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1.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
	
	
	
	0,992
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2%
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
Explicação:
25 - 24,8 = 0,2m²
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	x1    
	
	
	 x4             
	
	
	 x2      
	
	
	x3      
	
	
	x5  
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
	
	
	
	1,00
	
	
	1,56
	
	
	0,55
	
	
	1,14
	
	
	1,85
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
	
	
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É a raiz real da função f(x)
	
	
	Nada pode ser afirmado
	
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
Explicação:
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa  x é denomindado raiz da função .  
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	0, 375
	
	
	0,4
	
	
	0.25
	
	
	1
	
	
	0.765625
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25) =  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
	
	
	
	[-1,0]
	
	
	[2,3] 
	
	
	[1,2]  
	
	
	 [0,1]  
	
	
	[-2,-1]  
	
Explicação:
f(-2) = -18    f(-1) = -11    f(0) = -10       f(1) = -9      f(2) = -2       f(3) =  17 
Então apenas o intervalo  [2,3]  atende à condição f(2) .f(3) < 0  para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo.
	
	 
		
	
		1.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Bisseção
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Newton Raphson
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
	
	
	
	tem três raízes
	
	
	nada pode ser afirmado
	
	
	pode ter duas raízes
	
	
	não tem raízes reais
	
	
	tem uma raiz
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposiçãodo problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
Explicação:
Programação estruturada admite estruturas de repetição
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	Absoluto
	
	
	De truncamento
	
	
	Percentual
	
	
	De modelo
	
	
	Relativo
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine  o x6 da equção f(x)=(x+1)2e(x2-2)-1=0 usando o método da bissecção sabendo-se que a raiz procurada está em [0,1]
	
	
	
	0,859374
	
	
	0,859275
	
	
	0,858375
	
	
	0,859375
	
	
	0,869375
	
Explicação:
Basta aplicar o método da bissecção  por 6 vezes
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	5
	
	
	10
	
	
	2
	
	
	18
	
	
	9
	
Explicação:
xu = 3.0 - 2 = -2
yu = 3.2 + 5 = 11
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
	
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	
Explicação:
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo   e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo.
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
		1.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	1085
	
	
	1084
	
	
	10860
	
	
	1086
	
	
	10085
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	-5
	
	
	3
	
	
	-11
	
	
	2
	
	
	-3
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	-11
	
	
	2
	
	
	-7
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	3/4
	
	
	- 3/4
	
	
	- 4/3
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Usando o arredondamento de 3 casa decimais o valor do número 1,42563267 fica?
	
	
	
	1,526
	
	
	1,427
	
	
	1,425
	
	
	1,436
	
	
	1,426
	
Explicação:
Como foi pedido o arredondamneto com 3 casa decimais observa-se a quarta casa, se está for maior ou igual a 5 sobe um número na terceira casa decimal, se ela for menor matém-se a terceira casa decimal
	
		1.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	1085
	
	
	10085
	
	
	10860
	
	
	1084
	
	
	1086
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	3
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	-11
	
	
	-5
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	-11
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	-7
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	- 3/4
	
	
	- 4/3
	
	
	3/4
	
	
	- 0,4
	
	
	4/3
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Usando o arredondamento de 3 casa decimais o valor do número 1,42563267 fica?
	
	
	
	1,425
	
	
	1,426
	
	
	1,526
	
	
	1,436
	
	
	1,427
	
Explicação:
Como foi pedido o arredondamneto com 3 casa decimais observa-se a quarta casa, se está for maior ou igual a 5 sobe um número na terceira casa decimal, se ela for menor matém-se a terceira casa decimal
	
		1.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	1084
	
	
	1086
	
	
	10085
	
	
	1085
	
	
	10860
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	3
	
	
	-5
	
	
	-11
	
	
	-3
	
	
	2
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominadode coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	-11
	
	
	-7
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	- 3/4
	
	
	- 4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	4/3
	
	
	3/4
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Usando o arredondamento de 3 casa decimais o valor do número 1,42563267 fica?
	
	
	
	1,436
	
	
	1,426
	
	
	1,526
	
	
	1,425
	
	
	1,427
	
Explicação:
Como foi pedido o arredondamneto com 3 casa decimais observa-se a quarta casa, se está for maior ou igual a 5 sobe um número na terceira casa decimal, se ela for menor matém-se a terceira casa decimal
		1.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
	
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2%
	
	
	0,992
	
Explicação:
25 - 24,8 = 0,2m²
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	x1    
	
	
	x5  
	
	
	 x4             
	
	
	 x2      
	
	
	x3      
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
	
	
	
	1,00
	
	
	1,14
	
	
	1,85
	
	
	0,55
	
	
	1,56
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
	
	
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É a raiz real da função f(x)
	
	
	Nada pode ser afirmado
	
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
Explicação:
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa  x é denomindado raiz da função .  
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	0.765625
	
	
	0.25
	
	
	1
	
	
	0,4
	
	
	0, 375
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25) =  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
	
	
	
	 [0,1]  
	
	
	[1,2]  
	
	
	[2,3] 
	
	
	[-1,0]
	
	
	[-2,-1]  
	
Explicação:
f(-2) = -18    f(-1) = -11    f(0) = -10       f(1) = -9      f(2) = -2       f(3) =  17 
Então apenas o intervalo  [2,3]  atende à condição f(2) .f(3) < 0  para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo.
		
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	
	Newton Raphson
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Bisseção
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
	
	
	
	tem uma raiz
	
	
	não tem raízes reais
	
	
	tem três raízes
	
	
	pode ter duas raízes
	
	
	nada pode ser afirmado
	
Explicação:
g(x) = h(x)- 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
Explicação:
Programação estruturada admite estruturas de repetição
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	Absoluto
	
	
	De truncamento
	
	
	Relativo
	
	
	De modelo
	
	
	Percentual
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine  o x6 da equção f(x)=(x+1)2e(x2-2)-1=0 usando o método da bissecção sabendo-se que a raiz procurada está em [0,1]
	
	
	
	0,869375
	
	
	0,859275
	
	
	0,859374
	
	
	0,858375
	
	
	0,859375
	
Explicação:
Basta aplicar o método da bissecção  por 6 vezes
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	2
	
	
	10
	
	
	5
	
	
	18
	
	
	9
	
Explicação:
xu = 3.0 - 2 = -2
yu = 3.2 + 5 = 11
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
	
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
Explicação:
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo   e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo.
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	 
		
	
		1.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
	
	
	
	Método de Newton-Raphson
	
	
	Método da bisseção
	
	
	Método do ponto fixo
	
	
	Método de Pégasus
	
	
	Método das secantes
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
	
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	2,354
	
	
	2,854
	
	
	3,104
	
	
	3,254
	
	
	2.154
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-2
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	-1
	
	
	1.75
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(2, 3)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(1, 2)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)1.0800
	
	
	1.9876
	
	
	1.0909
	
	
	1.0245
	
	
	1.0746
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	 
		
	
		1.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	
	
	
	1,243
	
	
	2,143
	
	
	3,243
	
	
	1,143
	
	
	2,443
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0909
	
	
	1.0746
	
	
	1.0245
	
	
	1.9876
	
	
	1.0800
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	3,104
	
	
	2.154
	
	
	2,354
	
	
	2,854
	
	
	3,254
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-2
	
	
	-1
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	1.75
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(2, 3)
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(1, 2)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
		
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
	
	
	
	Método da bisseção
	
	
	Método das secantes
	
	
	Método do ponto fixo
	
	
	Método de Newton-Raphson
	
	
	Método de Pégasus
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
	
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	2,354
	
	
	3,104
	
	
	3,254
	
	
	2,854
	
	
	2.154
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-2
	
	
	1.75
	
	
	-1
	
	
	2
	
	
	1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(2, 3)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(-2, -1)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0746
	
	
	1.9876
	
	
	1.0245
	
	
	1.0909
	
	
	1.0800
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
		
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	
	
	
	2,143
	
	
	3,243
	
	
	1,143
	
	
	1,243
	
	
	2,443
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0746
	
	
	1.9876
	
	
	1.0245
	
	
	1.0800
	
	
	1.0909
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
Explicação:Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	3,104
	
	
	2.154
	
	
	2,354
	
	
	2,854
	
	
	3,254
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	2
	
	
	-1
	
	
	-2
	
	
	1.75
	
	
	1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(2, 3)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(1, 2)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
		
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,2,-3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=2x-1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
		1.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	não apresentasolução
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	2,-1,3
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=2x
	
	
	y=x2+x+1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		1.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,2,-3
	
	
	2,-1,3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	-1, 3, 2
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=2x
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=2x+1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretosou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	apresenta uma única solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
		.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,-2,3
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=2x
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=x2+x+1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		1.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	2,-1,3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,026E 0,023
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função cúbica.
		1.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = a.2-bx
	
	
	Y = ax + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Integração.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Derivação.
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
	
	
	
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	W(x) = - x2 + 4x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função linear.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		1.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,-2,3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
	o método de Pégasus
	
	
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro fundamental
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Em um experimento,