Tipos Especiais de Operações Lineares

Prévia do material em texto

Introdução
Sendo um operador linear um operador que promove uma transformação linear na mesma dimensão, existem tipos especiais de operadores lineares, com características específicas.
Tais operadores lineares possuem diversas aplicações reais, especialmente na física.
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Definições
O produto interno de dois vetores em uma base ortonormal é expresso numa forma canônica, sendo apenas a multiplicação das coordenadas correspondentes e a soma destas parcelas obtidas;
Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou as linhas) são vetores ortonormais;
Se V é um espaço vetorial com produto interno e A e B são bases ortonormais de V, então a matriz I de mudança de base entre A e B é uma matriz ortogonal.
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Ortogonais
Tipos Especiais de Operadores Lineares
Objetivos
Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre operadores ortogonais.
Aplicar os conceitos apresentados em exemplos importantes. Você deve se lembrar de que um operador T : Rn → Rn é dito ortogonal se existe uma base ortonormal α de Rn , tal que a matriz de T na base α é uma matriz ortogonal, isto é, se a matriz [T]α é ortogonal. 
Veremos que os operadores ortogonais estão bem definidos no sentido de que o fato de ser um operador ortogonal não depende da base ortonormal escolhida, ou seja, se a matriz [T]α, numa certa base ortonormal α de Rn, for ortogonal, então a matriz [T ]β também será ortogonal para qualquer outra base ortonormal β de Rn.
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Ortogonais
Teorema 1
Sejam T : Rn → Rn um operador ortogonal e α e β duas bases ortonormais de Rn. Se a matriz [T]α é ortogonal, então a matriz [T]β também será ortogonal.
Demonstração:
O teorema sobre mudança de base para operadores lineares, nos garante que
[T]β = P−1[T]αP,
onde P é a matriz mudança de base entre as bases ortonormais α e β. Como α e β são duas bases ortonormais de Rn, temos que P é uma matriz ortogonal e P−1= Pt, onde Pt é a transposta da matriz P . Assim, [T]β = Pt[T]αP.
Como [T]α é uma matriz ortogonal por hipótese e como o produto de matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal, concluímos que [T]β também será uma matriz ortogonal. 
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Ortogonais
Teorema 2
Seja T : Rn → Rn um operador ortogonal. Então as seguintes propriedades são válidas:
1. T transforma bases ortonormais em bases ortonormais, ou seja, se {v1, v2, . . . , vn} é uma base ortonormal de Rn, então {Tv1, Tv2, ... , Tvn} também é uma base ortonormal de Rn.
2. T preserva o produto interno, ou seja, para todo u, v ∈ Rn vale que {Tu, Tv} ={u, v} .
3. T preserva a norma, ou seja, para todo v ∈ Rn vale que ||T v|| = ||v||.
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Ortogonais
Operadores Auto-Adjuntos
Tipos Especiais de Operadores Lineares
Definição
Seja V um espaço vetorial com produto interno, α uma base ortonormal e T: V → V um operador linear. Então T é chamado de operador auto-adjunto ou simétrico se [T]α é uma matriz simétrica.
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Exemplo
O operador linear f: R² → R², f(x,y)= (4x + 2y,2x – 6y) é simétrico pois a matriz canônica de f
 A= 
	é simétrica, isto é, A = AT
4
2
2
 -6
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Auto-Adjuntos
Propriedades
Se f: V → V é um operador simétrico, tem-se para quaisquer vetores u e v pertencentes a V: 
Podemos ver no exemplo:
Sejam o operador simétrico f: R² → R², f(x,y) = (2x -2y, -2x + 5y) e os vetores 
u = (2,3) e v = (4,2). Com a definição podemos escrever:
	f(u) = (-2, 11)
	f(v) = (4, 2)
Pela propriedade:
			f(u).v = (-2, 11).(4,2)=14
			f(v).u = (4, 2).(2,3)=14
	Logo,
			
f(u).v = u.f(v)
f(u).v = u.f(v)
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Auto-Adjuntos
Exemplo
Verifique se o operador abaixo é simétrico:
T: R² →R², T(x,y)= (3x- 2y, -2x +4y).
Solução: 
Deve –se encontrar a matriz canônica. Se a matriz for simétrica, então o operador também o é.
T(x,y)=(3x- 2y, -2x +4y)
T(1,0)=(3, -2).
T(0.1)=(-2,4)
[T]= 	 	 = [T]t Logo, T é simétrico
	
3 
-2
-2 
4
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Operadores Auto-Adjuntos
Diagonalização de operadores auto-adjuntos e
caracterização dos operadores ortogonais
Tipos Especiais de Operadores Lineares
Teorema 1
Seja T:V→V um operador auto-adjunto.
Então existe uma base ortonormal de autovetores de T.
 Exemplo: 
Seja T:R3→R³ o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é:
[T]=
-2
0
0
0
6
1
0
1
6
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Diagonalização de operadores auto-adjuntos e
caracterização dos operadores ortogonais
Podemos exibir uma base ortonormal de
autovetores para este operador? 
Podemos observar que T é um operador auto-adjunto (a matriz é simétrica e a base canônica é ortonormal).  Pelo teorema anterior, é garantida uma base ortonormal de autovetores.
 Calculando os autovalores e os autovetores associados, temos:
 λ1 = -2 ⇒ v1 = (1, 0, 0)
λ2 = 7 ⇒ v2 = (0, 1, 1)
λ3 = 5 ⇒ v3 = (0, 1, -1)
 Como esses autovetores provêm de autovalores distintos e T é auto-adjunto, eles são ortogonais. Então {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} é uma base ortogonal de autovetores.
 Para encontrarmos a base ortonormal, basta normalizar a base ortogonal:
 {(1, 0, 0), (1/√2)(0, 1, 1), (1/√2)(0, 1, -1)}
 
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Diagonalização de operadores auto-adjuntos e
caracterização dos operadores ortogonais
Teorema 2
 Seja T:V→V um operador linear num 
espaço vetorial V com produto interno < , >. 
Então as condições abaixo são equivalentes:
- T é ortogonal
- T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Isto é, se {v1,...,vn} é base ortonormal de V, então {Tv1,...,Tvn} é base ortonormal.
- T preserva o produto interno, i.e., <Tu, Tv> = <u, v>
- T preserva a norma, i.e., ||Tv|| = ||v||
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Diagonalização de operadores auto-adjuntos e
caracterização dos operadores ortogonais
Exercícios
Tipos Especiais de Operadores Lineares
Exercício 1
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Exercícios
17
Exercício 2
A é simétrica pois
det[A-λI] = 0
det
= 0
[(2-λ)*(5- λ)] - [(-1*-1)] = 0
10 -7λ + λ² - 1 = 0
λ² -7 λ +9 = 0
Verificar que A=
 é simétrica e calcular seus autovalores
2
-1
-1
5
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Exercícios
18
Exercício 3
Verificar a ortogonalidade da matriz
É preciso multiplicá-la pela sua transposta e verificar se o resultado é igual à identidade.
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Exercícios
19
Exercício 4
O transformados ortogonal deve conservar o módulo do vetor, então:
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Exercícios
20
Exercício 5
Dado o operador [T] = 
Encontrar a matriz diagonalizadora
-2
0
0
0
6
1
0
1
6
P = 
1
0
0
0
1
1
0
1
-1
Tipos Especiais de
Operadores
Lineares
Exercícios
21