Exercícios
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DisciplinaProgramação Não Linear8 materiais114 seguidores
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Trabalho 1
1. Dada as func¸o\u2dces quadra´ticas abaixo:
f(x1, x2) = 5x
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1 \u2212 7x22 + 2x1x2 + 3x1 \u2212 5
f(x1, x2) = 4x
2
1 + 3x
2
2 \u2212 x1x2 \u2212 6x2
f(x1, x2) = x
2
1 \u2212 2x1x2 + x22 \u2212 x2
\u2022 (a) Calcule suas Hessianas e as classifique de acordo com sua \u201cpositividade\u201d
(ou seja, se sa\u2dco definidas positivas, semidefinidas positivas, definidas negati-
vas, semidefinidas negativas ou indefinidas).
\u2022 (b) Fac¸a o gra´fico das superf´\u131cies de cada uma das quadra´ticas, associando
a classificac¸a\u2dco realizada no item (a) com a concavidade da superf´\u131cie visuali-
zada. Por que isso ocorre?
2. Seja A uma matriz quadrada sime´trica. Suponha que existem dois \u131´ndices distintos
i e j para os quais Ajj 6= 0, Aij 6= 0 e Aii = 0. Prove que A e´ indefinida.
3. Considerando as matrizes abaixo, determine os intervalos de valores de \u3b1 para
os quais as matrizes sa\u2dco definidas positivas, semidefinidas positivas, indefinidas,
definidas negativas e semidefinidas negativas.
B =
\uf8eb\uf8ed \u22121 \u3b1 \u22121\u3b1 \u22124 \u3b1
\u22121 \u3b1 \u22121
\uf8f6\uf8f8 H =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 \u3b1 0 0
\u3b1 2 \u3b1 0
0 \u3b1 2 \u3b1
0 0 \u3b1 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8
4. Encontre e classifique os pontos cr´\u131ticos das func¸o\u2dces a seguir utilizando as condic¸o\u2dces
de otimalidade (quando poss´\u131vel) ou a ana´lise do crescimento das imagens de uma
vizinhanc¸a.
\u2022 f(x1, x2) = 4x21 + 3x22 \u2212 x1x2 \u2212 6x2
\u2022 f(x1, x2) = x21 \u2212 2x1x2 + x22 \u2212 x2
\u2022 f(x) =
n\u2211
i=1
\u2223\u2223x5i \u2212 3x4i + 4x3i + 2x2i \u2212 10xi \u2212 4\u2223\u2223, com n = 2.
\u2022 f(x) =
n\u22121\u2211
i=1
[
100
(
xi+1 \u2212 x2i
)2
+ (1\u2212 xi)2
]
, com n qualquer.
5. Seja A uma matriz quadrada qualquer. Encontre a matriz unita´ria mais pro´xima
de A usando a norma de Frobenius para aferir dista\u2c6ncia.
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Instruc¸o\u2dces para entrega
O trabalho pode ser feito a` ma\u2dco (e nesse caso devera´ ser escaneado) ou digitado. Na\u2dco
ha´ limites m\u131´nimo nem ma´ximo de pa´ginas.
O arquivo final em formato pdf devera´ ter tamanho ma´ximo de 10MB e ser nomeado
como \u201cDRE.pdf\u201d (ex: 123123123.pdf, se o seu DRE for 123123123). Tal arquivo deve
ser submetido via formula´rio
Formula´rio: \u21d2\u21d2 (clique aqui) \u21d0\u21d0
ate´ as 23:59h do dia 28 de marc¸o de 2018.
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