trabalho concreto

Prévia do material em texto

MEMORIAL DE CÁLCULO
DIMENSIONAMENTO DE PILARES
Pedro Luiz Souza Pereira Duda (DRE: 113151146)
Professor: Sergio Hampshire
Disciplina: Concreto Armado III 
RIO DE JANEIRO
2017
ÍNDICE......................................................................................................................................2
1.	INTRODUÇÃO	5
2.	PROPOSTA	5
3.	DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P1, P3, P7 E P9	7
3.1.	COMPRIMENTOS EQUIVALENTES	7
3.1.1.	Direção XX	8
3.1.2.	Direção YY	8
3.2.	ÍNDICES DE ESBELTEZ	8
3.3.	MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM	8
3.4.	MOMENTOS DE CÁLCULO ADVINDO DO ENGASTAMENTO DAS VIGAS	9
3.5.	DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS MÍNIMOS	9
3.5.1.	Cálculo dos efeitos de segunda ordem	9
3.5.1.1.	Direção XX:	9
3.5.2.	Verificação da Armadura	10
3.5.2.1.	Na direção XX	11
3.5.2.2.	Na direção YY:	12
3.6.	DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE ENGASTAMENTO DAS VIGAS	13
3.6.1.	Direção XX	13
3.6.2.	Direção YY	13
3.6.3.	Verificação da flexão composta oblíqua	14
3.7.	DETALHAMENTO DOS PILARES	14
3.7.1.	Dimensões	14
3.7.2.	Armaduras principais	15
3.7.3.	Cobrimentos adotados	16
3.7.4.	Comprimento de emenda	16
4.	DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P2 E P8	17
4.1.	COMPRIMENTOS EQUIVALENTES	17
4.1.1.	Direção XX	18
4.1.2.	Direção YY	18
4.2.	ÍNDICES DE ESBELTEZ	18
4.3.	MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM	19
4.4.	MOMENTOS DE CÁLCULO ADVINDOS DO ENGASTAMENTO DAS VIGAS	19
4.5.	DIMENSIONAMENTO COM OS MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM	19
4.5.1.	Direção XX	19
4.5.2.	Direção YY	19
4.5.3.	Cálculo dos efeitos de segunda ordem	20
4.5.3.1.	Direção XX	20
4.5.4.	Verificação da armadura	20
4.5.4.1.	Direção XX:	21
4.5.4.2.	Direção YY:	22
4.6.	DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE ENGASTAMENTO NAS VIGAS	23
4.6.1.	Direção XX	23
4.6.2.	Verificação da flexão composta	23
4.7.	DETALHAMENTO DOS PILARES	24
4.7.1.	Dimensões	24
4.7.2.	Armaduras principais	24
4.7.3.	Cobrimentos adotados	25
4.7.4.	Comprimento de emenda	26
5.	DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P4 E P6	27
5.1.	COMPRIMENTOS EQUIVALENTES	27
5.1.1.	Direção XX:	27
5.1.2.	Para a direção YY:	28
5.2.	ÍNDICES DE ESBELTEZ	28
5.3.	MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM	28
5.4.	MOMENTOS DE CÁLCULO ADVINDOS DO ENGASTAMENTO DAS VIGAS	28
5.5.	DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM	29
5.5.1.	Direção XX:	29
5.5.2.	Direção YY:	29
5.5.3.	Cálculo dos efeitos de segunda ordem	29
5.5.3.1.	Direção XX:	29
5.5.4.	Verificação da armadura	30
5.5.4.1.	Direção XX:	30
5.5.4.2.	Direção YY:	31
5.6.	DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE ENGASTAMENTO DAS VIGAS	32
5.6.1.	Direção YY:	32
5.6.2.	Verificação da flexão composta	33
5.7.	DETALHAMENTO DOS PILARES	34
5.7.1.	Dimensões	34
5.7.2.	Armaduras principais	34
5.7.3.	Cobrimentos adotados	35
5.7.4.	Comprimento de emendas	35
6.	DIMENSIONAMENTO DO PILAR P5	37
6.1.	COMPRIMENTOS EQUIVALENTES	37
6.1.1.	Direção XX:	37
6.1.2.	Direção YY:	38
6.2.	ÍNDICES DE ESBELTEZ	38
6.3.	MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM	38
6.4.	DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM	38
6.4.1.	Direção XX	38
6.4.2.	Direção YY	39
6.5.	CÁLCULO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM	39
6.5.1.	Direção XX:	39
6.6.	VERIFICAÇÃO DA ARMADURA	40
6.6.1.	Direção XX	40
6.6.2.	Direção YY:	41
6.7.	DETALHAMENTO DO PILAR	42
6.7.1.	Dimensões	42
6.7.2.	Armaduras principais	42
6.7.3.	Cobrimentos adotados	43
6.7.4.	Comprimento de emendas	44
	
INTRODUÇÃO
Esta memória de cálculo visa o desenvolvimento dos cálculos necessarios a um projeto estrutural de um edifício em concreto armado, segundo a norma brasileira NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto.
PROPOSTA
Projetar os pilares do primeiro pavimento de um edifício, conforme o esquema de desenho da Figura 1. O fck do concreto a ser considerado é de 24 MPa, o número de barras sugerido para o P1, P2 e P5 é de 14.
Esforços característicos atuantes no primeiro pavimento do edifício, incluindo o peso próprio:
P1 = P3 = P7 = P9 (15 x 75)
N = - 598,38 kN
Mx = 21,86 kN.m
My = 69,62 kN.m
P2 = P8 (20 x 85)
N = - 1794,00 kN
Mx = 100,86 kN.m
P4=P6 (20 x 85)
N = - 1511,73 kN
My = 387,11 kN.m
P5
N = - 3792,93 kN
O projeto deverá considerar os seguintes itens, para os pilares P1, P2, P4 e P5:
Avaliação dos comprimentos equivalentes dos pilares, respectivos índices de esbeltez e necessidade de considerar efeitos de segunda ordem para cada direção. 
Definição dos momentos mínimos de cálculo de primeira ordem e dos momentos de cálculo advindos dos engastamento das vigas.
Dimensionamento à flexão composta reta para os momentos mínimos de primeira ordem. Considerar no cálculo dos efeitos de 2ª ordem, quando necessário, o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada. Considerar o número de barras sugerido, definindo a menor bitola de armação que atenda ao dimensionamento. Considerar as distâncias das barras principais às faces do concreto iguais a 3,0 cm.
Verificação do dimensionamento, à flexão composta reta ou oblíqua, para os momentos atuantes. Considerar no cálculo dos efeitos de 2ª ordem o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada.
Apresentar o detalhamento, através de esquema transversal e longitudinal de armaduras (armadura principal, emendas e estribos) e a verificação das restrições normativas (os pilares estão construídos em zona urbana, e são pertencentes a um prédio residencial), quanto ao cobrimento, armaduras mínima e máxima, espaçamento mínimo entre barras e estribos suplementares para flambagem e na região de emendas.
Fig. 1 – Planta do prédio
Fig. 2 – Elevação da edificação
DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P1, P3, P7 E P9
As dimensões do pilar são 15 x 75 cm.
Os esforços devem ser majorados com γf = 1,4 (condições normais quando as ações são desfavoráveis).
Como o pilar P1 = P3 = P7 = P9, tem a sua menor dimensão (b) entre 14 e 19 cm, será considerado um coeficiente adicional de majoração de cargas γn, justificado pela maior probabilidade de falhas de construção em peças esbeltas, de acordo com o item 13.2.3 da NBR 6118. (b = 15 cm)
Com b em centímetros.
Obtemos então o valor de cálculo do esforço normal.
COMPRIMENTOS EQUIVALENTES
O comprimento equivalente (le) dos pilares, em cada direção, é o menor entre os dois valores: 
le = l0 + hpilar
le = l0 + hviga
Fig. 3 – Comprimento equivalente
Direção XX
A translação do pilar é impedida pela ação da viga V4 (15x55).
lex = l0 + hpilar = 2,98 + 0,15 = 3,13 m
lex = l0 + hviga = 2,98 + 0,55 = 3,53 m
lex = 3,13 m
Direção YY
A translação do pilar é impedida pela ação da viga V1 (15x55):
ley = l0 + hpilar = 2,98 + 0,75 = 3,73 m
ley = l0 + hviga = 2,98 + 0,55 = 3,53 m
ley = 3,53 m
ÍNDICES DE ESBELTEZ
Os índices de esbeltez λ, no caso de seções retangulares, nas duas direções, são definidos como:
MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM
Em torno do eixo x:
Em torno do eixo y:
MOMENTOS DE CÁLCULO ADVINDO DO ENGASTAMENTO DAS VIGAS
Considerando-se o fator adicional γn = 1,20 já visto anteriormente:
DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS MÍNIMOS
Para o eixo x:
 → Pilar medianamente esbelto (considerar os efeitos de 2ª ordem)
	
Para o eixo y:
 → Pilar muito curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)
Cálculo dos efeitos de segunda ordem
Direção XX:
Para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada.
Para a avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica usaremos a expressão aproximada:
Logo, usaremos:
O momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão:
Verificação da Armadura
O número de barras proposto foi de 14 barras, a partir dele pode-se definir a menor bitola de armação que atenda ao dimensionamento. A bitola escolhida foi a de Ø = 16 mm e então se fez uma análise para se decidir o melhor posicionamento das mesmas, como pode ser visto abaixo juntamente com as respectivas curvas de interação Nd X Md:
Na direção XX
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,75d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,15
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,12
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	7
	16
	14,07
	0,03
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	7
	16
	14,07
	0,12
	
	Nd(kN) =
	-1005,27
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	 
	 
	 
	 
	
	Md(kN.m) =
	51,78
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	 
	5
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	 
	6
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	 
	7
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	28,15
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 4 – Ábaco de interação Nd x Md
Na direção YY:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,15
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,75
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,72
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	2
	16
	4,02
	0,030
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	2
	16
	4,02
	0,72
	
	Nd(kN) =
	-1005,27
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	2
	16
	4,02
	0,145
	
	Md(kN.m) =
	37,70
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	2
	16
	4,02
	0,260
	
	
	
	
	
	 
	5
	2
	16
	4,02
	0,375
	
	
	
	
	
	 
	6
	2
	16
	 4,02
	0,490
	
	
	
	
	
	 
	7
	2
	16
	4,02
	0,605
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	28,15
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 5 – Ábaco de interação Nd x Md
DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE ENGASTAMENTO DAS VIGAS
Direção XX
 
 → Pilar medianamente esbelto (considerar os efeitos de 2ª ordem)
o momento na direção XX será
Direção YY
 → Pilar muito curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)
Verificação da flexão composta oblíqua
A verificação do dimensionamento à flexão composta oblíqua para os momentos atuantes será feita com auxílio do programa Oblíqua, com os dados da armadura selecionada e os seguintes dados e entrada:
Nd = - 1005,27 kN; Mxd = 46,87 kN.m; Myd = 116,96 kN.m
Fig. 6 – Gráfico do software Oblíqua
Podemos concluir que a armadura adotada para os pilares P1, P3, P7 e P9 (15 x 60) será de:
DETALHAMENTO DOS PILARES
Dimensões
Segundo a NBR 6118, item 13.2.3, o pilar não poderá ter seção transversal inferior a 360 cm². Seção do pilar P1 = 15 x 75 = 1125 cm² > 360 cm2 (OK).
Armaduras principais
Segundo NBR 6118, item 17.3.5.3, a área mínima de armadura e a máxima devem atender às seguintes condições:
As, mín = (0,15 x Nd / fyd) = 0,15 x 1005,27 / (50/1,15) = 3,47 cm2
As, mín = 0,4% Ac = 0,004 x 70 x 15 = 4,50 cm2
As, máx = 4% Ac = 0,04 x 70 x 15 = 45,00 cm2
As, adotada = 14 x π x (1,6)² / 4 = 28,15 cm2 (OK).
De acordo com a NBR 6118, item 18.4.2, a armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal: 
1/8 x 150 mm = 18,8 mm >16 mm >10mm(OK).
A armadura vertical deverá ter espaçamento máximo de 40 cm e de duas vezes a menor dimensão no trecho considerado. 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, inclusive na região das emendas será o maior valor entre: 2 cm/ Φ da barra/ 1,2 x diâmetro agregado graúdo. A verificação do espaçamento livre entre as barras longitudinais será feita na região das emendas.
 (OK)
O diâmetro dos estribos (Øt) deverá ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da armadura principal:
1/4 x 16 mm = 4mm, então, Φt adotado = 5 mm
Seu espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm / menor dimensão da seção / 12 Φ:
Espaçamento = 20 cm / 15 cm / 19,2 cm
Espaçamento adotado = 15 cm
A cobertura máxima a partir do canto do estribo é de 20 x 0,5 = 10 cm, é necessário prever grampos de amarração para todos os pilares. Este elemento deverá ter o mesmo diâmetro e espaçamentos do que os estribos. 
Cobrimentos adotados
De acordo com a NBR 6118, item 7.4.7, os cobrimentos a serem considerados na construção são os nominais (cnom) e variam em função da classe de agressividade ambiental a qual a estrutura está exposta. O local escolhido para a edificação é uma zona industrial de clima seco e, portanto, é incluso na Classe II e deve atender um cnom= 3cm. 
Sendo assim, podemos obter a distância real do centro da armadura a face do concreto (d’): 
d’ = cnom + Φestribo + (Φbarra principal)/2 = 3,0 + 0,5 + 1,6 / 2 = 4,3 cm (não OK)
O valor encontrado não está aceitável, pois deveríamos encontrar um valor menor ou igual a 3,0 cm. Porém, tal valor será considerado aceitável e o detalhamento será feito com o valor de d’ = 3,0 cm.
Comprimento de emenda
 O comprimento da emenda não pode ser inferior a 20cm e 15 vezes o diâmetro da armadura (24cm)
 Considerando pilares pertencentes a regiões de boa aderência, barras sem gancho, aço CA-50 e fck = 24 MPa:
Número de estribos na emenda:
Fig. 7 – Seção transversal
Fig. 8 – Seção longitudinal
DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P2 E P8
As dimensões do pilar são 20 x 85 cm.
Neste caso, não há a necessidade de considerarmos o coeficiente adicional de majoração, pois a menor dimensão do pilar é 20 cm. Utilizaremos apenas = 1,4.
COMPRIMENTOS EQUIVALENTES
O comprimento equivalente (le) dos pilares, em cada direção, é o menor entre os dois valores: 
le = l0 + hpilar
le = l0 + hviga
Fig. 9 – Comprimento equivalente
Direção XX
A translação do pilar é impedida pela Viga V5 (15x60):
Direção YY
A translação do pilar é impedida pela ação da viga V1 (15x45):
ÍNDICES DE ESBELTEZ
Os índices de esbeltez λ, no caso de seções retangulares, nas duas direções, são definidos como:
MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM
MOMENTOS DE CÁLCULO ADVINDOS DO ENGASTAMENTO DAS VIGAS
DIMENSIONAMENTO COM OS MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM
Direção XX
 → Pilar medianamente esbelto (considerar os efeitos de 2ª ordem)
Direção YY
 → Pilar muito curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)
Cálculo dos efeitos de segunda ordem
Direção XX
Para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada.
Como o valor encontrado é maior do que 0,5, para a avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica usaremos a expressão aproximada:
O momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão:
Verificação da armadura
O número de barras proposto foi de 14 e, a partir dele, definiu-se a menor bitola de armação que atendia ao dimensionamento. A bitola escolhida foi a de Ø=25 mm e então se fez uma análise para se decidir o melhor posicionamento das mesmas, como pode ser visto abaixo juntamente com as respectivas curvas de interação Nd X Md:
Direção XX:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,85
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,2
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,17
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	7
	25
	34,36
	0,03
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	7
	25
	34,36
	0,17
	
	Nd(kN) =
	-2511,60
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	 
	 
	0,00
	 
	
	Md(kN.m) =
	95,08
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	5
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	6
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	7
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	68,72
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 10 – Ábaco de correlação Nd x Md
Direção YY:
	Seção TransversalConcreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,2
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,85
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,82
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	2
	25
	9,82
	0,030
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	2
	25
	9,82
	0,820
	
	Nd(kN) =
	-2511,6
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	2
	25
	9,82
	0,162
	
	Md(kN.m) =
	101,72
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	2
	25
	9,82
	0,293
	
	
	
	
	
	 
	5
	2
	25
	9,82
	0,425
	
	
	
	
	
	 
	6
	2
	25
	9,82
	0,557
	
	
	
	
	
	 
	7
	2
	25
	9,82
	0,688
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	68,72
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 11 – Ábaco de correlação Nd x Md
DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE ENGASTAMENTO NAS VIGAS
Direção XX
 → Pilar curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)
Verificação da flexão composta
Como há apenas momento devido ao engastamento das vigas na direção XX, o dimensionamento dos pilares será feito por flexão composta reta.
A bitola escolhida foi a de 20 mm para flexão composta reta na direção XX, como mostrado abaixo:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,85
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,2
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,17
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	7
	25
	34,36
	0,03
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	7
	25
	34,36
	0,17
	
	Nd(kN) =
	-2511,60
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	 
	 
	0,00
	 
	
	Md(kN.m) =
	141,20
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	5
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	6
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	7
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	68,72
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 12 – Ábaco de correlação Nd x Md
Podemos concluir que a armadura adotada para os pilares P2 e P8 (20 x 85) deve ser:
DETALHAMENTO DOS PILARES
Dimensões
Segundo a NBR 6118, item 13.2.3, o pilar não poderá ter seção transversal inferior a 360 cm². Seção do pilar P2 = 20 x 85 = 1700 cm² > 360 cm2 (OK).
Armaduras principais
Segundo NBR 6118, item 17.3.5.3, a área mínima de armadura e a máxima devem atender às seguintes condições:
As, mín = (0,15 Nd/ fyd) = 0,15 x 2511,60 / (50/1,15) = 8,67 cm2
As, mín = 0,4% Ac = 0,004 x 85 x 20 = 6,80 cm2
As, máx = 4% Ac = 0,04 x 85 x 20 = 68,00 cm2
As, adotada = 14Φ25 = 14 x π x 2,5² / 4 = 68,72 cm2 
A área adotada é maior q a área máxima, no entanto a diferença é pequena e será prosseguido com as demais verificações.
De acordo com a NBR 6118, item 18.4.2, a armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal: 
1/8 x 200 mm = 25 mm (OK!).
A armadura vertical deverá ter espaçamento máximo de 40 cm e de duas vezes a menor dimensão no trecho considerado 
O espaçamento livre entre as faces das barras, inclusive na região das emendas será o maior valor entre: 2 cm/ Φ da barra/ 1,2 x diâmetro agregado graúdo. A verificação do espaçamento livre entre as barras longitudinais será feita na região das emendas.
 (OK!)
O diâmetro dos estribos (Øt) deverá ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da armadura principal:
1/4 x 25 mm = 6,25 mm, então, Φt adotado = 6,3 mm
Seu espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm / menor dimensão da seção / 12 Φ:
Espaçamento = 20 cm / 20 cm / 30 cm
Espaçamento adotado = 20 cm
A cobertura máxima a partir do canto do estribo é de 20 x 0,63 = 12,6 cm, é necessário prever grampos de amarração para todos os pilares. Este elemento deverá ter o mesmo diâmetro e espaçamentos do que os estribos.
Cobrimentos adotados
O cobrimento nominal é cnom= 3,0cm. 
Sendo assim, podemos obter a distância real do centro da armadura a face do concreto (d’): 
d’ = cnom + Φestribo + (Φbarra principal)/2 = 3,0 + 0,63 + 2,5/2 = 4,9 cm (não OK)
Novamente, o valor encontrado não está aceitável, pois deveríamos encontrar um valor menor ou igual a 3,0 cm. Porém, tal valor será considerado aceitável e o detalhamento será feito com o valor de d’=3,0 cm.
Comprimento de emenda
O comprimento da emenda não pode ser inferior a 20cm e 15 vezes o diâmetro da armadura (37,5cm)
 Considerando pilares pertencentes a regiões de boa aderência, barras sem gancho, aço CA-50 e fck = 24 MPa:
Número de estribos na emenda:
Fig. 13 – Seção transversal
Fig. 14 – Seção longitudinal
DIMENSIONAMENTO DOS PILARES P4 E P6
Novamente, não há a necessidade de considerarmos o coeficiente adicional de majoração, pois a menor dimensão do pilar é 20 cm. Utilizaremos apenas = 1,4.
COMPRIMENTOS EQUIVALENTES
O comprimento equivalente (le) dos pilares, em cada direção, é o menor entre os dois valores: 
Direção XX:
A translação é impedida pela Viga V4 (15x55):
 
 
Para a direção YY:
A translação do pilar é impedida pela ação da viga V2 (15x70):
 
ÍNDICES DE ESBELTEZ
Os índices de esbeltez λ, no caso de seções retangulares, nas duas direções, são definidos como:
MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM
MOMENTOS DE CÁLCULO ADVINDOS DO ENGASTAMENTO DAS VIGAS
DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM
Direção XX:
 → Pilar medianamente esbelto (considerar os efeitos de 2ª ordem)
Direção YY:
 → Pilar muito curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)	
Cálculo dos efeitos de segunda ordem
Direção XX:
Para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada.
Como o valor encontrado é maior do que 0,5, para a avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica usaremos a expressão aproximada:
O momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão:
Verificação da armadura
O número de barras proposto foi de 14 e, a partir dele, definiu-se a menor bitola de armação que atendia ao dimensionamento. A bitola escolhida foi a de Ø=20 mm e então se fez uma análise para se decidir o melhor posicionamento das mesmas, como pode ser visto abaixo juntamente com as respectivas curvas de interação Nd X Md:
Direção XX:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,85
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,2
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,17
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	7
	20
	14,07
	0,03
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	7
	20
	14,07
	0,17
	
	Nd(kN) =
	-2116,43
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	 
	 
	0,00
	 
	
	Md(kN.m) =
	88,09
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	5
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	6
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	7
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	43,98
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 15 – Curva de interação Nd x Md
Direção YY:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,2
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,85
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,72
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	2
	20
	6,28
	0,030εc2 (‰)
	-2,00
	2
	2
	20
	6,28
	0,82
	
	Nd(kN) =
	-2116,43
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	2
	20
	6,28
	0,162
	
	Md(kN.m) =
	85,72
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	2
	20
	6,28
	0,293
	
	
	
	
	
	 
	5
	2
	20
	6,28
	0,425
	
	
	
	
	
	 
	6
	2
	20
	6,28
	0,557
	
	
	
	
	
	 
	7
	2
	20
	6,28
	0,688
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	43,98
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 16 – Curva de interação Nd x Md
DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE ENGASTAMENTO DAS VIGAS
Direção YY:
 → Pilar muito curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)
Verificação da flexão composta
Como há apenas momento devido ao engastamento das vigas na direção YY, o dimensionamento dos pilares será feito por flexão composta reta.
A bitola escolhida foi a de 20 mm para flexão composta reta na direção YY, como mostrado abaixo:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,2
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,85
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,82
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	2
	20
	6,28
	0,030
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	2
	20
	6,28
	0,820
	
	Nd(kN) =
	-2116,43
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	2
	20
	6,28
	0,162
	
	Md(kN.m) =
	541,96
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	2
	20
	6,28
	0,293
	
	
	
	
	
	 
	5
	2
	20
	6,28
	0,425
	
	
	
	
	
	 
	6
	2
	20
	6,28
	0,557
	
	
	
	
	
	 
	7
	2
	20
	6,28
	0,688
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	43,98
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
Fig. 17 – Curva de interação Nd x Md
Podemos concluir que a armadura adotada para os pilares P4 e P6 (20x75) será: 
DETALHAMENTO DOS PILARES
Dimensões
Segundo a NBR 6118, item 13.2.3, o pilar não poderá ter seção transversal inferior a 360 cm². Calculamos então a seção do pilar P2 = 20 x 85 = 1700 cm² > 360 cm2, obedecendo a norma.
Armaduras principais
Segundo NBR 6118, item 17.3.5.3, a área mínima de armadura e a máxima devem atender às seguintes condições:
As, mín = (0,15 x Nd/ fyd) = 0,15 x 2030,23 / (50/1,15) = 7,00 cm2
As, mín = 0,4% Ac = 0,004 x 85 x 20 = 6,8 cm2
As, máx = 4% Ac = 0,04 x 85 x 20 = 68,0 cm2
As, adotada = 14Φ20 = 14 x 3,14 = 43,96 cm2 ( OK)
De acordo com a NBR 6118, item 18.4.2, a armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal: 
1/8 x 20 cm = 25 mm(ok)
A armadura vertical deverá ter espaçamento máximo de 40 cm e de duas vezes a menor dimensão no trecho considerado. 
O espaçamento livre entre as faces das barras, inclusive na região das emendas será o maior valor entre: 2 cm/ Φ da barra/ 1,2 x diâmetro agregado graúdo. A verificação do espaçamento livre entre as barras longitudinais será feita na região das emendas.
 (OK!)
O diâmetro dos estribos (Øt) deverá ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da armadura principal:
1/4 x 20 mm = 5,0 mm, então, Φt adotado = 5,0 mm
Seu espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm, menor dimensão da seção (20 cm) e 12 Φ :
Portanto, o espaçamento adotado será de 20 cm.
A cobertura máxima a partir do canto do estribo é de 20 x 0,5 = 10 cm, portanto, é necessário prever grampos de amarração para todos os pilares. Este elemento deverá ter o mesmo diâmetro e espaçamentos do que os estribos.
Cobrimentos adotados
O cobrimento nominal é cnom= 3cm. 
Sendo assim, podemos obter a distância real do centro da armadura a face do concreto (d’): 
d’=cnom + Φestribo + (Φbarra principal)/2 = 3 + 0,5 + 2,0/2 = 4,5 cm (não OK)
O valor encontrado não está aceitável, pois deveríamos encontrar um valor menor ou igual a 3,0 cm. Porém, iremos considerar o valor aceitável e o detalhamento será feito com o valor de d’=3,0 cm.
Comprimento de emendas
O comprimento da emenda não pode ser inferior a 20cm e 15 vezes o diâmetro da armadura (30cm)
Considerando pilares pertencentes a regiões de boa aderência, barras sem gancho, aço CA-50 e fck= 30MPa:
Número de estribos na emenda:
Fig. 18 – Seção transversal
Fig. 19 – Seção longitudinal
DIMENSIONAMENTO DO PILARE P5
Mais uma vez, não há a necessidade de considerarmos o coeficiente adicional de majoração, pois a menor dimensão do pilar é 20cm. Utilizaremos apenas = 1,4.
COMPRIMENTOS EQUIVALENTES
O comprimento equivalente (le) dos pilares, em cada direção, é o menor entre os dois valores: 
Direção XX:
A translação é impedida pela Viga V5 (15x70):
 
 
Direção YY:
A translação do pilar é impedida pela ação da viga V2 (15x70):
 
ÍNDICES DE ESBELTEZ
Os índices de esbeltez λ, no caso de seções retangulares, nas duas direções, são definidos como:
MOMENTOS MÍNIMOS DE PRIMEIRA ORDEM
DIMENSIONAMENTO PARA OS MOMENTOS DE PRIMEIRA ORDEM
Direção XX
 → Pilar medianamente esbelto (Considerar efeitos de segunda ordem)
Direção YY
 → Pilar muito curto (os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados)	
CÁLCULO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM
Direção XX:
Para o cálculo dos efeitos de 2ª ordem será utilizado o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada.
Como o valor encontrado é menor do que 0,5, para a avaliação do valor da curvatura 1/r na seção crítica usaremos a expressão aproximada:
Logo, usaremos:
O momento total máximo no pilar pode ser calculado pela expressão:
VERIFICAÇÃO DA ARMADURA
O número de barras proposto foi de 14 e, a partir dele, definiu-se a menor bitola de armação que atendia ao dimensionamento. A bitola escolhida foi a de Ø=25 mm e então se fez uma análise para se decidir o melhor posicionamento das mesmas, como pode ser visto abaixo juntamente com as respectivas curvas de interação Nd X Md:
Direção XX
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	1,00
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	0,3
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	17143
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,27
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	7
	25
	34,36
	0,03
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	7
	25
	34,36
	0,27
	
	Nd(kN) =
	- 5310,10
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	 
	 
	0,00
	 
	
	Md(kN.m) =
	184,04
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	5
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	6
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	7
	 
	 
	0,00
	 
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	68,72
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 20 – Curva de interação Nd x Md
Direção YY:
	Seção Transversal
	 
	 
	 
	 
	 
	Concreto
	 
	 
	Aço
	CA50A
	b (m)
	0,3
	
	d'(m)
	0,03
	
	fck (MPa)
	24
	
	fyk (kN/cm2)
	50
	h (m)
	1,00
	
	d''(m)
	0,03
	
	fcd (kN/m2)
	
	
	Es (kN/cm2)
	21000
	 
	
	
	d(m)
	0,97
	
	αc /0,85
	1
	
	yd (‰)
	2,070
	Disposição das Armaduras
	
	
	λ
	0,8
	
	fyd (kN/cm2)
	43,48
	Camadas
	Barras
	Bitola
	Asi (cm2)
	ti (m)
	
	
	
	
	
	 
	1
	2
	25
	9,82
	0,030
	 
	
	
	
	εc2 (‰)
	-2,00
	2
	2
	25
	9,82
	0,970
	
	Nd(kN) =
	- 5310,10
	
	εcu (‰)
	-3,50
	3
	2
	25
	9,82
	0,187
	
	Md(kN.m) =
	238,95
	
	εc3 (‰)
	-1,75
	4
	2
	25
	9,82
	0,343
	
	
	
	
	
	 
	5
	2
	25
	9,82
	0,500
	
	
	
	
	
	 
	6
	2
	25
	9,82
	0,657
	
	
	
	
	
	 
	7
	2
	25
	9,82
	0,813
	
	
	
	
	
	 
	SOMA =
	14
	 
	68,72
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
Fig. 21 – Curva de interação Nd x Md
Podemos concluir que a armadura adotada para o pilar P5 (30x85) será:
DETALHAMENTO DO PILAR
Dimensões
Segundo a NBR 6118, item13.2.3, o pilar não poderá ter seção transversal inferior a 360 cm². Calculamos então a seção do pilar P2 = 30 x 100 = 3000 cm² > 360 cm2, obedecendo a norma.
Armaduras principais
Segundo NBR 6118, item 17.3.5.3, a área mínima de armadura e a máxima devem atender às seguintes condições:
As, mín = (0,15 x Nd/ fyd) = 0,15 x 5310,10 /(50/1,15) = 18,32 cm2
As, mín = 0,4% Ac = 0,004 x 100 x 30 = 12,00 cm2
As, máx = 4% Ac = 0,04 x 100 x 30 = 120,00 cm2
As, adotada = 14Φ25 = 14 x 4,91= 68,72 cm2 (OK)
	
De acordo com a NBR 6118, item 18.4.2, a armadura longitudinal deve ter bitola de pelo menos 10 mm, não superior a 1/8 da menor dimensão da seção transversal: 
1/8 x 300 mm = 37,5 mm > 25 mm (OK).
A armadura vertical deverá ter espaçamento máximo de 40 cm e de duas vezes a menor dimensão no trecho considerado.
O espaçamento livre entre as faces das barras, inclusive na região das emendas será o maior valor entre: 2 cm/ Φ da barra/ 1,2 x diâmetro agregado graúdo. A verificação do espaçamento livre entre as barras longitudinais será feita na região das emendas.
 (OK)
O diâmetro dos estribos (Øt) deverá ser de pelo menos 5 mm e de 1/4 do diâmetro da armadura principal:
1/4 x 25 mm = 6,25 mm, então, Φt adotado = 6,3 mm
Seu espaçamento não excederá nenhum dos valores: 20 cm, menor dimensão da seção (30 cm) e 12 Φ (30 cm):
Portanto, o espaçamento adotado será de 20 cm.
A cobertura máxima a partir do canto do estribo é de 20 x 0,63 = 12,6 cm, é necessário prever grampos de amarração para todos os pilares. Este elemento deverá ter o mesmo diâmetro e espaçamentos do que os estribos.
Cobrimentos adotados
O cobrimento nominal é cnom= 3,0cm. 
Sendo assim, podemos obter a distância real do centro da armadura a face do concreto (d’): 
d’=cnom + Φestribo + (Φbarra principal)/2 = 3,0 + 0,63 + 2,5/2 = 4,88 cm (não OK)
O valor encontrado não está aceitável, pois deveríamos encontrar um valor menor ou igual a 3,0 cm. Porém, iremos considerar o valor aceitável e o detalhamento será feito com d’=3,0 cm.
Comprimento de emendas
O comprimento da emenda não pode ser inferior a 20cm e 15 vezes o diâmetro da armadura (37,5cm)
Considerando pilares pertencentes a regiões de boa aderência, barras sem gancho, aço CA-50 e fck= 24MPa:
Número de estribos na emenda:
Fig. 22 – Seção transversal
Fig. 23 – Seção longitudinal