CEQ 07 Análise da Capacidade de Processos e Sistemas de Medida

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ANÁLISE DE CAPACIDADE
DE PROCESSOS E
SISTEMAS DE MEDIDA
DEP-CTG-UFPE
Introdução
• Capacidade do processo diz respeito ao comportamento do 
processo em relação às especificações de projeto.
• Deve-se antes assegurar a uniformidade da produção 
(processo estável)
• Duas maneiras de encarar a variabilidade:
– Variabilidade natural ou inerente (instantânea)
– Variabilidade ao longo do tempo
Introdução
• Limites de Tolerância Natural
– Relativos ao ajuste do processo
– Representam a região em que ocorre a maior parte da 
variabilidade.
• Assuma um processo para o qual a característica da 
qualidade tem distribuição normal com media � e desvio 
padrão �. Os limites naturais de tolerância superior e 
inferior do processo se situam em, respectivamente:
LSNT = µ + 3σ
LINT = µ − 3σ
Introdução
• Análise de Capacidade de um Processo é um estudo 
de engenharia para estimar capacidade do processo.
• Trata-se de um estudo de caracterização de um 
produto, em que podemos apenas estimar a 
distribuição da característica da qualidade do produto 
ou a produção do processo (fração conforme)
• Nada podemos dizer sobre o comportamento 
dinâmico do processo ou seu estado de controle 
estatístico
Análise de Capacidade de um Processo
7-2.1 Utilizando o Histograma
• Juntamente com a média amostral 
� e o desvio 
padrão amostral �, o histograma proporciona 
informações sobre a capacidade do processo.
– A capacidade do processo pode ser estimada como 
� ± 3�
– A forma do histograma pode ser determinada (tal como se 
ela segue uma distribuição normal) 
– Histogramas proporcionam uma impressão imediata do 
desempenho do processo.
Análise de Capacidade de um Processo
2
Análise de Capacidade de um Processo
Gráfico de Probabilidade
– Gráficos de Probabilidade são úteis para
• Determinar a forma da distribuição
• Determinar o centro da distribuição
• Determinar a dispersão da distribuição.
– Gráficos de Probabilidade Normal
• Permitem avaliar a aderência dos dados ao 
modelo de distribuição normal
Análise de Capacidade de um Processo
Análise de Capacidade de um Processo
Gráfico de Probabilidades
• Cuidados com o uso de gráficos de 
probabilidades
– Se os dados não provêm da distribuição suposta, as 
inferências sobre a capacidade do processo extraídas 
do gráfico podem apresentar erro sério
– O gráfico de probabilidades não é um procedimento 
objetivo (é possível que dois analistas cheguem a 
conclusões diferentes utilizando os mesmos dados).
Análise de Capacidade de um Processo
Estimando a Capacidade de Processo
• Caso os parâmetros � e � da distribuição normal não
sejam conhecidos, é possível estimar usando uma
amostra extraída do processo sob controle estatístico
por:
�̂ = 
�; �� = �
• Os dados usados nos gráficos 
� e � (ou S) podem ser
usados na análise da capacidade do processo. Neste
caso:
�̂ = 
��; �� =
��
��
 ou �� =
�̅
��
Gráficos de Controle para �� e �
Estimando a Capacidade de Processo
• Assuma um processo estável. Então será possível estimar a 
fração de itens não conformes para qualquer processo em 
que limites de especificação foram definidos.
• Assuma que o processo é normalmente distribuído, ou seja, 
que � é normalmente distribuído, então a estimativa da 
fração de itens não conformes pode ser encontrada 
resolvendo:
 ̂ = ! � < #$% + ! � > #�%
 = Φ
#$% − �̂
��
+ 1 − Φ
#�% − �̂
��
Gráficos de Controle para �� e �
3
Razão (ou Índice) de Capacidade de Processo (RCP)
• Usada para expressar a capacidade de processos 
normalmente distribuídos.
• Interpretação
– Se ) > 1, então um número baixo de itens não 
conformes estarão sendo produzidos.
– Se ) = 1, então cerca de 0,27% de itens não 
conformes estarão sendo produzidos.
– Se ) < 1, então um grande número de itens 
não conformes estarão sendo produzidos.
Gráficos de Controle para �� e �
Razão (ou Índice) de Capacidade de Processo (RCP)
• A estatística )* assume que a média do processo 
é centralizada no ponto central da faixa de 
especificação – ela mede a capacidade potencial.
• Para processos com ambos os limites de 
especificação, utilize uma estimativa de σ se ela 
for conhecida.
Gráficos de Controle para �� e �
Uso e Interpretação de +,
• Razão da Capacidade de um Processo (RCP)
onde LSE e LIE são os limites de especificação 
superior e inferior, respectivamente.
σ6
LIELSE −
=pC
Razões da Capacidade de um Processo
Uso e Interpretação de +,
• A estimativa de )* é dada por
onde a estimativa �� pode ser calculada usando o 
desvio padrão amostral �, ou ��/��.
σˆ6
LIELSE
ˆ
−
=pC
Razões da Capacidade de um Processo
Gráficos de Controle para �� e � Razões da Capacidade de um Processo
4
Razões da Capacidade de um Processo
Razão (ou Índice) de Capacidade de Processo (+,)
– O percentual da faixa de especificação usada pelo
processo é denotada por
!. =
/
01
× 100%
Gráficos de Controle para �� e �
Exercício
5-1 Os dados exibidos aqui são valores de 
� e � para 24 amostras
de tamanho 5 = 5 tiradas de um processo que produz
mancais. As medidas são feitas no diâmetro interno dos
mancais, registrando-se apenas as três últimas decimais (isto
é, 34,5 representa 0,50345).
a) Construa gráficos 
� e � para esse processo. O processo
parece estar sob controle estatístico? Se necessário, revise 
os limites de controle tentativos.
b) Se as especificações para o diâmetro são 0,5030 ± 0,0010, 
ache a percentagem de mancais não-conformes produzidos
por esse processo. Suponha que o diâmetro é normalmente
distribuído.
Exercício
Amostra �� �
1 34,5 3
2 34,2 4
3 31,6 4
4 31,5 4
5 35,0 5
6 34,1 6
7 32,6 4
8 33,8 3
9 34,8 7
10 33,6 8
11 31,9 3
12 38,6 9
Amostra �� �
13 35,4 8
14 34,0 6
15 37,1 5
16 34,9 7
17 33,5 4
18 31,7 3
19 34,0 8
20 35,1 4
21 33,7 2
22 32,8 1
23 33,5 3
24 34,2 2
Uso e Interpretação de +,
• Especificações Unilaterais
Estes índices são usados para os limites de 
especificação superior e inferior, respectivamente
σ
µ
σ
µ
3
LIE
3
LSE
−
=
−
=
pi
ps
C
C
Razões da Capacidade de um Processo
Uso e Interpretação de +,
As quantidades ppm correspondentes às capacidades )* são 
calculadas com base em suposições muito importantes:
1. A característica de qualidade tem distribuição normal
2. O processo está sob controle estatístico
3. No caso de especificações bilaterais, a média do 
processo está centrada entre os limites de especificação 
superior e inferior.
Se alguma destas suposições for violada, as quantidades 
resultantes podem estar erradas.
Razões da Capacidade de um Processo
5
Razão da Capacidade do Processo para um 
Processo Descentrado
• )* não considera onde a média do processo está 
localizada em relação às especificações.
• Uma razão da capacidade do processo que que leve em 
conta a centralização do mesmo é definida por:
)*9 = min )*= , )*>
• )* mede a capacidade potencial
• )*9 mede a capacidade efetiva
Razões da Capacidade de um Processo Exemplo
Exercício
7-5 Um processo está sob controle com 
�� = 100, �̅ = 1,05 e 5 = 5. As
especificações do processo são 95 ± 10. A característica da qualidade tem
distribuição normal.
a) Estime a capacidade potencial
b) Estime a capacidade efetiva
c) De quanto se reduziria a falha do processo se ele fosse corrigido de 
modo a operar na especificação nominal.
Exercício
7-6 Um processo está sob controle com 
�� = 75, �̅ = 2. As especificações do
processo são 80 ± 8. O tamanho da amostra é 5 = 5.
a) Estime a capacidade potencial
b) Estime a capacidade efetiva
c) De quanto se reduziria a falha do processo deslocando-se a media para 
a dimensão nominal? Admita que a característica da qualidadeseja 
distribuída normalmente.
Normalidade e Razão de 
Capacidade de um Processo
• Uma suposição importante subjacente é que a 
interpretação da capacidade de um processo e 
das razões )* e )*9 se baseia em uma 
distribuição normal da saída do processo.
• Uma forma de abordar esta situação é 
transformar os dados, de modo que, na nova 
métrica, transformada, os dados tenham a 
aparência de uma distribuição normal
Mais Detalhes sobre Centralização
de Processos
• )*9 não deve ser usado isoladamente como
uma medida de centralização do processo.
• )*9 depende inversamente de σ e se torna
grande quando σ se aproxima de zero. Ou
seja, um grande valor de )*9 não
necessariamente revela algo sobre a 
localização da média no intervalo (LIE, LSE)
6
Mais Detalhes sobre Centralização
de Processos
Mais Detalhes sobre Centralização 
de Processos
• Uma melhor razão da capacidade que mede a 
centralização do processo é:
onde τ é a raiz quadrada do desvio quadrático 
esperado a contar do alvo C = /
�
(LSE + LIE)
τ6
LIELSEC pm
−
=
2222 )(])[( TTxE −+=−= µστ
Mais Detalhes sobre Centralização 
de Processos
• )*G pode ser rescrita de outra forma:
onde
222 1)(6 ξµσ +=−+
−
=
p
pm
C
T
LIELSEC
σ
µξ T−=
Mais Detalhes sobre Centralização
de Processos
• Uma forma mais lógica de estimar )*G é:
onde
21
ˆ
ˆ
V
C
C ppm
+
=
S
TxV −=
Mais Detalhes sobre Centralização
de Processos
• A )*G de um processo com � − C = Δ > 0 é 
estritamente limitada acima pelo valor )* de um 
processo com � = Δ:
)*G <
#�% − #$%
6 � − C
Assim, uma condição necessária para que )*G ≥ 1
� − C <
1
6
#�% − #$%
Mais Detalhes sobre Centralização 
de Processos
• A seguinte razão de capacidade de um processo 
oferece uma maior sensitividade a afastamentos 
da media do processo � em relação ao alvo 
desejado C.
22 1
1
ξ
σ
µ +
=





 −
+
=
pkpk
pkm
C
T
C
C
7
Mais Detalhes sobre Centralização 
de Processos
• O índice )* é uma razão de primeira geração.
• Os índices )*9 e )*G são razões de segunda 
geração, pois são geradas a partir da razão de 
primeira geração )*.
• O índice )*9G faz parte da terceira geração de 
razão de capacidade de um processo, pois é 
gerada a partir da razão de segunda geração )*9
Exercício
7-7 Considere os dois processos mostrados a seguir (o tamanho
amostral é 5 = 5):
As especificações são 100 ± 10. Calcule )*, )*9 e )*9G e
interprete essas razões. Que processo você preferiria utilizar?
Processo A Processo B
��K = 100 
�
�
L = 105
�K̅ = 3 �L̅ = 1
Exercício
Avaliar o processo de envasamento de erva-mate moída. Nesta
etapa, o produto é acondicionado em embalagens de 1 MN para
venda. A máquina semiautomática possui regulagem de carga
de tipo volumétrico. Durante certo intervalo de tempo,
inspecionou-se o peso de 100 pacotes (dados em gramas no
quadro a seguir). Especificações: 1000 ± 15 N.
a) Avalie a capacidade potencial (descentrada e centrada)
b) Avalie a capacidade efetiva (descentrada e centrada)
�̅ = 1001,86
� = 4,799
Exercício
Estudos sobre a Capacidade de um 
Medidor e de um Sistema de Medidas
7-6.1 Gráficos de Controle e Métodos Tabulares
• Partes da variabilidade total:
– Variabilidade do produto, que é a 
variabilidade inerente ao próprio produto
– Variabilidade do medidor (ou variabilidade da 
medição), que é a variabilidade devido ao erro 
de medição
2
medidor
2
produto
2
total σσσ +=
Gráficos de Controle e Métodos 
Tabulares
Gráficos �� e �
• Admita gráficos 
� e � em que 5 medidas são 
tomadas de um conjunto de P peças por um 
mesmo operador usando um mesmo instrumento
• A variabilidade percebida no gráfico 
� pode ser 
interpretada como devida à habilidade do medidor 
em distinguir entre unidades do produto
• A variabilidade percebida no gráfico � pode ser 
interpretada como a variabilidade devida ao 
operador.
8
Gráficos de Controle e Métodos 
Tabulares
Razão da Precisão para a Tolerância (Q/R)
• Uma estimativa do desvio padrão do erro de 
medição é dada então por:
• Uma boa estimativa da capacidade do medidor 
(!) é dada por:
2
medidorˆ d
R
=σ
medidorˆ6σ=P
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Razão da Precisão para a Tolerância (Q/R)
• A razão entre a capacidade do medidor (!) e a 
faixa de tolerância (C) resulta na razão da 
precisão para tolerância, dada por:
• Em geral, admite-se !/C ≤ 0,1 para uma
capacidade adequada do medidor
LIELSE
ˆ6 medidor
−
=
σ
T
P
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
9
Gráficos de Controle e Métodos 
Tabulares
• A variabilidade total pode ser estimada utilizando 
a variância amostral.
��TUTVW
� = ��
• Uma estimativa da variabilidade do produto pode 
ser encontrada por
��XYUZ[TU
� = ��TUTVW
� − ��\]Z^ZUY
� = �� − ��\]Z^ZUY
�
• Uma estatística para a variabilidade do processo 
que não depende dos limites de especificação é a 
percentagem da variabilidade da característica do 
processo:
��\]Z^ZUY
�
��XYUZ[TU
�
× 100
Gráficos de Controle e Métodos 
Tabulares
Exercício
Um mesmo operador mede dez peças
três vezes, em um estudo de capacidade
de um medidor. O dados estão na
tabela.
– Descreva o erro de medição que resulta do
uso desse medidor
– Estime a variabilidade total e a
variabilidade do produto.
– Que percentagem da variabilidade total é
devida ao medidor
– Se as especificações da peça se situam em
100 ± 15 , ache a razão P/T para este
medidor. Faça um comentário sobre a
adequação do medidor.
Peça
Medidas
1 2 3
1 100 101 100
2 95 93 97
3 101 103 100
4 96 95 97
5 98 98 96
6 99 98 98
7 95 97 98
8 100 99 98
9 100 100 97
10 100 98 99
Gráficos de Controle e Métodos 
Tabulares
Estudos de Medidor R&R
• Os estudos de medidor R&R se destinam a avaliar 
as componentes do erro da mensuração
• É importante diferenciar os seguintes conceitos
– Exatidão refere-se à capacidade de medir 
corretamente, em média, o verdadeiro valor
– Precisão é uma medida da variabilidade 
inerente às medidas
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Estudos de Medidor R&R
• Os estudos do medidor �&� lidam principalmente
com a precisão do medidor, e não com sua
exatidão.
• A avaliação da exatidão de um medidor ou
sistema de medidas frequentemente exige o uso de
um padrão, para o qual se conhece o verdadeiro
valor da característica medida
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Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Estudos de Medidor R&R
• Os estudos do medidor R&R requerem a divisão
da variabilidade do medidor em duas partes:
– Repetitividade, que é a precisão básica do
medidor (mesmas condições)
– Reprodutividade é a variabilidade devido ao
uso do medidor por mais de um operador
(diferentes condições)
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Estudos de Medidor R&R
• Variabilidade do medidor pode ser dividida em:
• Mais de um operador (ou diferentes condições) 
seriam necessárias para conduzir o estudo de 
medidor �&�.
2
daderepetitivi
2
idadereprodutiv
2
medição σσσ +=
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Estudos de Medidor R&R (Método Tabular)
• Considere no estudo:
– P peças
– operadores
– 5 medições realizadas em cada peça por um mesmo
operador
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Estudos de Medidor R&R (Método Tabular)
• Determine o desvio padrão devido à repetitividade:
onde
�2 é baseada no número de medições realizadas em
cada peça por um mesmo operador (5)
2
daderepetitiviˆ d
R
=σ
p
RRR
R p
+++
=
L21
Gráficos de Controle e Métodos
Tabulares
Estudos de Medidor R&R (Método Tabular)
• O desvio padrão para a reprodutividade é dada por
onde
�2 é baseado no número de operadores( )
2
idadereprodutivˆ d
R
x
=σ
),,min(
),,max(
21min
21max
minmax
p
p
x
xxxx
xxxx
xxR
K
K
=
=
−=
Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exercício Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• A Análise de Variância (ANOVA) pode ser
extendida para analisar os dados de um 
experimento e para estimar os componentes
apropriados da variabilidade do medidor.
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Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• Por exemplo, assuma a peças e b operadores, 
selecionados aleatoriamente, e que cada operador
mede cada peça n vezes. 
• As medições, abcM, podem ser representadas pelo
modelo
onde b = peças, c = operador e M = medida.





=
=
=
++++=
nk
bj
ai
y ijkijjiijk
,...,2,1
,...,2,1
,...2,1
)( ετββτµ
7-6.2 Métodos Baseados na Análise
de Variância
• Os parâmetros do modelo d>, e>, de >f e g>f9 são, 
todos eles, variáveis aleatórias independentes que
representam os efeitos das peças, dos operadores, a 
interação ou efeitos conjuntos das peças e operadores, 
e o erro aleatório, respectivamente.
• Assume-se que d>, e>, de >f e g>f9 sejam distribuídas
normalmente com media zero e variâncias dadas por
h d> = �i
�
, h e> = �j
�
, h de >f = �ij
� e 
h g>f9 = �
�
.
Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• A variância de qualquer observação pode ser
então obtida por
h a>f9 = �i
� + �j
� + �ij
� + ��
onde �i�, �j�, �ij� e �� são as componentes de 
variância que se deseja estimar
Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• As estimativas das componentes de variância
podem ser obtidas por meio da ANOVA
• O procedimento envolve a partição da 
variabilidade total das medidas nas seguintes
partes componentes:
onde �k representa uma soma de quadrados
Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• Cada soma de quadrados é dividida pelos seus graus
de liberdade para gerar medias quadráticas (lk)
Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• As componentes de variância podem ser então
estimadas pelas seguintes relações:
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Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• Componentes de repetitividade e reprodutividade
podem ser estimadas por:
��mn*no>o>p>qrqn
� = ���
��mn*msqto>p>qrqn
� = ��j
� + ��ij
�
• A variabilidade do medidor é estimada por:
��Gnq>qsm
� = ��mn*msqto>p>qrqn
� + ��mn*no>o>p>qrqn
�
= ��j
� + ��ij
� + ���
Métodos Baseados na Análise de 
Variância
• A variabilidade do produto pode ser estimada por:
��*msqtos
� = ��i
�
• A variabilidade total pode se estimada por:
��osoru
� = ��*msqtos
� + ��Gnq>qsm
�
= ��i
� + ��j
� + ��ij
� + ���
Exemplo Exemplo
• Quando o método da ANOVA é utilizado, podem
aparecer estimativas negativas de components da 
variância; 
• Modelo Reduzido
ijkjiijky εβτµ +++=
Exemplo Exemplo
��Y]X]T^T^v^ZVZ]
� = ��� = 0,8832
��Y]XYUZ[T^v^ZVZ]
� = ��j
� = 0,0106
��\]Z^ZUY
� = ��j
� + ��� = 0,8938
��XYUZ[TU
� = ��i
� = 10,2513
��TUTVW
� = ��i
� + ��j
� + ��� = 11,1451
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Exemplo
Percentagem da variabilidade da característica do 
processo
��\]Z^ZUY
��XYUZ[TU
=
0,8938
…
10,2513
…
=
0,9454
3,2018
= 0,2953 > 0,10
(Sistema de medição não é capaz)