aula torqueMomentoAngularUmaParticula

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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Produto Vetorial
Torque e momento Angular de Uma Partícula
(Rotação de uma partícula) Física 1 1 / 32
•
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Outline
1 Produto Vetorial
2 Momento Linear
3 Torque e Momento Angular
4 Torque
5 Momento Angular
(Rotação de uma partícula) Física 1 2 / 32
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Produto Vetorial
Dados dois vetores A e B , o produto vetorial entre eles é
definido como o vetor
C A B
seu módulo é C A B sen
sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B
seu sentido é dado pela regra da mão direita.
(Rotação de uma partícula) Física 1 3 / 32
→ → →
→
.
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Propriedades do Produto Vetorial
seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo
definido por A e B
A B B A ‹ não é comutativo.
Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) ‹ A B 0
consequentemente A A 0
Obedece a propriedade distributiva:
A B C A B A C
tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B :
d
dt
A B A
dB
dt
dA
dt
B
(Rotação de uma partícula) Física 1 4 / 32
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Propriedades do Produto Vetorial
k k 0
k
k k
k k
Se temos as componentes dos vetores
A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk
A B AyBz AzBy AxBz AzBx AxBy AyBx k
(Rotação de uma partícula) Física 1 5 / 32
.
^
^
:
 ^
→ -
n ^ ^
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Exercícios
Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde
1 a 3 k e b 6 2 2 k ;
2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga
os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura.
(Rotação de uma partícula) Física 1 6 / 32
O
A
B
Cath
Rika
Bad
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(Rotação de uma partícula) Física 1 7 / 32
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Exercícios
1 Mostre que o módulo do produto triplo
a b c
é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos
vetores a , b e c .
2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo.
3 Considere a , b e c 2 k . Calcule a área
da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes
vetores. Considere as unidades dadas no S.I.
(Rotação de uma partícula) Física 1 8 / 32
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Momento Linear
O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por:
p m v
Podemos expressar a Segunda Lei de Newton para uma
partícula em termos de p:
F m a m
dv
dt
d mv
dt
dp
dt
(Rotação de uma partícula) Física 1 9 / 32
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Momento Linear
Segunda Lei de Newton
F
dp
dt
com p m v
A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual à
taxa de variação do momento linear
grandeza cinemática na translação ‹ Momento Linear
grandeza dinâmica na translação ‹ Força
E na rotação?
(Rotação de uma partícula) Física 1 10 / 32
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Partindo da Segunda Lei de Newton:
F
dp
dt
r F r
dp
dt
notando que:
d r p
dt
r
dp
dt
dr
dt
v mv 0
p
r F
d r p
dt
o
dlo
dt
onde o r F é o torque de uma força e
lo r p é o momento angular de uma partícula
ambos em relação a o ‹ dependem do ponto o
(Rotação de uma partícula) Física 1 11 / 32
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Torque
Torque ou Momento da Força
O r F r F sen
Unidade no S.I. é N.m (é a mesma unidade de trabalho, mas
NÃO é Joule)
O é o torque da força em
relação ao ponto O . Ele muda
se o ponto O mudar.
(Rotação de uma partícula) Física 1 12 / 32
Direção a r e F 
Sentido regra da 
mão direita
(
nor dnlo
-
↳
→ -
...
g.
* qq.t.gg
Baghdad
. snap
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Torque
O Torque pode ser visto de duas formas:
F sen r
F r : Somente a componente de F perpendicular à r causa
rotação. A componente só causará uma tensão ou compressão
F r : r é chamado de braço de alavanca da força. Quanto
maior o braço, mais eficaz é a força para produzir rotação
(maçaneta da porta).
(Rotação de uma partícula) Física 1 13 / 32
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Vetor Torque
r F
O torque é um vetor com direção perpendicular ao plano de
rotação (ou paralela ao eixo de rotação) e sentido dado pela regra
da mão direita.
(Rotação de uma partícula) Física 1 14 / 32
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Torque Resultante
Se mais de uma força produzir torque sobre um objeto, o torque
resultante será a soma vetorial de cada um deles:
O F1 d1 F2 d2
(Rotação de uma partícula) Física 1 15 / 32
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Exemplo
Calcule o Torque resultante sobre o cilindro, supondo
F1 5 N ,R1 1 m , F2 15 N , R2 0 5 m . Em que sentido o
cilindro gira?
(Rotação de uma partícula) Física 1 16 / 32
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Forças Centrais
Um caso particular importante é o de forças centrais.
Se considerarmos o Torque das forças em relação ao ponto O ,
teremos sempre F r ‹
O torque de forças centrais em relação ao centro é nulo
Mas relação a O não será.
(Rotação de uma partícula) Física 1 17 / 32
9
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Ex: Pêndulo
Uma bola de massa m 0 75 kg está presa a uma das
extremidades de um fio leve de comprimento L 1 25 m. A
outra extremidade do fio está presa a um eixo formando um
pêndulo. Determine o módulo do torque sobre o eixo quando o
fio faz um ângulo de 30 com a vertical.
(Rotação de uma partícula) Física 1 18 / 32
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Momento Angular de uma partícula
lo r p m r v
lo é um vetor de
módulo: r p sen
que pode ser visto como:
r p ou r p
direção: a r e v
sentido: regra da mão direita
Note que não é necessário que
haja rotação para definirmos lo
(Rotação de uma partícula) Física 1 19 / 32
SI: kg m / s
2
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Conservação do Momento Angular
o
dlo
dt
O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de
variação com o tempo do momento angular
Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma
origem.
Consequência: Se o 0 ‹ lo se conserva !!!!
Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e
sentido.
(Rotação de uma partícula) Física 1 20 / 32
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Exemplo: Forças Centrais
Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto
é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e
r F :
Consequência: O momento Angular em relação ao centro
se conserva ‹ O movimento é plano.
(Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 32
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Gravitação
A observação do céu e a tentativa de entender o movimento dos
corpos celestes é uma das atividades mais antigas da humanidade.
Ptolomeu - 200 AC - órbitas
circulares em torno da Terra
Copérnico - 1543 - modelo
heliocêntrico
Tycho Brahe - 1546-1601 - Tomou
dados extremamente precisos
Kepler - 1618 - Três Leis de Kepler
com base nos dados de Brahe
Galileo - 1609 - Usou o telescópio,
observou 4 satélites de Júpiter
Newton - 1687 - Lei da Gravitação
Universal
(Vetores) Física 1 3 / 33
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Leis de Kepler
Primeira Lei de Kepler
As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses,
com o Sol em um dos focos.
(Vetores) Física 1 4 / 33
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Elipse
Uma elipse é o conjunto de
pontos cujas somas das
distâncias desses pontos aos
focos é constante.
Sendo a o semieixo maior e c a semidistância focal, definimos a
excentricidade
e
c
a
Se e 0 ‹ círculo.
Quanto maior e mais achatada é a elipse.
(Vetores) Física 1 5 / 33
c
< >
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Sistema Solar
Planeta Semieixo Período e Inclinação
maior (UA) (anos) ( )
Mercúrio 0,39 0,24 0,21 7,00
Vênus 0,72 0,62 0,01 3,39
Terra 1,00 1,00 0,02 0,00
Marte 2,77 1,88 0,09 1,85
Júpiter 5,20 11,86 0,05 1,30
Saturno 9,54 29,46 0,06 2,49
Urano 19,19 84,07 0,05 0,77
Netuno 30,06 164,80 0,01 1,77
Plutão 39,60 248,60 0,25 17,15
1UA 1 5 1011m 1 5 108km 4000 Distancia Terra Lua
Distância Terra-Lua: 384.400 km
(Vetores) Física 1 6 / 33
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Leis de Kepler
Segunda Lei de Kepler
O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em
tempos iguais
Isto significa que quando está na posição mais próxima do Sol
(periélio) o planeta se desloca mais rapidamente do que quando
estána posição mais afastada (afélio)
(Vetores) Física 1 7 / 33
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A 2a Lei de Kepler e a Cons. do Momento Angular
A Força Gravitacional é uma força central, portanto:
l Mpr v constante
Lembrando que r dr é a área do paralelogramo formado pelos
lados r e dr e observando que a área dA varrida pelo vetor r é
metade da do paralelogramo:
dA
1
2
r dr
1
2
r vdt
L
2Mp
dt
dA
dt
L
2Mp
constante
(Vetores) Física 1 15 / 33
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Exemplos
Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto
O?
(Rotação de uma partícula) Física 1 22 / 32
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(Rotação de uma partícula) Física 1 23 / 32
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Exemplos
Uma partícula de massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo
3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força
F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O :
a) o momento angular da partícula
b) o torque exercido sobre ela
(Rotação de uma partícula) Física 1 24 / 32
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(Rotação de uma partícula) Física 1 25 / 32
m = 2kg 15>1 = 3m IT 1=4 wls
1 El = IN
^
I
>
= m 5
'
× T
'
= 2×3×4 sen 30 = 12 kg nits k
E÷
 =
 T × E
'
= 3×2 sent = 3 Nm £
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Exercícios
O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um
observador inercial fixo num ponto O é dado por
r 2 t2 t t4 k , onde todas as unidades empregadas estão
no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula?
(b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o
momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique
se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso.
(Rotação de uma partícula) Física 1 26 / 32
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(Rotação de uma partícula) Física 1 27 / 32
m = 2kg
I = 2+2 : +tj+t' ti
T
'
=
4ti+ij+4t3k
Fi = 4i + r2t2£
a) F = mop = 8 a +24
ttk
b) 8=5 '×F=|iJM , ) = 2gpa+(ptIYJ
- 8th
Its t t
-
4019
8 O
24£
e) I
'
. ist
'
= a j k
|zt2t ts,|=6t'
i - 8Ej - 4£21
8 t 2 8 t
d) dµ¥= 24 Ei - Got 'j - 8th
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Exercícios
Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade vi que
faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem
do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O , calcule o
momento angular do projétil em relação a O como função do
tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em
relação ao mesmo ponto, e verifique se
dL0
dt 0
(Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 32
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(Rotação de uma partícula) Física 1 29 / 32
a) I
'
. =
 m I × ii
ii = ( v. corot ) i + ( v. snot - ztg E) j
I
'
= Hcore ) i + ( t.su - g t ) f
I × I = Kimmocorot - v. who gt
'
) li - ( ii sue corot -
mix ii = -ms g Eu . ww Is
at g a v.
wo ) ti
b) E
'
= I × F
'
F= - mg I
Z = - mg v. corot
K
7
e) of = - m gt v. cow
k
dt
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Desafio
Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa
à extremidade de um fio de comprimento d , amarrado a um
suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade
constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a
vertical. Qual é o momento angular L0 da bola em relação ao
ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de
variação de L0 em relação ao tempo é medida pelo torque em
relação a O das forças que agem sobre a bola.
(Rotação de uma partícula) Física 1 30 / 32
gets
[ = mw Roe cos x I +
mw r2 £
^
z
"i
31/ 32
(Rotação de uma partícula) Física 1 31 / 32
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Desafio
Um objeto espacial, A, de massa m , aproxima-se de uma estrela
B que permanece fixa. Inicialmente, quando A está muito
distante de B (r ), A tem velocidade de módulo v0 dirigida
ao longo da linha mostrada na figura. A distância entre esta
linha e B é D . O objeto A desvia-se de sua trajetória inicial
devido à presença de B, e move-se segundo a trajetória indicada
na figura. A menor distância entre esta trajetória e B é d .
Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da
constante G da gravitação.
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