Exercícios

Prévia do material em texto

Trabalho 1
1. Dada as func¸o˜es quadra´ticas abaixo:
f(x1, x2) = 5x
2
1 − 7x22 + 2x1x2 + 3x1 − 5
f(x1, x2) = 4x
2
1 + 3x
2
2 − x1x2 − 6x2
f(x1, x2) = x
2
1 − 2x1x2 + x22 − x2
• (a) Calcule suas Hessianas e as classifique de acordo com sua “positividade”
(ou seja, se sa˜o definidas positivas, semidefinidas positivas, definidas negati-
vas, semidefinidas negativas ou indefinidas).
• (b) Fac¸a o gra´fico das superf´ıcies de cada uma das quadra´ticas, associando
a classificac¸a˜o realizada no item (a) com a concavidade da superf´ıcie visuali-
zada. Por que isso ocorre?
2. Seja A uma matriz quadrada sime´trica. Suponha que existem dois ı´ndices distintos
i e j para os quais Ajj 6= 0, Aij 6= 0 e Aii = 0. Prove que A e´ indefinida.
3. Considerando as matrizes abaixo, determine os intervalos de valores de α para
os quais as matrizes sa˜o definidas positivas, semidefinidas positivas, indefinidas,
definidas negativas e semidefinidas negativas.
B =
 −1 α −1α −4 α
−1 α −1
 H =

1 α 0 0
α 2 α 0
0 α 2 α
0 0 α 1

4. Encontre e classifique os pontos cr´ıticos das func¸o˜es a seguir utilizando as condic¸o˜es
de otimalidade (quando poss´ıvel) ou a ana´lise do crescimento das imagens de uma
vizinhanc¸a.
• f(x1, x2) = 4x21 + 3x22 − x1x2 − 6x2
• f(x1, x2) = x21 − 2x1x2 + x22 − x2
• f(x) =
n∑
i=1
∣∣x5i − 3x4i + 4x3i + 2x2i − 10xi − 4∣∣, com n = 2.
• f(x) =
n−1∑
i=1
[
100
(
xi+1 − x2i
)2
+ (1− xi)2
]
, com n qualquer.
5. Seja A uma matriz quadrada qualquer. Encontre a matriz unita´ria mais pro´xima
de A usando a norma de Frobenius para aferir distaˆncia.
1
Instruc¸o˜es para entrega
O trabalho pode ser feito a` ma˜o (e nesse caso devera´ ser escaneado) ou digitado. Na˜o
ha´ limites mı´nimo nem ma´ximo de pa´ginas.
O arquivo final em formato pdf devera´ ter tamanho ma´ximo de 10MB e ser nomeado
como “DRE.pdf” (ex: 123123123.pdf, se o seu DRE for 123123123). Tal arquivo deve
ser submetido via formula´rio
Formula´rio: ⇒⇒ (clique aqui) ⇐⇐
ate´ as 23:59h do dia 28 de marc¸o de 2018.
2