Aula2a fisica4 2018 1

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Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). 
Unidade: Instituto de Física. 
Turma: FÍSICA-IV [TURMA 1 (9922) & TURMA 2 (9925)] 
Professor: Bruno de Moura Escher 
(coordenador) 
Sala: A318-4 
e-mail: bmescher@if.ufrj.br
2018/1
Aula 15: Relatividade Restrita.
• Dilatação do tempo, tempo próprio e fator de Lorentz. 
Paradoxo dos gêmeos; 
• Contração do espaço: comprimentos paralelo e perpendicular 
ao movimento. Comprimento próprio e Paradoxo do Celeiro; 
• Eventos no espaço-tempo vistos em diferentes referenciais 
inerciais. Transformações de Lorentz para as coordenadas; 
• Transformações de Lorentz para a velocidade; 
• Efeito Doppler para Ondas Eletromagnéticas.
Aula 15: Relatividade Restrita.
• Dilatação do tempo, tempo próprio e fator de Lorentz. 
Paradoxo dos gêmeos; 
• Contração do espaço: comprimentos paralelo e perpendicular 
ao movimento. Comprimento próprio e Paradoxo do Celeiro; 
• Eventos no espaço-tempo vistos em diferentes referenciais 
inerciais. Transformações de Lorentz para as coordenadas; 
• Transformações de Lorentz para a velocidade; 
• Efeito Doppler para Ondas Eletromagnéticas.
Aula 15: Relatividade Restrita.
Aula 15: Relatividade Restrita.
O tempo é uma quantidade que depende do referencial. O efeito 
da dilatação do tempo é dado pela equação: 
ATENÇÃO (CUIDADO!): pode-se falar em TEMPO PRÓPRIO 
apenas na situação onde dois eventos ocorrem em instantes 
distintos e em posições iguais. 
Aula 15: Relatividade Restrita.
O tempo é uma quantidade que depende do referencial. O efeito 
da dilatação do tempo é dado pela equação: 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. Considere um relógio que se move com velocidade v em 
relação a um referencial inercial. Num dado instante, o relógio em 
movimento é zerado. Após se deslocar uma distância L, verifica-
se que o relógio atrasou x segundos. Determine L.
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. Considere um relógio que se move com velocidade v em 
relação a um referencial inercial. Num dado instante, o relógio em 
movimento é zerado. Após se deslocar uma distância L, verifica-
se que o relógio atrasou x segundos. Determine L.
�t =
L
v
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. Considere um relógio que se move com velocidade v em 
relação a um referencial inercial. Num dado instante, o relógio em 
movimento é zerado. Após se deslocar uma distância L, verifica-
se que o relógio atrasou x segundos. Determine L.
�t =
L
v
�t =
�t0p
1� v2/c2
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Exemplo. Considere um relógio que se move com velocidade v em 
relação a um referencial inercial. Num dado instante, o relógio em 
movimento é zerado. Após se deslocar uma distância L, verifica-
se que o relógio atrasou x segundos. Determine L.
�t =
L
v
�t =
�t0p
1� v2/c2
�t =
�t� xp
1� v2/c2
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. Considere um relógio que se move com velocidade v em 
relação a um referencial inercial. Num dado instante, o relógio em 
movimento é zerado. Após se deslocar uma distância L, verifica-
se que o relógio atrasou x segundos. Determine L.
�t =
L
v
�t =
�t0p
1� v2/c2
�t =
�t� xp
1� v2/c2
�t =
x
1�p1� v2/c2
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. Considere um relógio que se move com velocidade v em 
relação a um referencial inercial. Num dado instante, o relógio em 
movimento é zerado. Após se deslocar uma distância L, verifica-
se que o relógio atrasou x segundos. Determine L.
�t =
L
v
�t =
�t0p
1� v2/c2
�t =
�t� xp
1� v2/c2
�t =
x
1�p1� v2/c2
L =
xv
1�p1� v2/c2
Aula 15: Relatividade Restrita.
Considere duas astronautas gammas, Terrana e Austriana. A 
astronauta Terrana permanece na Terra enquanto sua irmã gêmea 
Austriana faz uma viagem com velocidade muito elevada, 
percorrendo diversos astros. Por causa da dilatação do tempo 
relativístico, para Terrana, a Austriana deve envelhecer mais 
devagar. Assim, ao retornar para a Terra, Austriana deve 
apresentar mais nova que Terrana. Agora surge o paradoxo: Se 
todos os referenciais inerciais são equivalentes, Terrana não 
deveria apresentar mais nova que Austriana, do ponto de vista da 
Austriana? 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Considere duas astronautas gammas, Terrana e Austriana. A 
astronauta Terrana permanece na Terra enquanto sua irmã gêmea 
Austriana faz uma viagem com velocidade muito elevada, 
percorrendo diversos astros. Por causa da dilatação do tempo 
relativístico, para Terrana, a Austriana deve envelhecer mais 
devagar. Assim, ao retornar para a Terra, Austriana deve 
apresentar mais nova que Terrana. Agora surge o paradoxo: Se 
todos os referenciais inerciais são equivalentes, Terrana não 
deveria apresentar mais nova que Austriana, do ponto de vista da 
Austriana? 
Solução: Uma das duas não pode estar num referencial inercial. A 
equação da dilatação vale para um ref. inercial. 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Considere duas astronautas gammas, Terrana e Austriana. A 
astronauta Terrana permanece na Terra enquanto sua irmã gêmea 
Austriana faz uma viagem com velocidade muito elevada, 
percorrendo diversos astros. Por causa da dilatação do tempo 
relativístico, para Terrana, a Austriana deve envelhecer mais 
devagar. Assim, ao retornar para a Terra, Austriana deve 
apresentar mais nova que Terrana. Agora surge o paradoxo: Se 
todos os referenciais inerciais são equivalentes, Terrana não 
deveria apresentar mais nova que Austriana, do ponto de vista da 
Austriana? 
Solução: Uma das duas não pode estar num referencial inercial. A 
equação da dilatação vale para um ref. inercial. 
Em realidade, a gravidade também altera o tempo. Assim, o 
paradoxo dos gêmeos é resolvido completamente na rel. geral. 
• Dilatação do tempo, tempo próprio e fator de Lorentz. 
Paradoxo dos gêmeos; 
• Contração do espaço: comprimentos paralelo e perpendicular 
ao movimento. Comprimento próprio e Paradoxo do Celeiro; 
• Eventos no espaço-tempo vistos em diferentes referenciais 
inerciais. Transformações de Lorentz para as coordenadas; 
• Transformações de Lorentz para a velocidade; 
• Efeito Doppler para Ondas Eletromagnéticas.
Aula 15: Relatividade Restrita.
Aula 15: Relatividade Restrita.
O comprimento é uma quantidade que depende do referencial. O 
efeito da contração do comprimento (paralelo) é dado pela 
equação: 
Aula 15: Relatividade Restrita.
O comprimento é uma quantidade que depende do referencial. O 
efeito da contração do comprimento (paralelo) é dado pela 
equação: 
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O comprimento é uma quantidade que depende do referencial. O 
efeito da contração do comprimento (paralelo) é dado pela 
equação: 
ATENÇÃO (CUIDADO!): pode-se falar em COMPRIMENTO 
PRÓPRIO apenas na situação onde dois eventos ocorrem em 
posições diferentes e em tempos iguais. 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Considere uma nave de comprimento natural 2L que viaja com 
velocidade v=c (15/16)^(1/2). Uma caixa aberta de comprimento L 
está no caminho da nave, conforme a figura. 
Note que o tamanho da nave para o referencial da caixa é L/2, 
enquanto o comprimento da caixa para o referencial da nave é L/
4. Assim, para a caixa, a nave cabe dentro da caixa. Para a nave, a 
caixa não tem tamanho suficiente.
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Considere uma nave de comprimento natural 2L que viaja com 
velocidade v=c (15/16)^(1/2). Uma caixa aberta de comprimento L 
está no caminho da nave, conforme a figura. 
Solução: A conclusão de “caber" ou “não caber” envolve o conceito 
de simultaneidade, que é um conceito relativo. Assim, não existe 
conflito com a teoria da relatividade. 
Note que o tamanho da nave para o referencial da caixa é L/2, 
enquanto o comprimento da caixa para o referencial da naveé L/
4. Assim, para a caixa, a nave cabe dentro da caixa. Para a nave, a 
caixa não tem tamanho suficiente.
• Dilatação do tempo, tempo próprio e fator de Lorentz. 
Paradoxo dos gêmeos; 
• Contração do espaço: comprimentos paralelo e perpendicular 
ao movimento. Comprimento próprio e Paradoxo do Celeiro; 
• Eventos no espaço-tempo vistos em diferentes referenciais 
inerciais. Transformações de Lorentz para as coordenadas; 
• Transformações de Lorentz para a velocidade; 
• Efeito Doppler para Ondas Eletromagnéticas.
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Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
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Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Para cada referencial, o espaço 
é homogêneo, isotrópico e o 
tempo flui da mesma forma, 
independente da posição: 
x = f1x
0
+ f2y
0
+ f3z
0
+ f4t
0
+ f5
y = g1x
0
+ g2y
0
+ g3z
0
+ g4t
0
+ g5
z = h1x
0
+ h2y
0
+ h3z
0
+ h4t
0
+ h5
t = l1x
0
+ l2y
0
+ l3z
0
+ l4t
0
+ l5
x = f1x
0
+ f4t
0
y = y
0
z = z
0
t = h1x
0
+ h4t
0
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Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Para cada referencial, o espaço 
é homogêneo, isotrópico e o 
tempo flui da mesma forma, 
independente da posição: 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Pelo gráfico, temos que: x = ut+ L
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Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Pelo gráfico, temos que: x = ut+ L = ut+
p
1 + (u/c)2x
0
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Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Pelo gráfico, temos que: x = ut+ L = ut+
p
1 + (u/c)2x
0
E o resultado ao rearranjar os 
termos é: 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Pelo gráfico, temos que: x = ut+ L = ut+
p
1 + (u/c)2x
0
E o resultado ao rearranjar os 
termos é: x
0
=
x� utp
1� (u/c)2
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Considere o acontecimento de um dado evento. Para o referencial 
S, o evento ocorreu no ponto (x,y,z) e no tempo t, enquanto para o 
referencial S’ o evento se passou nas coordenadas (x’,y’,z’) e t’. 
Qual a conexão entre essas coordenadas (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’)? 
Os referenciais S e S’ são 
equivalentes do ponto de vista 
físico, assim, vale a igualdade: 
x =
x
0 � ut0p
1� (u/c)2
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Portanto, dado um evento que ocorreu nas coordenadas espaço-
temporais do referencial S (x,y,z,t), esse mesmo evento será 
visto pelo referencial S’ nas coordenadas (x’,y’,z’,t’) dadas por: 
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Portanto, dado um evento que ocorreu nas coordenadas espaço-
temporais do referencial S (x,y,z,t), esse mesmo evento será 
visto pelo referencial S’ nas coordenadas (x’,y’,z’,t’) dadas por: 
• Dilatação do tempo, tempo próprio e fator de Lorentz. 
Paradoxo dos gêmeos; 
• Contração do espaço: comprimentos paralelo e perpendicular 
ao movimento. Comprimento próprio e Paradoxo do Celeiro; 
• Eventos no espaço-tempo vistos em diferentes referenciais 
inerciais. Transformações de Lorentz para as coordenadas; 
• Transformações de Lorentz para a velocidade; 
• Efeito Doppler para Ondas Eletromagnéticas.
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Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
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Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0) {
Aula 15: Relatividade Restrita.
Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0) { vx = �x�t
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Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
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Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0 +�x
0
, t
0
0 +�t
0
)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
Aula 15: Relatividade Restrita.
Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0 +�x
0
, t
0
0 +�t
0
)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
{
Aula 15: Relatividade Restrita.
Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0 +�x
0
, t
0
0 +�t
0
)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
{ v0x = �x0�t0 = �(�x� u�t)�(�t� u�x/c2)
Aula 15: Relatividade Restrita.
Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0 +�x
0
, t
0
0 +�t
0
)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
{ v0x = �x0�t0 = �(�x� u�t)�(�t� u�x/c2)
v
0
x =
vx � u
1� uvx/c2
Aula 15: Relatividade Restrita.
Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0 +�x
0
, t
0
0+�t
0
)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
{ v0x = �x0�t0 = �(�x� u�t)�(�t� u�x/c2)
v
0
x =
vx � u
1� uvx/c2
Demonstre o seguinte resultado 
para a componente y (z): 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Agora podemos calcular como a velocidade de um dado objeto se 
transforma entre os referenciais inerciais. 
Para o referencial S, a componente x da velocidade de um dado 
objeto é calculada como: 
(x0 +�x, t0 +�t)
(x0, t0)
(x
0
0 +�x
0
, t
0
0 +�t
0
)
(x
0
0, t
0
0)
{ vx = �x�t
{ v0x = �x0�t0 = �(�x� u�t)�(�t� u�x/c2)
v
0
x =
vx � u
1� uvx/c2
Demonstre o seguinte resultado 
para a componente y (z): 
v
0
y =
vy
�(1� uvx/c2)
Aula 15: Relatividade Restrita.
A relação entre as componentes x das velocidades é: 
Aula 15: Relatividade Restrita.
A relação entre as componentes x das velocidades é: 
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. Dado que um feixe de luz se propaga com velocidade 
vx=c para um dado referencial, determine a velocidade no 
referencial S’. 
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Exemplo. a) Uma espaçonave que se afasta da Terra com uma 
velocidade igual a 0,900c dispara uma sonda espacial com um robô 
com uma velocidade igual a 0,700c em relação à espaçonave em 
sua mesma direção e sentido. Qual é a velocidade da sonda 
espacial em relação à Terra? b) Um ônibus espacial tenta alcançar 
a espaçonave se deslocando com velocidade igual a 0,950c em 
relação à Terra. Qual a velocidade do ônibus em relação à 
espaçonave? 
• Dilatação do tempo, tempo próprio e fator de Lorentz. 
Paradoxo dos gêmeos; 
• Contração do espaço: comprimentos paralelo e perpendicular 
ao movimento. Comprimento próprio e Paradoxo do Celeiro; 
• Eventos no espaço-tempo vistos em diferentes referenciais 
inerciais. Transformações de Lorentz para as coordenadas; 
• Transformações de Lorentz para a velocidade; 
• Efeito Doppler para Ondas Eletromagnéticas.
Aula 15: Relatividade Restrita.
Aula 15: Relatividade Restrita.
A velocidade da Luz é a mesma para todos os referenciais 
inerciais. O que ocorre com o comprimento de onda e a frequência 
da luz emitida quando a fonte se move em relação ao receptor? 
Temos assim o EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO para ondas 
eletromagnéticas. 
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A velocidade da Luz é a mesma para todos os referenciais 
inerciais. O que ocorre com o comprimento de onda e a frequência 
da luz emitida quando a fonte se move em relação ao receptor? 
Temos assim o EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO para ondas 
eletromagnéticas. 
f =
c
(c� u)T
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A velocidade da Luz é a mesma para todos os referenciais 
inerciais. O que ocorre com o comprimento de onda e a frequência 
da luz emitida quando a fonte se move em relação ao receptor? 
Temos assim o EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO para ondas 
eletromagnéticas. 
f =
c
(c� u)T T =
T0p
1� (u/c)2
Aula 15: Relatividade Restrita.
A velocidade da Luz é a mesma para todos os referenciais 
inerciais. O que ocorre com o comprimento de onda e a frequência 
da luz emitida quando a fonte se move em relação ao receptor? 
Temos assim o EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO para ondas 
eletromagnéticas. 
f =
c
(c� u)T T =
T0p
1� (u/c)2 f =
r
c+ u
c� uf0
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A velocidade da Luz é a mesma para todos os referenciais 
inerciais. O que ocorre com o comprimento de onda e a frequência 
da luz emitida quando a fonte se move em relação ao receptor? 
Temos assim o EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO para ondas 
eletromagnéticas. 
f =
c
(c� u)T T =
T0p
1� (u/c)2 f =
r
c+ u
c� uf0
Aula 15: Relatividade Restrita.
A velocidade da Luz é a mesma para todos os referenciais 
inerciais. O que ocorre com o comprimento de onda e a frequência 
da luz emitida quando a fonte se move em relação ao receptor? 
Temos assim o EFEITO DOPPLER RELATIVÍSTICO para ondas 
eletromagnéticas. 
f =
c
(c� u)T T =
T0p
1� (u/c)2 f =
r
c+ u
c� uf0
Aula 15: Relatividade Restrita.
Exemplo. A luz azul que vemos saindo do jato da figura anterior 
possui frequência de 6,66.10^14Hz, mas no sistema de referência 
da matéria possui frequência de 5,55.10^13Hz. Com que 
velocidade o jato se move em nossa direção?