Livro didático matemática 3 bimestre

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Volume 3
o
Livro do professor
Livro
didático
7
8 Funções 34
9
Ângulos na 
circunferência 59
Expressões algébricas e 
equações do 2.° grau 2
circu
©Shutterstock/Khuntapol
Matemática
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2
1. Uma piscina olímpica tem comprimento e largura respectivamente iguais a x e x – 25, em metros. 
Determine uma expressão que representa a área da região ocupada por essa piscina, em metros 
quadrados.
2. Se x é igual a 50 m, qual a área, em metros quadrados, da superfície plana ocupada por uma piscina 
olímpica? 
 Expressões algébricas 
e equações do 2 .° grau
7
Comentários e gabaritos.1
D
iv
o
 P
ad
ilh
a.
 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
x – 25
A modalidade da natação foi disputada em Olimpíadas pela primeira vez em 1896, em Atenas, 
na Grécia, com as provas realizadas em pleno oceano. Anos depois, essa modalidade passou a 
ser disputada em piscinas e em diferentes estilos de nado, como peito, borboleta, costas e livre.
x
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Objetiv
os
Ao final deste estudo, espera-se que você compreenda os processos de fatoração de expressões 
algébricas com base nos conhecimentos sobre produtos notáveis e que resolva e elabore proble-
mas que envolvam equações polinomiais do 2º. grau.
2 Comentários.Produtos notáveis
Você estudou a multiplicação de polinômios anteriormente. Agora descobrirá que algumas dessas multipli-
cações, chamadas de produtos notáveis, apresentam uma regularidade em seus resultados, que conhecere-
mos em seguida.
Quadrado da soma de dois termos
Quebra-cabeça de quadrados
Para esta atividade, você precisa dos quadrados e dos retângulos disponíveis no material de apoio. Você 
também vai usar régua, tesoura, cola e caderno.
 1. Antes de recortar as peças, com o auxílio de uma régua, meça os lados dos quadrados e dos retângulos. 
Em seguida, calcule a área de cada uma dessas peças. 
Quadrado amarelo: os lados medem 6 cm e a área é 6 cm · 6 cm = 36 cm2. 
Cada um dos retângulos: os lados medem 6 cm por 2 cm e a área de cada um é 6 cm · 2 cm = 12 cm2.
Quadrado verde: os lados medem 2 cm e a área é 2 cm · 2 cm = 4 cm2.
2. Agora, recorte e use todas as peças do material de apoio para montar um quadrado maior sem que haja 
sobreposição ou espaços vazios e cole-o no caderno.
 3. Calcule a área do quadrado que você montou.
A medida dos lados do quadrado é 2 cm + 6 cm = 8 cm. Assim, a área é igual a 8 cm · 8 cm = 64 cm2. Podemos também somar a área 
das quatro peças, isto é, 36 cm2 + 2 · 12 cm2 + 4 cm = 64 cm2 2.
 4. Qual é a relação entre a área do quadrado maior montado por você e a área das quatro peças usadas para 
sua composição?
A área do quadrado maior é igual à soma das áreas das quatro peças usadas para sua montagem.
 5. Escreva as expressões que representam as áreas dos quadrados e dos retângulos a seguir, semelhantes aos 
do material de apoio, porém com medidas indicadas por letras.
a a a
a b b b
b
Área do quadrado laranja: a2
Área de um retângulo amarelo: a ∙ b = ab
Área do quadrado vermelho: b2
Retome com a turma a diferença entre a · a 
e a + a. Lembre aos alunos que a · a = a2 e que 
a + a = 2a.
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9
o
. ano – Volume 34
 6. Escreva uma expressão que representa a soma das áreas desses quatro polígonos.
a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
 7. Observe o quadrado formado por esses polígonos. 
b
b
a
a
Qual é a medida dos lados dessa figura? E qual é a expressão que repre-
senta sua área? 
Os lados do quadrado formado medem a + b. A área é 
( ) ( ) ( ) .a b a b a b a ab ba b a ab b        2 2 2 2 22
Os alunos também podem pensar em somar as áreas dos quatro polígonos, isto é, 
a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
 8. Qual é a relação entre a área do quadrado indicado no item anterior e as áreas dos quatro polígonos que 
o formam?
A área do quadrado indicado no item anterior é igual à soma das áreas dos quatro polígonos que o formam, isto é, 
( ) ( ) ( )a b a b a b a ab b     2 2 22 .
Observe que ( ) ( ) ( )a b a b a b   2 . Usando a propriedade distributiva da multiplicação e juntando os ter-
mos semelhantes, obtemos:
( ) ( ) ( )
( )
( )
a b a b a b
a b a ab ba b
a b a ab b
   
   
  
2
2 2 2
2 2 22
Podemos chegar a esse mesmo resultado ao analisar a área do quadrado maior e a soma das áreas de cada 
polígono que o formam.
a a a
a b b b
b
(a + b)2 = a
2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b2
De qualquer modo, obtemos que a área do quadrado maior é dada pelo seguinte polinômio:
(a + b) + 2ab + b2 = a2 2
Retome com os alunos que a ∙ b = b ∙ a pela propriedade comutativa da multiplicação.
O produto notável (a + b)2 = a é o . 2 + 2ab + b2 quadrado da soma de dois termos
Nesse exemplo, os termos são a b e .
A expressão a2 + 2ab + b2 é chamada de trinômio quadrado perfeito.
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 Matemática 5
Ativ
idad
es
 1. Complete o quadro a seguir, conforme o exemplo.
Quadrado da soma 
de dois termos
Produto
Aplicação da propriedade 
distributiva
Resultado
(a + b) (a + b) (a + b) a2  2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2
(x + y)2 (x + y) ∙ (x + y) x + xy + xy + y x + 2xy + y2 2 2 2
(m + n)2 (m + n) ∙ (m + n) m + mn + mn + n m + 2mn + n2 2 2 2
a) O que você observa em relação à quantidade de termos de todos os resultados encontrados? 
São sempre três termos, isto é, um trinômio.
b) Ainda sobre o resultado obtido em cada item, que regularidade você observa em relação a cada termo?
Em cada trinômio quadrado perfeito, aparece o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
 2. Considere o quadrado maior composto de quadrados e retângulos, como mos-
tra a figura ao lado.
a) Qual a medida dos lados desse quadrado maior?
b) Escreva o trinômio quadrado perfeito que representa a área dessa figura. 
c) Determine a área dessa figura para a = 3 cm e b = 2 cm.
 3. Desenvolva os produtos notáveis. 
a) (3x + 1) 2
b) (2y + 1)2 
c) (4 + 2a)2 
d) 
x
2
3
2

§
©
¨
·
¹
¸ 
e) (m2 + n) 2 
f) (2a )2 + b3 2 
g) (c + 0,5d)2
h) (1 + x)2
 4. Determine o termo que devemos adicionar ao polinômio x2 + 3xy + 9y2, para obtermos (x + 3y)2. 
 5. Observe como podemos calcular o quadrado de 240, ou seja, 2402, usando o quadrado da soma de 
dois termos.
• Primeiro, escrevemos o número 240 como uma soma de dois fatores. Por exemplo:
240 = 200 + 40
• Aplicamos o quadrado da soma de dois termos:
2402 = ( + = + 2 + = 40 000 + 16 000 + 1 600 = 57 600200 40)2 2002  200  40 402
É adequado pensarmos em fatores que tenham seu quadrado fácil de ser calculado, como aconteceu no 
exemplo acima, em que foram escolhidos os fatores 200 e 40. Veja que não seria vantajoso escolher os 
fatores 197 e 43, por exemplo.
De maneira semelhante, calcule: 
a) 652 = 
Há outras possibilidades. Nesse item, os alunos podem escolher os fatores 50 e 15 ou 40 e 25, por exemplo.
b) 892 = 
(60 + 5) = 60 + 2 ∙ 60 ∙ 5 + 5 = 3 600 + 600 + 25 = 4 225 2 2 2
 2 2(80 + 9) = 802 + 2 ∙ 80 ∙ 9 + 9 = 6 400 + 1 440 + 81 = 7921
3 Gabaritos.
3a
3a
b
b
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9
o
. ano – Volume 36
x
x
30 m
30 m
Quadrado da diferença de dois termos
A planta baixa a seguir mostra um terreno plano e quadrado com 30 m de lado no qual serão construídos 
uma casa, dois jardins de mesmo tamanho e um canil. A região da casa e do canil tem formato de quadrado, 
e os jardins, formato retangular.
Considere a medida em metros e faça o que se pede x
em cada item.
 1. Calcule a área total, em metros quadrados, desse 
terreno. 
A  30 30 900
A = 900 m2
O terreno tem 900 m2.
 2. Observe as partes que formam o terreno.
x
30
 −
 x
30 − x
x x
x
30 − x
30
 −
 x
Indique nas figuras anteriores as expressões que representam as medidas de seus lados.
 3. Determine o trinômio que representa a área, em metros quadrados, da parte do terreno ocupada pela 
casa.
Área da casa: ( ) ( ) ( )30 30 30 30 30 30 900 602 2 2 2          x x x x x x x x
Outra estratégia é subtrair da área total do terreno a área dos jardins e do canil.
Área do canil: x x x 2
Área de cada jardim: x x x x  ( )30 30 2
Área da casa = Área total – Área dos dois jardins – Área do canil
Área da casa = 900 2 30 900 60 2 900 60
2 2 2 2 2        ( )x x x x x x x x
Agora, observe um quadrado cujos lados medem a.
A expressão algébrica que representa sua área é: a2
a
a
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
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 Matemática 7
Podemos chegar a esse mesmo resultado ao analisar a área do quadrado laranja em relação às áreas 
das outras figuras. Note que a área do quadrado laranja é igual à área total do quadrado amarelo menos a 
área dos retângulos e do quadrado vermelho.
Esse quadrado pode ser decomposto em quadrados e retângulos conforme o modelo:
 (a – b)2 = a2 – 2  (ab – b2) – b2
Desenvolvendo esses cálculos, a área do quadrado laranja é dada pelo seguinte polinômio:
( )a b a ab b  
2 2 22
O produto notável ( )a b a ab b  2 2 22 é o quadrado da diferença de dois termos. 
Nesse exemplo, os termos são a b e .
A expressão a ab b2 22  é chamada de trinômio quadrado perfeito.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a b a b a b
a b a a a b b a b b
a b
   
           

2
2
2   
  
a ab ab b
a b a ab b
2 2
2 2 22( )
Chame a atenção dos alunos para os sinais envolvidos em cada 
multiplicação. Se necessário, retome com a turma o sinal de 
cada produto quando os fatores têm sinais iguais ou diferentes.
a
a
a
b
a – b
a – b
a – b
b
• Indique na figura da direita as medidas dos lados do quadrado laranja e dos retângulos amarelos.
O quadrado vermelho tem área igual a , enquanto cada retângulo 
amarelo tem área igual a .
Observe que a área do quadrado laranja é ( ) ( ) ( )a b a b a b   2 . Usando a propriedade distributiva da 
multiplicação e juntando os termos semelhantes, obtemos:
b b b 2
b a b ab b  ( ) 2
a
a
a – b
b
b
b
a – b
a – b
a – b
b
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. ano – Volume 38
Ativ
idad
es
 1. Complete o quadro a seguir, conforme o exemplo.
Quadrado da diferença 
de dois termos
Produto
Aplicação da propriedade 
distributiva
Resultado
(a – b)2 (a – b) ∙ (a – b) a2 – ab – ab + b2 a2 – 2ab + b2
(x – y)2 (x – y) ∙ (x – y) x – xy – xy + y x – 2xy + y2 2 2 2
(m – n)2 (m – n) ∙ (m – n) m – mn – mn + n m – 2mn + n2 2 2 2
a) O que você observa em relação à quantidade de termos de todos os resultados encontrados? 
São sempre três termos, isto é, o resultado é um trinômio.
b) Ainda sobre o resultado obtido em cada item, que regularidade você observa em relação a cada termo?
Em cada trinômio quadrado perfeito, aparece o quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro termo 
pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
 2. Observe a medida dos lados do quadrado a seguir.
3a
Ajude os alunos a verificar que a medida dos lados do 
quadro é 100 – y – y = 100 – 2y.
a) Determine o monômio que representa a sua área. 
b) Se os lados desse quadrado medissem 2 unidades a menos, qual 
trinômio quadrado perfeito representaria a sua nova área? 
(3a – 2) = 3a · 3a – 2 · 3a · 2 + 2 = 9a – 12a + 4 2 2 2
9a2
 3. Desenvolva os produtos notáveis. 
a) (m – 5)2
b) (5x – 4) 2
c) (4 – y)2
d) 
m
3
4
2

§
©
¨
·
¹
¸ 
e) (c2 – 2d)2 
f) (3x )5 – y4 2 
g) (p – 0,5)2
h) (10 – 8x)2
 4. Assinale V para as igualdades verdadeiras e F para as falsas. Reescreva as falsas de modo que elas se tor-
nem verdadeiras. 
a) ( F ) (5x2 – y) = 25x – 10x y + y 2 2 2 2 
b) ( V ) (0,5 – a) = 0,25 – a + a 2 2 
c) ( F ) b b
b

§
©
¨
·
¹
¸  
1
5 5
1
25
2
2 
 5. Os lados da moldura de uma obra (cujo formato é quadrado) 
medem 100cm e têm sempre a mesma largura, como mostra 
a figura ao lado.
Indicando a largura da moldura por y, em centímetros, faça 
o que se pede. 
a) Determine a expressão que representa a área do quadro, 
em centímetros quadrados, sem a moldura. 
b) Calcule a área destinada à moldura, em centímetros 
quadrados.
c) Determine a área do quadro, sem a moldura, para y = 8 cm. 
O correto é (5x – y) = (5x – 2 ∙ 5x ∙ y + y = 25x – 10x y + y2 2 2)2 2 2 4 2 2. 
O correto é b b b b
b

§
©
¨
·
¹
¸    
§
©
¨
·
¹
¸  
1
5
2
1
5
1
5
2
5
1
25
2
2
2
2 .
yy
yy
yy
yy
100 cm
100 – 2y
a
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Sh
u
tt
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ck
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va
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4 Gabaritos.
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 Matemática 9
Produto da soma pela diferença de dois termos
Considere o quadrado verde cujos lados medem a e faça o que se pede em 
cada item.
 1. Escreva a expressão algébrica que representa a área desse quadrado. 
 2. Observe que esse quadrado foi decomposto em um quadrado menor e dois 
retângulos de tamanhos diferentes.
b
a
b
a
Indique nas figuras as expressões que representam as medidas de seus lados. Em seguida, registre a área 
de cada uma delas. 
b
a − b
a
a − bb b
b ∙ b = b a ∙ (a – b) = a2 b ∙ (a – b) = ab – b2 2 – ab
 3. Se tirarmos o quadrado vermelho dessa composição, restará ainda uma figura formada pelos dois retângulos.
b
a
a − b
a − b
b
a
Escreva a expressão que representa a área da figura restante.
Com esses dois retângulos, é possível formar outro retângulo, como mostra a figura a seguir. 
a
a + b
b
a − b
a2
a
Incentive os alunos 
a indicar na figura as 
medidas dos lados 
dos retângulos no-
vamente para facili-
tar a compreensão 
da atividade.
quadrado vermelho, obtendo a2 – b . Também é possível somar as áreas dos dois retângulos restantes, ou seja, a ∙ (a – b) + b ∙ (a – b).2
Basta subtrair da área total (quadrado verde) a área do 
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9
o
. ano – Volume 310
As medidas dos lados desse novo retângulo são a + b e a – b. Assim, sua área é igual a:
Assim, após retirar o quadrado vermelho do quadrado verde original, a área da figura restante é:
a b a b a b2 2   ( ) ( )
O produto notável ( ) ( )a b a b a b   22 é o . produto da soma pela diferença de dois termos
Nesse exemplo, os termos são a b e .
A expressão a2 – b .2 é chamada de diferença de quadrados
Ativ
idad
es
5 Gabaritos.
 1. Complete o quadro a seguir, conforme o modelo.
Produto da soma pela 
diferença de dois termos
Aplicação da propriedade 
distributiva
Resultado
(a + b) ∙ (a – b) aa – ab + ab – bb a2 – b2
(x + y) (x – y)∙ xx – xy + xy – yy x – y2 2
(m + n) (m – n)∙ mm – mn + mn – nn m – n2 2
a) O que você observa em relação à quantidade de termos de todos os resultados encontrados? 
São sempre dois termos, isto é, o resultado é um binômio.
b) Ainda sobre o resultado obtido em cada item do quadro, que regularidade você observa em relação 
a cada termo?
No resultado, aparece o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
 2. Desenvolva cada produto e apresente a resposta na forma mais simplificada possível. 
a) (a + 4) (a – 4) 
b) (3b – 3) (3b + 3) 
c) (2x2 + 4y) (2x – 4y)  2 
d) (0,5m + 0,2n) (0,5m – 0,2n) 
e) 
a a
3
5
3
5
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸ 
f) (1,2x + y) (1,2x – y)
3. Determine que termo você deve adicionar à expressão a10 – 9 para obter (2a5 + 3) (2a – 3).  5
Retome com os alunos que a ordem dos fatores não altera o pro-
duto, isto é, (a + b) ∙ (a – b) = (a – b) ∙ (a + b). Essa é a propriedade 
comutativa da multiplicação.
Reforce com os alunos essa quantidade de termos, pois é diferente 
do quadrado da soma pela diferença de dois termos e do quadrado 
da diferença de dois termos, os quais apresentam um trinômio como 
resultado.
Sugestão de atividades: questões de 1 a 5 da seção Hora de estudo.
(a + b) ( a – b) = a  a – a  b + b  – a b  b
(a + b) ( a – b) = a2 – ab + ab – b2
(a + b) ( – b a – b) = a2 2
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 Matemática 11
Fatoração
Você já estudou que todo número natural composto pode ser escrito como uma multiplicação de fatores 
primos. Esse processo de decomposição do número é o que chamamos de fatoração.
Observe três maneiras diferentes de decompor o número 36, ou seja, de fatorar 36.
36 = 2  18
36 = 2  2 · 9
36 = 2  2 · 3 · 3
36 = 22  32
Perceba que o produto 
22  32 é a decomposição 
de 36 em fatores primos.
De maneira semelhante ao que fazemos com números, também é possível fatorar alguns polinômios. En-
quanto fatorar um número é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores, fatorar um polinômio é 
escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. 
A fatoração de polinômios é um recurso válido em diversos cálculos algébricos. Nesse momento, vamos 
usá-la para simplificar expressões. Você estudará a seguir alguns casos de fatoração.
Fator comum
Três retângulos foram colocados lado a lado, sem sobreposição, como mostra a figura abaixo.
5 cm
3 cm
2 cm 4 cm
5 cm + 2 cm + 4 cm = 11 cm
a) Calcule a área de cada retângulo. 
Área do retângulo amarelo: 3 cm ∙ 5 cm = 15 cm2
Área do retângulo verde: 3 cm ∙ 2 cm = 6 cm2
Área do retângulo rosa: 3 cm ∙ 4 cm = 12 cm2
b) Quais as medidas dos lados do retângulo maior, obtido pela junção desses três retângulos coloridos?
Como indicado na figura, as medidas são 3 cm e 11cm.
c) Veja que a área desse novo retângulo pode ser calculada multiplicando o comprimento pela altura, o 
que equivale a cm2.
Outra estratégia seria somar as áreas dos três retângulos já encontradas no item a. Acompanhe:
3  5 + 3 · 2 + 3 · 4 = 15 + 6 + 12 = 33
Observe que o número 3 aparece em todas as parcelas da primeira expressão. Assim, dizemos que ele é um 
fator comum. Usando essa ideia, podemos resolver esses cálculos de outra maneira.
3 3  5 + 3 3  2 +  4 =  (5 + 2 + 4) = 3  11 = 33
Expressão não fatorada Expressão fatorada
Fator comum em evidênciaFator comum
3 cm ∙ 11 cm = 33
Comentários sobre a fatoração por fator comum, por agrupamento, na diferença de dois quadrados e 
em um trinômio quadrado perfeito.
6
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9
o
. ano – Volume 312
Como o 3 é o fator comum da expressão, podemos colocá-lo em evidência, obtendo assim a expressão fato-
rada. Assim, resolvemos as operações que estão dentro dos parênteses e, em seguida, a multiplicação do valor 
obtido, 11, por 3. Portanto, a área do novo retângulo é igual a 33 cm2.
Agora, veja um exemplo que envolve ex-
pressões algébricas. 
Considere este retângulo cujos lados me-
dem e a b + c + d. Assim, a área total dessa 
figura é:
a
c db
Área = ab Área = ac Área = ad
a a a ab + c + d = · (b + c + d)
Expressão não 
fatorada
Expressão 
fatorada
Fator comum em evidênciaFator comum
Perceba que na expressão destacamos o fator comum (a) a todas as parcelas colocando-o na frente, multi-
plicando a expressão restante. Quando isso acontece, dizemos que colocamos o fator comum em evidência. 
A expressão fatorada a · (b + c + d) representa a área do retângulo maior, formado pela junção dos três re-
tângulos menores. Veja que pela propriedade distributiva da multiplicação voltamos à expressão inicial.
a a a a · (b + c + d) = b + c + d
Dizemos que a · (b + c + d) é uma forma fatorada do polinômio ab + ac + ad.
Matemática em detalhes
Você aprendeu que “fatorar” significa “decompor em fatores”. Agora, vamos usar essa ideia para determinar 
uma multiplicação que tenha como resultado a expressão 5xy + 5x2. 
5xy + 5x2
5x 5x  y  x
Note que 5 é fator comum dos coeficientes e que x é fator comum da parte literal de todas as parcelas. 
5 5 5 5 52xy x y x y xx x x     
Fator Fator
N N
( )
Veja que a expressão 5xy + 5x pôde ser escrita por meio da multiplicação de dois fatores, 2 5x e y + x. E, com 
a expressão fatorada 5x  (y + x), podemos usar a propriedade distributiva para retornar à expressão original. 
Acompanhe:
5 5 5 5 5 2x y x x y x x xy x     ( )
Veja outro exemplo. Como podemos fatorar a expressão 14 35 73 2 3x y x y xy  ?
Como 7 é fator comum dos coeficientes e xy é fator comum da parte literal de cada uma das três parcelas, 
obtemos: 
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 Matemática 13
14 35 73 2 3x y x y xy 
7 2 2xy x 7 5xy x 7 2xy y
Isto é: 14 35 7 2 5 2 57 7 7 73 2 3 2 2 2 2x y x y xy x x y x x yxy xy xy xy         ( )
Perceba que em cada expressão colocamos o fator comum em evidência. 
Já vimos que a fatoração é útil para simplificar expressões. Acompanhe um exemplo em que as expressões 
aparecem em uma fração.
5 5 1
1
5 1
1
2
2
y y
y y
y y
y y
y
y


 
 
 
 


( )
( )
Podemos trabalhar com a fração 
5 2
2
y y
y y


 desde que y seja diferente de 0 e de 1, pois caso y assumisse um 
desses valores, o denominador seria zero e não existe uma fração com denominador zero. Note que dividimos 
y y do numerador por do denominador, resultando em 1 (pois qualquer número dividido por ele mesmo é igual 
a 1, desde que esse número seja diferente de 0). Assim, a expressão simplificada é 
5 1
1
y
y


.
Sugestão de encaminhamento 
nas orientações didáticas.
7
Retome com os alunos as 
propriedades da potenciação 
para ajudá-los a compreender 
o processo de fatoração com 
polinômios.
Ativ
idad
es
 1. Fatore o polinômio indicado em cada item.
a) 5a – 5b
b) 12x + 4y
c) a(m + n) + b(m + n) + c(m + n)
d) 25x + 5xy
e) x(y + 1) – m(y + 1)
f) x2 – 2xy
g) ab – a2 + a 3
h) a + a4 + a + a 6 5
i) 12x2y – 18xy 2 
j) 
2
5 10
2
3
r
r

k) 
a a6 4
2
5
4
2. Calcule o valor da expressão a2x + b x + c + b + c = 45 e x = 2,4. 2 2x, sabendo que a2 2 2
 3. Observe as medidas do paralelepípedo ao lado e faça o que se pede. 
a) Determine a área da superfície total desse sólido e escreva a resposta por 
meio de um polinômio na forma fatorada. 
b) Determine o volume do sólido e escreva o resultado por meio de um 
polinômio na forma fatorada. 
c) Determine a área e do volume do paralelepípedo para a = 3 cm. 
 4. (OBMEP) Os números naturais x e y são tais que x2 − xy = 23. Qual é o valor de x + y? 
a) b) c) d) e) 24 30 34 35 X 45
Lembre os alunos das propriedades da potenciação, pois elas são 
itens para fatorar os polinômios indicados a partir do item f.
2a
a − 1
3a
8 Gabaritos.
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9
o
. ano – Volume 314
Agrupamento
Considere o retângulo ABCD ao lado e os demais retângulos 
destacados com as áreas indicadas.
a) Escreva a área do retângulo ABCD como uma soma das 
áreas dos retângulos que o compõem. 
ax + ay + bx + by
b) Escreva a área do retângulo ABCD por meio de uma mul-
tiplicação de dois fatores. 
(a + b) · (x + y)
c) Desenvolva os cálculos da expressão que você escreveu no item anterior utilizando a propriedade 
distributiva da multiplicação e responda: qual a relação entre as expressões indicadas nos itens a b e ? 
Elas são iguais, ou seja, (a + b) · (x + y) = ax + ay + bx + by. 
A área do retângulo ABCD pode ser obtida pela soma das áreas dos quatro retângulos menores que o com-
põem. Essa área é representada pelo polinômio ax + ay + bx + by. Podemos fatorar os termos desse polinômio 
dois a dois, agrupando inicialmente os termos que apresentam fator comum a e .b
a a ax + y + b bx + y = · (x + y) + (x + y)b · 
Em seguida, podemos colocar em evidência o fator comum x + y:
a · ( ( )x + y) + b · x + y) = (x + y · (a + b)
Na multiplicação, pela propriedade comutativa, temos que a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
(x + y) (a + b) = (a + b) (x + y). · · 
Também podemos fatorar o polinômio ax + ay + bx + by agrupando primeiro os termos que apresentam 
fator comum x y e . 
Podemos verificar se a fatoração está correta aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. Acompanhe:
A E B
D I C
G H
F
ax ay
bx by
x y
x y
a
b
a
b
ção com as quatro variáveis a b x, , e y. Nesse caso, refor-
ce com a turma que os dois fatores são (a + b) e (x + y).
Alguns alunos podem confundir a 
ideia de dois fatores da multiplica-
(a + b) · (x + y) = ax + ay + bx + by
Estimule os alunos a verificar se as fatora-
ções estão corretas por meio da proprie-
dade distributiva.
Dizemos que (a + b) · (x + y) é uma forma fatorada do polinômio ax + ay + bx + by.
Ativ
idad
es
9 Gabaritos.
 1. Escreva um polinômio na forma fatorada que representa a área do retângulo ABCD, o qual é formado por 
quatro retângulos destacados na figura.
A Bp
m
n
q
D C
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 Matemática 15
 2. Fatore os polinômios. 
a) 9ab + 6b + 12ac + 8c
b) xy + x – ay – a
c) pq2 2 – q r + pa – ar
d) ax + 2x + 2a + 4
e) bx + cx + x + n + bn + cn
f) 9a – 12 + 15a – 20a2
g) 2x2y – 6x + 3ay – 9a2
h) 12a3b – 12a – b + 13 
 3. Calcule o valor da expressão ax + bx + ay + by, sabendo que a + b = 41 e x + y = 48. 
Diferença de dois quadrados
Você já estudou que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença dos quadrados de 
cada termo, isto é, (x + y)  (x − y) = x2 − y2. 
Vamos rever essa relação a partir dos dois quadrados com as medidas dos lados indicadas a seguir.
b
a
a
b
Recortando a área ocupada pelo quadrado menor, obtemos essa figura de 
6 lados:
• Indique nessa figura as expressões que representam as medidas de cada um 
de seus lados.
A área dessa figura pode ser calculada de diferentes maneiras. Vamos apresen-
tar duas delas. 
1ª. maneira: 
Note que a área da figura após o recorte do quadrado menor é igual à diferença entre a área do quadrado 
maior e a área do quadrado menor, isto é, a2 − b2.
2ª. maneira: 
Observe que a figura pode ser decomposta em dois re-
tângulos. Reposicionamos um deles de modo que forme 
um único retângulo, como mostra a figura do lado.
Veja que as medidas dos lados desse novo retângulo são 
a + b e a – b, e o produto (a + b) · (a – b) representa sua área. 
Perceba que a área desse retângulo é equivalente à área da 
figura de 6 lados.
a
a
a – b
a – b
b
b
Incentive os alunos a calcular a área da figura decompondo-a em outras figuras nas 
quais é possível calcular sua área, de modo diferente do que está apresentado aqui. 
10 Veja nas orientações didáticas outras duas possíveis resoluções.
a) Qual é a área do quadrado maior? 
b) E do quadrado menor? 
 a2
 b2
c) Ao sobrepor o quadrado menor ao quadrado maior, de modo que dois lados do menor fiquem sobre 
dois lados do maior, coincidindo um vértice de cada quadrado, obtemos a figura a seguir.
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9
o
. ano – Volume 316
 1. Em cada item, escreva a expressão que representa a área da parte colorida da figura por meio de uma 
multiplicação de dois fatores. 
Dica: determine a diferença entre o quadrado de dois termos para depois identificar a forma fatorada 
dessa expressão. 
a) 
2 m
2 m
n
n
(2m)2 – n = (2m – n) · (2m + n)2
b) 10x
10x
2y 3
2y 3
(10x)2 – (2y ) = (10x + 2y ) · (10x – 2y3 2 3 3)
 2. Em cada item é apresentada a diferença de dois quadrados. Escreva-os na forma fatorada, ou seja, como 
um produto da soma pela diferença de dois termos.
a) x2 – 36 
b) 100 – m2 
c) 2,25c2 – 1,44d 2
d) 16a4 – 1 
e) a2b8 – c 4
f) 81x4 – 64 
g) 25 – 4a6 
h) 
1
4
2 4p q 
 3. Simplifique as expressões lembrando a fatoração do quadrado de dois termos.
a) 
x
x
2 4
2


, com xz 2 
b) 
( ) ( )x x
x
  

1 1
1
, com zx 1
c) 
x
x


1
1
, com x maior do que zero e zx 1
Com as duas maneiras de resolver a questão pedida, chegamos às expressões a2 − b e (a + b) (a – b), 2 · 
que parecem ser diferentes, mas elas representam a mesma resposta, que é a área da figura de 6 lados. Assim, 
concluímos que:
a2 − b2 = (a + b) (a – b) · 
Incentive os alunos a comparar esse desenvolvimento e o resultado obtido com o que se estudou a respeito do 
produto notável da soma pela diferença de dois termos.
A expressão que indica a diferença de dois quadrados pode ser fatorada 
como um produto da soma pela diferença de dois termos.
a2 – b = (a + b) (a – b)2 ·
Ativ
idad
es
11 Gabaritos.
Discuta com os alunos sobre as restrições apresentadas em cada item. Como em 
toda fração o denominador deve ser diferente de zero, por exemplo, a expressão 
do item a só fará sentido quando x z2 0, ou seja, quando x ≠ –2. 
Trinômio quadrado perfeito
Chamamos de trinômio o polinômio com três termos, certo? Mas o que significa um trinômio quadrado perfeito?
Em anos anteriores, você estudou que números como 1, 4, 9, 16 e 25 são chamados de quadrados perfeitos, 
pois eles são os quadrados dos números 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. No caso do polinômio x2 + 2xy + y2, 
dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito, pois ele é o quadrado de x + y, isto é:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
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 Matemática 17
Do mesmo modo, dizemos que é um trinômio quadrado perfeito, porque ele é o x2 – 2xy + y2 quadradode x – y. 
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
• A expressão (a + b)2 ou (a + b) · (a + b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2.
• A expressão (a – b)2 ou (a – b) · (a – b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 – 2ab + b2.
Matemática em detalhes
Veja como é possível verificar se a expressão x + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito.2
x2 + 10x + 25
(x)2 ( )5 2
2 · x 5 · 
• x2 é o quadrado de x • 10x = 2 o produto · x · 5 é 2 vezes • 25 é o quadrado de 5
 entre 5x e 
Assim:
x2 + 10x + 25 = + x2 2 · x · 5 + 52
x )2 + 10x + 25 = (x + 5 2
O sinal de mais (+) na frente da parcela 10x indica que o produto notável correspondente é (x + 5)2. Portanto, 
x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x + 5) .2
Caso o trinômio fosse x2 – 10x + 25, o procedimento para determinar os termos x 5 e seria o mesmo. E como 
o sinal de menos (–) acompanha a parcela –10x, isso nos mostra que agora o produto notável correspondente é 
(x – 5)2. Assim, x2 – 10x + 25 também é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x – 5) .2
Seguindo esse mesmo raciocínio, vamos verificar se 49a2 – 14a + 4 é um trinômio quadrado perfeito. 
49a2 – 14a + 4
(7a)2 ? ( )2 2
Nesse exemplo, temos:
• • 49a2 é o quadrado de 7a 4 é o quadrado de 2
Perceba que deveríamos ter outra parcela que correspondesse a menos 2 vezes o produto entre 7a e 2, ou seja, 
–2  7a  2 = –28a. Mas a única parcela que sobrou no trinômio é –14a. Como –14a ≠ –2  7a  2, o trinômio 
49a2 – 14a + 4 não é quadrado perfeito.
Agora é com você!
Verifique se o trinômio x x2 3
9
4
  é um quadrado perfeito. Em caso positivo, escreva-o na forma fatorada.
Como    2
3
2
3x x, o trinômio x x2 3
9
4
  é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é x
§
©
¨
·
¹
¸
3
2
2
.x x
x
2
3
2
2
2
3
9
4
( )
N
N
 
§
©
¨
·
¹
¸
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9
o
. ano – Volume 318
Saiba +
Você já estudou o resultado do quadrado da soma de dois termos, que é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 
Até o momento, usamos essas expressões associadas a áreas de figuras planas, como quadrados e 
retângulos. E como seria o desenvolvimento do , ou seja, de cubo da soma de dois termos
(a + b)3?
Vamos começar com um exemplo envolvendo o cubo mágico. Esse 
quebra-cabeça tridimensional tem seis faces quadradas pintadas com 
cores diferentes. Normalmente, ele é montado na versão 3 × 3 × 3, como 
a da imagem ao lado, mas há versões diferentes. Veja algumas dessas 
versões a seguir.
O objetivo desse quebra-cabeça é deixar cada 
face com uma única cor, como o cubo mágico ao 
lado.
Vamos determinar o volume desse peque-
no cubo cujas arestas estão destacadas em 
branco. Representando a medida da aresta por 
x, o volume do cubinho é dado pelo produto 
da medida da base pela medida da altura e da 
largura. 
Observe as medidas de outro cubo.
A expressão (a + b)3 é chamada de cubo da soma de dois termos.
©
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
D
n
d
_
P
ro
je
ct
©
S
h
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©Sh
u
Pet
er V
rab
el
©
S
h
k/
S
d
h
A medida da aresta desse cubo é a + b. Multiplicando as medidas do comprimento, da largura 
e da altura do cubo, obtemos seu volume, que é (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) = (a + b)3.
©Sh
utt
erst
ock
/
bel
x
x
x
x ⋅ x x = x⋅ 3
b
a
a
a
b b
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 Matemática 19
Podemos também determinar o volume desse cubo por meio da soma dos volumes das peças 
menores que o formam. Uma das possibilidades é decompor o cubo original em oito paralelepí-
pedos. Veja:
b
a
a
a
b b
Observe a seguir as medidas das arestas de cada figura, a quantidade encontrada e o volume 
de cada uma.
b
ba
b
a
b
b b
a
a
a
a
Volume = a3
1 peça
1 peça3 peças
3 peças
Volume = a b2
Volume = ab2 Volume = b3
Como o volume do cubo original é igual à soma dos volumes dos oito paralelepípedos, 
obtemos:
(a + b)3 = + 1 ∙ a3 3 ∙ a2b ab + 3 ∙ 2 + 1 ∙ b3
Assim, o volume do cubo pode ser representado pelo cubo da soma de dois termos, que são a 
e b nesse exemplo.
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b3 3 2 2 3
 
Note que a expressão (a + b) ∙ (a + b). 3 pode ser escrita como (a + b)2
(a + b)2 (a + b)∙
(a2 + 2ab + b2) (a + b)∙
Aplicando a propriedade distributiva e juntando os termos semelhantes, obtemos:
a3 + a b + 2a b + 2ab + ab2 2 2 2 + b3
a3 + 3a b + 3ab + b2 2 3
Assim, (a + b)3 = a + b3 + 3a b + 3ab2 2 3.
Lembre a turma de que cubos também são paralelepípedos. 
Assim como o desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos é um trinômio, o cubo da soma de dois termos é um polinômio de 
quatro termos. Seguindo o mesmo raciocínio, a quarta potência da soma de dois termos resulta em um polinômio de cinco termos e assim 
por diante. Introduzir o raciocínio recursivo e o pensamento de generalização de um conceito pode proporcionar uma percepção maior 
dos padrões que podem ser encontrados em atividades que envolvem também a álgebra.
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9
o
. ano – Volume 320
Resolução de equações polinomiais do 2.° grau
Equação polinomial do 2.° grau
Vamos retomar a situação da piscina apresentada na abertura 
do capítulo. Veja que o comprimento e a largura são iguais a x e 
x – 25. Considere as medidas em metros.
A expressão que representa a área da superfície plana ocupa-
da pela piscina é x  (x – 25) ou x2 – 25x. Se essa área for igual a 
1 250 m2, podemos escrever a seguinte equação:
x2 – 25x = 1 250
Fazendo as operações necessárias para escrever todos os termos no primeiro membro, obtemos:
x2 – 25x – 1 250 = 0
Esse é um exemplo de equação do 2º. grau.
Chamamos de equação polinomial do 2º. grau ou equação do 2º. grau toda equação que pode 
ser escrita na forma
ax2 + bx + c = 0
com a, b e c  \ e a ≠ 0.
• a é o coeficiente de x2. • b é o coeficiente de x. • c é o termo independente.
A denominação “equação do 2º. grau” é uma referência ao fato de a incógnita x aparecer elevada ao quadra-
do, ou seja, ao fato de ter expoente 2 e esse ser o maior expoente da incógnita presente na equação. 
 1. Em cada item, analise se o trinômio é um quadrado perfeito. Em caso positivo, fatore-o. 
Ativ
idad
es
12 Gabaritos.
13 Comentários.
Relembre aos alunos as propriedades de potenciação (potência de potência 
e seu processo inverso).
Sugestão de atividades: questões 6 e 7 da seção Hora de estudo.
x 
– 
25
x
D
iv
o
 P
ad
ilh
a.
 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
a) m2 + 16mn + 64n 2
b) a2 + 5a + 25 
c) p2 – 14p + 49 
d) 16x2 – 8x + 1 
e) 25a4 – 20a b + 4b 2 2
f) 100c2 + 50cd + 25d2
g) a6b2 – 8a b + 16 3
h) 
4
9
20
3
252x x 
i) 
1
4
2
3
4
9
2 2r rs s 
j) 5x2 + 110xy + 121y2
 2. Considere o polinômio 121x2 – 154x + 40.
a) Que número inteiro devemos adicionar a esse polinômio para que ele seja um trinômio quadrado perfeito? 
b) De acordo com a resposta dada no item anterior, qual seria a forma fatorada do trinômio quadrado 
perfeito obtido? 
 3. Simplifique as expressões. 
a) 
( )x
x x

 
2
2 8 8
2
2
, com x –2≠ b) 
3 24 48
4
2
2
x x
x
 
( )
, com x –4≠
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 Matemática 21
O símbolo  significa “pertence”. Assim,os coeficientes são números que pertencem ao conjunto a b c, e 
dos números reais. Além disso, o coeficiente a deve ser não nulo, ou seja, a ≠ 0. Caso contrário, não teríamos a 
incógnita x com expoente 2 e a equação não seria mais do 2º. grau.
Observe os coeficientes a b c, e da equação x2 – 25x – 1 250 = 0.
1
1
25 251250
1250
0
2
x x
a
b
c
 

 
 
 
 

®
°
¯
°
 
 
Agora, veja outros exemplos de equação do 2º. grau e complete a tabela com os respectivos coeficientes a, e b c. 
Equação do 2º. grau Coeficientes
–2x2 + x – 10 = 0 a = –2; b = 1; c = –10
2x2 + 12 + 3x = 0 2x + 3x + 12 = 0 a = 2; b = 3; c = 122
x2 + 12x = 0 a = 1; b = 12; c = 0
3x2 – 16 = 0 a = 3; b = 0; c = –16
–5x2 = 0 a = –5; b = 0; c = 0
Observe que em algumas das equações acima temos os coeficientes b= 0 ou c = 0. Nos casos em que isso 
acontece, dizemos que a equação do 2º. grau é incompleta. Por exemplo, as equações x2 + 12x = 0; 3x2 – 16 = 0 e 
–5x2 = 0 são incompletas, enquanto as demais equações são completas, porque nenhum de seus coeficientes é nulo. 
Resolver uma equação é determinar todos os valores da incógnita que satisfazem a equação, isto é, os valo-
res que tornam a igualdade verdadeira. Esses valores são chamados de raízes da equação. 
Reforce com a turma que, para identificar os 
coeficientes a b c, e da equação do 2º. grau 
com facilidade, precisamos que um dos 
membros seja igual a zero. Atente ao fato de 
que esses coeficientes a e acompanham xb 2 
e x respectivamente e que c é o termo inde-
pendente. 
Sobre o número de raízes de uma equação do 2º. grau, pode acontecer um dos seguintes casos: 
• apresentar duas raízes reais e diferentes;
• apresentar duas raízes reais e iguais; 
• não apresentar raízes reais. 
Chamamos de solução ou raiz da equação o número real que, ao ser 
substituído na incógnita, torna a igualdade verdadeira.
Posteriormente, apresentaremos como essas informações estão associadas ao 
valor do discriminante ('). Quando dizemos que a equação apresenta duas raí-
zes reais e iguais, significa que a equação tem uma única raiz de multiplicidade 2.
• Ainda sobre x2 – 25x – 1 250 = 0, que representa a área da piscina, substitua x pelo valor informado em cada 
item e verifique quais deles são raízes dessa equação.
a) x = 50
502 – 25 ∙ 50 – 1 250 = 2 500 – 1 250 – 1 250 = 0
Como 0 = 0, x = 50 é raiz da equação.
b) x = –40 
(–40)2 – 25 ∙ (–40) – 1 250 = 1 600 + 1 000 – 1 250 = 1 350
Como 1 350 ≠ 0, x = –40 não é raiz da equação.
c) x = –25 
(–25)2 – 25 ∙ (–25) – 1 250 = 625 + 625 – 1 250 = 0
Como 0 = 0, x = –25 é raiz da equação.
Antes de iniciar os cálculos, mostre aos alunos que o primeiro 
membro dessa equação é x2 – 25x – 1 250 e que o segundo mem-
bro é 0. Em seguida, esclareça que, ao substituir o valor de x na 
equação, se o resultado encontrado no primeiro membro for igual 
ao segundo, ou seja, igual a zero, x é raiz da equação.
Quando dizemos que 
os coeficientes b ou c 
são iguais a zero, signi-
fica que podemos ter 
um destes três casos: 
b = 0 somente, c = 0 
somente ou b = 0 e 
c = 0 ao mesmo tem-
po.
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9
o
. ano – Volume 322
Observe que é a medida de um dos lados da piscina, por isso só pode assumir valores maiores do que zero. x
Nessa situação, entre as duas soluções encontradas anteriormente para a equação x2 – 25x – 1 250 = 0, a única 
válida para o problema da piscina é x = 50. Assim, as medidas do comprimento e da largura dessa piscina são 
x = 50 metros e x – 25 = 50 – 25 = 25 metros.
Retome a imagem da piscina da página 20 e peça aos alunos que escrevam na figura as medidas do comprimento e da largura da piscina, 
ou seja, 50 metros e 25 metros, respectivamente. Reforce que x = –25 é solução da equação x2 – 25x – 1 250 = 0, mas não seria válida como 
medida da piscina por ser negativa (x = –25 e x – 25 = –25 – 25 = –50).
 1. Assinale as equações que são do 2º. grau e, para essas, identifique os respectivos coeficientes a b c, e .
X a) p – 2p + 5 = 0 2 
b) 6x3 + 4x – 6 = 0 Não é equação do 2º. grau, pois o maior expoente de x é 3. 
X c) y2 + 2 = 0 a = 1; b = 0; c = 2 
d) 5x + 10 = 0 Não é equação do 2º. grau, pois o maior expoente de x é 1. 
X e) 2t2 – 5t + t = 0 2 
 2. Para cada item, escreva a equação do 2º. grau na forma ax2 + bx + c = 0 de acordo com os coeficientes 
dados. Em seguida, registre se a equação encontrada é completa ou incompleta.
a) a = –1, b = 0, c = 3
b) a = 2, b = 0, c = 4
c) a = 1, b = 3, c = –5
d) a = –4, b = –12, c = 0
 3. Em cada item, observe os números do quadro e verifique quais deles são raízes da equação.
a) x2 – 10x + 25 = 0 –5 0 5 10
b) 5x2 – 4x = 0 –1 0 0,8 2
c) x2 – 6 = 0 1 6 6  6
 4. Sabendo que 2 é uma das raízes da equação x2 – 25x + p = 0, calcule o valor de p. 
 5. Desenvolva o primeiro membro de cada equação a seguir para verificar que são equações do 2º. grau e 
apresente-as na forma ax2 + bx + c = 0. 
a) x (x – 4) = 0∙
b) (2x + 5) (x + 2) = 0∙
c) (x + 3) = 02
d) (x + 5) (x – 5) = 0∙
–2p2 + p + 5 = 0 a = –2; b = 1; c = 5
3t2 – 5t = 0 a = 3; b = –5; c = 0
Ativ
idad
es
14 Gabaritos.
Em algumas situações, é preciso reduzir os 
termos semelhantes e escrever as equações na 
forma ax2 + bx + c = 0 para facilitar a identifi-
cação dos respectivos coeficientes a, e b c.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta
A seguir, apresentaremos diferentes estratégias para auxiliá-lo na resolução 
de equações do 2º. grau incompletas.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta para b = 0
O artista brasileiro Eduardo Kobra é considerado um dos maiores muralistas 
da atualidade. Ele vem ganhando destaque desde 2007 com o projeto Muro das 
Memórias, no qual retratou cenas antigas da cidade de São Paulo. Kobra é autor 
de mais de 500 obras espalhadas pelas ruas do Brasil e em outros 17 países. 
• Eduardo Kobra
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 Matemática 23
A pintura Imagine foi inspirada no cantor John Lennon. 
Considerando que o artista Kobra tenha usado uma superfície de 
256 m2 com formato similar a de um quadrado para criar essa 
obra, podemos escrever a equação do 2º. grau x2 = 256 para 
representar sua área, sendo x a medida, em metros, dos lados 
dessa superfície quadrada. 
a) Quais números elevados ao quadrado resultam em 256? 
b) Entre as respostas encontradas no item anterior, qual indica a 
medida dos lados dessa superfície quadrada?
O número 16. Como se trata de uma medida, temos que considerar os 
valores maiores do que zero. 
Depois de resolver uma equação, é importante analisar se todos os valores encontrados satisfazem o 
problema. Nesse exemplo, a equação x2 = 256 apresenta duas raízes. Porém, como o problema trata das 
medidas dos lados de um painel, devemos considerar apenas a raiz cujo valor é maior do que zero.
Veja como podemos resolver a equação x2 = 144.
São 16 e –16, pois 16 = (–16) = 256.2 2
Mostre aos alunos que essa equação pode ser escrita da forma x2 – 256 = 0, em que a = 1, b = 0 e c = –256.
Lembre-se de que a raiz quadrada de um número é única. Por 
exemplo, a raiz quadrada de 144 tem o resultado único, que é 12, 
ou seja, 144 12 . O que temos que observar em x2 = 144 é que 
há dois números que satisfazem essa equação, são eles: x = 12 e 
x = –12. Esses números são as raízes da equação.
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ly
D
ay
2 3x = ±
4
3x = ±
2 Assim, x = + 3
2
 ou x = _ 3
2
 são as 
raízes dessa equação.
– 4 x2 + 3 = 0
– 4x2 + 3 – 3 = – 3
– 4x2 = –3
– 4 – 4
Princípio aditivo: subtraímos 3 dos dois 
membros, sem alterar a igualdade.
Princípio multiplicativo: dividimos por –4 
os dois membros, sem alterar a igualdade. 
Extraímos a raiz quadrada de ambos os 
membros da equação.
– 4x2
x =2 
– 3
3
4
• Imagine, 2017 
Utilizando essas ideias, observe como foram resolvidas as equações a seguir.
QUAIS NÚMEROS 
QUE ELEVADOS 
AO QUADRADO 
RESULTAM EM 144? 
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. ano – Volume 324
Agora é com você! Determine as raízes da equação 2x2 – 8 = 0.
2 8 0
2 8
4
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
 
 
 
 r
 r
 
Assim, x = 2 e x = –2 são as raízes dessa equação.
Veja ao lado uma parte da resolução da equação x + 2 = 0.2
Qual número real elevado ao quadrado resulta em –2?
Não há um número real que elevado ao quadrado resulte em –2.
Peça aos alunos que substituam os valores encontrados na equação para verificar que x = 2 e x = –2 são 
realmente raízes.
x
x
2
2
2 0
2
 
 
Quando a equação não admite um número real de modo que torne a 
igualdade verdadeira, dizemos que ela não apresenta solução.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta para c = 0
Dolores tem uma escola de flamenco, dança típica da Espanha. Ela 
contratou um marceneiro para construir dois tablados de madeira, um 
com a superfície superior de formato quadrado e o outro com formato 
retangular, ambos com a mesma área. Observe a seguir a vista superior 
desses tablados, com medidas em metros.
As expressões algébricas que representam as áreas da 
superfície superior dos tablados são x2 e . 6x
Como os dois tablados têm a mesma área, podemos es-
crever a equação x2 = 6x, que relaciona a área do tablado 
quadrado e a área do tablado retangular.
• Quais valores de x satisfazem essa equação, ou seja, quais as raízes?
x = 6 e x = 0. Esperamos que os alunos encontrem esses valores por tentativa e erro.
Veja como podemos determinar as raízes dessa equação.
x 2x
x
3
Mostre aos alunos que essa equação pode ser escrita da forma x2 – 6x = 0, em que a = 1, b = –6 e c = 0.
• Aplicando as operações necessárias, podemos 
escrever todos os termos no primeiro membro 
da equação.
x2 – 6x = 0
• Como x é fator comum dos termos que estão no 
primeiro membro da equação, podemos deixá-
-lo em evidência.
x · (x – 6) = 0
• Observe que o produto desses fatores resulta 
em zero. Se o produto resulta em zero, pelo me-
nos o primeiro fator (x) é igual a 0 ou o segundo 
fator (x – 6) é igual a 0. Assim: 
x · (x – 6) = 0
x = 0 ou
x – 6 = 0 x = 6
Portanto, os valores de x que satisfazem a equa-
ção x2 – 6x = 0 são x = 0 e x = 6. Essas são as raízes 
da equação.
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 Matemática 25
Usando a fatoração, determine as raízes da equação 2m2 – m = 0. 
x = 6 2x = 2 · 6 = 12
x = 6
3
 1. Determine as raízes reais, quando houver, de cada equação polinomial do 2º. grau incompleta.
a) 5x2 – 10 = 0
b) 10y2 – 200y = 0 
c) 3x2 + 27 = 0 
d) 30n2 + 270n = 0
e) x
x2
5
0 
f) 2p2 = 0 
g) (5a – 1)2 = 1
h) (2y + 3) – 9 = 12y 2
i) 
5 3
3
3
14
7
2x x
 

 
j) ( ) ( )x x x   1 2 4
 2. Há números que, ao serem elevados ao quadrado e somados com 12, resultam em 93. Que números são 
esses? 
 3. Luíza usou 1 350 cm2 de papel colorido para embrulhar uma caixa cúbica usada para embalar um presen-
te. Considerando que não haja sobreposição de papel, determine a medida das arestas dessa caixa.
 
Chamando de x a medida das arestas dessa 
caixa, temos: 
6 1 350
1 350
6
225
225
15
2
2
2
x
x
x
x
x
 
 
 
 r
 r
As raízes dessa equação são 
x = 15 e x = –15. Como o problema envolve 
medida de comprimento, consideramos 
apenas x = 15. Assim, a medida das arestas é 
igual a 15 cm. 
 4. Determine o comprimento e a largura de um retângulo de área igual a 640 cm2, sabendo que a medida 
da sua largura é igual a 2
5
 do seu comprimento. 
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15 Gabaritos.
2 0
2 1 0
0 2 1 0
1
2
2m m
m m
m ou m m
 
  
  o 
( )
 Assim, as raízes são m = 0 e m 
1
2
.
Lembrando que, como o problema envolve medidas 
de comprimento, x não poderia ser igual a zero. Assim, 
nos sobra a raiz x = 6, e nessa situação as medidas dos la-
dos do tablado, em metros, seriam as indicadas na figura 
ao lado.
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. ano – Volume 326
( )x
x
x
 
 r
 r
7 25
7 25
7 5
2
Veja que estamos em busca de um número (x – 7) que elevado ao 
quadrado resulta em 25. Assim, temos duas possibilidades:
x – 7 = ou x – 7 = +5 –5
Resolvendo essas duas equações, obtemos:
x – 7 = 5 
x – 7 = 5 + 7 + 7 ou
x = 12
x – 7 = –5
x – 7 = + 7 –5 + 7
x = 2
As raízes são x = 12 e x = 2.
Jogo das equações
Para esse jogo, você precisará recortar os cartões disponíveis no material de apoio. 
Esses cartões apresentam equações polinomiais do 2º. grau incompletas e as respecti-
vas raízes.
Como jogar
1. Reúna-se com um ou dois colegas.
2. Distribuam sobre a carteira os cartões de um dos jogos somente, com as equa-
ções e as raízes voltadas para baixo.
3. Cada jogador, na sua vez, vira dois cartões tentando formar o par: uma equação e 
as raízes correspondentes. Resolva as equações mentalmente ou em uma folha.
4. O jogador que formar o par correto (equação e raízes correspondentes) ganha um ponto e mantém os car-
tões virados para cima na carteira. Caso não forme o par, vira os cartões para baixo novamente e passa a vez.
5. Vence aquele que marcar mais pontos depois de serem formados todos os pares corretamente.
Equação polinomial do 2º. grau completa 
Método da fatoração 
Observe a equação do 2º. grau x2 – 6x + 9 = 0. Dizemos que ela é completa, pois os valores dos coeficientes 
b c e são diferentes de zero. Usaremos a fatoração, estudada anteriormente, para resolvê-la, ou seja, para deter-
minar suas raízes. Acompanhe:
x2 – 6x + 9 = 0
–2 · x 3 · 
( )x 2 ( )3 2
Assim:
x2 – 6x + 9 = 0
x2 – 2 · x 3 · 3 + 2 = 0
(x – 3)2 = 0
Perceba que a expressão x2 – 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito e a escrevemos como o quadrado da 
diferença de dois termos, (x – 3)2. Escrever a equação do 2º. grau como (x – 3)2 = 0 nos ajuda a perceber que 
existe um número (x – 3) que elevado ao quadrado resulta em zero. E isso se deve ao fato de x – 3 ser igual a 0. 
Portanto, x – 3 = 0, ou seja, a raiz da equação é x = 3.
De acordo com essas ideias, veja como podemos resolver a equação (x – 7)2 = 25.
16x2 = 9
Raízes:
e –
Raízes:
+10 e –10
3
4
= 0
3x2
4
3
4
Fl
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. 2
01
9.
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 Matemática 27
Seguindo o mesmo raciocínio, resolva a equação (3x + 5)2 = 121.
3 5 11 3 5 11
3 11 5 3 11 5
3 6 3 16
2
16
3
x x
x ou x
x x
x x
  
   
 
 
Assim, as raízes são 
16
3
 e 2.( )3 5 121
3 5 121
3 5 11
2x
x
x
 
 r
 r
Método de completar quadrados 
Muitas equações completas do 2º. grau não envolvem um trinô-
mio quadrado perfeito. Nesses casos, podemos utilizar o método de 
completar quadrados, apresentado no séculoIX pelo matemático 
árabe Al-Khwarizmi em seu livro Hisab al-jabr w’al muqabala. 
Vamos utilizar o método de completar quadrados para resolver 
a equação x2 + 8x – 48 = 0, a qual não é um trinômio quadrado 
perfeito.
Pelo princípio aditivo, somamos 48 a ambos os lados da igualda-
de, com o objetivo de manter no primeiro membro apenas termos 
com a mesma parte literal.
x2 + 8x – 48 = 0 + 48 + 48
x2 + 8x = 48
O objetivo agora é construir um trinômio quadrado perfeito a partir da expressão x2 + 8x. Para isso, usare-
mos como auxílio a figura a seguir, que ilustra a ideia de que x2 representa a área de um quadrado cujos lados 
medem x cm e que 8x representa a área de 8 retângulos, cada qual com comprimento e largura de x cm e 
1 cm, respectivamente.
• Estátua de Al-Khwarizmi, Khiva, Uzbequistão
Verifique com os alunos que x2 + 8x – 48 = 0 não é um trinômio quadrado 
perfeito usando o método da fatoração estudado anteriormente.
x
xx
x1 cm
Comente com os alunos que essa informação é dada a partir 
da equação encontrada x2 + 8x = 48.
A área, em centímetros quadrados, de um retângulo amarelo é x e a área do quadrado laranja é x2. A equa-
ção x2 + 8x = 48 representa a área dessa figura, que é formada por um quadrado laranja e 8 retângulos amarelos. 
Como as medidas estão em centímetros, essa área é 48 cm2. 
• Recorte os quadrados disponibilizados no material de apoio e use os que forem necessários na figura até 
formar um quadrado.
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. ano – Volume 328
A medida dos lados dos quadrados do material de apoio é de 1 cm e, assim, a área de cada um é de 1 cm2. 
Além disso, devem ser usados 16 desses quadrados para completar a figura até formar um quadrado maior, so-
mando uma área equivalente a 16 · 1 cm2 = cm16 2 à área da figura original. Nesse caso, a área total do quadrado 
construído corresponde a 48 cm2 + 16cm2 = cm64 2. Assim, podemos representar a área total do quadrado por 
meio da seguinte equação:
x2 + 8x = 48 + 16 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
Trinômio quadrado perfeito
(x + 4) = 642
Observe que a expressão x2 + 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorada como 
(x + 4)2. Note também que as medidas, em centímetros, dos lados do quadrado construído são representadas 
pela expressão x + 4.
Resolvendo essa equação, obtemos:
Retome a figura com os alunos e peça que verifiquem que a medida dos lados é igual a x + 4.
( )x
x
x
oux
x
x
x
 
 r
 r
 
 
 
 
4 64
4 64
4 8
4 8
4
4 8
12
2
Assim, as raízes da equação são x = 4 e x = –12.
Lembre-se de que se pensarmos nas medidas do novo quadrado construído, devemos descartar o valor 
x = –12 e considerar apenas x = 4 como solução da equação. 
Também é possível encontrar os termos que estão faltando na expressão para se chegar a um trinômio 
quadrado perfeito. Acompanhe:
x2 + 8x – 48 = 0
x2 + 8x = 48
(x)2 2 · x · 4
Para que a expressão do primeiro membro da equação seja um trinômio quadrado perfeito, é preciso ter o termo 
42 = 16. Pelo princípio aditivo, podemos adicionar 16 unidades a ambos os membros da igualdade, sem alterá-la.
x2 + 8x = 48 x + 8x = 48 x + 8x + 16 = 64 (x + 4) = 64 2 + 16 + 16  2  2
Para que os alunos compreendam o desenvolvimento da técnica de 
completar quadrados, é essencial que inicialmente sejam desenvolvidas 
as representações algébrica e geométrica de forma simultânea, para que 
posteriormente os alunos possam utilizar diretamente a forma algébrica. 
Matemática em detalhes
Outra forma de resolver uma equação do 2º. grau é por meio da fórmula resolutiva de equações do 2º. grau.
O matemático hindu Bhaskara viveu por volta de 1114 até 1185 e desenvolveu diversos problemas que 
envolvem a resolução de equações do 2º. grau. Talvez seja por esse motivo que a fórmula resolutiva de equações 
do 2º. grau tenha levado o nome de .fórmula de Bhaskara
Há diversos desenvolvimentos com os quais é possível chegar a essa fórmula. Considere a equação do 2º. grau 
ax bx c2 0  , lembrando que a, e b c são números reais, com a ≠ 0.
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 Matemática 29
Essa propriedade pode ser usada, pois ( )2 2ax b resulta em um nú-
mero igual ou maior do que zero, logo, b ac2 4 também resultará.
ax bx c
ax bx c
ax bx c
a x abx ac
c c
a a
2
2
2
2 2
0
4 4 4
4
4 4
  
 
   
 
 
( ) ( )
aa x abx ac
a x abx b b ac
b b
2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
4 4 4
 
  
 
Pelo princípio aditivo, subtraímos de ambos os lados c
da igualdade, sem alterá-la.
Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos por 4a am-
bos os lados da igualdade, sem alterá-la.
Pelo princípio aditivo, adicionamos b2 a ambos os lados 
da igualdade, sem alterá-la.
Com essas operações, chegamos à expressão 4a2x2 + 4abx + b , que é um trinômio quadrado perfeito e, 2
portanto, pode ser escrita como (2ax + b)2. Assim:
4 4 4
2 4
2 2 2 2
2 2
a x abx b b ac
ax b b ac
  
 ( )
Usando a propriedade da raiz quadrada, obtemos:
2 4
2
ax b b ac r 
2 4
2 4
4
2
2
2
2
ax b b ac
ax b b ac
x
b b ac
a
 
  
 
 



 ou
2 4
2 4
4
2
2
2
2
ax b b ac
ax b b ac
x
b b ac
a
 
  
 
 



Assim, as raízes são x
b b ac
a
1
2 4
2
 
 
 e x
b b ac
a
2
2 4
2
 
 
. Dessa forma, podemos es-
crever a fórmula resolutiva de equações do 2º. grau como:
x
b b ac
a
 
 r 2 4
2
Podemos usar essa fórmula para calcular as raízes x1 e x2 da equação do 2º. grau conhecendo os respectivos 
coeficientes a, e . b c
A expressão b2 – 4ac é chamada de discriminante da equação e podemos representá-la pela letra grega 
' (delta). Portanto:
' b ac2 4
O estudo do discriminante ' b ac
2 4 é útil para determinarmos 
quantas raízes admite uma equação do 2º. grau.
Para ' > 0, temos duas raízes reais e distintas.
Para ' = 0, temos duas raízes reais e iguais.
Para ' < 0, a equação não admite raiz real.
O uso da fórmula resolutiva e o estudo do discriminante são válidos tanto para as equações completas como 
para as equações incompletas do 2º. grau.
Comente com os alunos que é possível 
encontrar em questões de concursos e 
vestibulares enunciados que dizem que 
a equação do 2º. grau apresenta uma 
única raiz real quando ' = 0. Isso signi-
fica que a equação apresenta duas raízes 
reais e iguais.
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9
o
. ano – Volume 330
 4. Elabore um problema que possa ser representado por uma equação polinomial do 2º. grau. Em seguida, 
peça a um colega que o resolva e que determine as raízes da equação correspondente. Analisem juntos a 
resolução e verifiquem se a solução encontrada atende às especificações do problema elaborado por você. 
Pessoal.
• Utilize a fórmula resolutiva apresentada na página anterior para calcular as raízes da equação x2 + 8x – 48 = 0.
a = 1 b = 8 c = –48
'
'
'
'
 
    
 
 
b ac2
2
4
8 4 1 48
6 1924
256
( )
x
b
a
x
x
 
 r
 
 r

 
 r
'
2
8 256
2 1
8 16
2
x
ou
x
1
2
8 16
2
8
2
4
8 16
2
24
2
12
 
 
 
 
 
  
As raízes da equação são –12 e 4.
 1. Determine as raízes de cada equação polinomial do 2º. grau pelo método que preferir. 
a) x2 – 4x + 4 = 0 
b) y2 – 14y + 49 = 9 
c) x x2
1
4
25  
d) a2 + 8a + 7 = 0 
e) 4x2 + 12x + 5 = 0
f)    4 16 9 02x x
g) 2 6 4 02x x  
h) x x2 2 15 0  
 2. A diferençaentre o quadrado de um número real positivo e o quádruplo desse número é 165. Que nú-
mero é esse? 
 3. Paulo tem um espaço de lazer em um terreno retangular de área 135m2. Para a privacidade da sua famí-
lia, ele construiu uma cerca em torno do terreno. Considere as medidas indicadas na figura em metros e 
determine o comprimento da cerca que contorna todo o terreno de Paulo. 
Ativ
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16 Gabaritos.
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 Matemática 31
 5. Classifique as equações polinomiais do 2º. grau de acordo com suas raízes.
(a) Duas raízes reais e diferentes (b) Duas raízes reais e iguais (c) Nenhuma raiz real
( a ) x x2 2 8 0 
( b ) x x2 6 9 0 
( a ) 5 4 1
5
02x x 
( c ) x 2 64 0 
( b ) x 2 0 
( a ) 2 2 40 02x x
( a ) 3 6 72 02x x 
( a ) 6 8 02x 
( c ) 10 10 102x 
( b ) 2 8 8 02x x 
( a ) 4 2 500 02x 
 6. Você aprendeu que a equação polinomial do 2º. grau pode ser escrita da forma ax x c2 0 b , em que 
a b c, e são números reais, com a ≠ 0. Se chamarmos de S a soma das raízes x1 e x 2 dessa equação e de P
o produto dessas raízes, escrevemos a equação inicial na forma:
x xS P2 0 
com: 
S x x
a
 1 2
b e P x x c
a
 1 2
Assim, é possível determinar as raízes da equação conhecendo a soma e o produto de suas raízes.
Utilize essas informações para determinar as raízes das equações a seguir.
a) x x2 5 6 0 
b) x x2 2 24 0 
c) x x2 2 3 0 
d) 2 12 32 02x x 
e) x x2 14 32 0
f) 2 24 72 02x x 
Incentive os alunos a calcular 
o valor do discriminante de 
cada equação para analisar o 
tipo de suas raízes.
Veja nas orientações didáticas a demonstração dessa relação. Se preferir, apresente-a à turma.
Sugestão de atividades: 
questões de 8 a 10 da seção 
Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, ampliamos o conhecimento sobre álgebra com o estudo de produtos notáveis, fatoração de 
polinômios e sobre a resolução de equações do 2º. grau. 
 1. Complete os quadros com as informações que estejam faltando de acordo com o que estudou a respeito 
de produtos notáveis e fatoração.
Produto notável Expressão Resultado
Quadrado da soma de dois 
termos (m + n)
2 m + 2mn + n2 2
Quadrado da diferença de 
dois termos (m – n)
2 m2 – 2mn + n2
Produto da soma pela 
diferença de dois termos (m + n) (m − n)∙ m − n²
2
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Hora d
e estu
do
32
Caso de fatoração Exemplo de expressão algébrica Forma fatorada
Fator comum 4m + 2mn – 6mp 2m ∙ (2 + n – 3p)
Agrupamento ax + ay + 2bx + 6by a ∙ (x + y) + 2b ∙ (x + 3y)
Diferença de dois quadrados m² – n² (m + n) ∙ (m – n)
Trinômio quadrado perfeito x2 + 2xy + y2 (x + y)2
 2. Complete o esquema a seguir sobre equações do 2º. grau.
Equação polinomial
do 2º. grau
O que caracteriza uma equação do 2º. grau?
Determine os coeficientes a, b 
e c da equação 3x2 – 4x + 1 = 0.
Escreva dois exemplos de equações
polinomiais do 2º. grau completas.
Escreva dois exemplos de equações
polinomiais do 2º. grau incompletas.
O maior expoente da incógnita da equação ser 2.
Pessoal. Sugestões de resposta:
3x2 – 4x = 0, 3x = 0, 3x2 2 + 1 = 0
Pessoal. Sugestões de resposta:
x2 + x + 1 = 0, –x + √5 x – 1 = 0, 2
2x2 – 6x – 10 = 0
a = 3 b = – 4 c = 1
 1. Márcia encomendou um espelho quadrado 
para seu salão de beleza. Quando a encomenda 
foi entregue, ela percebeu que havia se equivo-
cado na medida dos lados desse espelho e pe-
diu que reduzissem em 5 cm a medida de cada 
lado.
a) Escreva uma expressão algébrica que repre-
sente a área desse espelho antes da redução 
da medida dos lados.
b) Represente com um trinômio a área desse 
espelho após a redução da medida dos 
lados. 
c) Se a medida dos lados do espelho era inicial-
mente 95 cm, qual é a área do espelho após 
a redução da medida dos lados? 
 2. (IFAL) Determine o valor do produto (3x + 2y)2, 
sabendo que 9x2 + 4y = 25 e xy = 2. 2
a) 27
b) 31
c) 38
X d) 49
e) 54
 3. (UFRGS – RS) Se x + y = 13 e x y = 1 então 
x2 + y é: 2
a) 166
X b) 167
c) 168
d) 169
e) 170 
 4. (IFPE) Efetuando-se (2 341)2 – (2 340)2, obtém-se: 
a) 6 498
b) 1
X c) 4 681
d) 2 681
e) 8 689
Todas as questões devem ser resolvidas no caderno.17 Gabaritos.
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33
 5. Alguns polinômios podem ser fatorados mais 
de uma vez. Como exemplo, acompanhe a fato-
ração do polinômio 27x2 – 90x + 75.
1º. ) Como 3 é fator comum dos coeficientes 27, 
–90 e 75, podemos colocá-lo em evidência:
3 (9x² – 30x + 25)·
2º. ) Observe que 9x² – 30x + 25 é um trinômio 
quadrado perfeito, assim: 
3 (3x – 5)²·
Portanto:
27x2 – 90x + 75 = 3 (3x – 5)²·
Utilizando essa ideia, fatore os polinômios a 
seguir.
a) 2a2 – 128 
b) 5m2 + 30m + 45 
c) 20a²x – 60ax + 45x 
d) ax² – 16a + 3x² – 48 
 6. (UTFPR) Uma indústria fabrica uma placa me-
tálica no formato de um retângulo de lados 
(ax + by) e (bx + ay). Encontre, de forma fatora-
da, o perímetro deste retângulo. 
X a) 2( )( )a b x y
b) 4( )( )a b x y
c) 2( )( )a b x y
d) 4( )( )a b x y 
e) ( )( )a b x y 
 7. (OBMEP) Mariana entrou na sala e viu no 
quadro-negro algumas anotações da aula ante-
rior, parcialmente apagadas, conforme a figura. 
Qual número foi apagado na linha de cima do 
quadro-negro?
a) 11 
b) 12
c) 13 
d) 20
X e) 22
 8. (SARESP) Em uma sala retangular deve-se colo-
car um tapete de medidas 2 m × 3 m, de modo 
que se mantenha a mesma distância em relação 
às paredes, como indicado no desenho abaixo. 
x
3
2
x
xx
Sabendo que a área dessa sala é 12 m2, o valor 
de x será:
X a) 0,5 m
b) 0,75 m
c) 0,80 m
d) 0,05 m
 9. (OBMEP) Na reta abaixo, a distância entre dois 
pontos consecutivos é sempre a mesma. Qual é 
o valor dessa distância?
x x2 3x
X a) 
3
4
b) 
1
4
c) 
2
3
d) 
2
5
e) 1
10. (OBMEP) Para cercar um terreno retangular de 
60 metros quadrados com uma cerca formada 
por dois fios de arame, foram usados 64 metros 
de arame. Qual é a diferença entre o compri-
mento e a largura do terreno?
X a) 4 m
b) 7 m
c) 11 m
d) 17 m
e) 28 m 
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As curvas estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. Nos exemplos 
acima, podemos observar de que maneira isso ocorre: a ponte da Baía de Sydney, na 
Austrália; a trajetória de uma bola de futebol americano; uma antena parabólica; e um 
show com jatos de água.
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76
1. A representação de certo tipo de curva está presente em todas essas imagens. Você sabe qual é?
2. Há curvas parecidas com as dessas imagens em locais da cidade onde você mora? Se sim, que locais 
são esses? 
Funções
8
Comentários.1
1. Parábola.
2. Pessoal. 
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35
Objetiv
os
Neste capítulo, você conhecerá as representações gráficas e algébricas da função afim e da 
função quadrática. Além disso, você utilizará esses conceitos para analisar situações e resolver pro-
blemas que envolvam esses dois tipos de funções. 
Função afim
Representaçãoalgébrica
Em muitas situações práticas, tentamos compreender fenômenos que envolvem a variação de uma ou mais 
grandezas. 
• Como a temperatura ambiente varia na sua cidade no verão? E no inverno?
• Qual a sua velocidade média em uma corrida de 100 metros? E em uma corrida de 2 quilômetros?
• Quanto de combustível um veículo consome andando na cidade? E na estrada?
• Como se comporta o nível da água do mar ao longo do dia? E da noite?
Você já estudou anteriormente que, para relacionarmos grandezas variáveis, como a temperatura e a veloci-
dade, muitas vezes podemos fazer uso das funções. 
Na Matemática, há alguns tipos conhecidos de funções, como é o caso da função afim. Observe um exem-
plo de aplicação da função afim.
Roberto trabalha como garçom em um restaurante. Por mês, ele recebe R$ 1.250,00 acrescidos da taxa de 
serviço, que equivale a 10% do valor total dos pedidos que atendeu durante o mês. 
A taxa de serviço é um percentual do total con-
sumido pelo cliente e que corresponde a uma gor-
jeta aos funcionários. Os estabelecimentos devem 
informar ao consumidor quanto à cobrança dessa 
taxa e esclarecer que seu pagamento é opcional.
A tabela ao lado apresenta os valores gastos pelos 
clientes que Roberto atendeu e que pagaram a taxa de 
serviço no respectivo mês. Quanto ele recebeu em cada 
um dos meses indicados? Preencha a tabela de acordo 
com os valores encontrados.
Mês Valor total dos pedidos
Salário recebido 
por Roberto
Janeiro R$ 4.000,00 R$ 1.650,00
Fevereiro R$ 8.000,00 R$ 2.050,00
Março R$ 7.000,00 R$ 1.950,00
Abril R$ 7.500,00 R$ 2.000,00
Salário de janeiro: R$ 1.250 + 10% de R$ 4.000 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 4.000 = R$ 1.250 + R$ 400 = R$ 1.650
Salário de fevereiro: R$ 1.250 + 10% de R$ 8.000 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 8.000 = R$ 1.250 + R$ 800 = R$ 2.050
Salário de março: R$ 1.250 + 10% de R$ 7.000 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 7.000 = R$ 1.250 + R$ 700 = R$ 1.950
Salário de abril: R$ 1.250 + 10% de R$ 7.500 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 7.500 = R$ 1.250 + R$ 750 = R$ 2.000
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. ano – Volume 336
A quantia y que Roberto recebe de salário em determinado mês depende do valor x gasto pelos clientes 
que pagaram a taxa de serviço. Nesse caso, dizemos que y é uma variável dependente, enquanto x é uma 
variável independente. 
Observe que y = 0,1x + 1 250 é a lei matemática que expressa o valor de em função do valor de y x e que essa 
regra pode ser representada pelo formato y = ax + b, onde a e b são, respectivamente, os coeficientes 0,1 e 1 250. 
As funções com o formato y = ax + b são chamadas de função afim ou 
função polinomial do 1.º grau, sendo a e b números reais, com a ≠ 0.
• Qual foi o gasto dos clientes atendidos por Roberto e que pagaram a taxa de serviço em um mês que ele 
recebeu R$ 2.770,00?
y = 0,1x + 1 250
2 770 = 0,1 ∙ x + 1 250
1 520 = 0,1 ∙ x
x = 15 200
Os clientes atendidos por Roberto e que pagaram a taxa de serviço gastaram R$ 15.200,00 naquele mês.
• Analise os salários encontrados na tabela da página anterior e responda: os valores de y são diretamente 
proporcionais aos valores de x? Justifique sua resposta. 
Não. Retome com os alunos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando as razões entre os valores das duas grandezas são 
iguais e comente que, nesse caso, as razões são diferentes. Como exemplo, pode-se comparar o salário de janeiro com o de fevereiro: en-
quanto o valor de x dobra (de R$ 4.000,00 para R$ 8.000,00), o valor de y não duplica (passando de R$ 1.650,00 para R$ 2.050,00).
A lei matemática y = 0,1x + 1 250, que relaciona y em função do valor de x, pode ser escrita como 
f(x) = 1 250 + 0,1x. Nesse caso, usando y = f(x), ressaltamos o fato de que y x depende de .
O valor de x dentro dos parênteses é apenas uma indicação da variável, não sendo utilizado nos cálculos. 
Observe, por exemplo, o cálculo de y = f(x) para x = R$ 1.000,00:
y = f( ) = 1 250 + 0,1x x
y = f( 1 000) = 1 250 + 0,1 1 000
y = f( 1 000) = 1 250 + 100
y = f( 1 000) = 1 350
Portanto, quando os clientes que pagarem a taxa de serviço 
gastarem R$1.000,00 em um mês, o salário de Roberto será igual a 
R$ 1.350,00. 
Agora, veja a situação a seguir. 
No restaurante em que Roberto trabalha, um prato feito com arroz, 
feijão, batata frita, carne e salada custa R$12,50.
Preencha a tabela a seguir com o valor (y) arrecadado pelo restaurante com a venda das quantidades (x) 
indicadas de pratos comerciais.
Pratos comerciais vendidos (x) Valor arrecadado pelo restaurante (y)
5 y = 12,50 ∙ 5 = 62,50 reais
8 y = 12,50 ∙ 8 = 100,00 reais
12 y = 12,50 ∙ 12 = 150,00 reais
16 y = 12,50 ∙ 16 = 200,00 reais
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 Matemática 37
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Perceba que a lei matemática que relaciona o valor arrecadado pelo restaurante (y) com o número (x) 
de pratos comerciais vendidos é dada por y = 12,5 · x e que essa regra pode ser representada pelo formato 
y = ax + b, onde a = 12,5 e o coeficiente b é nulo. 
Sobre a lei matemática y = 12,5 · x, responda às questões. 
• Qual é a variável dependente? Justifique sua resposta. 
A variável dependente é o valor y arrecadado pelo restaurante, pois depende do número x de pratos feitos vendidos. 
• Os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x? Justifique sua resposta.
Sim, os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x, pois as razões entre os valores das duas grandezas são iguais, 
como 62 50
5
100 00
8
150 00
12
200 00
16
12 50, , , , , .
Sejam a e números reais. Se a função afim y = ax + b é tal que b za 0 e b = 0, ou 
seja, y = ax, dizemos que essa função é uma função linear.
As grandezas e representadas em uma função linear são x y diretamente proporcionais, 
pois as razões entre os valores das duas grandezas são iguais. 
Em Curitiba, capital do estado do Paraná, cobra-se por uma cor-
rida de táxi um valor fixo, chamado de bandeirada, e um valor que 
varia conforme a quantidade de quilômetros rodados. Em horários 
de pico, o valor da bandeirada é R$ 5,40 e o valor por quilômetro 
rodado é R$ 3,30.
Um novo serviço de transporte de passageiros operado por 
aplicativo de celular passou a ser oferecido. Nesse serviço, são co-
brados R$ 2,50 por quilômetro rodado, sem taxas de bandeirada. 
a) Complete a tabela a seguir com os valores cobrados pelo serviço de táxi e pelo novo serviço de trans-
porte de passageiros de acordo com as distâncias indicadas. 
Distância Serviço de táxi Novo serviço
6 km 5,40 + 3,30 ∙ 6 = 25,20 reais 2,50 ∙ 6 = 15,00 reais
7 km 5,40 + 3,30 ∙ 7 = 28,50 reais 2,50 ∙ 7 = 17,50 reais
8 km 5,40 + 3,30 ∙ 8 = 31,80 reais 2,50 ∙ 8 = 20,00 reais
9 km 5,40 + 3,30 ∙ 9 = 35,10 reais 2,50 ∙ 9 = 22,50 reais
b) Determine uma função que calcule o valor total y cobrado por uma corrida de x quilômetros 
com o uso do serviço de táxi. Como classificamos a função encontrada?
A função é dada por y = 5,40 + 3,3 ∙ x e é uma função afim. 
c) Determine uma função que calcule o valor total y cobrado por uma corrida de x quilômetros 
com o uso do novo serviço de transporte. Como classificamos a função encontrada?
A função é dada por y = 2,50 ∙ x e é um caso particular de uma função afim (função linear). 
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o
. ano – Volume 338
Ativ
idad
es
 1. Observe a imagem ao lado, que apresenta uma 
sequência de figuras formadas por losangos.