AP_CAP_I_Algebra_das_Proposicoes_MAIO_2011

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Lógica e Álgebra 
de Boole 
 
 
Capítulo I 
 
 
ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
 
 
2011 
Marcos J. Bastos Figueiredo 
FANESE 
 
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Capítulo I – ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 
 
Objetivos do Capítulo: 
 
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de: 
 
 Identificar proposições simples e compostas. 
 Determinar o valor lógico de uma proposição. 
 Construir tabelas-verdade. 
 Usar os símbolos formais da lógica proposicional. 
 Criar uma linguagem simbólica através do uso de proposições 
e dos conectivos lógicos. 
 Classificar as proposições em Tautologia, Contradição e 
Contingência. 
 Reconhecer implicações e equivalências lógicas. 
 Realizar a negação dos conectivos lógicos. 
 Determinar as proposições associadas ao Condicional. 
 
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1. O QUE É LÓGICA? 
O uso da lógica, de forma corriqueira, está, geralmente, relacionado à 
racionalidade e à coerência. Associa-se, freqüentemente, lógica apenas à 
Matemática, não se percebendo sua relação e aplicabilidade com as 
demais ciências. 
Podemos relacionar a lógica com a “correção do pensamento”, pois uma 
das suas preocupações é determinar quais operações são válidas e quais não 
são, fazendo análises das formas e leis do pensamento. Como filosofia, ela 
procura saber por que pensamos assim e não de outro jeito. Com arte ou 
técnica, ela nos ensina a usar corretamente as leis do pensamento. 
Poderíamos dizer, também, que a lógica é a “arte de pensar bem”, que é a 
“ciência das formas do pensamento”, visto que, a forma mais complexa do 
pensamento é o raciocínio e, a lógica, estuda a “correção do raciocínio”. 
Podemos ainda dizer, que a lógica tem em vista a “ordem da razão”. Isso dá 
a entender que a nossa razão pode funcionar de forma desordenada. 
Por isso, a lógica estuda e ensina a colocar “ordem no pensamento”. 
Desenvolvida inicialmente por Aristóteles em 330 a.C., a lógica ou raciocínio 
lógico é expresso fundamentalmente por designações e proposições que 
exprimem juízo falso ou verdadeiro. 
A lógica fundamenta os raciocínios, as ações e, o pensamento lógico 
geralmente é criativo e inovador. 
 
1.1 – LÓGICA PROPOSICIONAL 
FRASE é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de 
modo a estabelecer uma mensagem com sentido completo. 
As frases podem ser de vários tipos: 
a) Declarativa 
Ex.: O sol é uma estrela. 
JONOFON é professor de Raciocínio Lógico. 
Eduardo Ubirajara é professor de Sociologia. 
b) Interrogativa 
Ex.: Onde você mora? 
Onde você estuda? 
Aonde você vai? 
c) Exclamativa 
Ex.: Parabéns! 
Feliz Natal! 
Feliz Páscoa! 
d) Imperativa 
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Ex.: Ele é professor de Lógica. 
Os estudantes jogam vôlei. 
 
No caso da frase imperativa, por não possuir sujeito determinado, não 
podemos utilizar em lógica, uma vez que, não é uma frase declarativa. 
A linguagem natural (ou formal) nem sempre é clara e precisa, sendo muito 
comum a ocorrência de ambigüidades que geram dúvidas sobre o 
significado do que se está falando. 
Por isso, uns dos objetivos da lógica é estabelecer uma linguagem formal, 
através da qual se pode expressar com clareza e precisão a emissão de juízo, 
verdadeiro ou falso para determinadas frases. 
 PROPOSIÇÃO : é uma frase declarativa (com sujeito e predicado) à 
qual pode ser atribuído sem ambigüidade, um dos valores lógicos 
verdadeiro (V) ou falso (F). 
Não se pode atribuir um valor verdadeiro ou falso, às demais frases como as 
interrogativas, as exclamativas e as imperativas, embora elas também 
expressem juízos. 
Somente às frases declarativas, podem-se atribuir valores de verdadeiro ou 
falso, o que ocorre quando a frase é, respectivamente, confirmada ou 
negada. 
Para efeito de classificar as proposições em Verdadeiras ou Falsas, e 
desenvolver a teoria de modo consistente, a Lógica Matemática obedece às 
seguintes leis do pensamento: 
 
I) PRINCÍPIO da NÃO-CONTRADIÇÃO – Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa simultaneamente. 
II) PRINCÍPIO do TERCEIRO EXCLUÍDO – Toda proposição ou é verdadeira 
ou é falsa, não havendo nunca um meio termo. 
Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um, e 
somente um dos valores lógicos, verdade ou falsidade. Por este motivo, 
chamamos a Lógica Matemática de bivalente. 
 
Exemplos: 
1) São proposições: 
a) 3 + 4 = 7 (Verdadeiro) 
b) 5 > 8 (Falso) 
c) O Brasil é penta campeão de futebol masculino. (Verdadeiro) 
d) A Terra gira em torno do Sol. (Verdadeiro) 
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e) O Japão fica na Europa. (Falso) 
f) O Brasil fica na América do Sul. (Verdadeiro) 
g) A lua é de queijo. (Falso) 
 
2) Não são proposições: 
a) 3 + 5 
b) Você foi aprovado em Lógica? 
c) Os estudantes jogam xadrez. 
d) Será que vai esfriar hoje? 
e) Preste atenção ao semáforo! 
f) Abra a janela! 
 
As proposições classificam-se em: simples ou atômicas e compostas ou 
moleculares. 
 
 SIMPLES ou atômicas: são aquelas que não contém nenhuma outra 
proposição como parte integrante de si mesma. 
 Indicaremos, em geral, tais proposições, por letras minúsculas 
(utilizaremos a porção do alfabeto a partir da letra p). 
 
 Exemplos: 
p: O número 11 é impar. 
q: O número 16 é um quadrado perfeito. 
r: O México fica na América do Norte. 
 
 COMPOSTAS ou moleculares: são aquelas formadas pela 
combinação de duas ou mais proposições simples, relacionadas 
pelos conectivos lógicos. 
As proposições compostas são, geralmente, representadas por letras 
maiúsculas do nosso alfabeto. 
 
Exemplos: 
P: 1 + 2 = 3 se, e somente se, 2 ≠ 1. 
Q: Se Jô Soares é gordo, então é inteligente. 
R: Mariana é bonita e Játila é inteligente. 
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S: Sempre que chove, o trânsito fica congestionado. 
T: Ana sente dor de estômago ou dor de cabeça. 
 
 
 
1.2 - CONECTIVOS LÓGICOS 
 
São palavras ou expressões usadas para formar novas proposições a partir de 
outras. 
Os conectivos lógicos usuais em Lógica são: 
Notação Conectivo Denominação 
não ~ ou ┐ ou ' Negação 
E Λ Conjunção 
Ou V Disjunção Inclusiva ou 
Disjunção 
ou...ou... V Disjunção Exclusiva 
se,...então  Condicional 
se, e somente se  Bicondicional 
 
1.2.1-VALOR LÓGICO 
 
O valor lógico de uma proposição é a verdade (V) se a proposição for 
verdadeira e é a falsidade (F) se a proposição for falsa. 
 
Notação: V(p) indica o valor lógico da proposição p 
V(p) = V ou V(p) = F 
 
O valor lógico de uma proposição composta depende exclusivamente dos 
valores lógicos das suas proposições e dos conectivos lógicos que as ligam. 
 
Exercícios propostos: Grupo A 
1) Sejam as proposições: 
 p: Fernanda está doente. 
 q: Fernanda está com febre. 
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 Escrever na linguagem natural, as seguintes proposições: 
a) ~p f) ~p ^ ~q 
b) p ^ q g) ~p v q 
c) p v q h) p ↔ ~q 
d) p → ~q i) ~~p 
e) q ↔p j) ( p ^ ~q) →p 
 
 
 
2) Dadas as proposições: 
p: Paulo é bonito. 
q: Paulo é alto. 
 Escrever na linguagem simbólica, as seguintes proposições: 
a) Paulo é alto e bonito. 
b) Paulo é bonito, mas é baixo. 
c) Não é verdadeque,Paulo é bonito ou baixo. 
d) Paulo nem é bonito e nem é alto. 
e) Paulo é bonito ou é feio e alto. 
f) É falso que, Paulo é feio ou que não é alto. 
 
3) Sejam as proposições: 
p: Tiago é pobre. 
q: Alfredo é feliz. 
 Escrever na linguagem natural, as seguintes proposições: 
a) q → p d) ~p → q 
b) p v ~q e) ~~q 
c) ~p ↔ q f) ( ~p v q) ↔ q 
 
4) Dadas as proposições: 
p: Ana fala inglês. 
q: Ana fala francês. 
r: Ana fala alemão. 
 Escrever na linguagem simbólica, as seguintes proposições: 
a) Ana fala francês e inglês ou não fala francês nem alemão. 
b) Não é verdade que, Ana fala francês e que não fala inglês. 
c) É falso que, Ana fala inglês ou alemão, mas não fala francês. 
 
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1.2.2 - TABELA-VERDADE 
 
O valor lógico de uma proposição composta depende dos valores lógicos das 
proposições componentes, e se determina por um algoritmo chamado 
tabela-verdade, no qual figuram todos os possíveis valores lógicos da 
proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições dos 
valores lógicos das proposições simples componentes. É uma maneira prática 
de dispor organizadamente os valores lógicos envolvidos em uma proposição 
composta. 
 
 Para a proposição simples (p), tem-se: 
 
 Tabela-verdade 
 
 
O número de linhas distintas de uma tabela-verdade é dado por 2n, onde n é 
o número de proposições e 2 representa o número de valores lógicos possíveis 
(V ou F). 
 
 Proposição composta por 2 proposições simples (p, q). 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
 Proposição composta por 3 proposições simples (p, q, r). 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
P 
V 
F 
4 Linhas 
8 Linhas 
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F F F 
 
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2.0 – OPERACÕES LOGICAS SOBRE PROPOSICÕES 
 
Quando raciocinamos, efetuamos operações sobre proposições, que 
obedecem às regras de um cálculo, chamado Cálculo Proposicional que é 
semelhante ao da Aritmética sobre números. 
Veremos, a seguir, as operações lógicas fundamentais. 
 
2.1 – OPERAÇÃO NEGAÇÃO: “NÃO” ( ~ ) 
 
Definição: 
Chama-se negação de uma proposição p, a proposição, denotada por “ ~ 
p ” , lê-se “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando é falsa e a 
falsidade (F) quando é verdadeira. 
Observação: podemos representar a negação também por: ┐p ou p’ 
Se V(p) = V então V( p’) = F 
Se V(q) = F então V( ┐q) = V 
Logo, a negação de uma proposição, apresenta valor lógico oposto ao da 
proposição dada. 
A tabela-verdade da operação negação é: 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
Observações: 
1) A proposição ~ (~ p) é equivalente à proposição p. 
 2) A negação de uma negação significa fazer uma afirmação. 
 
Exemplos: 
1) Dada a proposição: 
p: “O Sol é um planeta”. A sua negação é: 
~p: O Sol não é um planeta; 
 p’: É falso que o Sol é um planeta; 
 ┐p: Não é verdade que o Sol é um planeta. 
 
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2) Dada a proposição: 
q: “A Terra é plana”. A sua negação é: 
~ q: A Terra não é plana; 
┐q: É falso que a Terra é plana; 
q': Não é verdade que a Terra é plana. 
 
2.2 – OPERAÇÃO CONJUNÇÃO: ¨E¨ (Λ) 
 
Definição: 
Chama-se conjunção de duas proposições p e q, a proposição denotada 
por “ p ^ q ” , cujo valor lógico é a verdade quando p e q são verdadeiras e 
a falsidade nos demais casos. 
 
Notação: p Λ q (lê-se: p e q) 
 
Usam-se, freqüentemente, na linguagem natural, outras formas para indicar 
uma conjunção, tais como: 
 mas; 
 também; 
 além disso. 
Exemplos: 
P: Renata é chata e Simone é linda. 
Q: Renata é gente fina, mas Adriana é chata. 
 R: Paulo é médico, além disso é árbitro de futebol. 
 S: A colheita não foi boa, também não há água suficiente. 
 
A conjunção de duas proposições (p Λ q) é verdadeira se, e somente se, 
cada componente for verdadeira. 
 
p q p Λ q 
V V V 
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A tabela-verdade da operação 
 Conjunção é: 
 
 
 
 
Exercício resolvido: 
1) Dadas as proposições: 
 p: O presidente Getúlio Vargas era gaúcho. 
 q: O presidente Tancredo Neves era carioca. 
Determine o valor lógico da proposição p^q . 
 
Solução: 
 
O valor lógico de cada proposição é: V(p)= V e V(q)=F 
Através da tabela-verdade da conjunção, tem-se: 
p q p ^q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Então, a proposição p^q será a falsidade, pois a conjunção somente é 
verdadeira, quando ambas as proposições forem verdadeiras. 
 
2.3 – OPERAÇÃO DISJUNÇÃO: 
 
2.3.1 – Disjunção Inclusiva: ¨OU¨ (v) 
 
Definição: 
Chama-se disjunção inclusiva ou simplesmente disjunção de duas proposições 
p e q, a proposição denotada por “ p v q “ , cujo valor lógico é a falsidade(F), 
V F F 
F V F 
F F F 
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quando o valor lógico das proposições p e q forem falsos e, a verdade(V), 
quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. 
 
Notação: p v q (lê-se: p ou q). 
 
A disjunção de duas proposições (p v q) é falsa se, e somente se, todas as 
componentes forem falsas. 
 
 
 
A tabela-verdade da disjunção 
inclusiva é: 
 
Exemplos: 
P: Renata é chata ou Simone é linda. 
Q: Renata é feia ou Simone é chata. 
 
Exercício resolvido: 
1) Dadas as proposições: 
p: Aécio Neves é governador do Estado de Santa Catarina. 
q: José Serra é governador do Estado do Rio de Janeiro. 
Determinar o valor lógico da proposição: p v ~q 
 
Solução: 
O valor lógico de cada proposição é: V(p)= F , V(q)=F e V(~q)=V 
Através da tabela-verdade da disjunção, temos: 
 
p q ~q p v ~q 
V V F V 
V F V V 
F V F F 
F F V V 
 
p Q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
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Então, a proposição p v ~q será a verdade, pois a disjunção somente é 
falsa quando ambas as proposições são falsas. 
 
 
 
 
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2.3.2 - Disjunção Exclusiva:¨ OU... OU...¨ ( V ) 
 
 Definição: 
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q , a proposição 
denotada por “ p v q ”, cujo valor lógico é a falsidade(F), quando os 
valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos 
verdadeiros, e a verdade(V) nos demais casos. 
Na linguagem normal a palavra “ou” tem dois sentidos, assim, por 
exemplo, consideremos as seguintes proposições: 
 
P: JONOFON é médico ou professor. 
Q: Mário de Oliveira é carioca ou mineiro. 
 
A proposição P indica que pelo menos uma das proposições: 
“JONOFON é médico“ ou “JONOFON é professor” é verdadeira, podendo ser 
ambas verdadeiras. 
Ou seja: 
“JONOFON é médico e professor”. 
 
Na proposição Q, se está a precisar que uma e somente uma das 
proposições ¨Mário de Oliveira é carioca” ou “Mário de Oliveira é 
mineiro”é verdadeira, pois não é possível ambas serem verdadeiras. 
Ou seja: 
“Mário de Oliveira é carioca e mineiro”. 
 
Na proposição P diz-se que “ou” é inclusiva, enquanto que, na proposição Q, 
diz-se que “ou” é exclusivo. 
Em Lógica Matemática, usa-se, habitualmente, o símbolo “v” para “ou” 
inclusivo e “V” para “ou” exclusivo. 
Assim sendo, a proposição P é uma disjunção inclusiva ou apenas disjunção 
(v), ao passo que a proposição “Q” é uma disjunção exclusiva ( V ). 
 
De modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições “p e q”, a 
proposição denotada p V q , que se lê:¨ ou p ou q ¨ ou ¨p ou q¨, mas não 
ambos. 
 
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A tabela-verdade da Disjunção Exclusiva é: 
 
 
 
A disjunção exclusiva de duas proposições p V q é falsa(F), se e somente se, 
todos os componentes forem falsos ou verdadeiros, ou seja V(p)= V(q)= V ou F. 
 
Exemplos: 
P: Ou lógica é fácil ou Artur não gosta de lógica. 
Q: Ou Ana é filha de Alice ou Érica é filha de Elisa. 
R: Alberto é alemão ou espanhol, mas não ambos. 
 
A proposição p V q ≡ (p v q) ^ ~ (p ^ q) 
 
Fazendo a= p v q e b= ~(p ^ q) , através da tabela-verdade, temos: 
 
 
p q p V q p v q p Λ q ~ (p Λ q) a Λ b 
V V F V V F F 
V F V V F V V 
F V V V F V V 
F F F F F V F 
 ↑. . . . . . . . . . . . . iguais . . . . . . . . . . . . . . ↑ 
 
Logo: p V q ≡ ( p v q) ^ ~(p ^ q) 
 
 
p q p V q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
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2.4 – OPERAÇÃO CONDICIONAL: ¨SE...ENTÃO... ¨ () 
 
Definição: 
Chama-se proposição Condicional de duas proposições p e q, a proposição 
composta denotada por “p → q “ , cujo valor lógico é a falsidade(F), quando 
p é verdadeira e q é falsa e, nos demais casos, é a verdade(V). 
 
Notação: p  q ( lê-se: Se p, então q) 
 
Outras formas de notação são: 
 q, se p; 
 p somente se q; 
 p implica q; 
 p é condição suficiente para q; 
 q é condição necessária para p; 
 Sempre que p, então q; 
 Quando p, então q. 
 
A condicional p  q é falsa(F) quando o antecedente(p) é verdadeiro (V) e 
o conseqüente(q) é falso(F). Nas outras situações sempre será 
verdadeira(V). 
 
A tabela-verdade da operação condicional é: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Exemplos: 
P: Se usar roupa branca, então irá ao cinema. 
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Q: Se você estudar, irá passar em Lógica Matemática. 
R: Sempre que ganho um presente, fico feliz. 
( Se ganho um presente, então fico feliz.) 
S: Quando chove, não passeio. 
(Se chove, então não passeio.) 
Exercício resolvido: 
(Analista Fiscal e Controle/AFC/2002) 
 
Ou Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se 
Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí, segue-se que, se Artur 
gosta de Lógica, então: 
a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil; 
b) Lógica é fácil e Geografia é difícil; 
c) Lógica é fácil e Geografia é fácil; 
d Lógica é difícil e Geografia é difícil; 
e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 
 
Solução: 
 
Vamos representar as proposições simples de cada proposição composta. 
 
Na proposição, ¨Ou Lógica é fácil ou Artur não gosta de Lógica¨, tem-se: 
 p: Lógica é fácil. 
~p: Lógica não é fácil. ( também é correto escrever: Lógica é difícil.) 
 q: Artur gosta de Lógica. 
~q: Artur não gosta de Lógica. 
 
Então, na linguagem simbólica, podemos escrever: p V ~q (1) 
 
Na proposição ¨ Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil ¨, tem-se: 
 r: Geografia é difícil. 
 ~r:Geografia não é difícil. 
( também é correto escrever: Geografia é fácil.) 
 
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Escrevendo na linguagem simbólica, temos: ~r → ~p (2) 
 
No enunciado temos a seguinte proposição simples: ¨Artur gosta de 
Lógica¨, à qual, por convenção, atribuiremos valor lógico verdadeiro, 
logo V(q)=V e V(~q)= F 
 
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Como V(q)= V, então podemos determinar p na proposição (1), uma vez 
que, devemos considerar todas as proposições compostas verdadeiras, 
então: 
 
V( p V ~q ) = V 
V(p) V V(~q) = V 
V(p) V (F) = V 
 (V) V (F) = V 
 
Então, p somente poderá ser a verdade, pois a disjunção exclusiva somente 
é verdadeira quando as proposições têm valores lógicos diferentes. 
 
Logo, se V(p)=V e V(~p)=F , da proposição (2), obtemos r, então: 
 
V(~r → ~p) = V 
V(~r) → V(~p) = V 
V(~r) → (F) = V 
 (F) → (F) = V 
 
Então, V (~ r ) somente poderá ser falso, pois o condicional é falso quando 
ocorrer (V)→(F) 
 
Os valores lógicos são: V(p)=V, V(~p)=F, V(q)=V, V(~q)=F, V( r)=V e V(~r)=F 
 
Analisando cada alternativa e transformando-as para a linguagem 
simbólica, tem-se: 
 
a) r → ~p (V)→(F) = F 
b) p ^ r (V) ^ (V) = V 
c) p ^ ~r (V) ^ (F) = F 
d) ~p ^ r (F) ^ (V) = F 
e) ~p v ~r (F) v (F) = F 
 
Resposta: letra b 
 
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2.5 – OPERACAO BICONDICIONAL: ¨SE, E SOMENTE SE¨ () 
 
Definição: 
Chama-se proposição Bicondicional de duas proposições p e q, a 
proposição denotada por “ p ↔ q “, cujo valor lógico é a verdade(V), 
quando p e q são verdadeiras ou falsas, e a falsidade(F) nos demais casos. 
 
Notação: p  q (lê-se: p se, e somente se, q). 
 
Outra forma de ler o bicondicional é: 
 
p é condição necessária e suficiente para q; 
q é condição necessária e suficiente para q. 
 
A proposição bicondicional p  q só é verdadeira quando V(p) = V(q), 
caso contrário é falsa. 
 
A tabela-verdade da operação bicondicional é: 
 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Exemplos: 
P: Edson falou a verdade se, e somente se, Geraldo mentiu. 
Q: Jorge mentir é condição necessária e suficiente para Anália mentir. 
 
 
 
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Exercício resolvido: (ESAF-MPU/2004) 
 
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e 
condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que 
Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra 
abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio: 
 
a) João está feliz, Maria não sorri, Daniela abraça Paulo; 
b) João não está feliz, Maria sorrir, Daniela não abraça Paulo; 
c) João está feliz, Maria sorri , Daniela não abraça Paulo; 
d) João não está feliz, Maria não sorri , Daniela não abraça Paulo; 
e) João não está feliz, Maria sorri, Daniela abraça Paulo. 
 
Solução: 
Da proposição “Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para 
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo” , vamos 
relacionar as proposições simples, logo: 
p: João estar feliz. 
q: Maria sorrir. 
r: Daniela abraçar Paulo. 
 
Na linguagem simbólica, lembrando da teoria do bicondicional, tem-se: 
 
p é condição suficiente para r : p → r (1) 
q é condição necessária para p: q →p (2) 
 
Da proposição ¨ Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição 
necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio¨, tem-se: 
 
s: Sandra abraçar Sérgio. 
~s: Sandra não abraça Sérgio. 
Na linguagem simbólica, temos: r ↔ s (3) 
 
O enunciado fornece uma proposição simples ~s: Sandra não abraça 
Sérgio, à qual, por convenção, será verdadeira, então: V(~s)=V e V(s)=F 
Devemos, sempre, considerar todas as proposições compostas verdadeiras 
e, 
25 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
sendo V(s)= F , de (3), teremos r: 
 
V( r ↔ s) = V 
V(r) ↔V(s) = V 
V(r) ↔ (F) = V 
 (F) ↔ (F) = V 
 
Então, V(r) somente poderá ser falso, para que o bicondicional seja 
verdadeiro. 
 Da proposição (1), poderemos encontrar p, então: 
 
V(p → r) = V 
V(p) →V(r) = V 
V(p) → (F) = V 
 (F) → (F) = V 
 
Então, V(p) é falso, para que o condicional seja verdadeiro. 
 
Da proposição (2), encontraremos q, logo: 
 
V(q → p) = V 
V(q) → V(p) = V 
V(q) → (F) = V 
V(q) = F 
 
Os valores lógicos das proposições simples são: 
p: João estar feliz; V(p)=F 
 ~p: João não estar feliz; V(~p)=V 
q: Maria sorrir; V(q)=F 
 ~q: Maria não sorrir; V(~q)=V 
r: Daniela abraçar Paulo; V( r)=F 
 ~r: Daniela não abraçar Paulo; V( ~r)=V 
s: Sandra abraçar Sérgio; V(s)=F 
26 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 ~s: Sandra não abraçar Sérgio. V(~s)=V 
 
 
 
 
Escrevendo as alternativas com os valores lógicos, tem-ses: 
a) F, V, F 
b) V, F, V 
c) F, F, V 
d) V, V, V 
e) V, F, F 
Resposta: letra d 
 
2.6 – USO DE PARÊNTESIS 
 
É necessário o uso de parêntesis na simbolização das proposições para 
evitar qualquer tipo de ambigüidade. 
Assim, por exemplo, a expressão p v q ^ r colocada entre parêntesis, dá 
lugar, às duas seguintes proposições: (a) (p v q) ^ r e (b) p v ( q ^ r) , 
que não têm o mesmo significado, pois na (a) temos uma conjunção e na 
(b) temos uma disjunção. 
Analogamente, a expressão p ^ q → r v s dá lugar, colocando-se o 
parêntesis, às seguintes proposições: 
 
a) ( p ^ q) → (r v s) 
b) p ^ ( q → (r v s)) 
c) (p ^ ( q→ r)) v s 
d) p ^ ( ( q→ r) v s) 
e) ((p ^ q) → r) v s 
Sendo que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado. 
 
Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de 
simplificar as proposições simbolizadas, desde que, nenhuma ambigüidade 
venha a ocorrer. 
A ordem de precedência para os conectivos é: 
1) Negação: ~ 
2) Conjunção: ^ 
3) Disjunção: v 
4) Condicional: → 
27 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
5) Bicondicional: ↔ 
 
Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação e, o mais “forte”, é o 
bicondicional. 
Assim, por exemplo, a proposição: p→q ↔ r ^ s é uma bicondicional e 
nunca uma condicional ou conjunção. 
 
Exercícios propostos: Grupo B 
 
1) Seja p: 2+1=3 e q: =4. Determinar o valor lógico ( V ou F) de cada uma 
das seguintes proposições: 
 
a) p ^ ~q e) ~p v ~q 
b) p v ~q f) ~(~p ^ ~q) 
c) ~p ^ q g) p ^ (~p ^ q) 
d) ~p ^ ~q h) (~p ^ q) v (p ^ ~q) 
 
2) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes 
proposições: 
 
a) 1 > 0 ^ 3 + 2 = 5 
b) 3 = 3 v √ = 4 
c) Se 10 – 2 = 7, então 3³ = 27 
d) 0 > 1 ^ √ = 5 
e) Não é verdade que, 8 é um número ímpar 
f) É falso que, Salvador é a capital da Bahia 
g) Não é verdade que, 8:1 = 9 e 8 – 1 = 6 
h) É falso que, 3 : 3 = 6 ou √ = 0 
i) ~( 3 – 1 = 2 → 2² = 5) 
j) ~( 3 . 2 = 9 ↔ 5 – 1 = 4) 
k) Se Aracaju é a capital do Amazonas, então Pedro Álvares Cabral 
descobriu a América. 
 
3) Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se que: 
 
a) V(p→q) = V e V(p^q)=F 
b) V(p→q) = V e V(pvq)= F 
c) V(p↔q) = V e V(p^q)=V 
d) V(p↔q) = V e V(pvq)=V 
e) V(p↔q) = F e V(~pvq)=V 
28 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo-se 
que: 
a) V(p→q) = V e V (p^q) = F 
b) V(p→q) = V e V(pvq) = F 
c) V(p↔q) = V e V(p^q) = V 
d) V(p↔q) = V e V(pvq) = V 
e) V(p↔q) = F e V(~pvq) = V 
 
5) Sabendo-se que os valores lógicos das proposições p, q, r e s são, 
respectivamente, V, V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada 
uma das seguintes proposições: 
 
a) ( r → p) v ( s → p) 
b) r→ p ↔ ( ~p ↔ r) 
c) ~(p^q) ↔ ~p v ~q 
d) p→~q ↔(p v r) ^ r 
e) (q^r) ^s → ( p ↔s) 
f) ~( (pvs) ^ ( s ^ r)) 
 
 
2.7 – TAUTOLOGIA 
 
Definição: 
Uma proposição composta é uma tautologia quando o seu valor lógico é 
sempre a verdade (V), quaisquer que sejam os valores lógicos das 
proposições componentes. 
 
Exemplo: 
Dada a proposição P: Chove ou não chove. 
Sejam p:chove e ~p: não chove, então P: p V ~p 
Elaborando a tabela-verdade, podemos observar que, a última coluna é 
composta somente de V’s. 
29 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, p v ~ p é uma tautologia. 
 
Exercício resolvido: 
Demonstrar, através de tabela-verdade, que a proposição (p → ~q ) V q é 
uma tautologia. 
 
Solução: 
Fazendo a tabela-verdade da proposição, tem-se: 
 
p q ~q p → ~q (p→~q) v q 
V V F F V 
V F V V V 
F V F V V 
F F V V V 
 
Logo, a proposição ( p → ~q) V q é uma tautologia, pois sempre será 
verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e q. 
p ~ p p v ~ p 
V F V 
F V V 
30 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
2.8 – CONTRADIÇÃO 
 
Definição: 
Uma proposição composta é uma contradição quando o seu valor lógico é 
sempre a falsidade (F), quaisquer que sejam os valores lógicos das 
proposições componentes. 
 
Exemplo: 
Dada a proposição Q: Chove e não chove . 
Sejam p:chove e ~p:não chove , então Q: p ^ ~p 
Fazendo a tabela-verdade, observa-se que, a última coluna é formada 
apenas por F’s. 
 
p ~ p p Λ ~ p 
V F F 
F V F 
 
Logo, p Λ ~ p é uma contradição. 
 
Exercício resolvido: 
 Demonstrar, através de tabela-verdade, que a proposição 
(~p v ~q) ↔ ( p ^ q) é uma contradição. 
 
Solução: 
Elaborando a tabela-verdade, tem-se: 
 
p q ~p ~q ~p v ~q p ^ q ( ~p v ~q ) ↔ ( p ^ q) 
V V F F F V F 
V F F V V F F 
F V V F V F F 
F F V V V F F 
 
Portanto, a proposição (~p v ~q) ↔ ( p^q) é uma contradição, pois sempre 
será falsa, independentemente dos valores lógicos de p e q. 
 
31 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
2.9 – CONTIGÊNCIA OU INDETERMINADA 
 
Definição: 
Uma proposição composta é denominada contingência ou indeterminada, 
quando não é uma tautologia e nem uma contradição. 
 
Exemplo: Seja a proposição 
R: Três é um número par se, e somente se, o homem é imortal. 
 
Então, p: Três é um número par. 
 q: O homem é imortal. 
 
Na linguagem simbólica: p ↔ q 
 
Elaborando a tabela-verdade, a última coluna é formada de V’s e de F’s. 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Logo, a proposição p ↔q , é uma contingência 
 
 
32 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e sExercício resolvido: 
Demonstrar, através de tabela-verdade, que a proposição ~[(p ^ q) ↔ (p v q)] 
é uma contingência. 
 
Solução: 
 
Utilizando-se da tabela-verdade temos: 
 
p q p^q pv q (p^q) ↔ ( p v q) ~[(p^q) ↔ (p v q)] 
V V V V V F 
V F F V F V 
F V F V F V 
F F F F V F 
 
Portanto, a proposição ~[(p^q) ↔ (p v q)] é uma contingência, pois é 
composta de V’s e de F’s independentemente dos valores lógicos de p e q. 
 
Exercícios propostos: Grupo C 
 
1) Verificar se as seguintes proposições são tautológicas: 
 
a) p v (p →(q ^ ~p)) 
b) (p → (q ^ r)) → (p→r) 
c) (p ^ q) → (p v q) 
d) [(p v q) ^ (p ^ s)] → p 
 
2) Classificar as seguintes proposições em Tautologia, Contradição ou 
Contingência: 
 
a) (p v (p ^ q)) ↔ p 
b) (~p ^ ~q) v (p→q) 
c) ( p v ~q) ↔ ( p→~q) 
d) (p→q) → ((p v r) ↔(q ^ r)) 
e) (p→q) v ( q ^ r) 
f) ~( (p→q) → ((p→q) v r) ) 
 
33 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
34 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
2.10 – IMPLICAÇÃO e EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 
2.10.1 – IMPLICAÇÃO LÓGICA 
 
 Definição: 
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação 
lógica entre P e Q, quando a proposição condicional P → Q é uma 
tautologia. 
 Notação: P ⇨ Q 
 
 Exemplo: Mostrar que: 
a) ( p ^q) ⇨ p 
b) [ p ^ ( p → q)] ⇨ q 
c) [ (p→q) ^ (q→r)] ⇨ ( p → r) 
d) (p→q) ⇨ [ (p^r) →(q→r)] 
 Solução: 
Através da tabela-verdade, poderemos verificar se ocorre uma tautologia, 
então: 
a) 
p q p^q (p^q) →p 
V V V V 
V F F V 
F V F V 
F F F V 
 
A proposição é uma tautologia, logo ocorre uma implicação lógica. 
b) 
p q p→q p ^(p→q) [p ^(p→q)]→q 
V V V V V 
V F F F V 
F V V F V 
F F V F V 
 
 
35 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
A proposição é uma tautologia, então ocorre uma implicação lógica. 
c) 
p q r p→q q→r (p→q) ^ (q→r) p→r [(p→q)^(q→r)] → (p→r) 
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
V F V F V F V V 
V F F F V F F V 
F V V V V V V V 
F V F V F F V V 
F F V V V V V V 
F F F V V V V V 
 
A proposição é uma tautologia, então ocorre uma implicação lógica. 
 
d) 
 
p q r p→q p ^ r q→r (p^r) →(q→r) (p→q) → [ (p^r)→(q→r)] 
V V V V V V V V 
V V F V F F V V 
V F V F V V V V 
V F F F F V V V 
F V V V F V V V 
F V F V F F V V 
F F V V F V V V 
F F F V F V V V 
 
A proposição é uma tautologia, logo ocorre uma implicação lógica. 
 
 
 
36 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
2.10.2- EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 
Definição: 
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma 
equivalência lógica, entre P e Q, quando suas tabelas-verdade forem 
iguais. 
Notação: P ≡ Q ou P ⇔ Q 
 
Exemplo: Mostrar que: 
 
a) (p →q) ^ (q→p) ≡ p ↔q 
b) (p ^q) ⇔ ~(~p v ~q) 
 
Solução: 
a) 
p q p→q q→p p↔q (p→q) ^(q→p) 
V V V V V V 
V F F V F F 
F V V F F F 
F F V V V V 
 ↑ . . iguais . . ↑ 
A proposição é uma equivalência lógica, pois suas tabelas-verdade são 
iguais. 
 
b) 
p Q p ^q ~p ~q ~p v ~q ~( ~p v ~q) 
V V V F F F V 
V F F F V V F 
F V F V F V F 
F F F V V V F 
 ↑ . . . . . . . . . . . . . iguais . . . . . . . . . . ↑ 
 
A proposição é uma equivalência lógica, pois suas tabelas-verdade são 
iguais. 
37 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos: Grupo D 
 
1) Demonstrar por tabelas-verdade que: 
 
a) q ⇨ (p→q) 
b) (p v q) ⇨ p 
c) ( p ↔~q) ⇨ (p→q) 
d) p ^ (q ^ r) ⇨ (p↔q) 
 
2) Demonstrar por tabelas-verdade que: 
 
a) p → q ⇔ ~p v q 
b) p ^ (q ^ r ) ⇔ (p ^ q) ^ r 
c) p v ( q v r ) ⇔ (p v q) v r 
d) ~( p ^ q ) ⇔ ~p v ~q 
e) ~(p v q ) ⇔ ~p ^ ~q 
f) p ^ ( q v r ) ⇔ ( p ^ q ) v ( p ^ r ) 
g) p v ( q ^ r ) ⇔ ( p v q ) ^ ( p v r ) 
h) p ↔ q ⇔ ( p→q ) ^ (q→p) 
 
 
3 – NEGAÇÃO DAS OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
3.1 – NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO 
 
Dadas as proposições p e ~ (~ p), vamos construir suas tabelas-verdade: 
 
p ~ p ~ (~ p) 
V F V 
F V F 
 ↑. . . iguais . . ↑ 
 
Conclusão: ~ (~ p) = p 
38 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
Logo, a negação de uma negação é uma afirmação. 
 
 
 
 
Exemplo: 
A proposição “Não é verdade que Mário não é estudioso” é logicamente 
equivalente à “Mário é estudioso”. 
 
Solução: 
Sejam: 
 p: Mário é estudioso. 
~ p: Mário não é estudioso. 
~(~ p): Não é verdade que Mário não é estudioso. 
 
Então: p = ~ ( ~p) 
 
Portanto, a negação da negação é uma afirmação. 
 
Logo, as proposições são equivalentes. 
 
 
3.2 – NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO 
 
Dadas as proposições ~ (p Λ q) e ~ p v ~ q, vamos construir suas 
tabelas-verdade: 
 
p q p Λ q ~(p Λ q) ~ p ~ q ~ p v ~ q 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 ↑.............iguais...................↑ 
39 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
Logo: ~ (p Λ q) ≡ ~ p v ~ q ( 1ª Lei de DeMORGAN ) 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Provar que a proposição composta P:Não é verdade que a comida é farta e 
saborosa” é logicamente equivalente à proposição Q: “A comida não é farta 
ou não é saborosa”. 
 
Solução: 
Para comprovar a afirmação, deveremos enumerar as proposições simples: 
p: a comida é farta. ~p: a comida não é farta. 
q: a comida é saborosa. ~q: a comida não é saborosa. 
 
Escrevendo a proposição composta P na linguagem simbólica, temos: 
P: ~ (p ^ q) 
 
Aplicando a 1ª Lei de DeMORGAN, pois a proposição é a negação de uma 
conjunção, obtemos: 
~ (p Λ q)  ~ p v ~ q 
 
Na linguagem natural, temos: 
 
“A comida não é farta ou não é saborosa.” 
Portanto, a afirmação é verdadeira, ou seja, P ≡ Q 
 
3.3 – NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO 
 
Dadas as proposições ~(p v q) e ~ p Λ ~ q, vamos construir suas tabelas-
verdade: 
 
40 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
p q p v q ~(p v q) ~ p ~ q ~ p Λ ~ q 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 ↑ . . . . . . . iguais . . . . . . . ↑ 
 
Logo: ~(p v q) ≡ ~ p ^ ~ q ( 2ª LEI de DeMORGAN) 
 
Exemplo: 
Provar que a proposição Q: ¨Não é verdade que 2 é número par ou 3 é 
número ímpar ¨ é logicamente equivalente à proposição R: ¨2 não é número 
par e 3 não é número ímpar¨ 
 
Solução: 
Enumerando as proposições simples, temos: 
p: 2 é número par. ~p: 2 não é número par. 
q: 3 é número ímpar. ~q: 3 não é número ímpar. 
 
Escrevendo a proposição composta Q, na linguagem simbólica, temos: 
 
Q: ~ ( p v q) 
 
Aplicando a 2ª LEI de DeMORGAN, pois a proposição é a negação da 
disjunção, temos: 
~( p v q) ≡ ~p ^ ~q 
 
Na linguagem natural,temos: 
 ¨ 2 não é número par e 3 não é número ímpar ¨. 
 
Logo, as proposições Q e R são equivalentes. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
41 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
1) Dar a negação, em linguagem natural, de cada uma das seguintes 
proposições: 
a) A lógica é fácil e Pedro será aprovado. 
b) Maria é bonita ou não é elegante. 
c) Não chove ou faz frio. 
d) Não está frio ou não está chovendo. 
e) O pai de Agnaldo égaúcho ou sua mãe é alagoana. 
f) Samuel estuda Medicina Veterinária,mas Rafael não estuda 
Engenharia Florestal. 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) Nomeando as proposições simples, temos: 
p: A lógica é fácil. 
~p: A lógica não é fácil. ou ~p: A lógica é difícil. 
q: Pedro será aprovado. 
~q: Pedro não será aprovado. ou ~q: Pedro será reprovado. 
 
Escrevendo a proposição na linguagem simbólica,teremos: 
 
( p ^ q) 
 
Determinando a negação da proposição, obtemos: 
 
~( p ^ q) 
 
Agora, aplicando a LEI de DeMORGAN, temos: 
 
~(p^q) ≡ ~p v ~q 
 
Na linguagem natural, a proposição será: 
 
42 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
“A lógica não é fácil ou Pedro não será aprovado”. 
 
Também, é correto escrever na linguagem natural, da seguinte forma: 
 
“A lógica é difícil ou Pedro será reprovado”. 
 
b) Enumerando as proposições simples, temos: 
 
p: Maria é bonita. 
~p: Maria não é bonita. ou ~p: Maria é feia. 
q: é elegante. 
~q: não é elegante. 
 
Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMORGAN, temos: 
 
~(p v ~q) = ~p ^ ~(~q) = ~p ^ q 
 
Na linguagem natural, teremos: 
“Maria não é bonita e é elegante”. 
 
Também é correto: 
“Maria é feia e é elegante”. 
 
c) Enumerando as proposições simples, temos: 
 p: Chove. 
 ~p: Não chove. 
 q: Faz frio. 
 ~q: Não faz frio. 
 
Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMORGAN, temos: 
 
~(~p v q) = ~(~p) ^ ~q = p ^ ~q 
 
43 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Na linguagem natural, teremos: 
 
“Chove e não faz frio”. 
 
d) Enumerando as proposições simples, temos: 
 p: está frio. 
 ~p: não está frio. 
 q: está chovendo. 
 ~q: não está chovendo. 
 
 Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMORGAN, temos: 
 
 ~(~p v ~q) = ~(~p) ^ ~(~q) = p ^ q 
 
 Na linguagem natural, teremos: 
 
“Está frio e está chovendo”. 
 
e) Enumerando as proposições simples, temos: 
p: o pai de Agnaldo é gaúcho. 
~p: o pai de Agnaldo não é gaúcho. 
q: sua mãe é alagoana. 
~q: sua mãe não é alagoana. 
 
Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMorgan, teremos: 
 
~(p v q) = ~p ^ ~q 
 
Na linguagem natural, temos: 
 
“O pai de Agnaldo não é gaúcho e sua mãe não é alagoana”. 
 
f) Enumerando as proposições simples,temos: 
44 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 p: Samuel estuda Medicina Veterinária. 
 ~p: Samuel não estuda Medicina Veterinária. 
 q: Rafael estuda Engenharia Florestal. 
 ~q: Rafael não estuda Engenharia Florestal. 
 
Escrevendo na linguagem simbólica e aplicando DeMorgan, temos: 
 
 ~( p ^ ~q ) ≡ ~p v ~(~q) ≡ ~p v q 
 
Na linguagem natural, temos: 
 
“Samuel não estuda Medicina Veterinária ou Rafael estuda Engenharia 
Florestal ”. 
 
 
 
 
3.4-NEGAÇÃO DO CONDICIONAL 
 
Dadas as proposições p→q, ~(p→q), p ^ ~q e ~p v q, vamos construir suas 
tabelas–verdade: 
 
p q ~p ~q p→q ~(p→q) p ^ ~q ~p v q 
V V F F V F F V 
V F F V F V V F 
F V V F V F F V 
F F V V V F F V 
 ↑...iguais..↑ 
 ↑......... Iguais.........................↑ 
 
Logo: ~ (p→q) ≡ p ^ ~q e p→q ≡ ~p v q 
 
Exemplos: 
 
45 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
1) Escreva a negação de cada proposição na linguagem natural. 
 
a) Se está frio, ele usa chapéu. 
 
Solução: Nomeando as proposições simples, temos: 
 
 p: está frio. ~p: não está frio. 
 q: ele usa chapéu. ~q: ele não usa chapéu. 
 
Na linguagem simbólica, temos; 
 
p →q 
 
 Aplicando a regra da negação do condicional, então: 
 
~( p →q) ≡ p ^ ~q 
 
Na linguagem natural, teremos: 
 
“Está frio e ele não usa chapéu”. 
 
 
b) Se pode dirigir, pode beber. 
 
Solução: Nomeando as proposições simples, temos: 
 
p: pode dirigir. 
q: pode beber. 
~q: não pode dirigir. 
 
Na linguagem simbólica, temos: 
 
p → q 
46 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
A negação da condicional, é: 
 
~( p → q ) ≡ p ^ ~q 
 
Na linguagem natural, a negação é: 
 
“Pode dirigir e não pode beber”. 
 
2) (MPOG/ENAP/SPU/2006) 
 
Dizer que ¨Ana não é alegre ou Beatriz é feliz ¨ é, do ponto de vista lógico, 
o mesmo que dizer: 
 
a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz; 
b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre; 
c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz; 
d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz; 
e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 
 
Solução: 
 
Sejam as proposições simples: 
 
 p: Ana é alegre. ~p:Ana não é alegre. 
 q: Beatriz é feliz. ~q:Beatriz não é feliz. 
 
Escrevendo a proposição na linguagem simbólica, temos: 
 
 ~p v q 
 
Como já vimos, sabemos que: 
 
47 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 p →q ≡ ~p v q 
 
Então, a proposição equivalente será: 
 
 ¨ Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz¨. 
 
Resposta: letra c 
 
 
3) (MPOG/2001) 
Dizer que ¨André é artista ou Bernardo não é engenheiro ¨ é, logicamente 
equivalente a dizer que: 
 
a) André é artista se, e somente se,Bernardo não é engenheiro; 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro; 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista; 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
 
 
 
Solução: 
 
Enumerando as proposições simples, temos: 
 
 p: André é artista. ~p: André não é artista. 
 q: Bernardo é engenheiro. ~q: Bernardo não é engenheiro. 
 
Na linguagem simbólica, a proposição dada é; 
 
 p v ~q 
 
48 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Analisando qual das alternativas é equivalente à proposição dada, 
podemos concluir que: 
 
 
a) Errada, pois p ↔ ~q , não é equivalente a p v~q. 
b) Errada, pois p → ~q ≡ ~p v ~q e, também, ~(p→ ~q) =p ^ q , as 
quais não são equivalentes a p v ~q. 
c) Errada, pois ~p → q ≡ p v q e, também, ~( ~p→q) ≡ ~p ^ ~q , as 
quais não são equivalentes a p v ~q. 
d) Certa, pois q →p ≡ ~q v p ≡ p v ~q 
e) Errada, pois ~p ^ q, não é equivalente a p v ~q. 
 
Uma outra forma de solução é elaborar a tabela-verdade da proposição 
do enunciado e, a das respostas, então: 
 
 
P q ~p ~q p v~q p↔~q p→~q ~p→q q→p ~p^q 
V V F F V V F V V F 
V F F V V V V V V F 
F V V F F V V V F V 
F F V V V F V F V F 
 ↑.................Iguais..............................↑ 
 
Resposta : letra d3.5- NEGAÇÃO DO BICONDICIONAL 
 
Dadas as proposições p ↔q , p v q , (~p ^ q) v (p ^~q), ~p↔q, p↔~q, 
vamos construir suas tabelas-verdade: 
 
P q p↔q ~(p↔q) pv 
q 
~p ~q ~p 
^q 
p 
^~q 
(~p^q)v(p^~q) ~p↔q p↔~q 
V V V F F F F F F F F F 
V F F V V F V F V V V V 
49 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
F V F V V V F V F V V V 
F F V F F V V F F F F F 
 ↑ iguais ↑ 
 ↑.............................. iguais .............................↑ 
 ↑....................................... iguais .........................................↑ 
 ↑............................................ iguais 
..................................................↑ 
 
Então, teremos as seguintes equivalências, para a negação do 
bicondicional: 
 
~( p↔q) ≡ p v q ≡ (~p^q)v(p^~q) ≡ ~p↔q ≡ p↔~q 
 
Exemplo: 
A negação da proposição P: ¨Ele faz caminhada se, e somente se,o tempo 
está bom ¨ é a proposição ¨Ele não faz caminhada e o tempo está bom ou 
ele faz caminhada e o tempo não está bom ¨ 
 
Solução: 
Nomeando as proposições simples: 
 
p: Ele faz caminhada. ~p: ele não faz caminhada. 
q: O tempo está bom. ~q: o tempo não está bom. 
 
 
 
 
Na linguagem simbólica: 
 
 p ↔ q 
 
A negação do bicondicional é: 
 
~( p↔q) ≡ (~p^q) v (p ^ ~q) 
50 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
Então, na linguagem natural, temos: 
 
¨Ele não faz caminhada e o tempo está bom ou ele faz caminhada e o 
tempo não está bom¨. 
 
Logo, a afirmação é verdadeira. 
 
Mas, também, é correto escrever a negação de outras formas, tais como: 
 
 Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom. 
 Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom. 
 Ou ele faz caminhada ou o tempo está bom. 
 
 
 
3.6 - PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UM CONDICIONAL 
 
Definição: Dada uma proposição condicional p  q, a ela estão 
associadas três outras proposições condicionais que contêm p e q: 
 
0. Condicional: p →q 
1. Recíproca do Condicional: q  p 
2. Contrapositiva: ~ q  ~ p 
3. Recíproca da Contrapositiva ou Inversa: ~ p  ~ q 
 
 
 
Fazendo suas tabelas-verdade, teremos: 
 
P q p→q q→p ~p ~q ~p→~q ~q→~p 
V V V V F F V V 
V F F V F V V F 
51 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
F V V F V F F V 
F F V V V V V V 
 ↑ ................ . . . ..iguais...............................↑ 
 ↑.......iguais.................↑ 
 
Então, da tabela-verdade, podemos extrair as seguintes equivalências: 
 
 p→q ≡ ~q→~p e q→p ≡ ~p→~q 
 
Portanto, o condicional é equivalente à contrapositiva. 
 
Exemplos: 
 
1) (ANEEL/2006) 
Uma proposição logicamente equivalente a ¨Se Ana é bela, então Carina 
é feia¨ é: 
 
a) Se Ana não é bela, Carina não é feia; 
b) Ana é bela ou Carina não é feia; 
c) Se Carina é feia, Ana é bela; 
d) Ana é bela ou Carina é feia; 
e) Se Carina não é feia, Ana não é bela. 
 
Solução: 
 
Na proposição composta dada, temos as seguintes proposições simples. 
 
 p: Ana é bela. ~p: Ana não é bela. 
 q: Carina é feia. ~q:Carina não é feia. ou ~q: Carina é bonita. 
 
Escrevendo na linguagem natural, temos: 
 
p →q 
 
52 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
A contrapositiva do condicional, na linguagem simbólica é: 
 
~q → ~p 
 
Na linguagem natural, teremos: 
 
“Se Carina não é feia, então Ana não é bela”. 
 
Resposta: letra e 
 
 
2) Dadas as preposições: 
 
p: O céu está nublado. 
q: Vai chover. 
 
Então: 
 
A Condicional é: “Se o céu está nublado, então vai chover”. 
A Recíproca do Condicional é: “Se vai chover, então o céu está nublado”. 
A Contrapositiva é: “Se não vai chover, então o céu não está nublado”. 
A Inversa é: “Se o céu não está nublado, então não vai chover”. 
 
 
3) Escreva a proposição recíproca, a proposição inversa e a proposição 
contrapositiva de cada uma das seguintes proposições: 
 
 
 
 
 
 
a) Se Carlos está doente, então ele precisa de um médico. 
53 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
Recíproca: Se Carlos precisa de um médico, então ele está doente. 
Contrapositiva: Se Carlos não precisa de um médico, então ele não está 
doente. 
Inversa: Se Carlos não está doente, então ele não precisa de um médico. 
 
b) Se eu estudo, então sou aprovado. 
 
Recíproca: Se eu sou aprovado, então eu estudo. 
Contrapositiva: Se eu não sou aprovado, então eu não estudo. 
Inversa: Se eu não estudo, então eu não sou aprovado. 
 
4) Escreva a proposição contrapositiva de cada uma das seguintes 
proposições: 
a) p  q Resposta: ~ q  ~ p 
b) q  p Resposta: ~ p  ~ q 
c) ~ p  q Resposta: ~ q  p 
d) p  ~ q Resposta: q  ~ p 
e) ~ q  p Resposta: ~ p  q 
f) ~ p  ~ q Resposta: q  p 
g) ~ q  ~ p Resposta: p  q 
 
5) Determinar a proposição contrapositiva da proposição recíproca de 
p  ~ q 
 
Solução: 
Considerando-se a proposição dada como a proposição Condicional, 
podemos, através da definição, encontrar a proposição Contrapositiva: 
 Condicional: p → ~q 
 Contrapositiva: q → ~p (novo condicional) 
 Recíproca: ~p →q 
 Resposta: ~p→q 
 
6) Determinar a proposição recíproca da proposição contrapositiva de 
~ q  ~ p 
54 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 Solução: 
 Sendo a proposição dada, considerada a proposição 
condicional,teremos: 
 Condicional: ~q → ~p 
 Recíproca: ~p → ~q ( novo condicional) 
 Contrapositiva: q→p 
Resposta: q→p 
 
7) Determinar a proposição contrapositiva da proposição inversa de ~ p → 
q 
 
Solução: 
Como a proposição dada, por convenção, é a proposição 
condicional,temos: 
 Condicional: ~p → q 
 Contrapositiva: ~q→p ( novo condicional) 
 Inversa: q → ~p 
 
Resposta: q→~p 
 
8) Determinar a proposição recíproca da proposição inversa de ~ p  ~ q 
 
Solução: 
 Fazendo: Condicional: ~p → ~q 
 Inversa: p → q (novo condicional) 
 Recíproca: q → p 
 
 Resposta: q→p 
 
 
 
 
 
55 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
9) Determinar a proposição recíproca da proposição inversa da 
proposição contrapositiva de ~ q  ~ p: 
 
 Solução: 
 Fazendo: Condicional: ~q→ ~p 
 Contrapositiva: p → q ( novo Condicional) 
 Inversa: ~p → ~q (novo Condicional) 
 Recíproca: ~q → ~p 
 
Resposta: ~q→~p 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Determinar : 
a) A proposição recíproca da proposição contrapositiva de q ~ p 
Resposta: ~ q  p 
b) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de q  ~ q 
Resposta: ~ q  p 
c) A proposição contrapositiva da proposição inversa de q  ~ q 
Resposta: ~ p  q 
d) A proposição inversa da proposição contrapositiva de q  ~ p 
Resposta: ~ q  p 
e) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p  ~ q 
Resposta: ~ p  q 
f) A proposição recíproca da proposição contrapositiva de ~ q  ~ p 
Resposta: q  p 
g) A proposição contrapositiva da proposição inversa de ~ p  q 
Resposta: q  ~ p 
h) A proposição recíproca da proposição inversa de ~ p  ~ q 
Resposta: q  p 
i) A proposição contrapositiva da proposição contrapositiva de p  q 
Resposta: p  q 
j) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p  q 
56 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Resposta: ~ p  ~ q 
k) A proposição contrapositiva da proposição inversa de p  q 
Resposta: q  p 
l) A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p  ~ q 
Resposta: ~ p  q 
m) A proposição recíproca da proposição contrapositiva de ~ p  ~ q 
Resposta: p  q 
 
 
2) Seja a condicional “ Se João é professor, então é feliz” , dar, em linguagem 
natural: 
 
a) a sua contrapositiva; 
b) a sua recíproca; 
c) a contrapositiva da recíproca; 
d) a recíproca de sua contrapositiva; 
e) a sua inversa; 
f) a contrapositiva da sua inversa; 
 
 
Exercícios propostos: 
 
Exercício 1 
Sejam as proposições: 
p: Pedro saiu; 
q: Maria esta aqui. 
Forme sentenças, na linguagem simbólica que correspondam às 
proposições seguintes: 
a) Pedro não saiu; 
b) Maria não esta aqui; 
c) Pedro saiu e Maria esta aqui; 
d) Pedro não saiu e Maria esta aqui; 
e) Não é verdade que Pedro saiu, mas Maria não esta aqui; 
f) É falso que Pedro não saiu e Maria esta aqui. 
 
57 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 
Construir a tabela-verdade para as seguintes proposições: 
a) p Λ ~ p 
b) p V ~ p 
c) p Λ ~ q 
d) p V ~ q 
e) ~ p Λ q 
f) ~ p V q 
g) ~ p Λ ~ q 
h) ~ p V ~ q 
i) ~ (p V q) 
j) ~ (p Λ q) 
k) ~ (~ p V q) 
l) (~ p Λ q) V (p V ~ q) 
 
 
Exercício 3 
 (Analista de Finanças e Controle - AFC/CGU – 2003/2004) 
Homero não é honesto ou Júlio é justo. Homero é honesto ou Júlio é justo ou 
Beto é bondoso. Beto é bondoso ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso ou 
Homero é honesto. Logo: 
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo; 
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não e justo; 
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo; 
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo; 
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 
 
Resposta: letra c 
 
Exercício 4 
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: 
a) Se 10 < 
10
, então 8 – 3 = 6; 
b) Se 3 + 2 = 7, então 4 + 4 = 8; 
c) Não é verdade que se 2 + 2 = 5, então 4 + 4 = 10 
d) Se 3 + 3 = 8, então 2 + 2 = 4 ou 7 + 7 

 14 
58 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
e) Se 5 > 2 e 2 

 1, então 7 + 2 = 10 ou 2 +3 = 5 
 
Resposta: a) Verdadeiro c) Falso e) Verdadeiro 
b) Verdadeiro d) Verdadeiro 
 
Exercício 5 
Construir a tabela-verdade de cada uma das proposições: 
a) ~ (p  ~ q) 
b) (p Λ q)  (p V q) 
c) ~ p  (q  p) 
d) (p  q)  (p Λ q) 
e) (~ p Λ r)  (q V r) 
f) [(p  q) Λ (q  r)]  (p  r) 
 
Exercício 6 
(Agencia Nacional Energia Elétrica - ANEEL) 
 
Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. 
Assim: 
a) Estudo e fumo. 
b) Não fumo e surfo. 
c) Não velejo e não fumo. 
d) Estudo e não fumo. 
e) Fumo e surfo. 
 
Resposta: letra e 
 
Exercício 7 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual - SP) 
Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é: 
a) ~ p  ~ q 
b) q  ~ p 
c) ~ (q  p) 
d) ~ q  ~ p 
59 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
e) ~ q  p 
 
Resposta: letra d 
 
 
 
 
Exercício 8 
(Tribunal de contas do Estado - PR) 
Se navegar é preciso, então viver não é preciso. Se navegar não é preciso, 
então criar não é preciso. Mas Fernando Pessoa disse que criar é preciso. 
Logo: 
a) Viver é preciso e criar é preciso; 
b) Navegar é preciso e viver não é preciso; 
c) Criar é preciso e navegar não é preciso; 
d) Navegar é preciso e viver é preciso; 
e) Navegar não é preciso e viver não é preciso; 
 
Resposta: letra b 
 
Exercício 9 
Determine o valor lógico de “p”, isto é V(p), em cada um dos quesitos, 
sabendo que: 
a) V(q) = V e V(p Λ q) = V 
b) V(q) = F e V(p V q) = V 
 
Resposta: a) V(p)= V e b) V(p)= V 
 
Exercício 10 
 (Analista de Finanças e Controle - AFC/CGU - 2003/2004) 
Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, 
então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é 
neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria, logo: 
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto; 
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia; 
60 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
c) Ana é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro; 
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto; 
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 
Resposta: letra e 
 
 
 
 
Exercício 11 
Dadas as preposições: 
p: Juscelino Kubitschek era mineiro; 
q: Getulio Vargas era pernambucano. 
Determine o valor lógico de: 
a) p Λ q 
b) p V q 
c) p  q 
d) p  q 
e) q  p 
 
Resposta: 
a) Falso 
b) Verdadeiro 
c) Falso 
d) Falso 
e) Verdadeiro 
 
Exercício 12 
Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor lógico (V 
ou F) de cada proposição abaixo: 
a) p  r 
b) p  q 
c) r  p 
d) (p V r)  q 
 
Resposta: 
a) Falso 
b) Verdadeiro 
c) Falso 
61 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
d) Verdadeiro 
 
Exercício 13 
Determine o valor lógico de “p”, isto é V(p), em cada um dos seguintes 
quesitos, sabendo que: 
a) V(q) = F e V(p  q) = F 
b) V(q) = V e V(p  q) = F 
Resposta: 
a) V(p) = V b) V(p) = F 
62 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Exercício 14 
Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições simples. 
 
p q ? 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Determinar a proposição composta que substitui corretamente o ponto de 
interrogação. 
Resposta: ~ ( p v q) 
 
Exercício 15 
Classificar as proposições a seguir, em Tautologia, Contradição ou 
Contingência. 
a) ~ (p V q)  (~ p Λ ~ q) 
b) ~ [~ ( p Λ q)]  (~ p V ~ q) 
c) [(p V q)  ~ p]  (q Λ p) 
Resposta: a) Tautologia b)Contradição c)Contingência 
 
Exercício 16 
Chame-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a compõe. Um exemplo de 
tautologia é: 
a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo; 
b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo; 
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo; 
d) Se João é alto ouGuilherme é gordo, então João é alto e Guilherme 
é gordo; 
e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 
Resposta: letra a 
 
63 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Exercício 17 
Aplicando as leis de DeMORGAN, dar a negação de cada uma das seguintes 
proposições : 
a) p Λ ~ q 
b) ~ p V q 
c) ~ p Λ q 
d) ~ p V ~ q 
Resposta: a)~p v q b) p ^ ~q c) p v ~q d) p ^ q 
 
Exercício 18 
Dar a negação em linguagem natural de cada uma das seguintes 
proposições: 
a) A lógica é fácil e Pedro será aprovado. 
b) Maria é bonita ou não é elegante. 
c) É noite e a cidade descansa. 
Resposta: 
a) A lógica é difícil ou Pedro será reprovado. 
b) Maria é feia e é elegante. 
c) Não é noite ou a cidade não descansa. 
 
 
Exercício 19 
(ESAF – TCU - 1999) 
Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga 
com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. 
Ora, Beto não briga com Bia. Logo: 
a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia; 
b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia; 
c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz; 
d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz; 
e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. 
Resposta: letra c 
 
 
 
 
 
64 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
Exercício 20 
Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é 
careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. 
Logo: 
a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo; 
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca; 
c) César é careca e Maria é magra; 
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo; 
e) Lúcia é linda e César é careca. 
Resposta: letra a 
 
Exercício 21 
(Auditor do Trabalho - MTE/2003) 
Se não durmo, então bebo. Se estou furioso, então durmo. Se durmo, então 
não estou furioso. Se não estou furioso, então não bebo. Logo: 
a) Não durmo, estou furioso e não bebo; 
b) Durmo, estou furioso e não bebo; 
c) Não durmo, estou furioso e bebo; 
d) Durmo, não estou furioso e não bebo; 
e) Não durmo, não estou furioso e bebo. 
Resposta: letra d 
 
Exercício 22 
(Técnico de Finanças e Controle - TFC/SFC/2000) 
Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. 
Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então 
Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: 
a) Anais não será professora e Ana não será atleta; 
b) Anelise não será cantora e Ana será atleta; 
c) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista; 
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta; 
e) Anais será professora e Anelise não será cantora. 
Resposta: letra e 
 
 
65 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 23 
Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o 
passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: 
a) O jardim é florido e o gato mia; 
b) O jardim é florido e o gato não mia; 
c) O jardim não é florido e o gato mia; 
d) O jardim não é florido e o gato não mia; 
e) Se o passarinho canta, então o gato não mia. 
Resposta: letra c 
 
Exercício 24 
(Analista de Finanças e Controle - AFC/CGU-2003/2004) 
Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, 
então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é 
neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Então: 
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto; 
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia; 
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro; 
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto; 
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 
Resposta: letra e 
 
Exercício 25 
(MPOG) 
Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente 
equivalente a dizer que: 
a) André é artista se, e somente se, Bernardo não é engenheiro; 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro; 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro; 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista; 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
Resposta: letra d 
66 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 26 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual - SP) 
Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente à 
proposição p → q é: 
a) ~ (q  p) 
b) q  ~ p 
c) ~ p  ~ q 
d) ~ q  p 
e) ~ q  ~ p 
Resposta: letra e 
 
Exercício 27 
(MOPG/ENAP/SPU/2006) 
Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é, do ponto de vista lógico, o 
mesmo que dizer: 
a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz; 
b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre; 
c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz; 
d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz; 
e) Se Ana não é alegre, então beatriz não é feliz. 
Resposta: letra c 
 
Exercício 28 
(Tribunal de Contas/PR) 
A negação da sentença “Se você estudou Lógica, então você acertará está 
questão” é: 
a) Se você não acertar está questão, então você não estudou Lógica; 
b) Você não estudou Lógica e acertará está questão; 
c) Se você estudou Lógica, então você não acertará está questão; 
d) Você estudou Lógica e não acertará está questão; 
e) Você não estudou Lógica e não acertará está questão. 
67 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Resposta: letra d 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 29 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual/SP) 
Se p e q são proposições simples, então a proposição composta p Λ ~ q é 
equivalente a: 
a) ~ (p  ~ q) 
b) ~ (p  q) 
c) ~ q  ~ p 
d) ~ q Λ ~ p 
e) ~ (q  p) 
Resposta: letra b 
 
Exercício 30 
(Analista/Serpro/2001) 
No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que 
sempre que Denise dança então o grupo de Denise é aplaudido de pé. Sabe-
se, também, que, aos domingos, ou Paula vai ao parque ou Paula vai pescar 
na praia. Sempre que Paula vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e 
sempre que Paula vai ao parque, Denise dança. Então, no último domingo: 
a) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise foi aplaudido de pé; 
b) O grupo de Denise não foi aplaudido de pé e Paula não foi 
pescar na praia; 
 c) Denise não dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé; 
 d) Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé; 
e) Paula não foi ao parque e o grupo de Denise não foi aplaudido de 
pé. 
Resposta: letra d 
 
Exercício 31 
68 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão ou 
Egídio é espanhol. 
Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é 
espanhol nem Isaura é italiana. 
 Logo: 
a) Pedro é português e Frederico é francês; 
b) Pedro é português e Alberto é alemão; 
c) Pedro não é português e Alberto é alemão; 
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês; 
e) Se Alberto é alemão, então Frederico é francês. 
Resposta:letra b 
 
 
 
Exercício 32 
(Analista/Serpro/2001) 
Cícero quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo está na cidade. Suas 
amigas Cecília, Célia e Cleuza têm opiniões discordantes sobre o circo está 
na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleuza está enganada. Se Cleuza 
estiver enganada, entãoCélia está enganada. Se Célia estiver enganada, 
então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade ou Cícero 
não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo: 
a) O circo está na cidade; 
b) Célia e Cleuza não estão enganadas; 
c) Cleuza está enganada, mas não Célia; 
d) Célia está enganada, mas não Cleuza; 
e) Cícero não irá ao circo. 
Resposta: letra e 
 
Exercício 33 
A negação da afirmação “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: 
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva; 
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva; 
c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva; 
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva; 
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
Resposta: letra e 
 
69 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Exercício 34 
(ANEEL) 
A negação da afirmação “Se Ana viajar, Paulo vai viajar” é: 
a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar; 
b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar; 
c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar; 
d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar; 
e) Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 
Resposta: letra c 
 
 
70 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
Exercício 35 
(Secretaria de Estado da Fazenda –SEFAZ-MG/2005) 
A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está 
em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: 
a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris; 
b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris; 
c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em 
Paris; 
d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris; 
e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. 
Resposta: letra d 
 
Exercício 36 
(Auditor do Tesouro Municipal/Prefeitura do Recife/2003) 
André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é 
culpado. Caio é inocente se, e somente se, Dênis é culpado. Ora, Dênis é 
culpado. Logo: 
a) Caio e Beto são inocentes; 
b) André e Caio são inocentes; 
c) André e Beto são inocentes; 
d) Caio e Dênis são culpados; 
e) André e Dênis são culpados. 
 Resposta:letra b 
 
Exercício 37 
(ANEEL) 
Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei 
fica no castelo. Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a 
rainha não briga com o rei. Então: 
a) O rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre; 
b) O rei fica no castelo e o tigre é feroz; 
c) O rei não fica no castelo e o tigre é feroz; 
d) O tigre é feroz e o anão foge do tigre; 
e) O tigre não é feroz e o anão foge do tigre. 
Resposta: letra a 
 
 
71 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
Exercício 38 
(Analista de Finanças e Controle/AFC/2006) 
Márcia não é magra ou Renata é ruiva. Beatriz é bailarina ou Renata não é 
ruiva. Renata não é ruiva ou Beatriz não é bailarina. Se Beatriz não é bailarina, 
então Márcia é magra. Assim: 
a) Márcia não é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina; 
b) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz é bailarina; 
c) Márcia é magra, Renata não é ruiva, Beatriz não é bailarina; 
d) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz é bailarina; 
e) Márcia não é magra, Renata é ruiva, Beatriz não é bailarina; 
Resposta:letra a 
 
Exercício 39 
Dizer que: “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista 
lógico, o mesmo que dizer que: 
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista; 
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro; 
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista; 
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista; 
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista; 
Resposta:letra a 
 
Exercício 40 
(MPU) 
Sabe-se que, João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e 
condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que 
Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra 
abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraçar Sérgio: 
a) João está feliz, Maria não sorri, Daniela abraça Paulo; 
b) João não está feliz, Maria sorri, Daniela não abraça Paulo; 
c) João está feliz, Maria sorri, Daniela não abraça Paulo; 
d) João não está feliz, Maria não sorri, Daniela não abraça Paulo; 
e) João não está feliz, Maria sorri, Daniela abraça Paulo; 
Resposta:letra d 
 
72 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 41 
Determinar o valor lógico das proposições, abaixo relacionadas, sendo V(p) = 
V, V(q)= F e V(r ) = V. 
a) (p Λ ~ q)  ~q 
b) [p v (q  ~ r] Λ [(~ p V r)  ~ q] 
c) [p  (~q V r)] V ~ [ q V (p  ~ r)] 
Resposta: a)verdadeiro b)falso c)verdadeiro 
 
Exercício 42 
(Auditor Fiscal da Receita Municipal-SP) 
Seja a proposição: ~ {[(p  q) v r]  [q  (~p v r)]}. 
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que: 
a) Essa proposição é uma tautologia; 
b) O valor lógico dessa sentença é sempre F; 
c) Nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é V; 
d) Nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F; 
e) Faltou informar o valor lógico de q e de r. 
Resposta: letra d 
 
Exercício 43 
 (Auditor Fiscal Controle) 
Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai 
à África, então Luiz compra um livro. Se Luiz compra um livro, então Rui vai a 
Roma. Ora, Rui não vai a Roma. Logo: 
a) Celso compra um carro e Ana não vai à África; 
b) Celso não compra um carro e Luiz não compra um livro; 
c) Ana não vai à África e Luiz compra um livro; 
d) Ana vai à África ou Luiz compra um livro; 
e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma. 
73 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Resposta: letra a 
 
 
 
 
 
 
Exercício 44 
Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é 
careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. 
Logo: 
a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo; 
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca; 
c) César é careca e Maria é magra; 
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo; 
e) Lúcia é linda e César é careca. 
Resposta:letra a 
 
Exercício 45 
(AFC) 
Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao 
cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga 
com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: 
 
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória; 
b) Carla fica em casa e Glória vai o cinema; 
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema; 
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória; 
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 
Resposta: letra a 
 
Exercício 46 
(ESAF/MPOG e ENAP/2006) 
74 | C a p í t u l o I – Á l g e b r a d a s P r o p o s i ç õ e s 
 
 
Carmem, Gerusa e Maribel são suspeitas de um crime. Sabe-se que o crime foi 
cometido por uma ou mais de uma delas, já que podem ter agido 
individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente, então Gerusa é 
culpada. Sabe-se também que, ou Maribel é culpada ou Gerusa é culpada, 
mas não as duas. Maribel não é inocente. Logo: 
a) Gerusa e Maribel são as culpadas; 
b) Carmem e Maribel são as culpadas; 
c) Somente Carmem é inocente; 
d) Somente Gerusa é culpada; 
e) Somente Maribel é culpada. 
Resposta: letra b 
 
Exercício 47 
( ESAF/MPOG e ENAP/2006)