aula4 calculo2 2018 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Matema´tica
4a aula de Ca´lculo II - 22/08/2018 - Moˆnica
Equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem, lineares, com coeficientes constantes, homogeˆneas.
ROTEIRO
1. O que e´ uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem, linear, homogeˆnea? Ela e´ uma equac¸a˜o
do tipo
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y(x) = 0.
Explique os termos linear e homogeˆnea. Mostre que se dois alunos conseguirem achar duas
soluc¸o˜es y1(x) e y2(x) diferentes para esta edo enta˜o y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), para C1 e
C2 constantes, tambe´m e´ soluc¸a˜o da edo.
2. Considere o exemplo
y′′(x) + y(x) = 0.
Voceˆ consegue achar uma func¸a˜o cuja derivada segunda e´ igual a menos a func¸a˜o? Depois
de achar sua resposta, consegue achar outra soluc¸a˜o diferente? Enta˜o todas as combinac¸o˜es
lineares das respostas anteriores sa˜o soluc¸o˜es. E se outro aluno achar outra soluc¸a˜o?
Quantas soluc¸o˜es precisamos? A resposta e´ que bastam duas.
3. Defino que duas soluc¸o˜es y1 e y2 geram todas as soluc¸o˜es y da edo quando existirem
constantes C1 e C2 tal que y(x) = C1y1(x) +C2y2(x). Pergunta: Como saber quando y1 e
y2 geram todas as soluc¸o˜es?
4. Resposta: Quando o Wronskiano de y1 e y2 e´ diferente de zero. O que e´ Wronskiano de
y1 e y2? Se estiver cursando a´lgebra linear, sabe justificar o nosso procedimento?
5. Voltemos ao exemplo
y′′(x) + y(x) = 0.
Calcule o Wronskiano com as soluc¸o˜es y1 e y2 do item 2. Resolva este problema.
6. Chegamos a` conclusa˜o de que precisaremos sempre de dois bons alunos para encontrar
duas soluc¸o˜es satisfazendo a condic¸a˜o do Wronskiano. Mas, de fato, basta um bom aluno!
Podemos, a partir de y1, achar y2 usando o me´todo de reduc¸a˜o de ordem. Que me´todo e´
este?
7. A partir daqui, vamos simplificar o problema. Considere somente uma equac¸a˜o diferencial
de segunda ordem, linear, homogeˆnea, com coeficientes constantes (a, b, c ∈ IR),
ay′′(x) + by′(x) + cy(x) = 0.
8. O que pode garantir sobre existeˆncia de soluc¸o˜es da edo anterior?
9. Consegue achar uma soluc¸a˜o para esta edo? Repare que as derivadas combinadas tem que
se anular.
10. Como resolver o caso geral? O que e´ o polinoˆmio caracter´ıstico? Analise todos os casos
poss´ıveis e fac¸a exemplos.