225
c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1c) y = x β z ( 1 - β), Onde β = 1
3
t X β X β z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)z ( 1 - β) X β z ( 1 - β)
0 1,260 1,000 1,260
1 1,303 1,013 1,320
2 1,347 1,027 1,383
10 1,758 1,142 2,008
exercício 4
Nota: ˆNota: ˆ y representa o PIB por trabalhador em relação aos EUA Plain y denota o nível real do PIB y representa o PIB por trabalhador em relação aos EUA Plain y denota o nível real do PIB y representa o PIB por trabalhador em relação aos EUA Plain y denota o nível real do PIB y representa o PIB por trabalhador em relação aos EUA Plain y denota o nível real do PIB 
por trabalhador. Tabela B.2 nos informa que y NOS( 97) = 40834 epor trabalhador. Tabela B.2 nos informa que y NOS( 97) = 40834 epor trabalhador. Tabela B.2 nos informa que y NOS( 97) = 40834 epor trabalhador. Tabela B.2 nos informa que y NOS( 97) = 40834 epor trabalhador. Tabela B.2 nos informa que y NOS( 97) = 40834 e
y NOS( 60) = 24433. Portanto, a taxa de crescimento para os EUA éy NOS( 60) = 24433. Portanto, a taxa de crescimento para os EUA éy NOS( 60) = 24433. Portanto, a taxa de crescimento para os EUA éy NOS( 60) = 24433. Portanto, a taxa de crescimento para os EUA é
g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.g US y = 1/37 * ( log (40,834) - log (24433)) = 0,0139.
A taxa de crescimento de outros países pode ser calculada através da conversão de seus PIBs relativos em 
níveis absolutos de PIB, ou por cálculo como directamente
g iy = g Eu ˆg iy = g Eu ˆg iy = g Eu ˆg iy = g Eu ˆg iy = g Eu ˆ
y + . 0139.y + . 0139.y + . 0139.
País yˆ ( 60)y ( 60) y ( 97) y ( 97) y ( 60) y ( 60) y ( 97) g ( 60, 97)y ( 97) g ( 60, 97)y ( 97) g ( 60, 97)y ( 97) g ( 60, 97)y ( 97) g ( 60, 97)
NOS 1,00 1,00 24433 40834 0,0139
Canadá 0.80 0,86 19484 35267 0,0160
Argentina 0,46 0,45 11339 18485 0,0132
Chade 0,08 0,03 1927 1128 -0,0145
Brasil 0,23 0,30 5549 12153 0,0212
Tailândia 0,08 0,23 1884 9505 0,0437
Note-se que estes números diferem daquelas na parte de trás do livro por causa de erros de arredondamento (os 
números de renda relativos não são muito precisas - especialmente para um país como o Chade ou a Tailândia, onde 
há apenas uma signi fi cativa dígitos).
45
exercício 5
Denota a taxa de crescimento anual de PIB como g Y e a taxa de crescimento como força de trabalhoDenota a taxa de crescimento anual de PIB como g Y e a taxa de crescimento como força de trabalhoDenota a taxa de crescimento anual de PIB como g Y e a taxa de crescimento como força de trabalhoDenota a taxa de crescimento anual de PIB como g Y e a taxa de crescimento como força de trabalho
n. Entãon. Então
g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.g Y ( 60, 97) = g ( 60, 97) + n.
País g ( 60, 97) g ( 60, 97) g ( 60, 97) n g Y ( 60, 97)g Y ( 60, 97)g Y ( 60, 97)g Y ( 60, 97)
NOS 0,0139 0,0096 0,0235
Canadá 0,0160 0,0122 0,0283
Argentina 0,0132 0,0141 0,0273
Chade -0,0145 0,0276 0,0131
Brasil 0,0212 0,0174 0,0386
Tailândia 0,0437 0,0153 0,0590
Nota: Estamos fazendo um erro aqui em que estamos usando a taxa de crescimento da população entre 
1980 e 1997 em vez de 1960 e 1997.
Note-se que a taxa de crescimento da população e taxa de crescimento da força de trabalho geralmente não são os mesmos 
devido a mudanças nas taxas de participação da força de trabalho. Estes podem assumir a forma de aposentadorias, nova entrada 
por causa de um baby boom, e turnos de não mercado para mercado de trabalho, entre muitas outras razões.
exercício 6
Figura 19: PIB por trabalhador e Anos de estudo
4 5 6 7 8 9 10 11 12
4500 
9000 
18000 
36000
EUA
POSSO
ARG
SUTIÃ
THA
Anos de escolaridade, 1995
P
r
o
d
u
ç
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o
 
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