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2016.1 - Exame final de Ca´lculo Nume´rico.
Questa˜o 1. Seja a ma´quina F (10, 3,−9, 9) e os nu´meros a = 4, 8, b = 0, 4, c = 4, 89 e d = 74, 6. Calcule
10× [a× ((b + c) + d)− ((ab + ac) + ad)].
Questa˜o 2. Para a ma´quina F (10, 2,−5, 5), calcule o nu´mero de elementos da mesma. Qual e´ a soma os
algarismos deste nu´mero? Por exemplo, para o nu´mero 704, a soma dos algarismos vale 7 + 0 + 4 = 11.
Questa˜o 3. Utilize o Me´todo de Newton-Raphson para estimar x = 3
√
17 (dica: escreva sua func¸a˜o na
forma de um polinoˆmio f(x) = xn − y). Considere a condic¸a˜o inicial x0 = 1 e duas casas decimais de
precisa˜o. Nestas condic¸o˜es, a sequencia da estimativa de 3
√
17, para treˆs iterac¸o˜es vale:
a) 1.00, 6.33, 4.36 e 3.20
b) 1.00, 4.16, 3.20 e 2.70
c) 1.00, 4.36, 3.20 e 2.70
d) 1.00, 6.33, 4.16 e 3.40
e) 1.00, 6.33, 4.16 e 2.70.
Questa˜o 4 (INTERPOLAC¸AˆO PARTE 1). Considere o tabelamento abaixo:
f(xi) -3.5 -6.0 -10.5
xi 1 2 3
Encontre o polinoˆmio interpolador deste tabelamento. Calcule 10×∑i |ai| e aproxime para o inteiro mais
proximo, onde ai e´ o i -e´simo coeficiente deste polinoˆmio. Utilize duas casas decimais de precisa˜o.
Questa˜o 5 (INTERPOLAC¸AˆO PARTE 2). Para o polinoˆmio encontrado na PARTE 1, analise as seguintes
afirmac¸o˜es:
i) P (0) = −3.
ii) P (0.5) = −3.
Sa˜o verdadeiras, as afirmac¸o˜es:
a) i
b) ii
c) i e ii
d) nenhuma das duas afirmac¸o˜es.
Questa˜o 6 (INTEGRAC¸A˜O PARTE 1). Seja f(x) = x
x+1
. Deseja-se calcular a a´rea A sob esta curva
f , para o intervalo xi = −0.5 e xf = 1.0, utilizando o me´todo dos trape´zios, considerando um tabela-
mento com 6 pontos e 4 casas decimais de precisa˜o. Calcule 100×A e aproxime para o inteiro mais pro´ximo.
Questa˜o 7 (INTEGRAC¸A˜O PARTE 2). Seja Et a estimativa do erro de integrac¸a˜o do item anterior, calcule
100× Et e aproxime para o inteiro mais pro´ximo.
1
GABARITO
QUESTA˜O 1
b + c = 5.29× 100 → b + c + d = 7, 99× 101 → a(b + c + d) = 3, 84× 102.
ab = 1.92× 100, ac = 2.35× 101, ad = 3.58× 102 → ab + ac = 2.54× 101 → (ab + ac) + ad = 3, 83× 102.
a× ((b + c) + d)− ((ab + ac) + ad)] = 1.00× 100, RESPOSTA: 10.
QUESTA˜O 2
n(F ) = 2× 9× 10× (5 + 5 + 1) + 1 = 1981. RESPOSTA = 1 + 9 + 8 + 1 = 19.
QUESTA˜O 3
f(x) = x3 − 17 e f ′(x) = 3x2.
i xi f(xi) f
′(xi)
0 1.00 -16. 3.
1 6.33 236.64 120.21
2 4.36 65.88 57.03
3 3.20 15.77 30.72
QUESTA˜O 4
O espac¸amento dos x sa˜o constantes, portanto usaremos o polinoˆmio interpolador de Gregory-Newton
xi ∆
0f(xi) ∆
1f(xi) ∆
2f(xi)
1 -3.5 -2.5 -2
2 -6 -4.5
3 -10.5
P (x) = f(x0) +
(x−x0)
11×1 ∆
1f(x0) +
(x−x0)(x−x1)
12×2! ∆
2f(x0)→ P (x) = −x2 + 12x− 3.
QUESTA˜O 5
P (0) = 3 e P (0.5) = −3 sa˜o ambas falsas pois o polinoˆmio intepolador so´ e´ va´lido no intervalo [1; 3].
QUESTA˜O 6
Para calcular a a´rea sob a curva f(x), utliza-se no tabelamento, o mo´dulo |f(x)|.
n = 5→ h = 1−(−0.5)
5
= 0.3.
|f(x)| 1 0.25 0.0909 0.2857 0.4118 0.5
x -0.5 -0.2 0.1 0.4 0.7 1
A = h[E/2 + I + P ]→ A = 0.5365. RESPOSTA: 54.
QUESTA˜O 7
|f ′′(x)| = | −2
(x+1)3
| que tem valor ma´ximo 16 em x = −0.15 , para o intervalo [−0.5; 1.0]. Assim, o erro de
integrac¸a˜o sera´ Et =
nh3
12
× 16 = 0.18. RESPOSTA: 18.
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