Prévia do material em texto

Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
Volume 3
o
Livro do professor
Livro
didático
7
8 Funções 34
9
Ângulos na 
circunferência 59
Expressões algébricas e 
equações do 2.° grau 2
circu
©Shutterstock/Khuntapol
Matemática
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
2
1. Uma piscina olímpica tem comprimento e largura respectivamente iguais a x e x – 25, em metros. 
Determine uma expressão que representa a área da região ocupada por essa piscina, em metros 
quadrados.
2. Se x é igual a 50 m, qual a área, em metros quadrados, da superfície plana ocupada por uma piscina 
olímpica? 
 Expressões algébricas 
e equações do 2 .° grau
7
Comentários e gabaritos.1
D
iv
o
 P
ad
ilh
a.
 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
x – 25
A modalidade da natação foi disputada em Olimpíadas pela primeira vez em 1896, em Atenas, 
na Grécia, com as provas realizadas em pleno oceano. Anos depois, essa modalidade passou a 
ser disputada em piscinas e em diferentes estilos de nado, como peito, borboleta, costas e livre.
x
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
Objetiv
os
Ao final deste estudo, espera-se que você compreenda os processos de fatoração de expressões 
algébricas com base nos conhecimentos sobre produtos notáveis e que resolva e elabore proble-
mas que envolvam equações polinomiais do 2º. grau.
2 Comentários.Produtos notáveis
Você estudou a multiplicação de polinômios anteriormente. Agora descobrirá que algumas dessas multipli-
cações, chamadas de produtos notáveis, apresentam uma regularidade em seus resultados, que conhecere-
mos em seguida.
Quadrado da soma de dois termos
Quebra-cabeça de quadrados
Para esta atividade, você precisa dos quadrados e dos retângulos disponíveis no material de apoio. Você 
também vai usar régua, tesoura, cola e caderno.
 1. Antes de recortar as peças, com o auxílio de uma régua, meça os lados dos quadrados e dos retângulos. 
Em seguida, calcule a área de cada uma dessas peças. 
Quadrado amarelo: os lados medem 6 cm e a área é 6 cm · 6 cm = 36 cm2. 
Cada um dos retângulos: os lados medem 6 cm por 2 cm e a área de cada um é 6 cm · 2 cm = 12 cm2.
Quadrado verde: os lados medem 2 cm e a área é 2 cm · 2 cm = 4 cm2.
2. Agora, recorte e use todas as peças do material de apoio para montar um quadrado maior sem que haja 
sobreposição ou espaços vazios e cole-o no caderno.
 3. Calcule a área do quadrado que você montou.
A medida dos lados do quadrado é 2 cm + 6 cm = 8 cm. Assim, a área é igual a 8 cm · 8 cm = 64 cm2. Podemos também somar a área 
das quatro peças, isto é, 36 cm2 + 2 · 12 cm2 + 4 cm = 64 cm2 2.
 4. Qual é a relação entre a área do quadrado maior montado por você e a área das quatro peças usadas para 
sua composição?
A área do quadrado maior é igual à soma das áreas das quatro peças usadas para sua montagem.
 5. Escreva as expressões que representam as áreas dos quadrados e dos retângulos a seguir, semelhantes aos 
do material de apoio, porém com medidas indicadas por letras.
a a a
a b b b
b
Área do quadrado laranja: a2
Área de um retângulo amarelo: a ∙ b = ab
Área do quadrado vermelho: b2
Retome com a turma a diferença entre a · a 
e a + a. Lembre aos alunos que a · a = a2 e que 
a + a = 2a.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
9
o
. ano – Volume 34
 6. Escreva uma expressão que representa a soma das áreas desses quatro polígonos.
a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
 7. Observe o quadrado formado por esses polígonos. 
b
b
a
a
Qual é a medida dos lados dessa figura? E qual é a expressão que repre-
senta sua área? 
Os lados do quadrado formado medem a + b. A área é 
( ) ( ) ( ) .a b a b a b a ab ba b a ab b        2 2 2 2 22
Os alunos também podem pensar em somar as áreas dos quatro polígonos, isto é, 
a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
 8. Qual é a relação entre a área do quadrado indicado no item anterior e as áreas dos quatro polígonos que 
o formam?
A área do quadrado indicado no item anterior é igual à soma das áreas dos quatro polígonos que o formam, isto é, 
( ) ( ) ( )a b a b a b a ab b     2 2 22 .
Observe que ( ) ( ) ( )a b a b a b   2 . Usando a propriedade distributiva da multiplicação e juntando os ter-
mos semelhantes, obtemos:
( ) ( ) ( )
( )
( )
a b a b a b
a b a ab ba b
a b a ab b
   
   
  
2
2 2 2
2 2 22
Podemos chegar a esse mesmo resultado ao analisar a área do quadrado maior e a soma das áreas de cada 
polígono que o formam.
a a a
a b b b
b
(a + b)2 = a
2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b2
De qualquer modo, obtemos que a área do quadrado maior é dada pelo seguinte polinômio:
(a + b) + 2ab + b2 = a2 2
Retome com os alunos que a ∙ b = b ∙ a pela propriedade comutativa da multiplicação.
O produto notável (a + b)2 = a é o . 2 + 2ab + b2 quadrado da soma de dois termos
Nesse exemplo, os termos são a b e .
A expressão a2 + 2ab + b2 é chamada de trinômio quadrado perfeito.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
 Matemática 5
Ativ
idad
es
 1. Complete o quadro a seguir, conforme o exemplo.
Quadrado da soma 
de dois termos
Produto
Aplicação da propriedade 
distributiva
Resultado
(a + b) (a + b) (a + b) a2  2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2
(x + y)2 (x + y) ∙ (x + y) x + xy + xy + y x + 2xy + y2 2 2 2
(m + n)2 (m + n) ∙ (m + n) m + mn + mn + n m + 2mn + n2 2 2 2
a) O que você observa em relação à quantidade de termos de todos os resultados encontrados? 
São sempre três termos, isto é, um trinômio.
b) Ainda sobre o resultado obtido em cada item, que regularidade você observa em relação a cada termo?
Em cada trinômio quadrado perfeito, aparece o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
 2. Considere o quadrado maior composto de quadrados e retângulos, como mos-
tra a figura ao lado.
a) Qual a medida dos lados desse quadrado maior?
b) Escreva o trinômio quadrado perfeito que representa a área dessa figura. 
c) Determine a área dessa figura para a = 3 cm e b = 2 cm.
 3. Desenvolva os produtos notáveis. 
a) (3x + 1) 2
b) (2y + 1)2 
c) (4 + 2a)2 
d) 
x
2
3
2

§
©
¨
·
¹
¸ 
e) (m2 + n) 2 
f) (2a )2 + b3 2 
g) (c + 0,5d)2
h) (1 + x)2
 4. Determine o termo que devemos adicionar ao polinômio x2 + 3xy + 9y2, para obtermos (x + 3y)2. 
 5. Observe como podemos calcular o quadrado de 240, ou seja, 2402, usando o quadrado da soma de 
dois termos.
• Primeiro, escrevemos o número 240 como uma soma de dois fatores. Por exemplo:
240 = 200 + 40
• Aplicamos o quadrado da soma de dois termos:
2402 = ( + = + 2 + = 40 000 + 16 000 + 1 600 = 57 600200 40)2 2002  200  40 402
É adequado pensarmos em fatores que tenham seu quadrado fácil de ser calculado, como aconteceu no 
exemplo acima, em que foram escolhidos os fatores 200 e 40. Veja que não seria vantajoso escolher os 
fatores 197 e 43, por exemplo.
De maneira semelhante, calcule: 
a) 652 = 
Há outras possibilidades. Nesse item, os alunos podem escolher os fatores 50 e 15 ou 40 e 25, por exemplo.
b) 892 = 
(60 + 5) = 60 + 2 ∙ 60 ∙ 5 + 5 = 3 600 + 600 + 25 = 4 225 2 2 2
 2 2(80 + 9) = 802 + 2 ∙ 80 ∙ 9 + 9 = 6 400 + 1 440 + 81 = 7921
3 Gabaritos.
3a
3a
b
b
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
9
o
. ano – Volume 36
x
x
30 m
30 m
Quadrado da diferença de dois termos
A planta baixa a seguir mostra um terreno plano e quadrado com 30 m de lado no qual serão construídos 
uma casa, dois jardins de mesmo tamanho e um canil. A região da casa e do canil tem formato de quadrado, 
e os jardins, formato retangular.
Considere a medida em metros e faça o que se pede x
em cada item.
 1. Calcule a área total, em metros quadrados, desse 
terreno. 
A  30 30 900
A = 900 m2
O terreno tem 900 m2.
 2. Observe as partes que formam o terreno.
x
30
 −
 x
30 − x
x x
x
30 − x
30
 −
 x
Indique nas figuras anteriores as expressões que representam as medidas de seus lados.
 3. Determine o trinômio que representa a área, em metros quadrados, da parte do terreno ocupada pela 
casa.
Área da casa: ( ) ( ) ( )30 30 30 30 30 30 900 602 2 2 2          x x x x x x x x
Outra estratégia é subtrair da área total do terreno a área dos jardins e do canil.
Área do canil: x x x 2
Área de cada jardim: x x x x  ( )30 30 2
Área da casa = Área total – Área dos dois jardins – Área do canil
Área da casa = 900 2 30 900 60 2 900 60
2 2 2 2 2        ( )x x x x x x x x
Agora, observe um quadrado cujos lados medem a.
A expressão algébrica que representa sua área é: a2
a
a
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
 Matemática 7
Podemos chegar a esse mesmo resultado ao analisar a área do quadrado laranja em relação às áreas 
das outras figuras. Note que a área do quadrado laranja é igual à área total do quadrado amarelo menos a 
área dos retângulos e do quadrado vermelho.
Esse quadrado pode ser decomposto em quadrados e retângulos conforme o modelo:
 (a – b)2 = a2 – 2  (ab – b2) – b2
Desenvolvendo esses cálculos, a área do quadrado laranja é dada pelo seguinte polinômio:
( )a b a ab b  
2 2 22
O produto notável ( )a b a ab b  2 2 22 é o quadrado da diferença de dois termos. 
Nesse exemplo, os termos são a b e .
A expressão a ab b2 22  é chamada de trinômio quadrado perfeito.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a b a b a b
a b a a a b b a b b
a b
   
           

2
2
2   
  
a ab ab b
a b a ab b
2 2
2 2 22( )
Chame a atenção dos alunos para os sinais envolvidos em cada 
multiplicação. Se necessário, retome com a turma o sinal de 
cada produto quando os fatores têm sinais iguais ou diferentes.
a
a
a
b
a – b
a – b
a – b
b
• Indique na figura da direita as medidas dos lados do quadrado laranja e dos retângulos amarelos.
O quadrado vermelho tem área igual a , enquanto cada retângulo 
amarelo tem área igual a .
Observe que a área do quadrado laranja é ( ) ( ) ( )a b a b a b   2 . Usando a propriedade distributiva da 
multiplicação e juntando os termos semelhantes, obtemos:
b b b 2
b a b ab b  ( ) 2
a
a
a – b
b
b
b
a – b
a – b
a – b
b
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
9
o
. ano – Volume 38
Ativ
idad
es
 1. Complete o quadro a seguir, conforme o exemplo.
Quadrado da diferença 
de dois termos
Produto
Aplicação da propriedade 
distributiva
Resultado
(a – b)2 (a – b) ∙ (a – b) a2 – ab – ab + b2 a2 – 2ab + b2
(x – y)2 (x – y) ∙ (x – y) x – xy – xy + y x – 2xy + y2 2 2 2
(m – n)2 (m – n) ∙ (m – n) m – mn – mn + n m – 2mn + n2 2 2 2
a) O que você observa em relação à quantidade de termos de todos os resultados encontrados? 
São sempre três termos, isto é, o resultado é um trinômio.
b) Ainda sobre o resultado obtido em cada item, que regularidade você observa em relação a cada termo?
Em cada trinômio quadrado perfeito, aparece o quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do primeiro termo 
pelo segundo termo mais o quadrado do segundo termo.
 2. Observe a medida dos lados do quadrado a seguir.
3a
Ajude os alunos a verificar que a medida dos lados do 
quadro é 100 – y – y = 100 – 2y.
a) Determine o monômio que representa a sua área. 
b) Se os lados desse quadrado medissem 2 unidades a menos, qual 
trinômio quadrado perfeito representaria a sua nova área? 
(3a – 2) = 3a · 3a – 2 · 3a · 2 + 2 = 9a – 12a + 4 2 2 2
9a2
 3. Desenvolva os produtos notáveis. 
a) (m – 5)2
b) (5x – 4) 2
c) (4 – y)2
d) 
m
3
4
2

§
©
¨
·
¹
¸ 
e) (c2 – 2d)2 
f) (3x )5 – y4 2 
g) (p – 0,5)2
h) (10 – 8x)2
 4. Assinale V para as igualdades verdadeiras e F para as falsas. Reescreva as falsas de modo que elas se tor-
nem verdadeiras. 
a) ( F ) (5x2 – y) = 25x – 10x y + y 2 2 2 2 
b) ( V ) (0,5 – a) = 0,25 – a + a 2 2 
c) ( F ) b b
b

§
©
¨
·
¹
¸  
1
5 5
1
25
2
2 
 5. Os lados da moldura de uma obra (cujo formato é quadrado) 
medem 100cm e têm sempre a mesma largura, como mostra 
a figura ao lado.
Indicando a largura da moldura por y, em centímetros, faça 
o que se pede. 
a) Determine a expressão que representa a área do quadro, 
em centímetros quadrados, sem a moldura. 
b) Calcule a área destinada à moldura, em centímetros 
quadrados.
c) Determine a área do quadro, sem a moldura, para y = 8 cm. 
O correto é (5x – y) = (5x – 2 ∙ 5x ∙ y + y = 25x – 10x y + y2 2 2)2 2 2 4 2 2. 
O correto é b b b b
b

§
©
¨
·
¹
¸    
§
©
¨
·
¹
¸  
1
5
2
1
5
1
5
2
5
1
25
2
2
2
2 .
yy
yy
yy
yy
100 cm
100 – 2y
a
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/K
as
ya
n
o
va
rt
4 Gabaritos.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
 Matemática 9
Produto da soma pela diferença de dois termos
Considere o quadrado verde cujos lados medem a e faça o que se pede em 
cada item.
 1. Escreva a expressão algébrica que representa a área desse quadrado. 
 2. Observe que esse quadrado foi decomposto em um quadrado menor e dois 
retângulos de tamanhos diferentes.
b
a
b
a
Indique nas figuras as expressões que representam as medidas de seus lados. Em seguida, registre a área 
de cada uma delas. 
b
a − b
a
a − bb b
b ∙ b = b a ∙ (a – b) = a2 b ∙ (a – b) = ab – b2 2 – ab
 3. Se tirarmos o quadrado vermelho dessa composição, restará ainda uma figura formada pelos dois retângulos.
b
a
a − b
a − b
b
a
Escreva a expressão que representa a área da figura restante.
Com esses dois retângulos, é possível formar outro retângulo, como mostra a figura a seguir. 
a
a + b
b
a − b
a2
a
Incentive os alunos 
a indicar na figura as 
medidas dos lados 
dos retângulos no-
vamente para facili-
tar a compreensão 
da atividade.
quadrado vermelho, obtendo a2 – b . Também é possível somar as áreas dos dois retângulos restantes, ou seja, a ∙ (a – b) + b ∙ (a – b).2
Basta subtrair da área total (quadrado verde) a área do 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:56:53
9
o
. ano – Volume 310
As medidas dos lados desse novo retângulo são a + b e a – b. Assim, sua área é igual a:
Assim, após retirar o quadrado vermelho do quadrado verde original, a área da figura restante é:
a b a b a b2 2   ( ) ( )
O produto notável ( ) ( )a b a b a b   22 é o . produto da soma pela diferença de dois termos
Nesse exemplo, os termos são a b e .
A expressão a2 – b .2 é chamada de diferença de quadrados
Ativ
idad
es
5 Gabaritos.
 1. Complete o quadro a seguir, conforme o modelo.
Produto da soma pela 
diferença de dois termos
Aplicação da propriedade 
distributiva
Resultado
(a + b) ∙ (a – b) aa – ab + ab – bb a2 – b2
(x + y) (x – y)∙ xx – xy + xy – yy x – y2 2
(m + n) (m – n)∙ mm – mn + mn – nn m – n2 2
a) O que você observa em relação à quantidade de termos de todos os resultados encontrados? 
São sempre dois termos, isto é, o resultado é um binômio.
b) Ainda sobre o resultado obtido em cada item do quadro, que regularidade você observa em relação 
a cada termo?
No resultado, aparece o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
 2. Desenvolva cada produto e apresente a resposta na forma mais simplificada possível. 
a) (a + 4) (a – 4) 
b) (3b – 3) (3b + 3) 
c) (2x2 + 4y) (2x – 4y)  2 
d) (0,5m + 0,2n) (0,5m – 0,2n) 
e) 
a a
3
5
3
5
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸ 
f) (1,2x + y) (1,2x – y)
3. Determine que termo você deve adicionar à expressão a10 – 9 para obter (2a5 + 3) (2a – 3).  5
Retome com os alunos que a ordem dos fatores não altera o pro-
duto, isto é, (a + b) ∙ (a – b) = (a – b) ∙ (a + b). Essa é a propriedade 
comutativa da multiplicação.
Reforce com os alunos essa quantidade de termos, pois é diferente 
do quadrado da soma pela diferença de dois termos e do quadrado 
da diferença de dois termos, os quais apresentam um trinômio como 
resultado.
Sugestão de atividades: questões de 1 a 5 da seção Hora de estudo.
(a + b) ( a – b) = a  a – a  b + b  – a b  b
(a + b) ( a – b) = a2 – ab + ab – b2
(a + b) ( – b a – b) = a2 2
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
 Matemática 11
Fatoração
Você já estudou que todo número natural composto pode ser escrito como uma multiplicação de fatores 
primos. Esse processo de decomposição do número é o que chamamos de fatoração.
Observe três maneiras diferentes de decompor o número 36, ou seja, de fatorar 36.
36 = 2  18
36 = 2  2 · 9
36 = 2  2 · 3 · 3
36 = 22  32
Perceba que o produto 
22  32 é a decomposição 
de 36 em fatores primos.
De maneira semelhante ao que fazemos com números, também é possível fatorar alguns polinômios. En-
quanto fatorar um número é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores, fatorar um polinômio é 
escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. 
A fatoração de polinômios é um recurso válido em diversos cálculos algébricos. Nesse momento, vamos 
usá-la para simplificar expressões. Você estudará a seguir alguns casos de fatoração.
Fator comum
Três retângulos foram colocados lado a lado, sem sobreposição, como mostra a figura abaixo.
5 cm
3 cm
2 cm 4 cm
5 cm + 2 cm + 4 cm = 11 cm
a) Calcule a área de cada retângulo. 
Área do retângulo amarelo: 3 cm ∙ 5 cm = 15 cm2
Área do retângulo verde: 3 cm ∙ 2 cm = 6 cm2
Área do retângulo rosa: 3 cm ∙ 4 cm = 12 cm2
b) Quais as medidas dos lados do retângulo maior, obtido pela junção desses três retângulos coloridos?
Como indicado na figura, as medidas são 3 cm e 11cm.
c) Veja que a área desse novo retângulo pode ser calculada multiplicando o comprimento pela altura, o 
que equivale a cm2.
Outra estratégia seria somar as áreas dos três retângulos já encontradas no item a. Acompanhe:
3  5 + 3 · 2 + 3 · 4 = 15 + 6 + 12 = 33
Observe que o número 3 aparece em todas as parcelas da primeira expressão. Assim, dizemos que ele é um 
fator comum. Usando essa ideia, podemos resolver esses cálculos de outra maneira.
3 3  5 + 3 3  2 +  4 =  (5 + 2 + 4) = 3  11 = 33
Expressão não fatorada Expressão fatorada
Fator comum em evidênciaFator comum
3 cm ∙ 11 cm = 33
Comentários sobre a fatoração por fator comum, por agrupamento, na diferença de dois quadrados e 
em um trinômio quadrado perfeito.
6
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
9
o
. ano – Volume 312
Como o 3 é o fator comum da expressão, podemos colocá-lo em evidência, obtendo assim a expressão fato-
rada. Assim, resolvemos as operações que estão dentro dos parênteses e, em seguida, a multiplicação do valor 
obtido, 11, por 3. Portanto, a área do novo retângulo é igual a 33 cm2.
Agora, veja um exemplo que envolve ex-
pressões algébricas. 
Considere este retângulo cujos lados me-
dem e a b + c + d. Assim, a área total dessa 
figura é:
a
c db
Área = ab Área = ac Área = ad
a a a ab + c + d = · (b + c + d)
Expressão não 
fatorada
Expressão 
fatorada
Fator comum em evidênciaFator comum
Perceba que na expressão destacamos o fator comum (a) a todas as parcelas colocando-o na frente, multi-
plicando a expressão restante. Quando isso acontece, dizemos que colocamos o fator comum em evidência. 
A expressão fatorada a · (b + c + d) representa a área do retângulo maior, formado pela junção dos três re-
tângulos menores. Veja que pela propriedade distributiva da multiplicação voltamos à expressão inicial.
a a a a · (b + c + d) = b + c + d
Dizemos que a · (b + c + d) é uma forma fatorada do polinômio ab + ac + ad.
Matemática em detalhes
Você aprendeu que “fatorar” significa “decompor em fatores”. Agora, vamos usar essa ideia para determinar 
uma multiplicação que tenha como resultado a expressão 5xy + 5x2. 
5xy + 5x2
5x 5x  y  x
Note que 5 é fator comum dos coeficientes e que x é fator comum da parte literal de todas as parcelas. 
5 5 5 5 52xy x y x y xx x x     
Fator Fator
N N
( )
Veja que a expressão 5xy + 5x pôde ser escrita por meio da multiplicação de dois fatores, 2 5x e y + x. E, com 
a expressão fatorada 5x  (y + x), podemos usar a propriedade distributiva para retornar à expressão original. 
Acompanhe:
5 5 5 5 5 2x y x x y x x xy x     ( )
Veja outro exemplo. Como podemos fatorar a expressão 14 35 73 2 3x y x y xy  ?
Como 7 é fator comum dos coeficientes e xy é fator comum da parte literal de cada uma das três parcelas, 
obtemos: 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
 Matemática 13
14 35 73 2 3x y x y xy 
7 2 2xy x 7 5xy x 7 2xy y
Isto é: 14 35 7 2 5 2 57 7 7 73 2 3 2 2 2 2x y x y xy x x y x x yxy xy xy xy         ( )
Perceba que em cada expressão colocamos o fator comum em evidência. 
Já vimos que a fatoração é útil para simplificar expressões. Acompanhe um exemplo em que as expressões 
aparecem em uma fração.
5 5 1
1
5 1
1
2
2
y y
y y
y y
y y
y
y


 
 
 
 


( )
( )
Podemos trabalhar com a fração 
5 2
2
y y
y y


 desde que y seja diferente de 0 e de 1, pois caso y assumisse um 
desses valores, o denominador seria zero e não existe uma fração com denominador zero. Note que dividimos 
y y do numerador por do denominador, resultando em 1 (pois qualquer número dividido por ele mesmo é igual 
a 1, desde que esse número seja diferente de 0). Assim, a expressão simplificada é 
5 1
1
y
y


.
Sugestão de encaminhamento 
nas orientações didáticas.
7
Retome com os alunos as 
propriedades da potenciação 
para ajudá-los a compreender 
o processo de fatoração com 
polinômios.
Ativ
idad
es
 1. Fatore o polinômio indicado em cada item.
a) 5a – 5b
b) 12x + 4y
c) a(m + n) + b(m + n) + c(m + n)
d) 25x + 5xy
e) x(y + 1) – m(y + 1)
f) x2 – 2xy
g) ab – a2 + a 3
h) a + a4 + a + a 6 5
i) 12x2y – 18xy 2 
j) 
2
5 10
2
3
r
r

k) 
a a6 4
2
5
4
2. Calcule o valor da expressão a2x + b x + c + b + c = 45 e x = 2,4. 2 2x, sabendo que a2 2 2
 3. Observe as medidas do paralelepípedo ao lado e faça o que se pede. 
a) Determine a área da superfície total desse sólido e escreva a resposta por 
meio de um polinômio na forma fatorada. 
b) Determine o volume do sólido e escreva o resultado por meio de um 
polinômio na forma fatorada. 
c) Determine a área e do volume do paralelepípedo para a = 3 cm. 
 4. (OBMEP) Os números naturais x e y são tais que x2 − xy = 23. Qual é o valor de x + y? 
a) b) c) d) e) 24 30 34 35 X 45
Lembre os alunos das propriedades da potenciação, pois elas são 
itens para fatorar os polinômios indicados a partir do item f.
2a
a − 1
3a
8 Gabaritos.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
9
o
. ano – Volume 314
Agrupamento
Considere o retângulo ABCD ao lado e os demais retângulos 
destacados com as áreas indicadas.
a) Escreva a área do retângulo ABCD como uma soma das 
áreas dos retângulos que o compõem. 
ax + ay + bx + by
b) Escreva a área do retângulo ABCD por meio de uma mul-
tiplicação de dois fatores. 
(a + b) · (x + y)
c) Desenvolva os cálculos da expressão que você escreveu no item anterior utilizando a propriedade 
distributiva da multiplicação e responda: qual a relação entre as expressões indicadas nos itens a b e ? 
Elas são iguais, ou seja, (a + b) · (x + y) = ax + ay + bx + by. 
A área do retângulo ABCD pode ser obtida pela soma das áreas dos quatro retângulos menores que o com-
põem. Essa área é representada pelo polinômio ax + ay + bx + by. Podemos fatorar os termos desse polinômio 
dois a dois, agrupando inicialmente os termos que apresentam fator comum a e .b
a a ax + y + b bx + y = · (x + y) + (x + y)b · 
Em seguida, podemos colocar em evidência o fator comum x + y:
a · ( ( )x + y) + b · x + y) = (x + y · (a + b)
Na multiplicação, pela propriedade comutativa, temos que a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
(x + y) (a + b) = (a + b) (x + y). · · 
Também podemos fatorar o polinômio ax + ay + bx + by agrupando primeiro os termos que apresentam 
fator comum x y e . 
Podemos verificar se a fatoração está correta aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. Acompanhe:
A E B
D I C
G H
F
ax ay
bx by
x y
x y
a
b
a
b
ção com as quatro variáveis a b x, , e y. Nesse caso, refor-
ce com a turma que os dois fatores são (a + b) e (x + y).
Alguns alunos podem confundir a 
ideia de dois fatores da multiplica-
(a + b) · (x + y) = ax + ay + bx + by
Estimule os alunos a verificar se as fatora-
ções estão corretas por meio da proprie-
dade distributiva.
Dizemos que (a + b) · (x + y) é uma forma fatorada do polinômio ax + ay + bx + by.
Ativ
idad
es
9 Gabaritos.
 1. Escreva um polinômio na forma fatorada que representa a área do retângulo ABCD, o qual é formado por 
quatro retângulos destacados na figura.
A Bp
m
n
q
D C
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
 Matemática 15
 2. Fatore os polinômios. 
a) 9ab + 6b + 12ac + 8c
b) xy + x – ay – a
c) pq2 2 – q r + pa – ar
d) ax + 2x + 2a + 4
e) bx + cx + x + n + bn + cn
f) 9a – 12 + 15a – 20a2
g) 2x2y – 6x + 3ay – 9a2
h) 12a3b – 12a – b + 13 
 3. Calcule o valor da expressão ax + bx + ay + by, sabendo que a + b = 41 e x + y = 48. 
Diferença de dois quadrados
Você já estudou que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença dos quadrados de 
cada termo, isto é, (x + y)  (x − y) = x2 − y2. 
Vamos rever essa relação a partir dos dois quadrados com as medidas dos lados indicadas a seguir.
b
a
a
b
Recortando a área ocupada pelo quadrado menor, obtemos essa figura de 
6 lados:
• Indique nessa figura as expressões que representam as medidas de cada um 
de seus lados.
A área dessa figura pode ser calculada de diferentes maneiras. Vamos apresen-
tar duas delas. 
1ª. maneira: 
Note que a área da figura após o recorte do quadrado menor é igual à diferença entre a área do quadrado 
maior e a área do quadrado menor, isto é, a2 − b2.
2ª. maneira: 
Observe que a figura pode ser decomposta em dois re-
tângulos. Reposicionamos um deles de modo que forme 
um único retângulo, como mostra a figura do lado.
Veja que as medidas dos lados desse novo retângulo são 
a + b e a – b, e o produto (a + b) · (a – b) representa sua área. 
Perceba que a área desse retângulo é equivalente à área da 
figura de 6 lados.
a
a
a – b
a – b
b
b
Incentive os alunos a calcular a área da figura decompondo-a em outras figuras nas 
quais é possível calcular sua área, de modo diferente do que está apresentado aqui. 
10 Veja nas orientações didáticas outras duas possíveis resoluções.
a) Qual é a área do quadrado maior? 
b) E do quadrado menor? 
 a2
 b2
c) Ao sobrepor o quadrado menor ao quadrado maior, de modo que dois lados do menor fiquem sobre 
dois lados do maior, coincidindo um vértice de cada quadrado, obtemos a figura a seguir.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
9
o
. ano – Volume 316
 1. Em cada item, escreva a expressão que representa a área da parte colorida da figura por meio de uma 
multiplicação de dois fatores. 
Dica: determine a diferença entre o quadrado de dois termos para depois identificar a forma fatorada 
dessa expressão. 
a) 
2 m
2 m
n
n
(2m)2 – n = (2m – n) · (2m + n)2
b) 10x
10x
2y 3
2y 3
(10x)2 – (2y ) = (10x + 2y ) · (10x – 2y3 2 3 3)
 2. Em cada item é apresentada a diferença de dois quadrados. Escreva-os na forma fatorada, ou seja, como 
um produto da soma pela diferença de dois termos.
a) x2 – 36 
b) 100 – m2 
c) 2,25c2 – 1,44d 2
d) 16a4 – 1 
e) a2b8 – c 4
f) 81x4 – 64 
g) 25 – 4a6 
h) 
1
4
2 4p q 
 3. Simplifique as expressões lembrando a fatoração do quadrado de dois termos.
a) 
x
x
2 4
2


, com xz 2 
b) 
( ) ( )x x
x
  

1 1
1
, com zx 1
c) 
x
x


1
1
, com x maior do que zero e zx 1
Com as duas maneiras de resolver a questão pedida, chegamos às expressões a2 − b e (a + b) (a – b), 2 · 
que parecem ser diferentes, mas elas representam a mesma resposta, que é a área da figura de 6 lados. Assim, 
concluímos que:
a2 − b2 = (a + b) (a – b) · 
Incentive os alunos a comparar esse desenvolvimento e o resultado obtido com o que se estudou a respeito do 
produto notável da soma pela diferença de dois termos.
A expressão que indica a diferença de dois quadrados pode ser fatorada 
como um produto da soma pela diferença de dois termos.
a2 – b = (a + b) (a – b)2 ·
Ativ
idad
es
11 Gabaritos.
Discuta com os alunos sobre as restrições apresentadas em cada item. Como em 
toda fração o denominador deve ser diferente de zero, por exemplo, a expressão 
do item a só fará sentido quando x z2 0, ou seja, quando x ≠ –2. 
Trinômio quadrado perfeito
Chamamos de trinômio o polinômio com três termos, certo? Mas o que significa um trinômio quadrado perfeito?
Em anos anteriores, você estudou que números como 1, 4, 9, 16 e 25 são chamados de quadrados perfeitos, 
pois eles são os quadrados dos números 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. No caso do polinômio x2 + 2xy + y2, 
dizemos que ele é um trinômio quadrado perfeito, pois ele é o quadrado de x + y, isto é:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
 Matemática 17
Do mesmo modo, dizemos que é um trinômio quadrado perfeito, porque ele é o x2 – 2xy + y2 quadradode x – y. 
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
• A expressão (a + b)2 ou (a + b) · (a + b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2.
• A expressão (a – b)2 ou (a – b) · (a – b) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a2 – 2ab + b2.
Matemática em detalhes
Veja como é possível verificar se a expressão x + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito.2
x2 + 10x + 25
(x)2 ( )5 2
2 · x 5 · 
• x2 é o quadrado de x • 10x = 2 o produto · x · 5 é 2 vezes • 25 é o quadrado de 5
 entre 5x e 
Assim:
x2 + 10x + 25 = + x2 2 · x · 5 + 52
x )2 + 10x + 25 = (x + 5 2
O sinal de mais (+) na frente da parcela 10x indica que o produto notável correspondente é (x + 5)2. Portanto, 
x2 + 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x + 5) .2
Caso o trinômio fosse x2 – 10x + 25, o procedimento para determinar os termos x 5 e seria o mesmo. E como 
o sinal de menos (–) acompanha a parcela –10x, isso nos mostra que agora o produto notável correspondente é 
(x – 5)2. Assim, x2 – 10x + 25 também é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (x – 5) .2
Seguindo esse mesmo raciocínio, vamos verificar se 49a2 – 14a + 4 é um trinômio quadrado perfeito. 
49a2 – 14a + 4
(7a)2 ? ( )2 2
Nesse exemplo, temos:
• • 49a2 é o quadrado de 7a 4 é o quadrado de 2
Perceba que deveríamos ter outra parcela que correspondesse a menos 2 vezes o produto entre 7a e 2, ou seja, 
–2  7a  2 = –28a. Mas a única parcela que sobrou no trinômio é –14a. Como –14a ≠ –2  7a  2, o trinômio 
49a2 – 14a + 4 não é quadrado perfeito.
Agora é com você!
Verifique se o trinômio x x2 3
9
4
  é um quadrado perfeito. Em caso positivo, escreva-o na forma fatorada.
Como    2
3
2
3x x, o trinômio x x2 3
9
4
  é um quadrado perfeito e sua forma fatorada é x
§
©
¨
·
¹
¸
3
2
2
.x x
x
2
3
2
2
2
3
9
4
( )
N
N
 
§
©
¨
·
¹
¸
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
9
o
. ano – Volume 318
Saiba +
Você já estudou o resultado do quadrado da soma de dois termos, que é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 
Até o momento, usamos essas expressões associadas a áreas de figuras planas, como quadrados e 
retângulos. E como seria o desenvolvimento do , ou seja, de cubo da soma de dois termos
(a + b)3?
Vamos começar com um exemplo envolvendo o cubo mágico. Esse 
quebra-cabeça tridimensional tem seis faces quadradas pintadas com 
cores diferentes. Normalmente, ele é montado na versão 3 × 3 × 3, como 
a da imagem ao lado, mas há versões diferentes. Veja algumas dessas 
versões a seguir.
O objetivo desse quebra-cabeça é deixar cada 
face com uma única cor, como o cubo mágico ao 
lado.
Vamos determinar o volume desse peque-
no cubo cujas arestas estão destacadas em 
branco. Representando a medida da aresta por 
x, o volume do cubinho é dado pelo produto 
da medida da base pela medida da altura e da 
largura. 
Observe as medidas de outro cubo.
A expressão (a + b)3 é chamada de cubo da soma de dois termos.
©
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/
D
n
d
_
P
ro
je
ct
©
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
/S
u
ra
d
e
ch
 
Ji
w
a
p
o
rn
sa
w
a
t
©Sh
u
Pet
er V
rab
el
©
S
h
k/
S
d
h
A medida da aresta desse cubo é a + b. Multiplicando as medidas do comprimento, da largura 
e da altura do cubo, obtemos seu volume, que é (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) = (a + b)3.
©Sh
utt
erst
ock
/
bel
x
x
x
x ⋅ x x = x⋅ 3
b
a
a
a
b b
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
 Matemática 19
Podemos também determinar o volume desse cubo por meio da soma dos volumes das peças 
menores que o formam. Uma das possibilidades é decompor o cubo original em oito paralelepí-
pedos. Veja:
b
a
a
a
b b
Observe a seguir as medidas das arestas de cada figura, a quantidade encontrada e o volume 
de cada uma.
b
ba
b
a
b
b b
a
a
a
a
Volume = a3
1 peça
1 peça3 peças
3 peças
Volume = a b2
Volume = ab2 Volume = b3
Como o volume do cubo original é igual à soma dos volumes dos oito paralelepípedos, 
obtemos:
(a + b)3 = + 1 ∙ a3 3 ∙ a2b ab + 3 ∙ 2 + 1 ∙ b3
Assim, o volume do cubo pode ser representado pelo cubo da soma de dois termos, que são a 
e b nesse exemplo.
(a + b) = a + 3a b + 3ab + b3 3 2 2 3
 
Note que a expressão (a + b) ∙ (a + b). 3 pode ser escrita como (a + b)2
(a + b)2 (a + b)∙
(a2 + 2ab + b2) (a + b)∙
Aplicando a propriedade distributiva e juntando os termos semelhantes, obtemos:
a3 + a b + 2a b + 2ab + ab2 2 2 2 + b3
a3 + 3a b + 3ab + b2 2 3
Assim, (a + b)3 = a + b3 + 3a b + 3ab2 2 3.
Lembre a turma de que cubos também são paralelepípedos. 
Assim como o desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos é um trinômio, o cubo da soma de dois termos é um polinômio de 
quatro termos. Seguindo o mesmo raciocínio, a quarta potência da soma de dois termos resulta em um polinômio de cinco termos e assim 
por diante. Introduzir o raciocínio recursivo e o pensamento de generalização de um conceito pode proporcionar uma percepção maior 
dos padrões que podem ser encontrados em atividades que envolvem também a álgebra.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:02
9
o
. ano – Volume 320
Resolução de equações polinomiais do 2.° grau
Equação polinomial do 2.° grau
Vamos retomar a situação da piscina apresentada na abertura 
do capítulo. Veja que o comprimento e a largura são iguais a x e 
x – 25. Considere as medidas em metros.
A expressão que representa a área da superfície plana ocupa-
da pela piscina é x  (x – 25) ou x2 – 25x. Se essa área for igual a 
1 250 m2, podemos escrever a seguinte equação:
x2 – 25x = 1 250
Fazendo as operações necessárias para escrever todos os termos no primeiro membro, obtemos:
x2 – 25x – 1 250 = 0
Esse é um exemplo de equação do 2º. grau.
Chamamos de equação polinomial do 2º. grau ou equação do 2º. grau toda equação que pode 
ser escrita na forma
ax2 + bx + c = 0
com a, b e c  \ e a ≠ 0.
• a é o coeficiente de x2. • b é o coeficiente de x. • c é o termo independente.
A denominação “equação do 2º. grau” é uma referência ao fato de a incógnita x aparecer elevada ao quadra-
do, ou seja, ao fato de ter expoente 2 e esse ser o maior expoente da incógnita presente na equação. 
 1. Em cada item, analise se o trinômio é um quadrado perfeito. Em caso positivo, fatore-o. 
Ativ
idad
es
12 Gabaritos.
13 Comentários.
Relembre aos alunos as propriedades de potenciação (potência de potência 
e seu processo inverso).
Sugestão de atividades: questões 6 e 7 da seção Hora de estudo.
x 
– 
25
x
D
iv
o
 P
ad
ilh
a.
 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
a) m2 + 16mn + 64n 2
b) a2 + 5a + 25 
c) p2 – 14p + 49 
d) 16x2 – 8x + 1 
e) 25a4 – 20a b + 4b 2 2
f) 100c2 + 50cd + 25d2
g) a6b2 – 8a b + 16 3
h) 
4
9
20
3
252x x 
i) 
1
4
2
3
4
9
2 2r rs s 
j) 5x2 + 110xy + 121y2
 2. Considere o polinômio 121x2 – 154x + 40.
a) Que número inteiro devemos adicionar a esse polinômio para que ele seja um trinômio quadrado perfeito? 
b) De acordo com a resposta dada no item anterior, qual seria a forma fatorada do trinômio quadrado 
perfeito obtido? 
 3. Simplifique as expressões. 
a) 
( )x
x x

 
2
2 8 8
2
2
, com x –2≠ b) 
3 24 48
4
2
2
x x
x
 
( )
, com x –4≠
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
 Matemática 21
O símbolo  significa “pertence”. Assim,os coeficientes são números que pertencem ao conjunto a b c, e 
dos números reais. Além disso, o coeficiente a deve ser não nulo, ou seja, a ≠ 0. Caso contrário, não teríamos a 
incógnita x com expoente 2 e a equação não seria mais do 2º. grau.
Observe os coeficientes a b c, e da equação x2 – 25x – 1 250 = 0.
1
1
25 251250
1250
0
2
x x
a
b
c
 

 
 
 
 

®
°
¯
°
 
 
Agora, veja outros exemplos de equação do 2º. grau e complete a tabela com os respectivos coeficientes a, e b c. 
Equação do 2º. grau Coeficientes
–2x2 + x – 10 = 0 a = –2; b = 1; c = –10
2x2 + 12 + 3x = 0 2x + 3x + 12 = 0 a = 2; b = 3; c = 122
x2 + 12x = 0 a = 1; b = 12; c = 0
3x2 – 16 = 0 a = 3; b = 0; c = –16
–5x2 = 0 a = –5; b = 0; c = 0
Observe que em algumas das equações acima temos os coeficientes b= 0 ou c = 0. Nos casos em que isso 
acontece, dizemos que a equação do 2º. grau é incompleta. Por exemplo, as equações x2 + 12x = 0; 3x2 – 16 = 0 e 
–5x2 = 0 são incompletas, enquanto as demais equações são completas, porque nenhum de seus coeficientes é nulo. 
Resolver uma equação é determinar todos os valores da incógnita que satisfazem a equação, isto é, os valo-
res que tornam a igualdade verdadeira. Esses valores são chamados de raízes da equação. 
Reforce com a turma que, para identificar os 
coeficientes a b c, e da equação do 2º. grau 
com facilidade, precisamos que um dos 
membros seja igual a zero. Atente ao fato de 
que esses coeficientes a e acompanham xb 2 
e x respectivamente e que c é o termo inde-
pendente. 
Sobre o número de raízes de uma equação do 2º. grau, pode acontecer um dos seguintes casos: 
• apresentar duas raízes reais e diferentes;
• apresentar duas raízes reais e iguais; 
• não apresentar raízes reais. 
Chamamos de solução ou raiz da equação o número real que, ao ser 
substituído na incógnita, torna a igualdade verdadeira.
Posteriormente, apresentaremos como essas informações estão associadas ao 
valor do discriminante ('). Quando dizemos que a equação apresenta duas raí-
zes reais e iguais, significa que a equação tem uma única raiz de multiplicidade 2.
• Ainda sobre x2 – 25x – 1 250 = 0, que representa a área da piscina, substitua x pelo valor informado em cada 
item e verifique quais deles são raízes dessa equação.
a) x = 50
502 – 25 ∙ 50 – 1 250 = 2 500 – 1 250 – 1 250 = 0
Como 0 = 0, x = 50 é raiz da equação.
b) x = –40 
(–40)2 – 25 ∙ (–40) – 1 250 = 1 600 + 1 000 – 1 250 = 1 350
Como 1 350 ≠ 0, x = –40 não é raiz da equação.
c) x = –25 
(–25)2 – 25 ∙ (–25) – 1 250 = 625 + 625 – 1 250 = 0
Como 0 = 0, x = –25 é raiz da equação.
Antes de iniciar os cálculos, mostre aos alunos que o primeiro 
membro dessa equação é x2 – 25x – 1 250 e que o segundo mem-
bro é 0. Em seguida, esclareça que, ao substituir o valor de x na 
equação, se o resultado encontrado no primeiro membro for igual 
ao segundo, ou seja, igual a zero, x é raiz da equação.
Quando dizemos que 
os coeficientes b ou c 
são iguais a zero, signi-
fica que podemos ter 
um destes três casos: 
b = 0 somente, c = 0 
somente ou b = 0 e 
c = 0 ao mesmo tem-
po.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
9
o
. ano – Volume 322
Observe que é a medida de um dos lados da piscina, por isso só pode assumir valores maiores do que zero. x
Nessa situação, entre as duas soluções encontradas anteriormente para a equação x2 – 25x – 1 250 = 0, a única 
válida para o problema da piscina é x = 50. Assim, as medidas do comprimento e da largura dessa piscina são 
x = 50 metros e x – 25 = 50 – 25 = 25 metros.
Retome a imagem da piscina da página 20 e peça aos alunos que escrevam na figura as medidas do comprimento e da largura da piscina, 
ou seja, 50 metros e 25 metros, respectivamente. Reforce que x = –25 é solução da equação x2 – 25x – 1 250 = 0, mas não seria válida como 
medida da piscina por ser negativa (x = –25 e x – 25 = –25 – 25 = –50).
 1. Assinale as equações que são do 2º. grau e, para essas, identifique os respectivos coeficientes a b c, e .
X a) p – 2p + 5 = 0 2 
b) 6x3 + 4x – 6 = 0 Não é equação do 2º. grau, pois o maior expoente de x é 3. 
X c) y2 + 2 = 0 a = 1; b = 0; c = 2 
d) 5x + 10 = 0 Não é equação do 2º. grau, pois o maior expoente de x é 1. 
X e) 2t2 – 5t + t = 0 2 
 2. Para cada item, escreva a equação do 2º. grau na forma ax2 + bx + c = 0 de acordo com os coeficientes 
dados. Em seguida, registre se a equação encontrada é completa ou incompleta.
a) a = –1, b = 0, c = 3
b) a = 2, b = 0, c = 4
c) a = 1, b = 3, c = –5
d) a = –4, b = –12, c = 0
 3. Em cada item, observe os números do quadro e verifique quais deles são raízes da equação.
a) x2 – 10x + 25 = 0 –5 0 5 10
b) 5x2 – 4x = 0 –1 0 0,8 2
c) x2 – 6 = 0 1 6 6  6
 4. Sabendo que 2 é uma das raízes da equação x2 – 25x + p = 0, calcule o valor de p. 
 5. Desenvolva o primeiro membro de cada equação a seguir para verificar que são equações do 2º. grau e 
apresente-as na forma ax2 + bx + c = 0. 
a) x (x – 4) = 0∙
b) (2x + 5) (x + 2) = 0∙
c) (x + 3) = 02
d) (x + 5) (x – 5) = 0∙
–2p2 + p + 5 = 0 a = –2; b = 1; c = 5
3t2 – 5t = 0 a = 3; b = –5; c = 0
Ativ
idad
es
14 Gabaritos.
Em algumas situações, é preciso reduzir os 
termos semelhantes e escrever as equações na 
forma ax2 + bx + c = 0 para facilitar a identifi-
cação dos respectivos coeficientes a, e b c.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta
A seguir, apresentaremos diferentes estratégias para auxiliá-lo na resolução 
de equações do 2º. grau incompletas.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta para b = 0
O artista brasileiro Eduardo Kobra é considerado um dos maiores muralistas 
da atualidade. Ele vem ganhando destaque desde 2007 com o projeto Muro das 
Memórias, no qual retratou cenas antigas da cidade de São Paulo. Kobra é autor 
de mais de 500 obras espalhadas pelas ruas do Brasil e em outros 17 países. 
• Eduardo Kobra
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/M
ar
 P
h
o
to
g
ra
p
h
y
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
 Matemática 23
A pintura Imagine foi inspirada no cantor John Lennon. 
Considerando que o artista Kobra tenha usado uma superfície de 
256 m2 com formato similar a de um quadrado para criar essa 
obra, podemos escrever a equação do 2º. grau x2 = 256 para 
representar sua área, sendo x a medida, em metros, dos lados 
dessa superfície quadrada. 
a) Quais números elevados ao quadrado resultam em 256? 
b) Entre as respostas encontradas no item anterior, qual indica a 
medida dos lados dessa superfície quadrada?
O número 16. Como se trata de uma medida, temos que considerar os 
valores maiores do que zero. 
Depois de resolver uma equação, é importante analisar se todos os valores encontrados satisfazem o 
problema. Nesse exemplo, a equação x2 = 256 apresenta duas raízes. Porém, como o problema trata das 
medidas dos lados de um painel, devemos considerar apenas a raiz cujo valor é maior do que zero.
Veja como podemos resolver a equação x2 = 144.
São 16 e –16, pois 16 = (–16) = 256.2 2
Mostre aos alunos que essa equação pode ser escrita da forma x2 – 256 = 0, em que a = 1, b = 0 e c = –256.
Lembre-se de que a raiz quadrada de um número é única. Por 
exemplo, a raiz quadrada de 144 tem o resultado único, que é 12, 
ou seja, 144 12 . O que temos que observar em x2 = 144 é que 
há dois números que satisfazem essa equação, são eles: x = 12 e 
x = –12. Esses números são as raízes da equação.
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/S
im
p
ly
D
ay
2 3x = ±
4
3x = ±
2 Assim, x = + 3
2
 ou x = _ 3
2
 são as 
raízes dessa equação.
– 4 x2 + 3 = 0
– 4x2 + 3 – 3 = – 3
– 4x2 = –3
– 4 – 4
Princípio aditivo: subtraímos 3 dos dois 
membros, sem alterar a igualdade.
Princípio multiplicativo: dividimos por –4 
os dois membros, sem alterar a igualdade. 
Extraímos a raiz quadrada de ambos os 
membros da equação.
– 4x2
x =2 
– 3
3
4
• Imagine, 2017 
Utilizando essas ideias, observe como foram resolvidas as equações a seguir.
QUAIS NÚMEROS 
QUE ELEVADOS 
AO QUADRADO 
RESULTAM EM 144? 
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/E
SB
 P
ro
fe
ss
io
n
al
©
G
et
ty
 Im
ag
es
/M
at
t 
C
ar
d
y
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
9
o
. ano – Volume 324
Agora é com você! Determine as raízes da equação 2x2 – 8 = 0.
2 8 0
2 8
4
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
 
 
 
 r
 r
 
Assim, x = 2 e x = –2 são as raízes dessa equação.
Veja ao lado uma parte da resolução da equação x + 2 = 0.2
Qual número real elevado ao quadrado resulta em –2?
Não há um número real que elevado ao quadrado resulte em –2.
Peça aos alunos que substituam os valores encontrados na equação para verificar que x = 2 e x = –2 são 
realmente raízes.
x
x
2
2
2 0
2
 
 
Quando a equação não admite um número real de modo que torne a 
igualdade verdadeira, dizemos que ela não apresenta solução.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta para c = 0
Dolores tem uma escola de flamenco, dança típica da Espanha. Ela 
contratou um marceneiro para construir dois tablados de madeira, um 
com a superfície superior de formato quadrado e o outro com formato 
retangular, ambos com a mesma área. Observe a seguir a vista superior 
desses tablados, com medidas em metros.
As expressões algébricas que representam as áreas da 
superfície superior dos tablados são x2 e . 6x
Como os dois tablados têm a mesma área, podemos es-
crever a equação x2 = 6x, que relaciona a área do tablado 
quadrado e a área do tablado retangular.
• Quais valores de x satisfazem essa equação, ou seja, quais as raízes?
x = 6 e x = 0. Esperamos que os alunos encontrem esses valores por tentativa e erro.
Veja como podemos determinar as raízes dessa equação.
x 2x
x
3
Mostre aos alunos que essa equação pode ser escrita da forma x2 – 6x = 0, em que a = 1, b = –6 e c = 0.
• Aplicando as operações necessárias, podemos 
escrever todos os termos no primeiro membro 
da equação.
x2 – 6x = 0
• Como x é fator comum dos termos que estão no 
primeiro membro da equação, podemos deixá-
-lo em evidência.
x · (x – 6) = 0
• Observe que o produto desses fatores resulta 
em zero. Se o produto resulta em zero, pelo me-
nos o primeiro fator (x) é igual a 0 ou o segundo 
fator (x – 6) é igual a 0. Assim: 
x · (x – 6) = 0
x = 0 ou
x – 6 = 0 x = 6
Portanto, os valores de x que satisfazem a equa-
ção x2 – 6x = 0 são x = 0 e x = 6. Essas são as raízes 
da equação.
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/D
m
_
C
h
er
ry
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
 Matemática 25
Usando a fatoração, determine as raízes da equação 2m2 – m = 0. 
x = 6 2x = 2 · 6 = 12
x = 6
3
 1. Determine as raízes reais, quando houver, de cada equação polinomial do 2º. grau incompleta.
a) 5x2 – 10 = 0
b) 10y2 – 200y = 0 
c) 3x2 + 27 = 0 
d) 30n2 + 270n = 0
e) x
x2
5
0 
f) 2p2 = 0 
g) (5a – 1)2 = 1
h) (2y + 3) – 9 = 12y 2
i) 
5 3
3
3
14
7
2x x
 

 
j) ( ) ( )x x x   1 2 4
 2. Há números que, ao serem elevados ao quadrado e somados com 12, resultam em 93. Que números são 
esses? 
 3. Luíza usou 1 350 cm2 de papel colorido para embrulhar uma caixa cúbica usada para embalar um presen-
te. Considerando que não haja sobreposição de papel, determine a medida das arestas dessa caixa.
 
Chamando de x a medida das arestas dessa 
caixa, temos: 
6 1 350
1 350
6
225
225
15
2
2
2
x
x
x
x
x
 
 
 
 r
 r
As raízes dessa equação são 
x = 15 e x = –15. Como o problema envolve 
medida de comprimento, consideramos 
apenas x = 15. Assim, a medida das arestas é 
igual a 15 cm. 
 4. Determine o comprimento e a largura de um retângulo de área igual a 640 cm2, sabendo que a medida 
da sua largura é igual a 2
5
 do seu comprimento. 
Ativ
idad
es
15 Gabaritos.
2 0
2 1 0
0 2 1 0
1
2
2m m
m m
m ou m m
 
  
  o 
( )
 Assim, as raízes são m = 0 e m 
1
2
.
Lembrando que, como o problema envolve medidas 
de comprimento, x não poderia ser igual a zero. Assim, 
nos sobra a raiz x = 6, e nessa situação as medidas dos la-
dos do tablado, em metros, seriam as indicadas na figura 
ao lado.
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/N
an
cy
 T
rip
p
 P
h
o
to
g
ra
p
hy
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
9
o
. ano – Volume 326
( )x
x
x
 
 r
 r
7 25
7 25
7 5
2
Veja que estamos em busca de um número (x – 7) que elevado ao 
quadrado resulta em 25. Assim, temos duas possibilidades:
x – 7 = ou x – 7 = +5 –5
Resolvendo essas duas equações, obtemos:
x – 7 = 5 
x – 7 = 5 + 7 + 7 ou
x = 12
x – 7 = –5
x – 7 = + 7 –5 + 7
x = 2
As raízes são x = 12 e x = 2.
Jogo das equações
Para esse jogo, você precisará recortar os cartões disponíveis no material de apoio. 
Esses cartões apresentam equações polinomiais do 2º. grau incompletas e as respecti-
vas raízes.
Como jogar
1. Reúna-se com um ou dois colegas.
2. Distribuam sobre a carteira os cartões de um dos jogos somente, com as equa-
ções e as raízes voltadas para baixo.
3. Cada jogador, na sua vez, vira dois cartões tentando formar o par: uma equação e 
as raízes correspondentes. Resolva as equações mentalmente ou em uma folha.
4. O jogador que formar o par correto (equação e raízes correspondentes) ganha um ponto e mantém os car-
tões virados para cima na carteira. Caso não forme o par, vira os cartões para baixo novamente e passa a vez.
5. Vence aquele que marcar mais pontos depois de serem formados todos os pares corretamente.
Equação polinomial do 2º. grau completa 
Método da fatoração 
Observe a equação do 2º. grau x2 – 6x + 9 = 0. Dizemos que ela é completa, pois os valores dos coeficientes 
b c e são diferentes de zero. Usaremos a fatoração, estudada anteriormente, para resolvê-la, ou seja, para deter-
minar suas raízes. Acompanhe:
x2 – 6x + 9 = 0
–2 · x 3 · 
( )x 2 ( )3 2
Assim:
x2 – 6x + 9 = 0
x2 – 2 · x 3 · 3 + 2 = 0
(x – 3)2 = 0
Perceba que a expressão x2 – 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito e a escrevemos como o quadrado da 
diferença de dois termos, (x – 3)2. Escrever a equação do 2º. grau como (x – 3)2 = 0 nos ajuda a perceber que 
existe um número (x – 3) que elevado ao quadrado resulta em zero. E isso se deve ao fato de x – 3 ser igual a 0. 
Portanto, x – 3 = 0, ou seja, a raiz da equação é x = 3.
De acordo com essas ideias, veja como podemos resolver a equação (x – 7)2 = 25.
16x2 = 9
Raízes:
e –
Raízes:
+10 e –10
3
4
= 0
3x2
4
3
4
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
 Matemática 27
Seguindo o mesmo raciocínio, resolva a equação (3x + 5)2 = 121.
3 5 11 3 5 11
3 11 5 3 11 5
3 6 3 16
2
16
3
x x
x ou x
x x
x x
  
   
 
 
Assim, as raízes são 
16
3
 e 2.( )3 5 121
3 5 121
3 5 11
2x
x
x
 
 r
 r
Método de completar quadrados 
Muitas equações completas do 2º. grau não envolvem um trinô-
mio quadrado perfeito. Nesses casos, podemos utilizar o método de 
completar quadrados, apresentado no séculoIX pelo matemático 
árabe Al-Khwarizmi em seu livro Hisab al-jabr w’al muqabala. 
Vamos utilizar o método de completar quadrados para resolver 
a equação x2 + 8x – 48 = 0, a qual não é um trinômio quadrado 
perfeito.
Pelo princípio aditivo, somamos 48 a ambos os lados da igualda-
de, com o objetivo de manter no primeiro membro apenas termos 
com a mesma parte literal.
x2 + 8x – 48 = 0 + 48 + 48
x2 + 8x = 48
O objetivo agora é construir um trinômio quadrado perfeito a partir da expressão x2 + 8x. Para isso, usare-
mos como auxílio a figura a seguir, que ilustra a ideia de que x2 representa a área de um quadrado cujos lados 
medem x cm e que 8x representa a área de 8 retângulos, cada qual com comprimento e largura de x cm e 
1 cm, respectivamente.
• Estátua de Al-Khwarizmi, Khiva, Uzbequistão
Verifique com os alunos que x2 + 8x – 48 = 0 não é um trinômio quadrado 
perfeito usando o método da fatoração estudado anteriormente.
x
xx
x1 cm
Comente com os alunos que essa informação é dada a partir 
da equação encontrada x2 + 8x = 48.
A área, em centímetros quadrados, de um retângulo amarelo é x e a área do quadrado laranja é x2. A equa-
ção x2 + 8x = 48 representa a área dessa figura, que é formada por um quadrado laranja e 8 retângulos amarelos. 
Como as medidas estão em centímetros, essa área é 48 cm2. 
• Recorte os quadrados disponibilizados no material de apoio e use os que forem necessários na figura até 
formar um quadrado.
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/V
la
d
im
ir 
G
o
n
ch
ar
en
ko
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
9
o
. ano – Volume 328
A medida dos lados dos quadrados do material de apoio é de 1 cm e, assim, a área de cada um é de 1 cm2. 
Além disso, devem ser usados 16 desses quadrados para completar a figura até formar um quadrado maior, so-
mando uma área equivalente a 16 · 1 cm2 = cm16 2 à área da figura original. Nesse caso, a área total do quadrado 
construído corresponde a 48 cm2 + 16cm2 = cm64 2. Assim, podemos representar a área total do quadrado por 
meio da seguinte equação:
x2 + 8x = 48 + 16 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
Trinômio quadrado perfeito
(x + 4) = 642
Observe que a expressão x2 + 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorada como 
(x + 4)2. Note também que as medidas, em centímetros, dos lados do quadrado construído são representadas 
pela expressão x + 4.
Resolvendo essa equação, obtemos:
Retome a figura com os alunos e peça que verifiquem que a medida dos lados é igual a x + 4.
( )x
x
x
oux
x
x
x
 
 r
 r
 
 
 
 
4 64
4 64
4 8
4 8
4
4 8
12
2
Assim, as raízes da equação são x = 4 e x = –12.
Lembre-se de que se pensarmos nas medidas do novo quadrado construído, devemos descartar o valor 
x = –12 e considerar apenas x = 4 como solução da equação. 
Também é possível encontrar os termos que estão faltando na expressão para se chegar a um trinômio 
quadrado perfeito. Acompanhe:
x2 + 8x – 48 = 0
x2 + 8x = 48
(x)2 2 · x · 4
Para que a expressão do primeiro membro da equação seja um trinômio quadrado perfeito, é preciso ter o termo 
42 = 16. Pelo princípio aditivo, podemos adicionar 16 unidades a ambos os membros da igualdade, sem alterá-la.
x2 + 8x = 48 x + 8x = 48 x + 8x + 16 = 64 (x + 4) = 64 2 + 16 + 16  2  2
Para que os alunos compreendam o desenvolvimento da técnica de 
completar quadrados, é essencial que inicialmente sejam desenvolvidas 
as representações algébrica e geométrica de forma simultânea, para que 
posteriormente os alunos possam utilizar diretamente a forma algébrica. 
Matemática em detalhes
Outra forma de resolver uma equação do 2º. grau é por meio da fórmula resolutiva de equações do 2º. grau.
O matemático hindu Bhaskara viveu por volta de 1114 até 1185 e desenvolveu diversos problemas que 
envolvem a resolução de equações do 2º. grau. Talvez seja por esse motivo que a fórmula resolutiva de equações 
do 2º. grau tenha levado o nome de .fórmula de Bhaskara
Há diversos desenvolvimentos com os quais é possível chegar a essa fórmula. Considere a equação do 2º. grau 
ax bx c2 0  , lembrando que a, e b c são números reais, com a ≠ 0.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
 Matemática 29
Essa propriedade pode ser usada, pois ( )2 2ax b resulta em um nú-
mero igual ou maior do que zero, logo, b ac2 4 também resultará.
ax bx c
ax bx c
ax bx c
a x abx ac
c c
a a
2
2
2
2 2
0
4 4 4
4
4 4
  
 
   
 
 
( ) ( )
aa x abx ac
a x abx b b ac
b b
2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
4 4 4
 
  
 
Pelo princípio aditivo, subtraímos de ambos os lados c
da igualdade, sem alterá-la.
Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos por 4a am-
bos os lados da igualdade, sem alterá-la.
Pelo princípio aditivo, adicionamos b2 a ambos os lados 
da igualdade, sem alterá-la.
Com essas operações, chegamos à expressão 4a2x2 + 4abx + b , que é um trinômio quadrado perfeito e, 2
portanto, pode ser escrita como (2ax + b)2. Assim:
4 4 4
2 4
2 2 2 2
2 2
a x abx b b ac
ax b b ac
  
 ( )
Usando a propriedade da raiz quadrada, obtemos:
2 4
2
ax b b ac r 
2 4
2 4
4
2
2
2
2
ax b b ac
ax b b ac
x
b b ac
a
 
  
 
 



 ou
2 4
2 4
4
2
2
2
2
ax b b ac
ax b b ac
x
b b ac
a
 
  
 
 



Assim, as raízes são x
b b ac
a
1
2 4
2
 
 
 e x
b b ac
a
2
2 4
2
 
 
. Dessa forma, podemos es-
crever a fórmula resolutiva de equações do 2º. grau como:
x
b b ac
a
 
 r 2 4
2
Podemos usar essa fórmula para calcular as raízes x1 e x2 da equação do 2º. grau conhecendo os respectivos 
coeficientes a, e . b c
A expressão b2 – 4ac é chamada de discriminante da equação e podemos representá-la pela letra grega 
' (delta). Portanto:
' b ac2 4
O estudo do discriminante ' b ac
2 4 é útil para determinarmos 
quantas raízes admite uma equação do 2º. grau.
Para ' > 0, temos duas raízes reais e distintas.
Para ' = 0, temos duas raízes reais e iguais.
Para ' < 0, a equação não admite raiz real.
O uso da fórmula resolutiva e o estudo do discriminante são válidos tanto para as equações completas como 
para as equações incompletas do 2º. grau.
Comente com os alunos que é possível 
encontrar em questões de concursos e 
vestibulares enunciados que dizem que 
a equação do 2º. grau apresenta uma 
única raiz real quando ' = 0. Isso signi-
fica que a equação apresenta duas raízes 
reais e iguais.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 19:58:47
9
o
. ano – Volume 330
 4. Elabore um problema que possa ser representado por uma equação polinomial do 2º. grau. Em seguida, 
peça a um colega que o resolva e que determine as raízes da equação correspondente. Analisem juntos a 
resolução e verifiquem se a solução encontrada atende às especificações do problema elaborado por você. 
Pessoal.
• Utilize a fórmula resolutiva apresentada na página anterior para calcular as raízes da equação x2 + 8x – 48 = 0.
a = 1 b = 8 c = –48
'
'
'
'
 
    
 
 
b ac2
2
4
8 4 1 48
6 1924
256
( )
x
b
a
x
x
 
 r
 
 r

 
 r
'
2
8 256
2 1
8 16
2
x
ou
x
1
2
8 16
2
8
2
4
8 16
2
24
2
12
 
 
 
 
 
  
As raízes da equação são –12 e 4.
 1. Determine as raízes de cada equação polinomial do 2º. grau pelo método que preferir. 
a) x2 – 4x + 4 = 0 
b) y2 – 14y + 49 = 9 
c) x x2
1
4
25  
d) a2 + 8a + 7 = 0 
e) 4x2 + 12x + 5 = 0
f)    4 16 9 02x x
g) 2 6 4 02x x  
h) x x2 2 15 0  
 2. A diferençaentre o quadrado de um número real positivo e o quádruplo desse número é 165. Que nú-
mero é esse? 
 3. Paulo tem um espaço de lazer em um terreno retangular de área 135m2. Para a privacidade da sua famí-
lia, ele construiu uma cerca em torno do terreno. Considere as medidas indicadas na figura em metros e 
determine o comprimento da cerca que contorna todo o terreno de Paulo. 
Ativ
idad
es
16 Gabaritos.
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
a + 6
a 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
 Matemática 31
 5. Classifique as equações polinomiais do 2º. grau de acordo com suas raízes.
(a) Duas raízes reais e diferentes (b) Duas raízes reais e iguais (c) Nenhuma raiz real
( a ) x x2 2 8 0 
( b ) x x2 6 9 0 
( a ) 5 4 1
5
02x x 
( c ) x 2 64 0 
( b ) x 2 0 
( a ) 2 2 40 02x x
( a ) 3 6 72 02x x 
( a ) 6 8 02x 
( c ) 10 10 102x 
( b ) 2 8 8 02x x 
( a ) 4 2 500 02x 
 6. Você aprendeu que a equação polinomial do 2º. grau pode ser escrita da forma ax x c2 0 b , em que 
a b c, e são números reais, com a ≠ 0. Se chamarmos de S a soma das raízes x1 e x 2 dessa equação e de P
o produto dessas raízes, escrevemos a equação inicial na forma:
x xS P2 0 
com: 
S x x
a
 1 2
b e P x x c
a
 1 2
Assim, é possível determinar as raízes da equação conhecendo a soma e o produto de suas raízes.
Utilize essas informações para determinar as raízes das equações a seguir.
a) x x2 5 6 0 
b) x x2 2 24 0 
c) x x2 2 3 0 
d) 2 12 32 02x x 
e) x x2 14 32 0
f) 2 24 72 02x x 
Incentive os alunos a calcular 
o valor do discriminante de 
cada equação para analisar o 
tipo de suas raízes.
Veja nas orientações didáticas a demonstração dessa relação. Se preferir, apresente-a à turma.
Sugestão de atividades: 
questões de 8 a 10 da seção 
Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, ampliamos o conhecimento sobre álgebra com o estudo de produtos notáveis, fatoração de 
polinômios e sobre a resolução de equações do 2º. grau. 
 1. Complete os quadros com as informações que estejam faltando de acordo com o que estudou a respeito 
de produtos notáveis e fatoração.
Produto notável Expressão Resultado
Quadrado da soma de dois 
termos (m + n)
2 m + 2mn + n2 2
Quadrado da diferença de 
dois termos (m – n)
2 m2 – 2mn + n2
Produto da soma pela 
diferença de dois termos (m + n) (m − n)∙ m − n²
2
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
Hora d
e estu
do
32
Caso de fatoração Exemplo de expressão algébrica Forma fatorada
Fator comum 4m + 2mn – 6mp 2m ∙ (2 + n – 3p)
Agrupamento ax + ay + 2bx + 6by a ∙ (x + y) + 2b ∙ (x + 3y)
Diferença de dois quadrados m² – n² (m + n) ∙ (m – n)
Trinômio quadrado perfeito x2 + 2xy + y2 (x + y)2
 2. Complete o esquema a seguir sobre equações do 2º. grau.
Equação polinomial
do 2º. grau
O que caracteriza uma equação do 2º. grau?
Determine os coeficientes a, b 
e c da equação 3x2 – 4x + 1 = 0.
Escreva dois exemplos de equações
polinomiais do 2º. grau completas.
Escreva dois exemplos de equações
polinomiais do 2º. grau incompletas.
O maior expoente da incógnita da equação ser 2.
Pessoal. Sugestões de resposta:
3x2 – 4x = 0, 3x = 0, 3x2 2 + 1 = 0
Pessoal. Sugestões de resposta:
x2 + x + 1 = 0, –x + √5 x – 1 = 0, 2
2x2 – 6x – 10 = 0
a = 3 b = – 4 c = 1
 1. Márcia encomendou um espelho quadrado 
para seu salão de beleza. Quando a encomenda 
foi entregue, ela percebeu que havia se equivo-
cado na medida dos lados desse espelho e pe-
diu que reduzissem em 5 cm a medida de cada 
lado.
a) Escreva uma expressão algébrica que repre-
sente a área desse espelho antes da redução 
da medida dos lados.
b) Represente com um trinômio a área desse 
espelho após a redução da medida dos 
lados. 
c) Se a medida dos lados do espelho era inicial-
mente 95 cm, qual é a área do espelho após 
a redução da medida dos lados? 
 2. (IFAL) Determine o valor do produto (3x + 2y)2, 
sabendo que 9x2 + 4y = 25 e xy = 2. 2
a) 27
b) 31
c) 38
X d) 49
e) 54
 3. (UFRGS – RS) Se x + y = 13 e x y = 1 então 
x2 + y é: 2
a) 166
X b) 167
c) 168
d) 169
e) 170 
 4. (IFPE) Efetuando-se (2 341)2 – (2 340)2, obtém-se: 
a) 6 498
b) 1
X c) 4 681
d) 2 681
e) 8 689
Todas as questões devem ser resolvidas no caderno.17 Gabaritos.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
33
 5. Alguns polinômios podem ser fatorados mais 
de uma vez. Como exemplo, acompanhe a fato-
ração do polinômio 27x2 – 90x + 75.
1º. ) Como 3 é fator comum dos coeficientes 27, 
–90 e 75, podemos colocá-lo em evidência:
3 (9x² – 30x + 25)·
2º. ) Observe que 9x² – 30x + 25 é um trinômio 
quadrado perfeito, assim: 
3 (3x – 5)²·
Portanto:
27x2 – 90x + 75 = 3 (3x – 5)²·
Utilizando essa ideia, fatore os polinômios a 
seguir.
a) 2a2 – 128 
b) 5m2 + 30m + 45 
c) 20a²x – 60ax + 45x 
d) ax² – 16a + 3x² – 48 
 6. (UTFPR) Uma indústria fabrica uma placa me-
tálica no formato de um retângulo de lados 
(ax + by) e (bx + ay). Encontre, de forma fatora-
da, o perímetro deste retângulo. 
X a) 2( )( )a b x y
b) 4( )( )a b x y
c) 2( )( )a b x y
d) 4( )( )a b x y 
e) ( )( )a b x y 
 7. (OBMEP) Mariana entrou na sala e viu no 
quadro-negro algumas anotações da aula ante-
rior, parcialmente apagadas, conforme a figura. 
Qual número foi apagado na linha de cima do 
quadro-negro?
a) 11 
b) 12
c) 13 
d) 20
X e) 22
 8. (SARESP) Em uma sala retangular deve-se colo-
car um tapete de medidas 2 m × 3 m, de modo 
que se mantenha a mesma distância em relação 
às paredes, como indicado no desenho abaixo. 
x
3
2
x
xx
Sabendo que a área dessa sala é 12 m2, o valor 
de x será:
X a) 0,5 m
b) 0,75 m
c) 0,80 m
d) 0,05 m
 9. (OBMEP) Na reta abaixo, a distância entre dois 
pontos consecutivos é sempre a mesma. Qual é 
o valor dessa distância?
x x2 3x
X a) 
3
4
b) 
1
4
c) 
2
3
d) 
2
5
e) 1
10. (OBMEP) Para cercar um terreno retangular de 
60 metros quadrados com uma cerca formada 
por dois fios de arame, foram usados 64 metros 
de arame. Qual é a diferença entre o compri-
mento e a largura do terreno?
X a) 4 m
b) 7 m
c) 11 m
d) 17 m
e) 28 m 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
34
As curvas estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. Nos exemplos 
acima, podemos observar de que maneira isso ocorre: a ponte da Baía de Sydney, na 
Austrália; a trajetória de uma bola de futebol americano; uma antena parabólica; e um 
show com jatos de água.
ii õõ dd id i NN
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/D
im
b
ar
76
1. A representação de certo tipo de curva está presente em todas essas imagens. Você sabe qual é?
2. Há curvas parecidas com as dessas imagens em locais da cidade onde você mora? Se sim, que locais 
são esses? 
Funções
8
Comentários.1
1. Parábola.
2. Pessoal. 
AA ãã d i
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/A
n
tp
kr
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
In
ke
d
 P
ix
el
s
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/H
an
s 
W
ag
em
ak
er
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
35
Objetiv
os
Neste capítulo, você conhecerá as representações gráficas e algébricas da função afim e da 
função quadrática. Além disso, você utilizará esses conceitos para analisar situações e resolver pro-
blemas que envolvam esses dois tipos de funções. 
Função afim
Representaçãoalgébrica
Em muitas situações práticas, tentamos compreender fenômenos que envolvem a variação de uma ou mais 
grandezas. 
• Como a temperatura ambiente varia na sua cidade no verão? E no inverno?
• Qual a sua velocidade média em uma corrida de 100 metros? E em uma corrida de 2 quilômetros?
• Quanto de combustível um veículo consome andando na cidade? E na estrada?
• Como se comporta o nível da água do mar ao longo do dia? E da noite?
Você já estudou anteriormente que, para relacionarmos grandezas variáveis, como a temperatura e a veloci-
dade, muitas vezes podemos fazer uso das funções. 
Na Matemática, há alguns tipos conhecidos de funções, como é o caso da função afim. Observe um exem-
plo de aplicação da função afim.
Roberto trabalha como garçom em um restaurante. Por mês, ele recebe R$ 1.250,00 acrescidos da taxa de 
serviço, que equivale a 10% do valor total dos pedidos que atendeu durante o mês. 
A taxa de serviço é um percentual do total con-
sumido pelo cliente e que corresponde a uma gor-
jeta aos funcionários. Os estabelecimentos devem 
informar ao consumidor quanto à cobrança dessa 
taxa e esclarecer que seu pagamento é opcional.
A tabela ao lado apresenta os valores gastos pelos 
clientes que Roberto atendeu e que pagaram a taxa de 
serviço no respectivo mês. Quanto ele recebeu em cada 
um dos meses indicados? Preencha a tabela de acordo 
com os valores encontrados.
Mês Valor total dos pedidos
Salário recebido 
por Roberto
Janeiro R$ 4.000,00 R$ 1.650,00
Fevereiro R$ 8.000,00 R$ 2.050,00
Março R$ 7.000,00 R$ 1.950,00
Abril R$ 7.500,00 R$ 2.000,00
Salário de janeiro: R$ 1.250 + 10% de R$ 4.000 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 4.000 = R$ 1.250 + R$ 400 = R$ 1.650
Salário de fevereiro: R$ 1.250 + 10% de R$ 8.000 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 8.000 = R$ 1.250 + R$ 800 = R$ 2.050
Salário de março: R$ 1.250 + 10% de R$ 7.000 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 7.000 = R$ 1.250 + R$ 700 = R$ 1.950
Salário de abril: R$ 1.250 + 10% de R$ 7.500 = R$ 1.250 + 0,1 ∙ R$ 7.500 = R$ 1.250 + R$ 750 = R$ 2.000
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/J
ac
o
b
 L
u
n
d
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
9
o
. ano – Volume 336
A quantia y que Roberto recebe de salário em determinado mês depende do valor x gasto pelos clientes 
que pagaram a taxa de serviço. Nesse caso, dizemos que y é uma variável dependente, enquanto x é uma 
variável independente. 
Observe que y = 0,1x + 1 250 é a lei matemática que expressa o valor de em função do valor de y x e que essa 
regra pode ser representada pelo formato y = ax + b, onde a e b são, respectivamente, os coeficientes 0,1 e 1 250. 
As funções com o formato y = ax + b são chamadas de função afim ou 
função polinomial do 1.º grau, sendo a e b números reais, com a ≠ 0.
• Qual foi o gasto dos clientes atendidos por Roberto e que pagaram a taxa de serviço em um mês que ele 
recebeu R$ 2.770,00?
y = 0,1x + 1 250
2 770 = 0,1 ∙ x + 1 250
1 520 = 0,1 ∙ x
x = 15 200
Os clientes atendidos por Roberto e que pagaram a taxa de serviço gastaram R$ 15.200,00 naquele mês.
• Analise os salários encontrados na tabela da página anterior e responda: os valores de y são diretamente 
proporcionais aos valores de x? Justifique sua resposta. 
Não. Retome com os alunos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando as razões entre os valores das duas grandezas são 
iguais e comente que, nesse caso, as razões são diferentes. Como exemplo, pode-se comparar o salário de janeiro com o de fevereiro: en-
quanto o valor de x dobra (de R$ 4.000,00 para R$ 8.000,00), o valor de y não duplica (passando de R$ 1.650,00 para R$ 2.050,00).
A lei matemática y = 0,1x + 1 250, que relaciona y em função do valor de x, pode ser escrita como 
f(x) = 1 250 + 0,1x. Nesse caso, usando y = f(x), ressaltamos o fato de que y x depende de .
O valor de x dentro dos parênteses é apenas uma indicação da variável, não sendo utilizado nos cálculos. 
Observe, por exemplo, o cálculo de y = f(x) para x = R$ 1.000,00:
y = f( ) = 1 250 + 0,1x x
y = f( 1 000) = 1 250 + 0,1 1 000
y = f( 1 000) = 1 250 + 100
y = f( 1 000) = 1 350
Portanto, quando os clientes que pagarem a taxa de serviço 
gastarem R$1.000,00 em um mês, o salário de Roberto será igual a 
R$ 1.350,00. 
Agora, veja a situação a seguir. 
No restaurante em que Roberto trabalha, um prato feito com arroz, 
feijão, batata frita, carne e salada custa R$12,50.
Preencha a tabela a seguir com o valor (y) arrecadado pelo restaurante com a venda das quantidades (x) 
indicadas de pratos comerciais.
Pratos comerciais vendidos (x) Valor arrecadado pelo restaurante (y)
5 y = 12,50 ∙ 5 = 62,50 reais
8 y = 12,50 ∙ 8 = 100,00 reais
12 y = 12,50 ∙ 12 = 150,00 reais
16 y = 12,50 ∙ 16 = 200,00 reais
© Shu
tter
sto
ck /
Di
og
op
pr
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
 Matemática 37
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/A
lf 
Ri
b
ei
ro
Perceba que a lei matemática que relaciona o valor arrecadado pelo restaurante (y) com o número (x) 
de pratos comerciais vendidos é dada por y = 12,5 · x e que essa regra pode ser representada pelo formato 
y = ax + b, onde a = 12,5 e o coeficiente b é nulo. 
Sobre a lei matemática y = 12,5 · x, responda às questões. 
• Qual é a variável dependente? Justifique sua resposta. 
A variável dependente é o valor y arrecadado pelo restaurante, pois depende do número x de pratos feitos vendidos. 
• Os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x? Justifique sua resposta.
Sim, os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x, pois as razões entre os valores das duas grandezas são iguais, 
como 62 50
5
100 00
8
150 00
12
200 00
16
12 50, , , , , .
Sejam a e números reais. Se a função afim y = ax + b é tal que b za 0 e b = 0, ou 
seja, y = ax, dizemos que essa função é uma função linear.
As grandezas e representadas em uma função linear são x y diretamente proporcionais, 
pois as razões entre os valores das duas grandezas são iguais. 
Em Curitiba, capital do estado do Paraná, cobra-se por uma cor-
rida de táxi um valor fixo, chamado de bandeirada, e um valor que 
varia conforme a quantidade de quilômetros rodados. Em horários 
de pico, o valor da bandeirada é R$ 5,40 e o valor por quilômetro 
rodado é R$ 3,30.
Um novo serviço de transporte de passageiros operado por 
aplicativo de celular passou a ser oferecido. Nesse serviço, são co-
brados R$ 2,50 por quilômetro rodado, sem taxas de bandeirada. 
a) Complete a tabela a seguir com os valores cobrados pelo serviço de táxi e pelo novo serviço de trans-
porte de passageiros de acordo com as distâncias indicadas. 
Distância Serviço de táxi Novo serviço
6 km 5,40 + 3,30 ∙ 6 = 25,20 reais 2,50 ∙ 6 = 15,00 reais
7 km 5,40 + 3,30 ∙ 7 = 28,50 reais 2,50 ∙ 7 = 17,50 reais
8 km 5,40 + 3,30 ∙ 8 = 31,80 reais 2,50 ∙ 8 = 20,00 reais
9 km 5,40 + 3,30 ∙ 9 = 35,10 reais 2,50 ∙ 9 = 22,50 reais
b) Determine uma função que calcule o valor total y cobrado por uma corrida de x quilômetros 
com o uso do serviço de táxi. Como classificamos a função encontrada?
A função é dada por y = 5,40 + 3,3 ∙ x e é uma função afim. 
c) Determine uma função que calcule o valor total y cobrado por uma corrida de x quilômetros 
com o uso do novo serviço de transporte. Como classificamos a função encontrada?
A função é dada por y = 2,50 ∙ x e é um caso particular de uma função afim (função linear). 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
9
o
. ano – Volume 338
Ativ
idad
es
 1. Observe a imagem ao lado, que apresenta uma 
sequência de figuras formadas por losangos.a) Quantos losangos terá a figura 5 dessa se-
quência? E a figura 6? 
b) Encontre a lei de formação que expressa 
a quantidade L de losangos em função do 
número n da figura. 
c) Utilizando a lei encontrada no item anterior, 
• calcule a quantidade de losangos da figura 15; 
• determine a figura que apresenta 511 losangos. 
 2. Ronaldo é técnico em informática e foi chamado 
para consertar alguns computadores em uma em-
presa. Ele cobra R$ 100,00 pela visita mais R$ 40,00 
por hora de trabalho.
a) Represente o valor y cobrado por Ronaldo em 
função das horas x trabalhadas. 
b) Que tipo de função você encontrou no item an-
terior? Justifique sua resposta. 
c) Ronaldo trabalhou durante 4 horas na empresa. 
Quanto ele cobrará pelo serviço realizado? 
d) Fracionando a hora de forma proporcional, quantos reais Ronaldo deverá cobrar se trabalhar apenas 
45 minutos? Explique o raciocínio adotado. 
e) As grandezas y x e são diretamente proporcionais? Justifique sua resposta. 
 3. A altura média de uma criança pode ser estimada por meio da fórmula f(x) = 5,7x + 81,5, em que x 
representa a idade da criança, em anos, e f(x) sua altura média, em centímetros. 
a) A fórmula dada representa uma função afim? Justifique sua resposta.
Sim, pois a fórmula expressa uma relação de dependência entre a altura da criança e a sua idade, que pode ser escrita na forma 
f(x) = ax + b. 
b) Segundo essa fórmula, aproximadamente com que idade as crianças têm altura média de 1,39 m?
f(x) = 1,39 m = 139 cm
f(x) = 5,7x + 81,5
139 = 5,7x + 81,5
139 – 81,5 = 5,7x
57,5 = 5,7x
x 10
Aproximadamente 10 anos.
c) Segundo essa fórmula, qual é a altura média estimada para uma criança de 8 anos?
f(x) = 5,7x + 81,5
f(8) = 5,7 ∙ 8 + 81,5
f(8) = 127,1 
A altura média estimada é de 127,1 cm = 1,271 m.
Gabaritos e comentários.2
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/M
ik
e 
Fo
u
q
u
e
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
 Matemática 39
 4. Na representação de um hexágono regular, está indicada a medida de um de 
seus lados. 
a) Escreva uma função que represente o perímetro (p) desse hexágono em 
função da medida de seu lado (x). 
b) Que tipo de função é essa? Justifique sua resposta. 
c) As grandezas p e x são proporcionais? Justifique sua resposta. 
d) Qual o perímetro desse hexágono sabendo que x = 9 cm? 
e) Qual deve ser a medida x para que esse hexágono tenha 31,2 cm de perímetro?
 5. Uma fórmula usada para determinar o número 
dos calçados é N c 
5 28
4
, na qual N indica o 
número do calçado e c o comprimento dos pés, 
em centímetros.
a) Essa fórmula é uma função afim? Justifique 
sua resposta. 
b) Qual é o número do sapato de uma pessoa 
cujos pés medem 20 cm de comprimento? 
c) Quanto medem, em centímetros, os pés de uma pessoa que calça 35? 
 6. (ENEM) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao 
mês de junho de 2008.
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade 
a ser paga, em que x é o número de dias em 
atraso, então
a) M(x) = 500 + 0,4x.
b) M(x) = 500 + 10x.
X c) M(x) = 510 + 0,4x.
d) M(x) = 510 + 40x.
e) M(x) = 500 + 10,4x.
 7. (SARESP) Carla está calculando o custo de uma viagem de carro. Ela sabe que, para andar 120 km, seu 
carro consome 15 litros de combustível, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Para uma viagem de 960 km, Carla 
gastará, apenas com combustível:
a) b) c) R$ 120,00. R$ 128,00. R$ 220,00. X d) R$ 240,00.
 8. Juliano calculou o perímetro do retângulo abaixo e fez a seguinte afirmação:
x
 0cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Comprimento do pé
A
D
B
Cm + 30
m
SE EU ALTERAR O VALOR DE M, O 
PERÍMETRO DO RETÂNGULO NÃO 
MUDARÁ, MAS A ÁREA, SIM.
A afirmação de Juliano está correta? Justifique sua resposta por meio de exemplos numéricos. 
Sugestão de atividades: questões de 1 a 3 da seção Hora de estudo.
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
it
al
.
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/A
rin
a 
P 
H
ab
ic
h
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:04:38
9
o
. ano – Volume 340
Com base na situação a seguir, você vai aprender a 
construir o gráfico de uma função afim. 
Fabiana economizou uma parte do seu salário du-
rante alguns meses e conseguiu comprar uma moto-
cicleta, com a qual vai trabalhar todos os dias.
A motocicleta de Fabiana percorre em média 
18 km com 1 litro de gasolina. Portanto, a lei de for-
mação que relaciona a distância percorrida y com a 
quantidade de litros x de gasolina gastos é dada por 
y = 18 x. · 
Assim, podemos elaborar a seguinte tabela: 
Quantidade 
de gasolina x 
(litros)
Distância 
percorrida y 
(km)
Pares 
ordenados 
(x, y)
0 y = 18 · 0 = 0 (0, 0)
0,5 y = 18 ∙ 0,5 = 9 (0,5; 9)
1 y = 18 ∙ 1 = 18 (1, 18)
1,5 y = 18 ∙ 1,5 = 27 (1,5; 27)
2 y = 18 ∙ 2 = 36 (2, 36)
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/O
d
u
a 
Im
ag
es
Lembre-se de que, no ponto (1, 18), por exemplo, os 
números 1 e 18, nessa ordem, são suas coordenadas. 
A primeira coordenada é chamada de e a se-abscissa
gunda, de . Então, no par ordenado (1, 18), o ordenada
número 1 é a abscissa e o número 18 é a ordenada.
y
x
36
33
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0 1 2 3 4 5
Agora vamos marcar no plano cartesiano os pares 
ordenados obtidos na tabela anterior e, em seguida, 
traçar a semirreta que passa por esses pontos.
Note que, no eixo , adotamos uma escala dife-y
rente da usada no eixo x para facilitar a visualização 
dos pontos obtidos na tabela anterior.
Esse é o gráfico da função afim que relaciona a distância 
percorrida y com a quantidade de litros de gasolina x
gastos.
Representação gráfica
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
 Matemática 41
Matemática em detalhes
O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos correspondentes aos pares ordenados que sa-
tisfazem determinada lei matemática dada. Na situação anterior, perceba que existem infinitos pontos que 
pertencem à semirreta traçada. Dessa forma, há infinitos pares ordenados que satisfazem a relação y = 18 · x. 
Também note que, como x é um valor maior ou igual a zero (por corresponder à quantidade de gasolina), o 
valor de y também é um valor maior ou igual a zero. Por isso dizemos que o domínio dessa função é o conjunto 
dos números maiores ou iguais a zero. Contudo, é possível que, para uma mesma função afim, o domínio seja 
diferente e isso ocorre, por exemplo, caso o valor de x não seja necessariamente maior ou igual a zero. 
Nesse caso, o gráfico encontrado é uma reta. Pode-se dizer que essa reta tem equação y = 3x + 1, e isso 
significa que todo ponto pertencente à reta satisfaz essa equação.
Quando se estiver considerando x real, o gráfico de uma função afim é uma reta, que pode ser desenhada 
caso sejam conhecidos dois de seus pontos. 
Perceba que as coordenadas do ponto em que o gráfico da função y = 3x + 1 intersecta o eixo y são x = 0 e 
y = 3 · 0 + 1 = 1. O ponto que tem essas coordenadas é dado por (0, 1). Note também que as coordenadas do 
ponto em que o gráfico da função y = 3x + 1 intersecta o eixo x são y = 0 e x 
1
3
. O ponto que tem essas 
coordenadas é dado por 
§
©
¨
·
¹
¸
1
3
0, .
x y = 3x + 1
–1 y = 3 ∙ (–1) + 1 = –2
0 y = 3 ∙ 0 + 1 = 1
1 y = 3 ∙ 1 + 1 = 4
2 y = 3 ∙ 2 + 1 = 7
a) Na tabela a seguir, foram atribuídos alguns 
valores para a variável x. Determine os res-
pectivos valores de y.
b) Marque, no plano cartesiano, alguns pon-
tos obtidos e construa o gráfico dessa fun-
ção.
–1
1 2 3 4 50–3 –2 –1
1
2
3
4
–4
–3
–2x
y
Vamos agora construir, no plano cartesiano, o gráfico da função afim dada por y = 3x + 1, em que x repre-
senta um número real. 
Observe que, por x ser um número real, para ele podem ser atribuídos valores negativos, positivos, inteiros, 
racionais, irracionais, etc.
O valor de x para o qual temos y = 0 é denominado da função afim ou zero
também em um raiz da função. O gráfico de uma função afim intersecta o eixo x
único ponto, cuja abscissa corresponde ao zero da função. 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
9
o
. ano – Volume 342
Ainda de acordo com o exemplo anterior, qual é o zero da função y = 3x + 1? 
Observe, em cada um dos dois casos a seguir, os gráficos de duas funções afim distintas.
1.
x 
1
3
2.
y = x + 2 y = 3x – 1
1 2 3 4 5 60–1–2
1
2
3
4
5
6
7
x
y
–1
–2
1 2 3 4 5 60–1–2
1
2
3
4
5
6
7
x
y
–1
–2
y = –x + 2 y = –3x – 1
Agora, responda aos itens a seguir. 
• Qual é o sinal do coeficiente a em cada função? Positivo. 
• Qual é o ponto de intersecção da função com o eixo y em cada caso? Qual é a sua relação com o coeficiente b? 
(0, 2) e (0, –1), respectivamente. A ordenada do ponto de intersecção com o eixo y é igual ao coeficiente b da função.
• Qual é o zero de cada função? 
• Se substituirmos valores cada vez maiores em x, o que ocorre com os valores de y? 
Aumentam, ficam cada vez maiores.
2
1
3
e , respectivamente.
Ao observar os gráficos das funções y = x + 2 e y = 3x – 1, você pode perceber que, 
à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y também 
aumentam. Quando isso ocorre, dizemos que a função é crescente. 
1 2 3 4 5 60–1–2
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
–1
–2
1 2 3 40–1–2–3–4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
–1
–2
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
 Matemática 43
Agora, responda aos itens a seguir. 
• Qual é o sinal do coeficiente a em cada função? Negativo. 
• Qual é o ponto de intersecção com o eixo y de cada função? Qual é a sua relação com o coeficiente b?
(0, 2) e (0, –1), respectivamente. A ordenada do ponto de intersecção com o eixo y é igual ao coeficiente b da função.
• Qual é o zero de cada função? 
• Se substituirmos valores cada vez maiores em x, o que ocorre com os valores de y?
Diminuem, ficam cada vez menores.
2
1
3
e  , respectivamente.
Ao observar os gráficos das funções y = –x + 2 e y = –3x – 1, você pode perceber 
que, à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y 
diminuem. Quando isso ocorre, dizemos que a função é decrescente. 
Analisando os gráficos das funções dos itens anteriores, é possível observar que, quando o coeficiente da a
função y = ax + b é positivo, a função é crescente e que, quando a é negativo, a função é decrescente. 
Agora, construa no plano cartesiano o gráfico de y = 2x + 6, considerando:
a) x  ] b) x  \+ c) x  \
y
x
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
 
–1
–2
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 30
y
x
12
13
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–1
0 1 2 3 4 5 6 7
–2
y
x
12
13
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
 
–1
–2
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 0
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
9
o
. ano – Volume 344
Conexões
O conceito de função é utilizado em diversas áreas do conhecimento. Na Física, por exemplo, o uso da fun-
ção afim é bastante comum. 
Como exemplo, vamos analisar o movimento de um automóvel. Considere que esse automóvel percorra 
determinada distância com velocidade constante de 80 km/h, isto é, a cada uma hora, ele percorre 80 quilôme-
tros. Observe o quadro:
Intervalo de tempo Distância percorrida
1 h 80 km
2 h 160 km
3 h 240 km
Dizemos que esse automóvel realiza um movimento uniforme: ele 
percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais.
Além da distância percorrida, em geral é bastante útil conhecer a 
posição do automóvel em determinado momento do tempo, o que 
exige um sistema de referência: a posição é então calculada com re-
lação a alguma localidade desse sistema de referência, denominada 
de origem.
Para esse exemplo, vamos adotar como sistema de referência a ro-
dovia federal BR-116, uma das principais do Brasil. Na representação 
a seguir, podemos observar a distância s, em km, entre algumas das principais cidades de São Paulo por onde 
passa a BR-116. Na representação, foi utilizada como marco 0 (origem) a divisa dos estados de São Paulo e do 
Rio de Janeiro.
D
iv
is
a 
de
 S
ão
 P
au
lo
co
m
 R
io
 d
e 
Ja
ne
iro
Gu
ar
at
in
gu
et
á
Ap
ar
ec
id
a 
do
N
or
te
Ta
ub
at
é
Sã
o 
Jo
sé
 d
os
Ca
m
po
s
Gu
ar
ul
ho
s
0 65 74 113 146 210
s (km)
Vamos considerar que esse automóvel estivesse na rodovia BR-116 e que passasse pela cidade de Guaratingue-
tá (posição inicial s0 = 65 km) com velocidade constante de 80 km/h quando seu movimento começou a ser 
observado (tempo inicial: t0 = 0 s).
Considerando que o carro tenha mantido a velocidade constante de 80km/h, podemos calcular sua posição 
ao longo do tempo conforme exemplos a seguir. 
• t0 = : posição inicial s = 0 h 0 65 km
• t1 = : posição s + 40 = 105 km 0,5 h 1 = 65 + 80  0,5 = 65
• t2 = : posição s = + 80 = 145 km 1 h 2 65 + 80  1 = 65
• t3 = : posição s = + 160 = 225 km 2 h 3 65 + 80  2 = 65
Podemos dizer que, t horas após o início da observação, a posição do carro será dada por: 
s = + 65 80  t
©
Sh
u
tt
er
st
o
ck
/I
rin
-k
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
 Matemática 45
Observe que essa é uma função afim, sendo a s variável dependente variável independente e a t , com 
gráfico representado a seguir (para t ≥ 0). 
s (km)
250
200
150
100
50
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,80 t (h)
Por meio dessa função, também é possível calcular o tempo necessário para que o carro chegue a determi-
nada cidade. 
Por exemplo: após quanto tempo o carro chegará a São José dos Campos? 
Como São José dos Campos se encontra na posição 146 km, temos:
s 65 80t
146 65 80 t
81t
80
t 1
 
 
 

Após 1 hora, aproximadamente, o carro chegará a São José dos Campos. 
Ativ
idad
es
 1. O gráfico ao lado, que está fora de escala, apresenta o volume médio 
de água (y), em litros, que um chuveiro gasta em função do tempo 
(x), em minutos, que ele fica ligado. 
a) Quantos litros de água são gastos em 8 minutos de banho? 
b) Escreva uma função que possibilite calcular o volume de água uti-
lizado pela pessoa em função do tempo de duração do banho. 
c) Calcule o volume de água gasto em um banho de 3,5 minutos e 
em um banho de 15 minutos.
d) Para a Organização das Nações Unidas (ONU), o consumo 
diário total de 110 L de água é suficiente para as necessidades 
de uma pessoa. Sabendo disso, você pode perceber por que o 
banho é considerado um dos grandes vilões do consumo de 
água. Dessa forma, converse com os colegas e o professor sobre 
atitudes que ajudem uma pessoa a economizar água durante o 
banho e as anote no caderno.
Sugestão de encaminhamento e gabaritos.3
x (minutos)
y (litros)
48
40
32
24
16
8
1 2 3 4 50
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
9
o
. ano – Volume 346
 2. Construa, no plano cartesiano, o gráfico de cadafunção.
–2 –1 0 1 2 3–3–4–5
1
2
3
4
x
y
–1
–2 –1 0 1 2 3–3–4–5
1
2
3
x
y
–1
–2
–2 –1 0 1 2 3–3–4–5
1
2
3
x
y
–1
–2
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
x
y
–1
–2
a) c) y = x + 3 y = –3x + 1
d) y
x
 
2
1 b) y = 2x
 3. (UNICAMP – SP) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empre-
sas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que: 
a) A teve um crescimento maior do que C. 
X b) C teve um crescimento maior do que B. 
c) B teve um crescimento igual a A. 
d) C teve um crescimento menor do que B. 
Ao analisar o gráfico, verifica-se que A teve um decresci-
mento, enquanto B e C tiveram um crescimento. Também é 
possível verificar que o crescimento de B foi de 100 mil reais, 
enquanto o crescimento de C foi de 200 mil reais. Assim, 
podemos concluir que, com relação ao lucro líquido, C teve 
um crescimento maior do que B. Portanto, a alternativa b 
é a correta. 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
 Matemática 47
6
5
4
3
2
1
 
–1
–2
–3
–4
–5
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
y
x
–5 6
m(x) g(x)
f(x)
h(x)
 4. Em um mesmo plano cartesiano, construa o gráfico das 
seguintes funções:
a) f(x) = x
b) g(x) = 2x
c) h(x) = 4x
d) m(x) = 10x
• As retas encontradas são paralelas? Não. 
• Comparando-se as retas encontradas, o que pode-
mos dizer sobre o gráfico de uma função afim e seu 
coeficiente a? 
Quanto maior o coeficiente a, mais inclinada a reta. Há 
uma relação entre o coeficiente a e a inclinação da reta.
 5. Em um mesmo plano cartesiano, construa o gráfico 
das seguintes funções:
a) f(x) = x
b) g(x) = x + 1
c) h(x) = x – 3
d) m(x) = x + 2
• Os gráficos construídos apresentam algum pon-
to em comum? Não. 
• Qual é a posição relativa das retas obtidas? Justi-
fique sua resposta. 
Elas são paralelas. Isso se deve ao fato de o coeficiente
a ser igual em todas as funções e ele determinar a inclinação
das retas. Observa-se também que o coeficiente indica ab
ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y.
 6. (ENEM) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico re-
presenta o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende 
até o último dia, o dia 30.
Há comentários nas orientações didáticas. 
y
x
 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
m(x) h(x) g(x)
f(x)
–1
Lucro (real)
Tempo (dia)
–1000
3000
0 5 20
A representação algébrica do lucro (L) em fun-
ção do tempo (t) é: 
a) L(t) = 20t + 3 000
b) L(t) = 20t + 4 000
c) L(t) = 200t 
X d) L(t) = 200t – 1 000
e) L(t) = 200t + 3 000
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
9
o
. ano – Volume 348
Função quadrática
Ao redor de um jardim retangular, deseja-se construir uma calçada de largura constante, conforme ilustrado 
na figura a seguir, com x em metros.
Perceba que a área reservada 
para a calçada depende da medida 
x. Nesse caso, vamos determinar uma 
expressão algébrica que representa a 
área total, em metros quadrados, do 
jardim com a calçada.
Mas antes calcule a área do jardim desconsiderando a calçada. 
 7. Escreva a função correspondente a cada gráfico a seguir e indique se a função é crescente ou decrescente. 
a) 
y
x
3
2
1
 
–1
–4 –3 –2 –1 0 1 
b) 
5
4
3
2
1
 
–2 –1 0 1 2 3 4
y
x
No gráfico, podemos identificar os 
pontos (0, 3) e (–3, 0). Substituindo 
esses pontos em y = ax + b, temos:
y = ax + b
3 = a ∙ 0 + b 
b = 3 
y = ax + b 
0 = a ∙ (–3) + 3 
3a = 3 
a = 1 
Assim, y = x + 3. 
A função dada é crescente.
No gráfico, podemos identificar os 
pontos (0, 5) e (1, 3). Substituindo 
esses pontos em y = ax + b, temos:
y = ax + b 
5 = a ∙ 0 + b 
b = 5 
y = ax + b
3 = a ∙ 1 + 5 
a = –2 
Assim, y = –2x + 5. 
A função dada é decrescente. 
Sugestão de atividades: questões 4 e 5 da seção Hora de estudo.
AJ = 5 ∙ 3 = 15 m
2
Perceba que a área composta pelo jardim e pela calçada é um retângulo cujos lados têm medidas, em me-
tros, iguais a 5 + 2x e 3 + 2x. Dessa maneira, chamando de AT a área total, temos:
AT = (5 + 2x) ∙ (3 + 2x)
AT = 15 + 10x + 6x + 4x
2 
AT = 4x
2 + 16x + 15
Observe que esse valor é dado em metros quadrados. 
A área total (AT) do jardim com a calçada, em metros quadrados, pode ser expressa em função da medida x, 
em metros, pela função A T = 4x
2 + 16x + 15.
Observe que a lei matemática da função AT é formada por um polinômio do 2º. grau na variável x, sendo por 
isso chamada de ou função quadrática função polinomial do 2.º grau. 
5 m
3 m
5 m5 m
 m3 m 
xx
xx
x
x
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
ita
l.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
 Matemática 49
Se representarmos o coeficiente de x2 pela letra pela letra a, o coeficiente de x b e o termo independente 
pela letra c, temos y = ax2 + bx + c.
Chamamos de função quadrática toda função que pode ser escrita na forma 
y = ax2 + bx + c, em que , e são coeficientes reais, com a ≠ 0 e a b c x real.
Ativ
idad
es
 1. Dada a função g(x) = 2x + x – 4, calcule: 2
a) g(0) 
b) g(–2) 
c) g(5) 
d) g(2,5) 
e) g
1
2
§
©
¨
·
¹
¸ 
 2. Sendo f(x) = x2 – 3x + 2, determine, utilizando o método de completar quadrados estudado no capítulo 
anterior, para quais valores de x temos f(x) = 0.
 3. Verifique quais das seguintes funções são quadráticas e identifique os valores dos coeficientes a b c, e . 
a) y = –6x + 6 + x ∙ (x + 8)
b) y = 5 ∙ (3 – x) + 12x 
c) y = 2 + (x + 4)(x – 4)
d) y = (x – 6)2 – (x + 1)2
 4. (ENEM) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T t
t
( ) ,  
2
4
400 com t em mi-
nutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a 
temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que 
a porta possa ser aberta? 
a) b) c) e) 19,0 19,8 20,0 X d) 38,0 39,0
g(0) = 2 ∙ 0 + 0 – 4 = –42
g(–2) = 2 ∙ (–2)2 + (–2) – 4 = 8 – 2 – 4 = 2
g(5) = 2 ∙ 52 + 5 – 4 = 50 + 5 – 4 = 51
g(2,5) = 2 ∙ (2,5)2 + 2,5 – 4 = 12,5 + 2,5 – 4 = 11
g
1
2
2
1
2
1
2
4
1
2
1
2
4 3
2
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸     
Sugestão de encaminhamento e gabarito. 4
Sugestão de atividades: questões de 6 a 8 da seção Hora de estudo.
Gráfico de uma função quadrática
Podemos analisar o comportamento de uma função quadrática pela observação do seu gráfico, que pode 
ser construído com base em uma tabela. 
Observe o exemplo a seguir.
Construção do gráfico da função y = x2
Observe como podemos construir o gráfico da função y = x2.
Ao substituirmos os valores de x nessa função, obtemos os respectivos valores de y:
• para x = –2, temos y = (–2) ;2 = 4
• para x = –1, temos y = (–1) ;2 = 1
• para x = 0, temos y = 0 ;2 = 0
• para x = 1, temos y = 1 ;2 = 1
• para x = 2, temos y = 2 .2 = 4
x y (x, y)
–2 4 ( )–2, 4
–1 1 ( )–1, 1
0 0 ( )0, 0
1 1 ( )1, 1
2 4 ( )2, 4
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:05:26
9
o
. ano – Volume 350
Para construir o gráfico procurado, devemos ligar os pontos encontrados. Observe as imagens a seguir. A 
figura da esquerda mostra como esse procedimento não deve ser feito. Perceba que não devemos ligar os 
pontos por segmentos de reta.Os pontos devem ser ligados formando uma curva chamada de parábola, 
conforme a figura da direita.
5
4
3
2
1
 
–2 –1 0 1 2 3 –3
y
x
954
3
2
1
 
–2 –1 0 1 2 3 –3
y
x
8
Perceba que poderíamos atribuir uma infinidade de números reais para a variável , obtendo os corresponden-x
tes valores de e então os pares ordenados (x,y). São esses pares ordenados que formam a curva construída y
no plano cartesiano. Quanto maior for o número de pontos marcados, mais real ficará o gráfico da função.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
Essa curva tem um eixo de simetria. O ponto no qual o eixo de simetria e a 
parábola se cruzam é chamado de vértice da parábola. 
Observe na parábola construída que:
• os pontos (1, 1) e (–1, 1) são simétricos em relação ao eixo y: ambos 
estão distantes 1 unidade do eixo y;
• os pontos (2, 4) e (–2, 4) são simétricos em relação ao eixo y: cada um 
deles está a 2 unidades de distância do eixo .y
O eixo de simetria do gráfico de y = x2 é o eixo (eixo das ordenadas), y
pois a parábola está espelhada em relação ao eixo .y
Observe, no gráfico, que o eixo de simetria intersecta a parábola no pon-
to (0, 0): esse é o vértice da parábola.
Vamos agora determinar a média aritmética entre as abscissas dos pontos (1, 1) e (–1, 1) e entre abscissas 
dos pontos (2, 4) e (–2, 4).
• Média aritmética das abscissas dos pontos (1, 1) e 
(–1, 1):
m
m
1
1
1 1
2
0
 
 
 
• Média aritmética das abscissas dos pontos (2, 4) e 
(–2, 4):
m
m
2
2
2 2
2
0
 
 
 
Note que, ao determinar a média aritmética entre as abscissas de dois pontos simétricos de uma parábola 
de equação y = ax2 + bx + c, encontramos a abscissa do seu vértice.
Perceba que há alguns pontos notáveis no gráfico de uma função quadrática: seu vértice e as intersecções 
com os eixos das abscissas e das ordenadas.
5
4
3
2
1
 
–2 –1 0 1 2 3 –3
y
x
Eixo de simetria
vértice
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
 Matemática 51
No exemplo anterior, o gráfico foi construído com base na tabela previamente elaborada com esses pontos 
notáveis. Agora, vamos construir o gráfico calculando inicialmente esses pontos. Nos próximos dois exercícios, 
vamos construir o gráfico de duas funções quadráticas distintas. Para isso, você deverá responder à sequência 
de perguntas feitas para que, ao final, tenha todas as informações necessárias para elaborar os gráficos.
 1. y = x – 4x + 32
a) Determine os pontos em que a parábola intersecta o eixo x.
Se a parábola intersecta o eixo x, 
temos que y = 0. Assim:
x2 – 4x + 3 = 0 
x2 – 4x + 3 + 1 = 0 + 1
x2 – 4x + 4 = 1
(x – 2)2 = 1 
x
x
x
x
 r
 r
 
 
2 1
2 1
2 1
3
ou
x
x
 
 
2 1
1
Dessa forma, como as ordenadas 
dos pontos em que a parábola 
intersecta o eixo x são iguais a 0, 
temos que os pontos procurados 
são (3, 0) e (1, 0).
b) Determine o ponto em que a parábola intersecta o eixo y.
Se a parábola intersecta o eixo y, temos que x = 0. Logo, y = 0² – 4 · 0 + 3 = 3.
Portanto, o ponto é (0, 3).
c) Determine a abscissa do vértice da parábola calculando a média aritmética entre as abscissas dos 
pontos que você encontrou no item a.
x v 
3 1
2
4
2
2
d) Determine a ordenada do vértice da parábola substituindo sua abscissa na equação y = x2 – 4x + 3.
yv = x – 4x + 3
2 
yv = 2 – 4 ∙ 2 + 3
2 
yv = –1 
Portanto, o vértice da parábola é dado por V (2, –1).
e) Com os pontos obtidos até aqui, construa o gráfico da parábola.
1 2 3 4 5 60–1–2–3
1
2
3
4
5
x
y
–1
–2
f) Observe o gráfico que você construiu e responda às questões. 
• Qual é o sinal do coeficiente de x2 na função? O sinal é positivo. 
• A parábola que você traçou tem concavidade voltada para cima ou para baixo? 
A concavidade da parábola está voltada para cima.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
9
o
. ano – Volume 352
 2. y = –x2 + 2x + 3
a) Determine os pontos em que a parábola intersecta o eixo x.
Se a parábola intersecta o eixo x, 
temos que y = 0. Assim:
–x2 + 2x + 3 = 0 
x2 – 2x – 3 + 4= 0 + 4
x2 – 2x + 1 = 4
(x – 1)2 = 4
x
x
x
x
 r
 r
 
 
1 4
1 2
1 2
3
ou
x
x
 
 
1 2
1
Dessa forma, como as ordenadas 
dos pontos em que a parábola inter-
secta o eixo x são iguais a 0, temos 
que os pontos procurados são (3, 0) 
e (–1, 0). 
b) Determine o ponto em que a parábola intersecta o eixo y.
Se a parábola intersecta o eixo y, temos que x = 0. Logo, y = –0² + 2 · 0 + 3 = 3.
Portanto, o ponto é (0, 3).
c) Determine a abscissa do vértice da parábola calculando a média aritmética entre as abscissas dos 
pontos que você encontrou no item a.
x v 
1 3
2
2
2
1
d) Determine a ordenada do vértice da parábola substituindo sua abscissa na equação y = –x2 + 2x + 3.
yv = –x + 2x + 3
2 
yv = –1 + 2 ∙ 1 + 3
2 
yv = 4
Portanto, o vértice da parábola é dado por V (1, 4).
e) Construa o gráfico da função.
1 2 3 4 5 60–1–2–3
1
2
3
4
5
x
y
–1
–2
Concavidade da parábola de equação y = ax² + bx + c
Se a > 0, ou seja, se a é positivo, a concavi-
dade da parábola é voltada para cima.
y
x
a > 0
0
Se a < 0, ou seja, se a é negativo, a concavidade 
da parábola é voltada para baixo. 
y
x0
a < 0
f) Observe o gráfico que você construiu e responda às 
questões. 
• Qual é o sinal do coeficiente de x2 na função? 
O sinal é negativo. 
• A parábola que você traçou tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo? 
A concavidade da parábola está voltada para baixo.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
 Matemática 53
Zeros da função quadrática
Em uma função quadrática y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, denomina-se zero da função 
ou raiz da função um número real x em que y = 0. Graficamente, os zeros de uma função 
quadrática são as abscissas dos pontos em que a parábola intersecta o eixo x.
Ponto de intersecção com o eixo y
O ponto em que o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c intersecta o eixo y tem abscissa 
igual a zero. Para determinar a ordenada desse ponto, temos que substituir x = 0 na função. 
y = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c
y = c
Observe que a ordenada desse ponto corresponde ao termo independente da função quadrática. 
Assim, o gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, c).
Do mesmo modo que uma equação do 2.º grau ax2 + bx + c = 0 pode ter duas raízes reais e distintas, duas 
raízes reais e iguais ou ainda não admitir raízes reais, conforme o valor do discriminante ' b ac2 4 , para uma 
função quadrática y = ax2 + bx + c também temos as seguintes possibilidades:
• para ' > 0, a função tem duas raízes reais e distintas;
• para ' = 0, a função tem duas raízes reais e iguais;
• para ' < 0, a função não tem raiz real.
Comente com os alunos que dizer 
que a função quadrática apresenta 
uma única raiz real, ou seja, um único 
zero da função quando ' = 0, signifi-
ca que a função apresenta duas raízes 
reais e iguais.
Veja que a função quadrática f(x) = x2 – 4x + 5 não tem raízes reais.
x2 – 4x + 5 = 0 
x2 – 4x + 5 – 1 = –1 
x2 – 4x + 4 = –1 
(x – 2)2 = –1
Como não existe um número real que elevado ao quadrado resulte em –1, concluímos que a função não 
apresenta raízes reais.
O gráfico dessa função não intersecta o eixo x, pois a função não tem raízes reais, ou seja, não existe valor real 
para x com o qual se tem y = 0. Mas perceba que o gráfico intersecta o eixo y no ponto (0, 5), uma vez que f(0) = 5. 
Como a função y = x2 – 4x + 5 não apresenta raízes reais, ou seja, não intersecta o eixo x, não podemos deter-
minar as coordenadas do vértice pela médiaaritmética das raízes como fizemos anteriormente. Nesse caso, para 
determinarmos a abscissa do vértice do gráfico de uma função quadrática, podemos usar a seguinte expressão: 
x b
a
v 
2
Para determinarmos a ordenada desse vértice (yv), basta substituirmos xv na lei da função. 
Assim, as coordenadas do vértice da parábola de f(x) = x2 – 4x + 5 são:
• x b
a
v 
2
4
2 1
4
2
2( )
• yv = x – 4x – 4 2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1v
2
v + 5 = 2
2
Assim, o vértice da parábola é o ponto V (2, 1). 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
9
o
. ano – Volume 354
Ativ
idad
es
 1. Observe a seguir o gráfico de uma função quadrática. 
a) Quais são as coordenadas dos pontos em que a parábola 
intersecta o eixo x? (–1, 0) e (3, 0) 
b) Quais são as coordenadas do ponto em que a parábola inter-
secta o eixo y? (0, –3) 
c) Quais são as coordenadas do vértice dessa parábola? (1, –4) 
d) O coeficiente a dessa função é maior, menor ou igual a 0? 
Justifique sua resposta. 
Maior do que zero, pois a concavidade da parábola é voltada para cima. 
e) A intersecção do eixo de simetria dessa parábola com o eixo x é o ponto (2, 0)? Justifique sua resposta. 
Não, pois x = 2 não é o valor médio (média aritmética) dos zeros da função, que são –1 e 3. O ponto de intersecção da parábola 
com o eixo x tem coordenadas (1, 0). 
 2. Associe cada gráfico à sua função. 
 I. f(x) = –x2 – 2x + 3 II. f(x) = x2 + 3x + 4 III. f x x( ) 
2
2
 IV. f(x) = x2 – 8x + 12 
Gabaritos e comentários. 5
1 2 3 4 5 60–1–2
1
2
3
4
x
y
–1
–3
–4
–2
a) 
c) 
b) 
d) 
1 2 3 4 50–1–2–3–4
1
2
x
y
–1
–2
–3
–4
–5 1 2 3 4 5
0–1–2–3–4
1
2
x
y
–1
3
4
5
6
1 2 3 4 6 750–1–2
1
2
x
y
–1
–2
–3
–4
3
1 2 3 40–1–2–3–4–5
1
2
x
y
–1
–2
–3
3
4
Função III Função II 
Função IV Função I 
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
 Matemática 55
 3. Considere as seguintes funções, com x real:
 I. y = x2 – 4x – 5 II. y = x2 – 16 III. y x x 
2
4
2
a) Determine os zeros de cada função. 
b) Determine as coordenadas do ponto em que o gráfico de cada função intersecta o eixo y. 
c) Quais dessas funções têm a parábola com concavidade voltada para baixo? E para cima? Justifique 
suas respostas. 
 4. Construa o gráfico da função dada pela lei descrita em cada item, em que x é um número real.
a) y = x2 – 6x + 5 b) c) y = x2 + 4x + 4 y = 2x + 3 2
 5. Em cada quadro, foram incluídas três funções com os mesmos valores atribuídos para x. Determine os 
respectivos valores de y, registrando-os nos espaços correspondentes. Em seguida, construa no plano 
cartesiano correspondente os gráficos dessas funções. 
x y = x2 y = 2x2 y = 3x2
–2 y = (–2) = 4 y = 2 (–2) = 8 y = 3 (–2) = 122 ∙ 2 ∙ 2
–1 y = (–1) = 1 y = 2 (–1) = 2 y = 3 (–1) = 32 ∙ 2 ∙ 2
0 y = 0 = 0 y = 2 0 = 0 y = 3 0 = 02 ∙ 2 ∙ 2
1 y = 1 = 1 y = 2 1 = 2 y = 3 1 = 32 ∙ 2 ∙ 2
2 y = 2 = 4 y = 2 2 = 8 y = 3 2 = 122 ∙ 2 ∙ 2
• O que você observa em relação aos gráficos dessas 
funções? 
Esperamos que os alunos percebam que todos os gráficos passam 
pela origem e que, quanto maior o valor de a, mais próxima 
do eixo y está a parábola. 
x y = x2 y = x2 2 + 1 y = x + 2
–2 y = (–2) = 4 y = (–2) + 1 = 5 y = (–2) + 2 = 62 2 2
–1 y = (–1) = 1 y = (–1) + 1 = 2 y = (–1) + 2 = 32 2 2
0 y = 0 = 0 y = 0 + 1 = 1 y = 0 + 2 = 22 2 2
1 y = 1 = 1 y = 1 + 1 = 2 y = 1 + 2 = 32 2 2
2 y = 2 = 4 y = 2 + 1 = 5 y = 2 + 2 = 62 2 2
• O que você observa em relação aos gráficos dessas 
funções?
Esperamos que os alunos percebam que o aumento no valor de
c faz com que a parábola se movimente para cima. 
a) 
b) 
Há comentários nas orientações didáticas.
Nessa atividade, optou-se pela construção do quadro com os valo-
res atribuídos a x, pois o objetivo é que os alunos verifiquem compa-
rativamente o comportamento das funções.
y = x2
y = 2x2
y = 3x2
y
x
11
12
13
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
y = x2
y = x + 12
y = x + 22
y
x
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
9
o
. ano – Volume 356
A função é crescente (crescente, decrescente), pois, aumentando (aumentando, 
diminuindo) o valor de x, o valor de y aumenta (aumenta, diminui). Nesse caso, a 
função apresenta a > 0 ( ).a > 0, a < 0
A função é decrescente aumentando (crescente, decrescente), pois, 
(aumentando, diminuindo) o valor de x, o valor de y diminui (aumenta, diminui). 
Nesse caso, a função apresenta a < 0 ( ).a > 0, a < 0
 6. Durante uma partida de futebol, um jogador chuta a bola, que passa 
a percorrer uma trajetória parabólica. O gráfico ao lado representa a 
altura h da bola em relação ao solo, em metros, em função do tempo t, 
em segundos. 
a) Analisando o gráfico, determine a altura máxima atingida pela bola. 
Essa altura representa que ponto notável da parábola?
b) Em qual instante a bola atingiu a altura máxima? 
c) Quanto tempo levou para a bola retornar ao chão depois do chute? 
d) Qual das funções a seguir representa a situação descrita? 
h t t h t t h t t h t 2 8 2 8 2 4 82 2 2 2 4t
e) Determine a altura da bola no instante 2,5 s. 
h (m)
t (s)420
8
Comente com os alunos que estamos considerando a 
função para d d0 t 4, em segundos. 
Sugestão de atividades: questões 9 e 10 da seção Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, retomamos a ideia de função e ampliamos esse conhecimento com o estudo das funções 
afim e quadrática, também denominadas de funções polinomiais do 1.º e do 2.º grau. Nas frases apresentadas 
nos quadros a seguir, estão presentes algumas ideias importantes relacionadas com os gráficos dessas funções. 
Complete-as corretamente escolhendo uma das opções entre parênteses. 
Função afim (y = ax + b) 
y
x0
Função quadrática (y = ax2 + bx + c)
y
x0
A função não tem (não tem, tem um único, tem dois) zero(s) real(is), pois a 
parábola não intersecta (intersecta, não intersecta) o eixo x. 
A parábola tem concavidade voltada para cima (cima, baixo), logo, a > 0 ( ).a > 0, a < 0
A função tem um único (não tem, tem um único, tem dois) zero(s) real(is). 
A parábola tem concavidade voltada para baixo (cima, baixo), logo, a < 0 ( ).a > 0, a < 0
A função tem dois (não tem, tem um único, tem dois) zero(s) real(is) e diferente(s), 
pois a parábola intersecta (intersecta, não intersecta) o eixo x em dois 
pontos distintos (distintos, iguais). 
y
x0
y
x0
y
x0
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
57
Hora d
e estu
do
 1. (UEG – GO) No centro de uma cidade, há 
três estacionamentos que cobram da seguinte 
maneira:
Estacionamento
A B C
R$ 5,00 pela 
primeira hora
R$ 3,00 por cada 
hora subsequente
R$ 4,00 por 
hora
R$ 6,00 pela 
primeira hora
R$ 2,00 por cada 
hora subsequente
Será mais vantajoso, financeiramente, parar: 
a) no estacionamento A, desde que o automó-
vel fique estacionado por quatro horas. 
b) no estacionamento B, desde que o automó-
vel fique estacionado por três horas. 
c) em qualquer um, desde que o automóvel fi-
que estacionado por uma hora. 
X d) em qualquer um, desde que o automóvel fi-
que estacionadopor duas horas. 
e) no estacionamento C, desde que o automó-
vel fique estacionado por uma hora. 
 2. (ENEM) Os consumidores X, Y e Z desejam tro-
car seus planos de internet móvel na tentativa 
de obterem um serviço de melhor qualidade. 
Após pesquisarem, escolheram uma operadora 
que oferece cinco planos para diferentes perfis, 
conforme apresentado no quadro.
Plano Franquia Preço mensal de assinatura
Preço por MB 
excedente
A 150 MB R$ 29,90 R$ 0,40
B 250 MB R$ 34,90 R$ 0,10
C 500 MB R$ 59,90 R$ 0,10
D 2 GB R$ 89,90 R$ 0,10
E 5 GB R$ 119,90 R$ 0,10
Dado: 1 GB = 1 024 MB.
Em cada plano, o consumidor paga um valor 
fixo (preço mensal da assinatura) pela franquia 
contratada e um valor variável, que depende da 
quantidade de MB utilizada além da franquia. 
Considere que a velocidade máxima de acesso 
seja a mesma, independentemente do plano, que 
os consumos mensais de X, Y e Z são de 190 MB, 
450 MB e 890 MB, respectivamente, e que cada 
um deles escolherá apenas um plano. Com base 
Todas as questões devem ser resolvidas no caderno.
Comentários e gabaritos. 6
nos dados do quadro, as escolhas dos planos com 
menores custos para os consumidores X, Y e Z, 
respectivamente, são: 
a) A, C e C.
b) A, B e D.
X c) B, B e D.
d) B, C e C. 
e) B, C e D.
 3. (UNISINOS – RS) João e Pedro alugaram o mes-
mo modelo de carro, por um dia, em duas loca-
doras distintas. João alugou o carro na locadora 
Arquimedes, que cobra R$ 80,00 a diária, mais 
R$ 0,70 por quilômetro percorrido. Pedro alu-
gou na Locadora Bháskara, que cobra R$ 50,00 
a diária, mais R$ 0,90 por quilômetro percorrido. 
Ao final do dia, João e Pedro pagaram o mesmo 
valor total pela locação. Quantos quilômetros 
cada um percorreu e quanto pagaram? 
X a) 150 km e R$ 185,00
b) 160 km e R$ 192,00
c) 170 km e R$ 199,00
d) 180 km e R$ 206,00
e) 190 km e R$ 213,00
 4. (UEL – PR) ViajeBem é uma empresa de aluguel 
de veículos de passeio que cobra uma tarifa diá-
ria de R$ 160,00 mais R$ 1,50 por quilômetro 
percorrido, em carros de categoria A. AluCar é 
uma outra empresa que cobra uma tarifa diária 
de R$ 146,00 mais R$ 2,00 por quilômetro per-
corrido, para a mesma categoria de carros.
a) Represente graficamente, em um mesmo 
plano cartesiano, as funções que determi-
nam as tarifas diárias cobradas pelas duas 
empresas de carros da categoria A que per-
correm, no máximo, 70 quilômetros.
b) Determine a quantidade de quilômetros per-
corridos para a qual o valor cobrado é o mes-
mo. Justifique sua resposta apresentando os 
cálculos realizados. 
 5. Um caminhão do corpo de bombeiros com 
capacidade para 5 000 L de água está comple-
tamente cheio. Saben-
do que para expelir a 
água foi utilizada uma 
bomba com capaci-
dade de retirar 125 li-
tros por segundo, faça 
o que se pede. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/P
hi
lip
 A
rn
o 
Ph
ot
og
ra
ph
y
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
58
a) Encontre uma função que relacione a quanti-
dade de água y no caminhão, em litros, em fun-
ção do tempo t de funcionamento da bomba, 
em segundos. Em seguida, construa o gráfico.
b) Escreva a quantidade de água que resta no ca-
minhão após 5 s de funcionamento da bomba. 
c) Determine, em segundos, o tempo de fun-
cionamento da bomba para que o caminhão 
fique com 1 000 L de água. 
d) Indique o tempo, em segundos, necessário 
para que o caminhão seja esvaziado. 
 6. (ENEM) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de 
Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, 
de modo a evitar a proliferação do mosquito da 
dengue. Sabe-se que o número f de infectados é 
dado pela função f(t) = –2t2 + 120t (em que t é 
expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primei-
ra infecção) e que tal expressão é válida para os 
60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de 
Saúde decidiu que uma segunda dedetização 
deveria ser feita no dia em que o número de in-
fectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e 
uma segunda dedetização precisou acontecer. A 
segunda dedetização começou no: 
a) 19.º dia.
X b) 20.º dia.
c) 29.º dia.
d) 30 .º dia.
e) 60 .º dia.
 7. (SARESP) No início do século XVII, Galileu des-
cobriu que a distância d em metros percorrida 
por um corpo que cai é aproximadamente 5 ve-
zes o quadrado do tempo t em segundos que o 
corpo leva para atingir o solo. Qual das funções 
representa essa descoberta?
a) d = 5 t∙
X b) d = 5 t∙ 2
c) d = 5 d∙
d) d = 5 d∙ 2
 8. Na queda livre de um corpo, o 
espaço s, em metros, percorrido 
é dado em função do tempo t, 
em segundos, pela função qua-
drática s(t) = 5t2. Sabendo que 
um corpo é abandonado em 
queda livre de determinada al-
tura, calcule:
a) o espaço percorrido após 
2 s de queda; 
b) o tempo que o corpo leva 
para atingir o solo quando é 
abandonado de uma altura 
de 80 m do solo. 
 9. (ENEM) Um túnel deve ser lacrado com uma 
tampa de concreto. A seção transversal do túnel 
e a tampa de concreto têm contornos de um 
arco de parábola e mesmas dimensões. Para de-
terminar o custo da obra, um engenheiro deve 
calcular a área sob o arco parabólico em ques-
tão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e 
o eixo de simetria da parábola como eixo verti-
cal, obteve a seguinte equação para a parábola: 
y = 9 – x2, sendo x e y medidos em metros. Sabe-
-se que a área sob uma parábola como esta é 
igual a 2
3
 da área do retângulo cujas dimensões 
são, respectivamente, iguais à base e à altura da 
entrada do túnel. Qual é a área da parte frontal 
da tampa de concreto, em metros quadrados? 
a) 18
b) 20
X c) 36
d) 45 
e) 54
10. No plano cartesiano a seguir, estão represen-
tados um triângulo ABC e o gráfico da função 
f(x) = x2 + 4, com x \. Sabe-se que:
y
x0 2
CB
A
• o ponto O é a origem do sistema de coor-
denadas;
• os pontos A e C pertencem ao gráfico da 
função e C tem abscissa igual a 2;
• o ponto B pertence ao eixo das ordenadas;
• o triângulo ABC é retângulo em B.
Determine a área e o perímetro do triângulo 
ABC. 
Fl
ap
er
. 2
01
9.
 D
ig
ita
l.
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
©
G
et
ty
 Im
ag
es
/V
an
e
1. Na ginástica rítmica é possível perceber movimentos com elementos de dança combinados ao som 
de música e ao uso de aparelhos próprios dessa modalidade. Na imagem, você pode observar a atleta 
utilizando um desses aparelhos, que é o arco. Você conhece outros aparelhos utilizados na ginástica 
rítmica? 
2. Determine o comprimento da circunferência formada pelo arco, considerando um diâmetro 
aproximado de 85 cm. Use = 3,14.
Ângulos na 
circunferência 
9
1 Comentários.
• A brasileira Natália Gaudio em apresentação nos Jogos Pan-Americanos de Toronto, no Canadá, 2015
1. Outros aparelhos utilizados na ginástica rítmica são a corda, a bola, as maças e a fita.
2. C r 2 2 3 14 42 5 266 9S , , ,
O comprimento é, aproximadamente, 266,9 cm.
es
sa
 C
ar
val
ho
/B
ra
zil 
Ph
ot
o 
Pr
es
s/
La
tin
Co
nt
en
t
59
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:06:29
Ao final do estudo deste capítulo, espera-se que você compreenda a relação entre ângulo cen-
tral e ângulo inscrito e as relações métricas em uma circunferência por meio da análise de situações 
variadas e da resolução de problemas.
Objetiv
os
Arcos e ângulos na circunferência
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
A obra Composição VIII, de Wassily Kandinsky, 
do ano de 1923, faz parte do movimento artís-
tico conhecido como arte moderna e pode ser 
encontrada no Museu Solomon R. Guggenheim, 
na cidade de Nova Iorque. 
a) Quais formas geométricas você obser-
va nessa obra? 
b)As formas geométricas dessa obra não 
foram inseridas de forma aleatória. 
Apesar dos traços abstratos, o artista 
procurou representar uma paisagem. 
Você consegue relacionar as formas 
geométricas com elementos paisagís-
ticos? 
c) A obra apresenta diversas circunferências e retas em posições variadas. Quais posições relativas 
entre esses elementos podem ser identificadas?
Ao analisar a obra Composição VIII, verificam-se diferentes 
posições relativas entre retas e circunferências. Vamos estudar 
cada uma delas e, para isso, será necessário usar, além do lá-
pis, um compasso e uma régua. Considere o plano cartesiano 
ao lado.
a) Construa, com um compasso, uma circunferência de 
centro O (–1, 1) e que passe pelo ponto A (–5, 1).
b) Encontre os pontos a seguir e, com uma régua, trace as 
retas que passam pelos pontos:
• B (3, –4) e C (–2, 4);
• B (3, –4) e D (5, 1);
• B (3, –4) e E (3, 5). 
c) O que é possível observar quanto à posição de cada uma dessas retas em relação à circunferência? 
A reta BD não intersecta a circunferência, a reta BE intersecta em um único ponto e a reta BC em dois pontos diferentes. 
©
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s/
So
lo
m
on
 R
. G
ug
ge
nh
ei
m
 M
us
eu
m
KANDINSKY, Wassily. Composição VIII. 1923. 1 óleo sobre tela, color., 
140 cm × 201 cm. Museu Solomon R. Guggenheim, Nova Iorque, EUA. 
Sugestão de encaminhamento. 2
3
5
1
2
3
4
1 2 4 5–3–5 –4 –2 –1
–3
–4
–2
–1
y
x
E
D
B
C
A O
O
9
o
. ano – Volume 360
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
No exemplo, a reta tangente intersecta a circunferência no ponto T. s
Observe na figura ao lado que a distância d entre o centro da circunferência 
(ponto O) e a reta s é calculada pela medida do segmento de reta OT.
Que relação é possível observar entre a medida do raio r da circunferência 
e a distância d do seu centro (ponto O) até a reta s? 
A distância do centro (ponto O) até a reta s é igual à medida do raio da 
circunferência. Assim, d = r.
O
T
s
d
r
Nesse exemplo, a reta secante intersecta a circunferência nos pontos s
P e Q.
Observe que a distância d entre o centro da circunferência (ponto O) e 
a reta é calculada pela medida do segmento de reta perpendicular à e s s
com extremidades no ponto O e na reta s.
Que relação de desigualdade se pode observar entre a medida do raio 
r dessa circunferência e a distância d do seu centro (ponto O) até a reta s?
 A distância do centro (ponto O) até a reta s é menor do que a medida do raio da 
circunferência. Assim, d < r.
Considerando uma circunferência de centro em O e uma reta , podemos ter as seguintes posições da reta s
em relação à circunferência:
Uma reta que intersecta a circunferência em dois pontos é 
chamada de reta secante à circunferência.
O
P
s
Q
O
d P
s
Q
r
O
T
s
O
s
Uma reta que não intersecta a circunferência é chamada 
de reta externa à circunferência.
• A reta s não intersecta a circunferência
Uma reta que intersecta a circunferência em um único ponto é 
chamada de reta tangente à circunferência.
• A reta s intersecta a circunferência em apenas um ponto
• A reta s intersecta a circunferência em dois pontos
Nesse exemplo, a reta s não tem ponto comum com a circunferência.
 Matemática 61
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
Observe na figura ao lado que a distância d entre o centro da circunferência 
(ponto O) e a reta s é calculada pela medida do segmento de reta com extremi-
dades no ponto O e na reta s.
Que relação de desigualdade se pode observar entre a medida do raio r 
dessa circunferência e a distância d do seu centro (ponto O) até a reta s? 
A distância do centro (ponto O) até a reta s é maior do que a medida do raio da 
circunferência. Assim, d > r.
O
s
d
r
O
s
A
B
C
T
D
E
F
Agora, considere a circunferência de centro em O e a reta s, que é tangente à 
circunferência. Considere também alguns pontos sobre a reta s, conforme indicado 
na figura ao lado.
a) Qual dos segmentos indicados na figura apresenta a menor medida?
 
b) Qual dos segmentos representa a distância entre o centro dessa circunferên-
cia e a reta s? 
c) Esse segmento tem a mesma medida de qual elemento da circunferência? 
Tem a mesma medida do raio.
OT
OT
De um ponto a uma reta, podemos traçar infinitos segmentos de reta. A menor 
das medidas encontradas representa a entre o ponto e a reta. distância
Ativ
idad
es
Comentários e gabaritos. 3
 1. Considerando a imagem ao lado, qual(is) reta(s) é(são):
a) tangente(s) à circunferência? t 
b) secante(s) à circunferência? p s e 
c) externa(s) à circunferência? r 
 2. No desenho ao lado, representou-se uma região plana e circular de 
determinada cidade com os trajetos em linha reta do metrô, do trem e 
da rodovia. Nesse caso, qual trajeto é:
a) tangente à circunferência? Trajeto da rodovia. 
b) secante à circunferência? Trajeto do metrô. 
c) externo à circunferência? Trajeto do trem. 
r
A
C
O
p t
D
E
F
s
B
trem
metrô
rodoviaA
C
O
B
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao 
segmento que representa o raio desta no ponto de tangência.
9
o
. ano – Volume 362
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
 3. Considere a circunferência de centro A e raio de medida AB representada na 
figura. Qual é a posição relativa em relação a essa circunferência, de uma reta que:
a) dista 5 cm de A? Tangente. 
b) dista 4 cm de A? Secante. 
c) dista 5,1 cm de A? Externa. 
 4. A imagem ao lado apresenta um conjunto de roda e pneu visto de fren-
te. Na imagem, foram destacadas as circunferências interna (em amarelo) 
e externa (em verde) do pneu. Esta última circunferência tem um único 
ponto de intersecção com a reta horizontal que representa o piso. 
a) Qual é a posição relativa entre a circunferência amarela e a reta horizontal? 
A reta é externa à circunferência amarela.
b) Qual é a posição relativa entre a circunferência verde e a reta horizontal? 
A reta é tangente à circunferência verde.
 5. A reta da figura é tangente à circunferência de centro O no ponto A. t
AB 5 cm
B A
t
O
35°
B
A
xO
60°
y
a) Classifique o OAB quanto às medidas de seus ângulos. Justifique sua 
resposta. 
b) Determine a medida de B .
 6. A reta que passa por A e B na figura é tangente à circunferência de centro em O, origem do plano carte-
siano ortogonal, e raio igual a 1 cm.
 7. Considere dois segmentos de reta MA e MB, tangentes a uma mesma circunferência, traçados de um 
mesmo ponto exterior M, de modo que OM seja a bissetriz do ângulo M, conforme a figura a seguir.
a) É possível afirmar que os triângulos OAM e OBM são congruen-
tes? Justifique sua resposta. 
b) Os segmentos de reta MA e MB são congruentes? Justifique sua 
resposta. 
a) Encontre a medida dos ângulos internos do OAB. 
b) Calcule a medida dos segmentos OA e AB. 
O
M
A
B
©S h
ut
te r
st
o c
k/
P r
o3
DA
rtt
 Matemática 63
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
Observe na circunferência ao lado que, ao serem traçados os segmentos de 
reta AO e OB, formam-se dois arcos: oAB e pASB.
Perceba que quando queremos indicar o arco maior, consideramos um pon-
to pertencente a esse arco (nesse caso o ponto S) e representamos esse arco 
usando três pontos: pASB . 
Observe também que o ângulo central AÔB e o arco correspondente oAB têm 
a mesma medida angular x. Lembre-se deque a medida em graus de um arco 
de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente ao arco. 
 1. Qual é a expressão algébrica que representa a medida de pASB? 360° – x 
 2. Na circunferência a seguir, de centro O, marque três pontos distintos: P, Q e R. Em seguida, construa um 
ângulo inscrito, ou seja, um ângulo cujo vértice seja um ponto da circunferência e cujos lados sejam se-
cantes a ela.
 8. Considerando a figura a seguir, com medidas indicadas em centímetros, determine:
O
P
A
B
3x + 5
+ 10x
2
a) o valor de x; 
b) as medidas dos segmentos de reta AP e BP, em centí-
metros.
Sugestão de atividades: questões de 1 a 4 da seção Hora de estudo.
Ângulo central e ângulo inscrito
Na circunferência de centro O, marque dois pontos distintos, P e Q, e trace os segmentos de reta OP e OQ, 
que são raios da circunferência.
O ângulo PÔQ é denominado ângulo central, pois tem 
como vértice o centro da circunferência (ponto O).
O
A
B
S
x
P Q
O
Ângulo central: ângulos com vértice no centro da circunferência.
Ângulo inscrito: ângulos com vértice em um ponto da circunferência e 
lados secantes à circunferência.
O
Q
P
R
9
o
. ano – Volume 364
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
Comentários e gabarito. 4
Demonstração.5
 3. Reúna-se com um ou dois colegas e, com um compasso, construam uma circunferência com raio de 
aproximadamente 4 cm e centro O. Em seguida, marquem sobre a circunferência três pontos distintos: P, 
Q e R.
a) Com uma régua, tracem o ângulo inscrito RPQ e o ângulo central RÔQ.
b) Usando um transferidor, meçam os ângulos inscritos e centrais formados. As medidas obtidas pelos 
integrantes de cada grupo são iguais ou diferentes? Por quê? 
c) Que relação de igualdade é possível observar entre as medidas do ângulo inscrito RPQ e do ângulo 
central RÔQ?
P
Q R
O
A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo 
central correspondente. Na figura, temos:
p
p D
D E 
m(QR)
m(QR) e
2 2
 4. De acordo com a figura ao lado, determine o valor de x. 
p
 
 
 
m(AB)
x
2
92
x
2
x 46
°
°
 5. Observe as quatro circunferências com centro no ponto O, origem do 
plano cartesiano ortogonal, e os arcos o p p pAB, CD, EF e GH.
a) Como podem ser classificados os ângulos 
l l l lAOB, COD, EOF e GOH em relação à circunferência 
em que se encontram os arcos o p p pAB, CD, EF e GH, 
respectivamente?
São ângulos centrais, com vértice no centro da respectiva circun-
ferência e lados secantes à mesma circunferência.
b) Qual é a medida dos ângulos l l l lAOB, COD, EOF e GOH?
Cada um deles mede 60°.
x
O
92°
A
B
y
x
60°
B
D
F
H
AO C E G
Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é um triângulo retângulo. 
Essa informação será útil na resolução dos próximos exercícios! 
 Matemática 65
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
Ativ
idad
es
Comentários e gabaritos. 6
 1. Em cada um dos itens a seguir, determine a medida indicada por . 
a) b) 
O
Q
P
37°
α
Como  é a medida de pPQ e o ângulo inscrito 
correspondente mede 37°, tem-se:
37
2
74
q 
 q
D
D
Como AÔB é o ângulo central correspondente ao 
ângulo inscrito lAMB , tem-se:
D
D
D D
D
 
 q
  q
 q
3 29
2
2 3 29
29
 
A
B
M O 3α – 29°
 2. Em cada um dos itens a seguir, determine a medida de y.
a) b) 
y O 50°
y + 45°
0
y
 3. Com um compasso, trace uma circunferência de centro O, raio qualquer e diâmetro PQ. Em seguida, 
marque sobre a circunferência outros três pontos (A, B e C), diferentes de P e Q. Em seguida, use um 
transferidor para determinar as medidas dos ângulos lPAQ , lPBQ e PCQl . O que você observa em relação 
às medidas encontradas?
 4. Considere o ABC representado a seguir inscrito em uma circunferência em que BC é um diâmetro e o 
vértice A é um ponto da circunferência.
A
C
B
O
a) Qual é a medida de oBC?
180°
b) Quanto mede ?
D 
q
 q
180
2
90
y
y
 
q
 q
50
2
25
y
y
y y
y
 
 q
 q
 q
45
2
2 45
45
9
o
. ano – Volume 366
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
 5. Junte-se com um colega para observarem na 
figura a seguir os ângulos e arcos formados na 
circunferência, sendo o vértice M interno à cir-
cunferência e diferente do centro.
P
Q
S
R
M
x
a
b
a) O que é possível perceber sobre a medida dos 
arcos p oQR e PS em relação às medidas a e b? 
b) Encontrem uma expressão algébrica que indi-
ca a medida de SMRl . Justifiquem a resposta. 
c) Encontrem uma expressão algébrica que 
indica a medida em relação à medida de x
SMRl . Justifiquem a resposta. 
 6. Determine o valor de x na figura a seguir. 
A B
D
C
O
32°
76°
x
l
l
Sugestão de atividades: questões de 
5 a 7 da seção Hora de estudo.
 7. Na figura, tem-se o Dm(AB) 48 e p 
D
m(DC) 92 . 
Qual é o valor de x?
24°
46°
A
B
E
D
C
O
x
 8. (OBMEP) As circunferências C1 e C2 são tan-
gentes à reta ℓ nos pontos A e B e tangentes 
entre si no ponto C. Prove que o triângulo ABC 
é retângulo. 
O1
O2
A Bℓ
C
Você sabia que é possível utilizar o conhecimento de ângulo central para construir um hexágono regular, 
desde que seja conhecida a medida de seus lados? Isso porque as diagonais de um hexágono regular inscrito 
em uma circunferência determinam seis ângulos centrais com 60°, conforme ilustrado na figura a seguir.
Observe que OA OB{ , pois são raios da circunferência de centro em O. Nesse caso, tem-se que OBA e BAO 
são congruentes, ou seja, m OBA m BAO( ) ( ) .  D
Assim, no OAB, temos:
m AOB m OBA m BAO( ) ( ) ( )    q180
60 180q  qD D
2 120D q
D q60
Logo, temos que m OBA m BAO m AOB( ) ( ) ( )   q60 e, portanto, o OAB 
é equilátero.
Observe, também no OAB, que o vértice O é o centro da cincunferência, e os outros dois vértices (A e B) são 
vértices do hexágono ABCDEF regular e inscrito nessa circunferência.
Conexões
B
C
DE
F
A
60°
60°
60°
6 0°
60 °
60°
O
Sugestão de encaminhamento. 7
 Matemática 67
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
Relações métricas na circunferência
Relação entre cordas
Observe na figura a seguir que as cordas AB e CD se intersectam no ponto P, interior 
à circunferência.
a) Desenhe e pinte os triângulos PAC e PDB.
b) Nos triângulos formados, indique os ângulos que
• são opostos pelo vértice: 
• tenham medida igual à metade da medida do arco ADp : 
• tenham medida igual à metade da medida do arco BCo : 
CPA e B PD .
ACP e DBP . 
CAPl e BDP .
4.º passo: determinar os pontos C, D, E e F com o uso 
do compasso, de forma que os lados BC, CD, DE, EF 
e FA tenham a mesma medida do lado AB (2 cm).
3.º passo: usando o compasso, construir a circun-
ferência de centro O e raio de medida AB.
2.º passo: construir um triângulo ABO equilátero 
usando um compasso.
1.º passo: traçar um segmento AB que meça 2 cm.
BA
B
O
A
B
C
DE
F
O
A
B
O
A
Perceba que o vértice O do OAB será o centro O da cicunferência circunscrita ao hexágono que estamos 
construindo, sendo AB um de seus lados. 
C
B
A D
O
P
Com base nesses conhecimentos, vamos construir um hexágono regular com lados de medidas iguais a 2 cm. 
Perceba que os triângulos PAC e PDB são semelhantes, pois os ângulos correspondentes 
são congruentes: CPA BPD { , ACP DBP { e CAP BDP { .
PA
PD
PC
PB
PA PB PC PD o  
9
o
. ano – Volume 368
Impresso por Eugênio Abdon,CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
Relação entre segmentos secantes
Observe na figura ao lado que os prolongamentos das cordas 
AB e CD se intersectam no ponto P, exterior à circunferência.
a) Trace os segmentos AD e BC.
b) Observando os triângulos PAD e PBC, escreva
• um ângulo comum aos dois triângulos: 
• um par de ângulos que determina o mesmo arco BDo : 
P .
DAPl e BCP .
C
BA
D
O
P
C
B
A
O
P
B
O
C
A P
d
x
x
y
a
Relação entre segmentos secante e tangente
Observe na figura ao lado que:
• A, B e C são pontos da circunferência;
• P é um ponto exterior a essa circunferência e pertence à reta BC

;
• a reta PA

 é tangente à circunferência.
a) Trace os segmentos AB e AC.
b) Observando os triângulos APB e CPA, escreva um par de ângulos comum aos dois triângulos. 
 
Perceba também que os ângulos PBA e PAC são congruentes. Chamando de a d o ângulo ABC, de o ângulo 
PAC e traçando os segmentos AO e CO, temos: 
Dessa maneira, d + x = 90°, ou seja, x = 90° – d. Como a soma 
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que: 
x + x + y = 180°
90° – d + 90° – d + y = 180°
y = 2d
Como a
y
 
2
, temos que a = d.
Logo, os ângulos PBA e PAC são congruentes.
APB e CPA .
Perceba que os triângulos PDA e PBC são semelhantes. Temos que APD BPC { (ângulo comum aos dois 
triângulos) e DAP BCP { (determinam o mesmo arco BDo ). Portanto, pelo caso AA de semelhança de 
triângulos, podemos afirmar que os triângulos PDA e PBC são semelhantes. Então, novamente temos que:
PA
PD
PC
PB
PA PB PC PD o  
Dessa forma, perceba que os triângulos APB e CPA são semelhantes. Temos que APB CPA { (ângulo 
comum aos dois triângulos) e PBA PAC { (determinam o mesmo arco ACo ). Portanto, pelo caso AA de 
semelhança de triângulos, temos que os triângulos APB e CPA são semelhantes. 
Sendo assim: 
PA
PB
PC
PA
PA PA PB PC PA PB PC o   o ( ) 2
 Matemática 69
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:03
 1. Com base na circunferência e nos demais elementos representados 
a seguir, escreva
a) um segmento secante à circunferência: 
b) um segmento tangente à circunferência: 
c) um ponto comum a duas cordas: Q 
d) um ponto comum aos segmentos secante e tangente à circunferência: P 
e) uma corda: 
 2. Calcule o valor de x ou em cada uma das figuras a seguir.y
a)
4 6
5
x
c)
19
8
y
7
b)
6
5
y + 6
y + 3
d)
x
2,7
4,8
 3. Determine a medida das seguintes cordas que se cruzam no ponto P. 
E
D
2,56
4,8
8
P
AG
C
F
B H
4
3,84
a) AB
b) CD
c) EF
 4. Calcule a medida do raio da circunferência representada a seguir com base nas medidas indicadas na 
figura, em metros.
40
32
P
B
O
A
C
PA
PE
AB ou CD
Ativ
idad
es
Comentários e gabaritos.8
C
D E
A
B
Q
P
Sugestão de atividade: questão 8 da seção Hora de estudo.
9
o
. ano – Volume 370
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
Organize as ideias 
Neste capítulo, estudamos alguns temas relacionados à circunferência: ângulos centrais e inscritos, posições 
relativas entre retas e circunferências e relações métricas. 
Complete a tabela a seguir com as ideias estudadas de cada caso. 
Tópico estudado Conceito (o que significa?)
Representação em forma de figura 
(exemplo)
Reta secante à circunferência
Reta que intersecta a circunferência em 
dois pontos distintos. B
C
A
Reta tangente à circunferência
Reta que intersecta a circunferência em 
um único ponto. B
C
A
Reta externa à circunferência Reta que não intersecta a circunferência.
C
B
A
Ângulo central
Ângulo com vértice no centro da circun-
ferência.
C
B
A
Ângulo inscrito
Ângulo com vértice em um ponto da 
circunferência e lados secantes à circun-
ferência.
C
B
D
A
Relação entre um ângulo 
central e um ângulo inscrito 
correspondente
A medida do ângulo inscrito é igual à 
metade da medida do ângulo central 
correspondente.
B
C
D
A
Į/2 Į
Relação entre uma reta tangente 
a uma circunferência e o raio 
desta no ponto de tangência
Uma reta tangente a uma circunferência 
é perpendicular ao raio desta no ponto 
de tangência.
C
A
90º
B
 Matemática 71
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
Hora d
e estu
do
 1. Considere a represen-
tação a seguir de duas 
retas perpendiculares 
entre si e secantes a 
uma circunferência de 
centro no ponto O.
a) Mostre que o ABO é isósceles.
b) Que elemento do ABO é dado pelo seg-
mento OM? 
c) Sabendo que m AM cm( ) 5 , determine a 
m BM( ). 
 2. No desenho a seguir, a 
reta s é perpendicular 
à corda BC. Sabendo 
que BD = 5x – 10 e 
DC = 18 – 2x, em cm, 
determine:
a) o valor de x; 
b) a medida da corda BC. 
 3. Considere a figura a seguir, em que M, N e T são 
pontos de tangência da circunferência com os 
lados do triângulo PQR. 
M
P
N
x
TR Q
Determine a medida de x, sabendo que 
PQ = 12 cm, QR = 8 cm e PR = 6 cm. 
 4. A reta que passa por A e B na figura a seguir é 
tangente à circunferência de centro em O, ori-
gem do plano cartesiano ortogonal, e raio com 
1 cm de medida.
O
x
y
A
60°
B
a) Encontre a medida dos ângulos internos do 
OAB.
b) Encontre a medida dos lados do OAB.
 5. Determine as medidas dos ângulos a b c, e na 
figura a seguir. 
R
P
Q
O
b c
a
27°
 6. Determine a medida em graus do arco MNp indi-
cado na circunferência a seguir, de centro P. 
N
P
R
Q
70°
M
 7. (CEFET – MG) Na figura, os segmentos PB e PD 
são secantes à circunferência, as cordas AD e BC 
são perpendiculares e AP = AD. A medida x do 
ângulo BPD é:
PA
x
B
D
C
X a) 30°
b) 40°
c) 50°
d) 60°
 8. Na figura a seguir, o segmento FB é tangente à 
circunferência no ponto B. Determine a medida 
do segmento FD, sabendo que o raio da circun-
ferência é 3 cm e que FB = 4 cm. 
F
A
B
D
C
Comentários e gabaritos.9
t
r
BA
O
M
C
s
A 90°
B
D
72
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
 Capítulo 7 – Página 3 – Quebra-cabeça 
de quadrados
 Capítulo 7 – Página 27 – Método de 
completar quadrados 
9
o
. ano – Volume 3
Material de apoio
 Matemática 1
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
Capítulo 7 – Página 26 – Jogo das equações 
1
6
x2
 =
 9
9
x2
 =
 9
5
x2
 =
 1
2
5
a
 –
 1
0
0
 =
 0
2
R
a
íz
e
s:
e
 –
R
a
íz
e
s: +
5
 e
 –
5
R
a
íz
e
s: +
1
0
 e
 –
1
0
R
a
iz
: a
p
e
n
a
s 
o
 0
R
a
íz
e
s: +
1
 e
 –
1
3 4
=
 0
3
x2 4
3 4
Flaper. 2019. Digital.
9
o
. ano – Volume 3
Material de apoio
 Matemática 3
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassadopara terceiros. 18/08/2021 20:07:52
a
2
 –
 5
 =
 –
1
4
y2
 =
 2
5
x
 
2
–
 1
4
4
 =
 0
(x
 –
 3
)2
 =
 0
9
x2
 –
 1
 =
 0
R
a
íz
e
s: 2
 e
 –
2
R
a
iz
: a
p
e
n
a
s 
o
 3
R
a
íz
e
s:
R
a
íz
e
s:
1
2
 e
 –
1
2
+
e
 
–
R
a
íz
e
s:
1 3
1 3
e
 –
5 2
5 2
Flaper. 2019. Digital.
Capítulo 7 – Página 26 – Jogo das equações 
9
o
. ano – Volume 3
Material de apoio
 Matemática 5
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52
–
x
2
 =
 –
4
9
x2
 –
 1
 =
 8
0
x
 
2
–
 x
 =
 0
b
2
 –
 2
b
 =
 0
a
 –
 3
a
 =
 0
2
R
a
íz
e
s: 7
 e
 –
7
R
a
íz
e
s: 0
 e
 2
R
a
íz
e
s:
R
a
íz
e
s:
0
 e
 1
–
9
 e
 9
0
 e
 3
R
a
íz
e
s:
Flaper. 2019. Digital.
Capítulo 7 – Página 26 – Jogo das equações 
9
o
. ano – Volume 3
Material de apoio
 Matemática 7
Impresso por Eugênio Abdon, CPF 924.957.480-07 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e
não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/08/2021 20:07:52