c3 20162 1ee v1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
A´REA 2 – CCEN – DMAT
Ca´lculo 3 Aluno(a):
2016.2
Primeiro Exerc´ıcio Escolar
06/09/2016 Professor: Joa˜o Alves Silva Ju´nior
Atenc¸a˜o: As respostas de todas as questo˜es, exceto a primeira, precisam ser justificadas.
1. [2,0 pt.] Assinale V para verdadeiro e F para falso. (Na˜o precisa justificar, mas uma
resposta errada anula uma certa.)
( ) A imagem da func¸a˜o vetorial r(t) =
(
t3−t
t(t−1) , t
2
)
e´ igual ao conjunto de todos os
pontos (x, y) ∈ R2 tais que y = (x− 1)2.
( ) A regra do produto vetorial para derivadas de func¸o˜es vetoriais nos diz que
d
dt
[r(t)× s(t)] = r′(t)× s′(t).
( ) A func¸a˜o vetorial r(t) = 1
t−1(t− 1, |t− 1|) na˜o possui limites laterais em t = 1.
( ) Se r(t) = (t, 0, t2, 0, |t− 1|), enta˜o a func¸a˜o vetorial s(t) = ∫ t
0
r(u) du e´ cont´ınua.
( ) A curva α(t) = (t,
√|t|) na˜o e´ lisa, mas possui uma reparametrizac¸a˜o lisa.
2. [4,5 pt.] Considere a curva α(t) = (t−2, t2−12t+22), definida para t ∈ [3, 9], e a func¸a˜o
escalar f(x, y) = x2 − y − 30, definida sobre o trac¸o de α.
(a) [3,0 pt.] Esboce o trac¸o de α e calcule
∫
α
f ds.
(b) [0,5 pt.] Exprima o comprimento de α como uma integral definida (na˜o precisa
resolver a integral, mas simplifique).
(c) [0,5 pt.] Se o trac¸o de α for interpretado como um fio e f(x, y) for interpretado como
a densidade linear de carga ele´trica no ponto (x, y) desse fio, qual e´ a interpretac¸a˜o
correspondente para
∫
α
f ds?
(d) [0,5 pt.] Existe um campo vetorial F : α([3, 9])→ R2 tal que ∫
α
F · dr = ∫
α
f ds?
3. [3,5 pt.] Interpretando a curva α, definida na questa˜o anterior, como sendo a func¸a˜o
hora´ria da posic¸a˜o de uma part´ıcula P , de massa m = 5, chame de FR a forc¸a resultante
sobre P .
(a) [1,5 pt.] Calcule
∫
α
FR · dr pela definic¸a˜o. Qual e´ a variac¸a˜o de energia cine´tica
experimentada por P?
(b) [1,5 pt.] Mostre que FR : α([3, 9]) → R2 e´ um campo conservativo e calcule∫
α
FR · dr pelo teorema fundamental do ca´lculo para integrais de linha.
(c) [0,5 pt.] Existe uma func¸a˜o escalar g : α([3, 9])→ R tal que ∫
α
g ds =
∫
α
FR · dr?