Apostila GDVI

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Apostila de Geometria Descritiva
Anderson Mayrink da Cunha
GGM - IME - UFF
Novembro de 2013
Sumário
Sumário i
1 Poliedros e sua Representação 1
1.1 Tipos de Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Poliedros Regulares ou Sólidos Platónicos . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Poliedros Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Poliedros em Épura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Visibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Exemplos de Representação de Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Visibilidade de Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Prisma Reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Pirâmide Regular Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Pirâmide Obliqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.5 Prisma Obliquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.6 Cubo apoiado num Plano de Topo . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.7 Tetraedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.8 Octaedro Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Operações com Poliedros 25
2.1 Prisma Reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Seção Plana com Plano de Topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.3 Transformada da Seção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Pirâmide Reta Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Seção Plana com Plano de Topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Transformada da Seção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Pirâmide Oblíqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Seção Plana com Plano de Topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
i
SUMÁRIO ii
2.3.3 Transformada da Seção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.4 Seção Plana com Plano Qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Prisma Oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Seção Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Pertinência de Pontos em Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Prisma Reto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Prisma Oblíquo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.3 Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Soluções e Sugestões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Cilindro, Cone e Esfera 57
3.1 O Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Representação Mongeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.2 Pertinência de um Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.3 Seção Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.5 Hélice Cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 O Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 Representação Mongeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2 Pertinência de um Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3 Seção Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Cônicas e Teorema de Apolônio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.2 O Teorema de Apolônio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.3 Focos da Seção Plana do Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 A Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.1 Representação da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.2 Pertinência do Ponto na Superfície Esférica . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.3 Seção Plana da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Soluções e Sugestões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 Perspectiva 92
4.1 Tipos de Perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.1 Projeção Cônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2 Projeção Cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Axonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.1 Graduação dos Eixos de Projeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Perspectiva Cavaleira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
SUMÁRIO iii
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Capítulo 1
Poliedros e sua Representação
Um Poliedro é a reunião de um número …nito de polígonos onde cada lado de um polígono
é também lado de um, e apenas um, outro polígono.
Os elementos de um poliedro podem ser classi…cados como primários ou secundários.
Os elementos primários são: as Faces (são os polígonos, que são as superfícies do sólido),
Arestas (interseção de duas faces) e Vértices (interseção de duas ou mais arestas).
Exemplos de elementos secundários são: a Altura, as Diagonais e o Ângulo Diedral
(ângulo entre duas faces que compartilham uma aresta).
São exemplos de poliedros: Tetraedro, Hexaedro Regular (cubo), Pirâmides, Prismas.
1.1 Tipos de Poliedros
1.1.1 Poliedros Regulares ou Sólidos Platónicos
Poliedros regulares são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares iguais e
todos os ângulos diedrais são iguais. São apenas cinco os poliedros regulares convexos (ou
sólidos Platônicos): o Tetraedro (composto de 4 faces, que são triângulos equiláteros),
o Hexaedro (6 quadrados), o Octaedro (8 triângulos equiláteros), o Dodecaedro (12
pentágonos regulares) e o Icosaedro (20 triângulos equiláteros). Dos cinco poliedros
regulares vamos representar apenas o Tetraedro, o Hexaedro e o Octaedro.
1.1.2 Prismas
Os Prismas são constituidos por dois polígonos paralelos (e não coplanares) chamados de
bases e uma série de faces laterais que são paralelogramos (ou retângulos, se o prisma é
reto).
Um prisma é dito reto se o ângulo entre as arestas laterais e a base é de 900, caso
contrário o prisma é chamado de oblíquo.
A base dá o nome ao prisma. Por exemplo, um prisma reto pentagonal é composto
de duas bases que são pentágonos e de 5 faces laterais retangulares.
Na …gura 1.1.2 temos exemplos de prismas triângulares.
1
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 2
1. Prisma Reto 2. Prisma Oblíquo
Figura 1.1.2: Exemplos de um Prisma Triângular
1.1.3 Pirâmides
Uma pirâmide é composta de uma base que é um polígono planar e de um ponto fora do
plano da base, chamado de Vértice da Pirâmide. As faces lateraisda pirâmide são vários
triângulos que compartilham o Vértice da pirâmide e uma aresta da base da pirâmide.
Uma pirâmide é dita reta se a projeção (ortogonal) do vértice no plano da base cai no
baricentro (é o encontro das medianas num triângulo ou o encontro das diagonais num
quadrilátero) da base. Uma pirâmide é dita regular se a sua base é um polígono regular.
A base dá o nome à pirâmide. Por exemplo, uma pirâmide pentagonal é composta de
uma base que é um pentágono e de 5 faces laterais triangulares.
Na …gura 1.1.3 temos exemplos de pirâmides triângulares.
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 3
1. Pirâmide Reta 2. Pitâmide Oblíqua
Figura 1.1.3: Exemplos de uma Pirâmide Triângular
1.1.4 Poliedros Convexos
Um poliedro é convexo se o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer do interior
do poliedro está toda contida no interior do poliedro. Uma aresta é toda visível ou toda
oclusa num poliedro convexo. Isso pode não acontecer num poliedro não convexo, onde
uma aresta pode ter partes visíveis e partes oclusas.
Num poliedro convexo vale a fórmula de Euler:
V + F = A+ 2
onde V é o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas do poliedro.
1.2 Poliedros em Épura
Estamos principalmente interessados na representação de prismas, pirâmides e poliedros
regulares. Todos esses poliedros são convexos, o que facilita a sua representação e visi-
bilidade.
Um poliedro é representado em épura pelas projeções de todos os seus vértices e
arestas. As arestas seguem um critério de marcação:
� Traço pontilhado ou linha tracejada: Arestas Invisíveis ou Oclusas.
� Traço contínuo: Arestas Visíveis.
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 4
1.2.1 Visibilidade
As arestas (ou vértices) oclusas de um poliedro são aquelas em que há uma face do
poliedro entre o observador e a aresta (ou vértice), impedindo a sua visualização.
Em épura devemos calcular a visibilidade de um poliedro nos dois planos de projeção.
Um observador “olhando de cima”o poliedro identi…ca quais as arestas são visíveis em
(�). Um observador situado numa posição de alto afastamento e “olhando”o plano (�0)
identi…ca quais as arestas são visíveis em (�0).
Focaremos o nosso estudo de visibilidade em poliedros convexos, onde uma aresta é
toda visível ou toda oclusa, o que facilita o cálculo de visibilidade. Além disso, num
poliedro convexo, o observador sempre pode identi…car uma parte conexa (conectada)
visível e uma outra parte conexa oclusa separadas pelo contorno aparente (silhueta).
Para calcular a visibilidade de uma aresta muitas vezes é conveniente calcular a vis-
ibilidade dos vértices que a de…nem. As regras abaixo são úteis na determinacão de
visibilidade de arestas:
1. O contorno aparente (silhueta) é sempre visível.
2. Em projeção vertical o ponto de maior afastamento é visível.
3. Em projeção horizontal o ponto de maior cota é visível.
4. Todas as arestas que partem de um vértice ocluso são oclusas (pois se uma aresta
é visível os seus vértices também o são). Note que pode acontecer de uma aresta
ser visível e seus vértices oclusos.
5. Todas as arestas que partem de um vértice visível interior (fora do contorno aparente)
são visíveis.
6. Se duas arestas se cruzam em projeção fora de um vértice, essa não é uma interseção
no espaço, o que indica que uma aresta está na frente (segundo o observador) da
outra, logo uma aresta é invisível e a outra é visível.
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 5
1.3 Exemplos de Representação de Poliedros
1.3.1 Visibilidade de Pirâmides
Exemplo 1.3.1 Desenhe todas (e somente) as arestas das pirâmides das …guras 1.3.1.1
e 1.3.1.2, respeitando a visibilidade.
1. Vértices Pirâmide 1 2. Vértices Pirâmide 2
3. Solução Pirâmide 1 4. Solução Pirâmide 2
Figura 1.3.1: Visibilidade de Pirâmides.
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 6
1.3.2 Prisma Reto
Exemplo 1.3.2 Representar as projeções mongeanas de um prisma reto no primeiro
diedro sabendo que: (a) A base inferior (A)(B)(C)(D) é quadrada e está apoiada no
plano (�). (b) A altura do prisma é de 4cm. (c) As coordenadas de (A) e (B) são
(A)[5; 2:5; ?] e (B)[2; 1; ?].
Devemos executar os seguintes passos:
1. Desenhamos os vértices (A) e (B). As cotas desses pontos são 0 pois eles se encon-
tram em (�). Completamos o quadrado e encontramos os outros pontos (C) e (D)
da base inferior. (Figura 1.3.2.1)
2. Marcamos os vértices (E); (F ); (G); (H) da base superior. Como o prisma é reto,
as projeções horizontais dos vértices da base superior coincidem com as da base
inferior. As projeções verticais dos vértices da base superior estão 4cm acima dos
da base inferior. (Figura 1.3.2.2)
3. Desenhamos todas as projeções das arestas do poliedro (em linha tracejada). (1.3.2.3)
4. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno
aparente. (1.3.2.4)
5. Cálculo de visibilidade das arestas de interior: Na projeção horizontal não temos
arestas interiores. Na projeção vertical temos duas arestas no interior: B0F 0 e
D0H 0. A aresta (D)(H) é a aresta de maior afastamento do prisma, logo D0H 0 é
visível. O vértice B0 (ou F 0) é ocluso, logo B0F 0 é oclusa. Com isso terminamos a
representação desse prisma. (1.3.2.5)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 7
1. Base Inferior 2. Base Superior 3. Arestas
4. Contorno Aparente 5. Final
Figura 1.3.2: Representação de um Prisma Reto
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 8
1.3.3 Pirâmide Regular Reta
Exemplo 1.3.3 Representar as projeções mongeanas de uma pirâmide regular reta con-
tida no 10 diedro sabendo que: (a) a base é um triângulo que pertence a um plano hori-
zontal de altura 1u. (b) A altura da pirâmide é 4u. (c) As coordenadas de (A) e (B) são
(A)[1; 1; ?] e (B)[4; 3; ?].
Devemos executar os seguintes passos:
1. Desenhamos os vértices A e B fornecidos e o ponto C, completando o triângulo
equilátero da base. (Figura 1.3.3.1)
2. Traçamos duas medianas (a mediana de um triângulo é o segmento de reta que
liga um vértice ao ponto médio do lado oposto) do triângulo ABC. O ponto de
encontro das medianas é o baricentro O do triângulo ABC. A projeção horizontal V
do vértice (V ) da pirâmide coincide com O pois a pirâmide é reta. (Figura 1.3.3.2)
3. Utilizamos as informações de altura e marcamos A0; B0; C 0; V 0. (Figura 1.3.3.3)
4. Desenhamos todas as projeções das arestas da pirâmide (em linha tracejada). (Figura
1.3.3.4)
5. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno
aparente. (Figura 1.3.3.5)
6. Cálculo de visibilidade das arestas de interior: Na projeção horizontal temos as
arestas interiores V A; V B; V C: Todas elas são visíveis pois V é um vértice visível
interior. Na projeção vertical temos a aresta V 0A0 oclusa pois A0 é ocluso. (Figura
1.3.3.6)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 9
1. Triângulo Equilátero 2. Baricentro do triângulo 3. Projeções Verticais
4. Arestas 5. Contorno Aparente 6. Representação Final
Figura 1.3.3: Representação de uma Pirâmide Regular Reta
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 10
1.3.4 Pirâmide Obliqua
Exemplo 1.3.4 Representar as projeções mongeanas de uma pirâmide oblíqua contida
no primeiro diedro e apoiada pela base triângular (A)(B)(C) em um plano horizontal de
cota igual a 1u. São conhecidos: (A)[1; 2; ?]; (B)[3; 1; ?]; (C)[4; 4; ?]; (V )[5; 2; 4]:
Devemos executar os seguintes passos:
1. Desenhamos em épura os vértices (A); (B); (C); (V ). (Figura 1.3.4.1)
2. Desenhamos todas as projeções das arestas da pirâmide (em linha tracejada). (Figura
1.3.4.2)
3. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno
aparente. (Figura 1.3.4.3)
4. Cálculo de visibilidade das arestas do interior: Na projeção horizontal temos as
arestas interiores V A e BC que se cruzam num ponto forade um vértice, logo uma
aresta é oclusa e a outra visível. Como (V )(A) está acima de (B)(C), V A é visível
e BC é oclusa. Na projeção vertical temos a aresta V 0B0 no interior, que é oclusa
pois o vértice B0 é ocluso. (Figura 1.3.4.4)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 11
1. Vértices da Pirâmide 2. Arestas da Pirâmide
3. Contorno Aparente 4. Representação Final
Figura 1.3.4: Representação de uma Pirâmide Oblíqua
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 12
1.3.5 Prisma Obliquo
Exemplo 1.3.5 Representar um prisma contido no 10 diedro sabendo-se que suas arestas
laterais são frontais e medem 5 cm e suas bases estão apoiadas em planos horizontais de
cota 1 e 4 cm. São conhecidas as projeções A e B de vértices da base inferior, conforme
a …gura 1.3.5.0
Devemos executar os seguintes passos:
1. Completamos o quadrado (no 10 diedro) obtendo C e D. Marcamos A0; B0; C 0; D0,
que têm cota 1cm. (Figura 1.3.5.1)
2. Obtemos os pontos E 0; F 0; G0; H 0, que têm cota 4cm e distam 5cm (arestas laterais
são frontais, logo se projetam em VG no (�0)) de A0; B0; C 0; D0, respectivamente.
3. Obtemos E;F;G;H usando o fato que eles têm o mesmo afastamento de A;B;C;D;
respectivamente, pois as arestas laterais são frontais. (Figura 1.3.5.2)
4. Desenhamos todas as projeções das arestas do prisma.
5. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno
aparente, tanto na projeção horizontal quanto na vertical.
6. Cálculo de visibilidade das arestas interiores. O vértice D é ocluso, logo as arestas
DA;DC;DH são oclusas. O vértice F é visível interior, logo as arestas FB;FE; FG
são visíveis. Temos ainda que A0 é ocluso, logo A0E 0 é ocluso. Com isso terminamos
a representação desse prisma. (Figura 1.3.5.3)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 13
0. Dados Iniciais 1. Vértices da Base Inferior
2. Vértices da Base Superior 3. Cálculo de Visibilidade
Figura 1.3.5: Representação de um Prisma Oblíquo.
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 14
1.3.6 Cubo apoiado num Plano de Topo
Exemplo 1.3.6 Representar as projeções mongeanas de um cubo contido no 10 diedro e
apoiado num plano de topo e sabendo-se que a aresta (A)(B) do cubo pertence ao plano
de topo, conforme a …gura 1.3.6.0.
Devemos executar os seguintes passos:
1. Marcamos A0 e B0, que pertencem à ��0 (o plano é de topo) e rebatemos o plano
de topo e (A); (B) em (�). (Figura 1.3.6.1)
2. Obtemos os pontos (C)1; (D)1 completando o quadrado no desenho do rebatimento,
respeitando o fato dele ser contido no 10 diedro. (Figura 1.3.6.2)
3. Voltamos com os pontos (C)1; (D)1 para o desenho original, obtendo os pontos
C 0; D0 no plano de topo e C;D, que estão na linha de chamada de C 0; D0 e têm o
mesmo afastamento de (C)1; (D)1. (Figura 1.3.6.3)
4. Marcamos os vértices (E); (F ); (G); (H). Como as arestas laterais do cubo são
frontais, E 0; F 0; G0; H 0 se encontram numa perperdicular à ��0 e sua distância aos
pontosA0; B0; C 0; D0, respectivamente, é o lado do cubo. ObtemosE;F;G;H usando
o fato que eles têm o mesmo afastamento de A;B;C;D; respectivamente. (Figura
1.3.6.4)
5. Desenhamos todas as projeções das arestas do cubo (em linha tracejada). (Figura
1.3.6.5)
6. Iniciamos o cálculo de visibilidade marcando como visíveis as arestas do contorno
aparente, tanto na projeção horizontal quanto na vertical.. (Figura 1.3.6.6)
7. Cálculo de visibilidade das arestas de interior: Na projeção horizontal temos que D
é um vértice ocluso e F é visível e interior, logo todas as arestas que partem de D
são oclusas e todas as arestas que partem de F são visíveis. Na projeção vertical
temos duas arestas no interior: A0E 0 e C 0G0. A aresta C 0G0 é a aresta de maior
afastamento do cubo, logo C 0G0 é visível. Os vértices A0 e E 0 são oclusos logo A0E 0
é oclusa. Com isso terminamos a representação do cubo. (Figura 1.3.6.7)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 15
0. Dados Iniciais 1. Pontos (A) e (B) e rebatimento
2. Quadrado no rebatimento 3. Base no Plano de Topo
Figura 1.3.6(0,1,2,3): Representação de um Cubo num Plano de Topo
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 16
4. Base Superior 5. Arestas do Cubo
6. Contorno Aparente 7. Representação Final
Figura 1.3.6(4,5,6,7): Representação de um Cubo num Plano de Topo - continuação
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 17
1.3.7 Tetraedro Regular
O Tetraedro Regular é uma pirâmide reta formada por quatro triângulos equiláteros
iguais. Já mostramos como representar uma pirâmide reta com base apoiada em um
plano horizontal. A única di…culdade surge na obtenção da altura do tetraedro regular
conhecido o seu lado. Isto pode ser feito de dois modos:
1. Segundo a rotação indicada na …gura 1.3.7.5 do exemplo a seguir.
2. Segundo o rebatimento indicado na …gura 1.3.7.1. A construção desse rebatimento
é indicado na …gura 1.3.7.2. Conhecida a base ABC do tetraedro e seu centro O,
traçamos uma perpendicular ao segmento AO e uma circunferência de centro A e
raio jABj. O ponto (V )1 é a interseção da circunferência com a reta perpendicular
(qualquer uma das 2 interseções). O segmento O(V )1 tem comprimento igual à
altura do tetraedro.
1. Rebatimento do Triângulo 2. Construção para obtenção da altura
Figura 1.3.7 (1, 2): Obtendo a altura do tetraedro
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 18
Exemplo 1.3.7 Representar em épura mongeana um tetraedro regular contido no primeiro
diedro sabendo-se que a face (A)(B)(C) pertence ao plano horizontal de projeção e que
são conhecidas as projeções horizontais A e B.
Devemos executar os seguintes passos para a sua construção:
1. Completamos o triângulo equilátero ABC da base (o plano (A)(B)(C) está em
VG) de forma que C tenha afastamento positivo (o tetraedro regular está contido
no primeiro diedro). Como (A); (B); (C) pertencem à (�) temos que A0; B0; C 0
pertencem à LT . (Figura 1.3.7.3)
2. Traçamos duas medianas (uma mediana é o segmento de reta que liga um vértice do
triângulo ao ponto médio do lado oposto) do triângulo ABC. O ponto de encontro
das medianas é o baricentro O do triângulo ABC. A projeção horizontal V do
vértice (V ) do tetraedro coincide com O (pirâmide reta). (Figura 1.3.7.4)
3. A obtenção da altura do tetraedro pode ser feito com o rebatimento indicado na
…gura 1.3.7.2 ou ainda aplicando o método de rotação ao vértice (A) ao longo de
um eixo vertical que passa por (V ). A projeção vertical V 0 se encontra sobre a linha
de chamada de V e sua distância ao ponto A0 é o lado do tetraedro (o segmento
está em VG). (Figura 1.3.7.5)
4. Calculamos a visibilidade do poliedro e obtemos todas as arestas visíveis. (Figura
1.3.7.6)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 19
3. Base do Tetraedro 4. Centro da Base
5. Obtenção de V’ 6. Representação Final
Figura 1.3.7 (3, 4, 5, 6): Representação de um Tetraedro
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 20
1.3.8 Octaedro Regular
OOctaedro Regular é composto de oito triângulos equiláteros iguais. O Octaedro Regular
pode ser formado juntando pela base duas pirâmides retas de base quadrada. Note que
no interior do octaedro são formados 3 quadrados congruentes e que a altura do octaedro
é igual ao comprimento da diagonal do quadrado interno horizontal (Figura 1.3.8.0).
Exemplo 1.3.8 Representar em épura mongeana um octaedro regular contido no primeiro
diedro sabendo-se uma de suas diagonais é vertical e conhecido uma aresta de vértices
(A) e (B) conforme a …gura
Devemos executar os seguintes passos para a sua construção:
1. Completamos o quadrado (A)(B)(C)(D) da base. Os vértices (C) e (D) pertencem
ao plano horizontal que contém (A) e (B). (Figura 1.3.8.1)
2. Marcamos O; o centro (encontro das diagonais) do quadrado ABCD. As projeções
horizontais dos vértices (E) e (F ) coincide com O. Note que a distância do plano
(A)(B)(C)(D) aos vértices(E) e (F ) é igual a meia diagonal do quadrado ABCD.
Marcamos esse comprimento acima e abaixo de O, obtendo E 0 e F 0: (Figura 1.3.8.2)
3. Calculamos a visibilidade do octaedro marcando suas arestas oclusas com linha
tracejada. Temos que A0 é ocluso logo as arestas A0E 0; A0F 0 são oclusas.(Figura
1.3.8.3)
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 21
0. Dados Iniciais 1. Vértices da Base Horizontal
2. Vértices do Octaedro 3. Representação Final
Figura 1.3.8: Representação de um Octaedro Regular
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 22
1.4 Exercícios
Exercício 1.1 Desenhe todas (e somente) as arestas das pirâmides das …guras abaixo,
respeitando a visibilidade.
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 23
Exercício 1.2 Desenhe um plano de topo que faz 600 à direita com a LT. Marque so-
bre esse plano de topo dois pontos (A) e (B), desenhando suas respectivas projeções
A;A0; B;B0: Faça os seguintes ítens:
� Desenhe polígonos regulares de 3,4 e 6 lados nesse plano de topo considerando que:
(A)(B) é uma aresta do polígono ou que (A) é um vértice e (B) o centro do polígono
regular.
� Represente um cubo apoiado nesse plano de topo considerando que (A)(B) é uma
aresta do cubo.
� Represente um tetraedro regular apoiado nesse plano de topo considerando que
(A)(B) é uma aresta do tetraedro.
� Represente um octaedro regular com 4 vértices contidos nesse plano de topo con-
siderando que (A)(B) é uma aresta do octaedro.
Exercício 1.3 Represente, no sistema mongeano, um paralelepípedo rectângulo, situado
no espaço do primeiro diedro, identi…cando as arestas que forem invisíveis com a con-
venção grá…ca adequada, sabendo-se que:
� os pontos A[�4; 5; 3] e G[4; 5; 6] são dois vértices opostos do sólido.
� as faces (A)(B)(C)(D) e (E)(F )(G)(H) estão contidas em planos horizontais.
� o vértice B tem �2 de abcissa e tem maior afastamento que o ponto A.
Exercício 1.4 Represente, no sistema mongeano, uma pirâmide triangular regular reta
de vértice (V ) e com a base (A)(B)(C) contida num plano horizontal sabendo-se as co-
ordenadas de (A)[�3; 5; 6] e (V )[0; 4; 0].
Exercício 1.5 Represente a pirâmide de vértices (A)[0; 0; 0]; (B)[0; 3; 0]; (C)[3; 3; 0]; (D)[0; 3; 3].
Exercício 1.6 Represente um prisma quadrangular oblíquo, situado no 10 diedro, sabendo-
se que:
� as bases do prisma são quadrados contidos em planos horizontais com 2 e 6 de cota.
� os pontos (A), com 5 de abcissa e 4 de afastamento, e (B), com 3 de abcissa e 1 de
afastamento, são vértices consecutivos da base de menor cota.
� as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano frontal de projeção e medem 7
cm.
Exercício 1.7 Represente uma pirâmide regular reta de altura 5cm e com base triângular
apoiada no plano horizontal de projeção sabendo-se que dois dos vértices da base são
(A)[1; 1; 0]; (B)[4; 2; 0].
CAPÍTULO 1. POLIEDROS E SUA REPRESENTAÇÃO 24
Exercício 1.8 Represente, no sistema mongeano, uma pirâmide hexagonal reta situada
no primeiro diedro e identi…que as arestas invisíveis com a convenção grá…ca adequada,
sabendo-se que:
� a base da pirâmide é o hexágono regular (A)(B)(C)(D)(E)(F ) contido num plano
horizontal e que está inscrita numa circunferência com centro no ponto (O)[2; 7; 1];
� um dos vértices da base é o ponto (A), com 1 de abcissa e 3 de afastamento;
� o vértice (V ) da pirâmide é um ponto do plano bissector dos diedros ímpares.
Exercício 1.9 Represente, no sistema de dupla projeção ortogonal, um prisma quadran-
gular reto situado no primeiro diedro.e identi…que as arestas invisíveis com a convenção
grá…ca adequada, sabendo-se que:
� as bases do prisma estão contidas em planos frontais;
� uma das bases do prisma é o quadrado (A)(B)(C)(D), cujo vértice (A) tem 3 de
afastamento e 2 de cota
� a aresta (A)(B) dessa base mede 5 cm e faz um ângulo de 30� com o Plano Horizontal
de Projeção de abertura para a direita;
� a altura do prisma mede 7 cm.
Exercício 1.10 Representar as projeções mongeanas de um octaedro regular(A)(B)(C)
(D)(E)(F ) contido no primeiro diedro e de arestas iguais a 5u sabendo-se que uma de
suas diagonais é vertical, que a aresta (A)(B) é paralela à reta (M)(N) e que (E) pertence
ao plano horizontal de projeção. Dados: (A)[7; 2; ?]; (M)[0; 1; 2]; (N)[3; 3; 2]:
Exercício 1.11 Representar as projeções mongeanas de um tetraedro regular (A)(B)(C)(D)
contido no primeiro diedro e de arestas iguais a 3u, sabendo-se que ele está apoiado pela
face (A)(B)(C) no plano vertical de projeção, que a aresta (A)(B) é perpendicular à LT
e que (A)[1; 0; 5] é o vértice de maior cota do poliedro.
Exercício 1.12 Representar as projeções mongeanas de um cubo contido no primeiro
diedro, com base apoiada em um plano de topo que intercepta a L.T em [1; 0; 0] e cujo traço
vertical faz 450 à direita com a L.T. São dados dois vértices da base: (A)[2; 2; ?]; (B)[5; 1; ?]:
Capítulo 2
Operações com Poliedros
Neste capítulo estamos interessados em algumas operações com Poliedros:
� Seção Plana: É o polígono obtido pela interseção do poliedro com o plano que corta
esse poliedro. Para se obter a seção plana devemos inicialmente obter os vértices
desse polígono, que são as interseções das arestas do poliedro com o plano que corta
o sólido. Também estamos interessados em obter também a Seçao Plana em VG
(Verdadeira Grandeza), que é obtida com um rebatimento do plano que corta o
sólido.
� Desenvolvimento ou Plani…cação: Consiste em “desdobrar” as faces do poliedro
ao longo das arestas e num mesmo plano de forma que ao “dobrar”(ao longo das
arestas) a …gura do desenvolvimento obtemos o poliedro original tridimensional. O
desenvolvimento é feito num desenho à parte onde marcamos todos os vértices e
arestas do poliedro. O primeiro passo no desenvolvimento é obter todas as faces (e
suas arestas) em VG.
� Transformada da Seção: É a representação da seção plana no desenho do desen-
volvimento do poliedro. Ela é obtida desenhando os vértices e as arestas da seção
plana no desenvolvimento do poliedro.
� Pertinência de Pontos: Desejamos descobrir se um dado ponto pertence ao poliedro,
isto é, se ele pertence a alguma das faces do poliedro.
2.1 Prisma Reto
2.1.1 Seção Plana com Plano de Topo
Exemplo 2.1.1 Obter a Seção Plana e a Seção em VG em um Prisma Reto obtida com
um Plano de Topo conforme a …gura 2.1.1.0.
Devemos executar os seguintes passos:
25
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 26
1. Encontramos a interseção do plano de topo com as arestas do prisma. Encontrar
essa interseção é fácil, pois o plano de topo é projetante. As projeções verticais
10; 20; 30 dos vértices da seção é a interseção de ��0 com A0D0; B0E 0; C 0F 0, respecti-
vamente.
2. Encontramos as projeções horizontais 1; 2; 3, que coincidem com A;B;C, respecti-
vamente, pois as arestas laterais do prisma são verticais. Por …m desenhamos as
projeções da seção plana ligando os pontos 1; 2; 3 e 10; 20; 30. Note que a projeção
vertical da seção plana coincide com ��0 e a projeção horizontal da seção plana
coincide com as arestas da base do prisma. (Figura 2.1.1.1 )
3. Obtemos a VG da seção plana rebatendo os pontos (1); (2); (3) situados no plano
de topo (�) sobre o plano (�), obtendo os pontos (1)1; (2)1; (3)1. Por …m ligamos
os pontos (1)1; (2)1; (3)1 para obter a VG da seção. (Figura 2.1.1.2 )
Fig 2.1.1.0: Dados Iniciais Fig 2.1.1.1: Seção Plana
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 27
Fig 2.1.1.2: Seção Plana e em VG do Prisma Reto
2.1.2 Desenvolvimento
Exemplo 2.1.2 Obter o Desenvolvimento do Prisma Reto da …gura 2.1.2.0.
Num prisma reto obtemos a VG das arestas diretamente no desenho original (…gura
2.1.2.0 ). Note que no desenvolvimento não é necessário um plano que corte o prisma.
Devemos executar os seguintes passos:
1. As faces laterais são retângulos com altura igual a jA0D0j e lados jABj ; jBCj ; jCAj :
Iniciamos o desenvolvimentodesenhando um retângulo de base jABj + jBCj +
jCAj e altura jA0D0j e marcamos as arestas laterais. Com isso completamos o
desenvolvimento das faces laterais, que são os retângulos de altura igual a jA0D0j e
lados jABj ; jBCj ; jCAj.
2. Falta desenhar as bases para completar o desenvolvimento. Os triângulos da base
superior e inferior são iguais e se encontram em VG na projeção horizontal da …gura
2.1.2.0. Desenhamos esses triângulos completando o desenvolvimento, conforme
mostra a …gura 2.1.2.1.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 28
Fig 2.1.2.0: Dados Iniciais Fig 2.1.2.1: Desenvolvimento
2.1.3 Transformada da Seção
Exemplo 2.1.3 Obter a Transformada da Seção do Prisma Reto da …gura 2.1.3.0.
No prisma reto a distância entre os pontos (D) e (1) é jD010j pois as arestas laterais
estâo em VG na projeção vertical na …gura 2.1.3.1. Transportamos essa distância para
o desenho do desenvolvimento. Executamos o mesmo processo para marcar os pontos 2
e 3 no desenho do desenvolvimento. Por …m ligamos os pontos 1; 2; 3; 1, como mostra a
…gura 2.1.3.2.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 29
Fig 2.1.3.0: Dados Iniciais Fig 2.1.3.1: Transf. da Seção
Fig 2.1.3.2: Transformada da Seção do Prisma Reto
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 30
2.2 Pirâmide Reta Regular
2.2.1 Seção Plana com Plano de Topo
Exemplo 2.2.1 Obter a Seção Plana e Seção em VG em uma Pirâmide Reta de base
quadrada obtida com um Plano de Topo, conforme a …gura 2.2.1.0
Devemos executar os seguintes passos:
1. Encontramos a interseção do plano de topo com as arestas da pirâmide. As projeções
verticais 10; 20; 30; 40 dos vértices da seção é a interseção de ��0 com A0V 0; B0V 0; C 0V 0;
D0V 0, respectivamente.
2. Encontramos as projeções horizontais 1; 2; 3; 4 dos vértices da seção. Como o ponto
(1) pertence à aresta (V )(A), sua projeção horizontal 1 pertence à V A. Além disso
o ponto 1 pertence à linha de chamada de 10. Daí temos que o ponto 1 é a interseção
de V A com a linha de chamada de 10. Os pontos 2; 3; 4 são determinados de modo
análogo. Por …m desenhamos as projeções da seção plana ligando os pontos 1; 2; 3; 4
e 10; 20; 30; 40. (Figura 2.2.1.1)
3. Rebatemos os pontos (1); (2); (3); (4) situados no plano de topo (�) sobre o plano
(�), obtendo os pontos (1)1; (2)1; (3)1; (4)1. Finalmente ligamos os pontos (1)1; (2)1;
(3)1; (4)1 para obter a VG da seção. (2.2.1.2)
Fig. 2.2.1.0: Dados Iniciais Fig. 2.2.1.1: Vértices
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 31
Figura 2.2.1.2: Seção Plana e em VG de Pirâmide Reta
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 32
2.2.2 Desenvolvimento
Exemplo 2.2.2 Obter o desenvolvimento da Pirâmide Reta Regular da …gura 2.2.2.0.
Note que a face e as arestas da base estão em VG, porém as arestas laterais não estão
em VG. Devemos executar os seguintes passos:
1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para
se obter o comprimento das arestas laterais (todas as arestas laterais têm o mesmo
comprimento
��V 0A0��). (…gura 2.2.2.1 )
2. Iniciamos o desenvolvimento marcando um ponto V num novo desenho e traçando
um círculo de raio igual a
��V 0A0��. Marcamos nesse círculo os comprimentos das
arestas da base (todas iguais a jABj) obtendo os pontos A;B;C;D;A no desen-
volvimento.
3. Falta desenhar a base para completar o desenvolvimento. O quadrado da base
se encontra em VG na projeção horizontal na …gura 2.2.2.0. Desenhamos esse
quadrado no desenvolvimento, conforme a …gura 2.2.2.2.
Fig 2.2.2.0: Dados Iniciais Fig 2.2.2.1: Aresta em VG
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 33
Figura 2.2.2.2: Desenvolvimento de Pirâmide Reta
2.2.3 Transformada da Seção
Exemplo 2.2.3 Obter a Transformada da Seção da Pirâmide Reta Regular da …gura
2.2.3.0.
No desenvolvimento da pirâmide já obtido temos que marcar os vértices da seção
plana. Devemos executar os seguintes passos:
1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para se
obter a distância entre os pontos (V ) e (1), (V ) e (2), (V ) e (3) e entre (V ) e (4).
Essas distâncias são, respectivamente,
��V 010�� ; ��V 020�� ; ��V 030�� ; ��V 040�� : (…gura 2.2.3.1 )
2. Transportamos essas distâncias para o desenho do desenvolvimento, obtendo os
pontos 1; 2; 3; 4; 1 e por …m desenhamos segmentos de reta entre esses pontos, com-
pletando a transformada da seção, conforme a …gura 2.2.3.2.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 34
Fig 2.2.3.0: Dados Iniciais Figura 2.2.3.1: Distância em VG
Figura 2.2.3.2: Transformada da Seção
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 35
2.3 Pirâmide Oblíqua
2.3.1 Seção Plana com Plano de Topo
Exemplo 2.3.1 Obter a Seção Plana e Seção em VG em uma Pirâmide Oblíqua obtida
com um Plano de Topo, conforme a …gura 2.3.1.0.
Devemos executar os seguintes passos:
1. Encontramos a interseção do plano de topo com as arestas da pirâmide. As projeções
verticais 10; 20; 30 dos vértices da seção é a interseção de ��0 com A0V 0; B0V 0; C 0V 0,
respectivamente.
2. Encontramos as projeções horizontais 1; 2; 3 dos vértices da seção. Como o ponto
(1) pertence à aresta (V )(A), sua projeção horizontal 1 pertence à V A. Além disso
o ponto 1 pertence à linha de chamada de 10. Daí temos que o ponto 1 é a interseção
de V A com a linha de chamada de 10. O ponto 2 é determinado de modo análogo.
3. O ponto 3 não pode ser determinado do mesmo modo pois V C e a linha de chamada
de 30 coincidem. Esse caso pode ocorrer também com pirâmides retas ou outros
poliedros. Para se obter a projeção horizontal 3 devemos aplicar o método de
rotação na aresta (V )(C) ao redor do eixo vertical que passa por (V ). Com isso
obtemos C e C 0. 30 tem a mesma cota de 30 e pertence à aresta V 0 C 0. 3 pertence à
linha de chamada de 30 e pertence à aresta V C. A projeção 3 é a interseção de V C
com a circunferência de centro V e raio
��V C��. Por …m desenhamos as projeções
da seção plana ligando os pontos 1; 2; 3 e 10; 20; 30. Note que 1 é um vértice visível
interior, logo as arestas 1 � 2 e 1 � 3 são visíveis. Já a aresta 2 � 3 é oclusa pois
pertence à face V BC que é oclusa. (Figura 2.3.1.1 )
4. Desenhamos a VG da seção plana rebatendo os pontos (1); (2); (3) situados no plano
de topo (�) sobre o plano (�), obtendo os pontos (1)1; (2)1; (3)1. Finalmente ligamos
os pontos (1)1; (2)1; (3)1 para obter a VG da seção. (Figura 2.3.1.2 )
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 36
Fig 2.3.1.0: Dados Iniciais Figura 2.3.1.1: Seção Plana
Figura 2.3.1.2: Seção Plana e em VG da Pirâmide Oblíqua
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 37
2.3.2 Desenvolvimento
Exemplo 2.3.2 Obter o desenvolvimento da Pirâmide Obliqua da …gura 2.3.2.0.
Note que a face e as arestas da base estão em VG, porém as arestas laterais não estão
em VG. Devemos executar os seguintes passos:
1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical que passa por (V ) para
se obter o comprimento das arestas laterais, que são
��V 0A0�� ; ��V 0B0�� ; ��V 0C 0��. (…gura
2.3.2.1 )
2. Devemos desenhar todas as faces da pirâmide no desenvolvimento. Iniciamos com
o triângulo da base (A)(B)(C), cujas arestas estão em VG na projeção horizontal
da …gura 2.3.2.0. A seguir desenhamos a face lateral (V )(A)(B), cujas arestas (em
VG) são
��V 0A0�� ; ��V 0B0�� ; jABj. Repetimos o processo com as outras faces laterais,
conforme a …gura 2.3.2.2.
Fig 2.3.2.0: Dados Iniciais
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 38
Fig 2.3.2.1: Arestas em VG
Fig 2.3.2.2: Desenvolvimento da Pirâmide Oblíqua
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 39
2.3.3 Transformada da Seção
Exemplo 2.3.3 Obter a Transformada da Seção da Pirâmide Obliqua da …gura 2.3.1.0.
No desenvolvimento da pirâmide já obtido devemos marcar os vértices da seção plana.
Devemos executar os seguintes passos:
1. Aplicamos o método da rotação ao longo do eixo vertical quepassa por (V ) para
se obter a distância entre os pontos (V ) e (1), (V ) e (2) e entre (V ) e (3). Essas
distâncias são, respectivamente,
��V 010�� ; ��V 020�� ; ��V 030�� : (…gura 2.3.3.1 )
2. Transportamos essas distâncias para o desenho do desenvolvimento, obtendo os pon-
tos 1; 2; 3 e por …m desenhamos segmentos de reta entre esses pontos, completando
a transformada da seção, conforme a …gura 2.3.3.2.
Figura 2.3.3.1 : Arestas e Distâncias em VG
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 40
Figura 2.3.3.2: Transformada da Seção da Pirâmide Oblíqua
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 41
2.3.4 Seção Plana com Plano Qualquer
Exemplo 2.3.4 Obter a Seção Plana e Seção em VG da Pirâmide Oblíqua com um Plano
Qualquer, conforme a …gura 2.3.4.1.
Devemos executar os seguintes passos:
1. Ao contrário dos exemplos anteriores, as projeções verticais 10; 20; 30 dos vértices
da seção NÃO são a interseção de ��0 com A0V 0; B0V 0; C 0V 0 pois o plano (�) não
é de topo. Devemos aplicar uma mudança de plano vertical para transformar o
plano qualquer num plano de topo. Para isso escolhemos a nova linha de terra
perpendicular à ��. Para se obter o novo traço ��01 tomamos um ponto auxiliar
(D) com D0 2 ��0 e D contido na linha de terra original e obtemos D01 no novo
sistema (lembrando que a cota não muda com a mudança de plano vertical). O
novo traço vertical ��01 passa por D
0
1 e pela interseção da nova linha de terra com
��.
2. Realizamos a mudança de plano de todos os vértices da pirâmide e traçamos as
arestas da pirâmide no novo sistema, respeitando a visibilidade. Como B01 é ocluso
temos que V 01B
0
1 é ocluso. (Figura 2.3.4.2).
3. Obtemos os pontos 101; 2
0
1; 3
0
1, interseção de ��
0
1 com A
0
1V
0
1 ; B
0
1V
0
1 ; C
0
1V
0
1 , respectiva-
mente.
4. Obtemos os pontos 1; 2; 3, que estão nas linhas de chamadas (no novo sistema) de
101; 2
0
1; 3
0
1 e nas respectivas arestas correspondentes. Os pontos 1
0; 20; 30 estão nas
linhas de chamadas (no sistema original) de 1; 2; 3 e nas suas respectivas arestas.
Por …m desenhamos as projeções da seção plana ligando os pontos 1; 2; 3 e 10; 20; 30
e 101; 2
0
1; 3
0
1. Note que 1 é visível interior (ele pertence à aresta V A que é visível)
logo 12; 13 são visíveis. A aresta 23 pertence à face oclusa V BC logo é oclusa. O
vértice 20 é visível interior (ele pertence à aresta V 0B0 que é visível) logo 2010; 2030 são
visíveis. A aresta 1030 pertence à face oclusa V 0A0C 0 logo é oclusa. (Figura 2.3.4.3).
5. Obtemos a VG da seção plana rebatendo no novo sistema os pontos (1); (2); (3)
situados no plano de topo (�) sobre o plano (�), obtendo os pontos (1)1; (2)1; (3)1.
Finalmente ligamos os pontos (1)1; (2)1; (3)1 para obter a VG da seção. (Figura
2.3.4.4).
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 42
Fig 2.3.4.1: Dados Iniciais
Fig 2.3.4.2: Pirâmide no novo Sistema
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 43
Fig 2.3.4.3: Seção Plana
Fig 2.3.4.4: Seção Plana e em VG
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 44
2.4 Prisma Oblíquo
2.4.1 Seção Reta
Exemplo 2.4.1 Obter a Seção Reta do Prisma Oblíquo da …gura 2.4.1.
Uma seção reta num prisma oblíquo é a seção plana obtida quando o plano de seção
corta todas as arestas laterais do prisma com um ângulo reto. Desenhamos a seção reta
executando os seguintes passos:
1. Desenhamos um plano de topo (�) de forma que o ângulo de ��0 com as arestas
laterais do prisma seja de 900.
2. Obtemos os pontos de interseção de (�) com as arestas laterais. 10; 20; 30 são as
interseções de ��0 com as arestas laterais do prisma. 1; 2; 3 estão nas respectivas
linhas de chamada de 10; 20; 30 e nas arestas laterais.
3. Obtemos essa seção em VG rebatendo os pontos (1); (2); (3) para encontrarmos os
pontos (1)1; (2)1; (3)1. Por …m ligamos os pontos (1)1; (2)1; (3)1 para obter a VG da
seção. (Figura 2.4.2 )
2.4.2 Desenvolvimento
Exemplo 2.4.2 Obter o desenvolvimento do Prisma Oblíquo da …gura 2.4.1.
Faremos uso da seção reta para obter o desenvolvimento do prisma oblíquo. Devemos
executar os seguintes passos:
1. Obtemos a seção reta do prisma (…gura 2.4.2 )
2. Iniciamos o desenvolvimento “abrindo” a VG da seção plana ((1)1; (2)1; (3)1) em
uma reta, marcando os pontos 1; 2; 3; 1.
3. Como as arestas são frontais, transportamos os segmentos em VG 10D0; 20E 0; 30F 0
para perpendiculares ao segmento 1; 2; 3; 1 do desenvolvimento.
4. Transportamos os segmentos 10A0; 20B0; 30C 0 para perpendiculares ao segmento 1; 2; 3; 1
do desenvolvimento e ligamos os pontos A;B;C;A eD;E; F;D no desenvolvimento.
5. Por …m desenhamos os triângulos da base e do topo do prisma (que estão em VG
na projeção horizontal), completando o desenvolvimento. (Figura 2.4.3 )
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 45
Fig 2.4.1: Dados Iniciais
Fig. 2.4.2: Seção Reta e em VG do Prisma Oblíquo
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 46
Fig.2.4.3: Desenvolvimento do Prisma
Oblíquo
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 47
2.5 Pertinência de Pontos em Poliedros
Nesta seção estamos interessados em descobrir se um ponto pertence a alguma das faces
do poliedro (inclusive às bases horizontais). Vamos analisar prismas ou pirâmides, tanto
retas como oblíquas, sempre apoiadas num plano horizontal.
2.5.1 Prisma Reto
Um ponto (P ) pertence à superfície lateral do prisma reto se P pertence a uma das
arestas em (�) e se a cota de (P ) está entre as cotas das bases do prisma. Se um ponto
(P ) pertence a uma das bases do prisma então a cota de (P ) é igual a cota dessa base e
P está no interior da projeção do prisma em (�):
Exemplo 2.5.1 Dada uma das projeções dos pontos na …gura 2.5.1.0, obter todas as
possíveis posições da outra projeção do ponto para que ele pertença ao prisma.
Na …gura 2.5.1.0 são fornecidas as projeções P 0 e Q de dois pontos (P ) e (Q). Como P 0
está entre as bases do prisma, (P ) só pode pertencer às superfícies laterais do prisma. Daí
temos que P necessariamente pertence a uma das arestas da projeção horizontal. Como
Q pertence a uma aresta da projeção horizontal, qualquer ponto pertencente à linha de
chamada de Q e com cota entre as cotas das bases do prisma pertence à superfície do
prisma. Na …gura 2.5.1.1 temos a solução desse problema.
Fig 2.5.1.0: Dados Iniciais Fig 2.5.1.1: Solução
Figura 2.5.1: Pertinência de Ponto num Prisma Reto
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 48
2.5.2 Prisma Oblíquo
Um ponto (P ) pode pertencer a uma das bases ou a uma das superfícies laterais do prisma
oblíquo. Um ponto (P ) pertence a uma das bases do prisma oblíquo se a cota de (P ) é
igual a cota dessa base e se P é interior a essa base em (�):
Para descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície lateral do prisma oblíquo, fare-
mos uso de uma reta auxiliar paralela às arestas laterais e que pertence a uma das faces
laterais do prisma e que contém uma das projeções P ou P 0 do ponto (P ) O ponto (P )
pertence à superfície lateral da pirâmide se e somente se o ponto (P ) pertence a essa reta
auxiliar.
Exemplo 2.5.2 Dada uma das projeções dos pontos nas …guras 2.5.2.0 e 2.5.2.1, obter
todas as possíveis posições da outra projeção do ponto para que eles pertençam ao respec-
tivos prismas oblíquos.
Desenhamos a reta auxiliar paralela às arestas laterais e que passa por Q na …gura
2.5.2.0. Essa reta intercepta as arestas do prisma nos pontos R; S; T; U de…nindo dois
possíveis segmentos que passam por Q: o segmento de extremos R e S (pertencente à face
ABFE) e o segmento TU (pertencente à face ADHE), como vemos na …gura 2.5.2.1. As
projeções verticais desses segmentos são os segmentos de reta R0S 0 e T 0U 0. As possíveis
projeções P 0 pertencem a esses segmentos e à linha de chamada de Q.
Fig 2.5.2.0: Dados Iniciais Fig 2.5.2.1: Solução
Figura 2.5.2.0 e .1: Pertinência de um Ponto (Q em (�)) num Prisma OblíquoCAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 49
Na …gura 2.5.2.2 desenhamos a reta auxiliar paralela às arestas laterais e que passa
por P 0. Essa reta intercepta as arestas do prisma nos pontos R0 e S 0 (ver …gura 2.5.2.3).
Há duas possíveis projeções verticais para esses segmentos de reta (na face ABFE e na
face BCGF ). As possíveis projeções P pertencem a esses segmentos de extremos R e S
e à linha de chamada de P 0.
Fig 2.5.2.2: Dados Iniciais Fig 2.5.2.3: Solução
Figura 2.5.2.2 e .3: Pertinência de um Ponto (P 0 em (�0)) num Prisma Oblíquo
2.5.3 Pirâmide
Numa pirâmide apoiada num plano horizontal, um ponto (P ) pertence à sua base se a
cota de (P ) é igual a cota da base da pirâmide e se P é interior à base da pirâmide em (�):
Para descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície lateral de uma pirâmide, faremos
uso de uma reta auxiliar que passa pelo vértice (V ) e que contém uma das projeções P
ou P 0 do ponto (P ). O ponto (P ) pertence à superfície lateral da pirâmide se e somente
se o ponto (P ) pertence a essa reta auxiliar.
Exemplo 2.5.3 Dada uma das projeções dos pontos nas …guras 2.5.3.1, 2.5.3.3 e 2.5.3.5,
obter todas as possíveis posições da outra projeção do ponto para que eles pertençam às
respectivas pirâmides.
Na …gura 2.5.3.1 traçamos o segmento V A (que passa por Q) cuja projeção vertical
é V 0A0. A projeção Q0 pertence à linha de chamada de Q e ao segmento V 0A0 ou à linha
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 50
de terra. Para se obter P 0 traçamos o segmento V 0B0, que tem duas possíveis projeções
horizontais V B. As possíveis projeções P pertencem a um dos segmentos V B e à linha
de chamada de P 0. (ver …gura 2.5.3.2).
Fig 2.5.3.1: Dados Iniciais Fig 2.5.3.2: Solução (caso 1)
Na …gura 2.5.3.3 traçamos o segmento V 0A0, que tem duas possíveis projeções hori-
zontais V A. As possíveis projeções P pertencem a um dos segmentos V A e à linha de
chamada de P 0 (ver …gura 2.5.3.4).
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 51
Fig 2.5.3.3: Dados Iniciais Fig 2.5.3.4: Solução (caso 2)
Na …gura 2.5.3.5 traçamos a reta que passa por V e Q. Essa reta intercepta uma
aresta da base em A ou B, logo temos as arestas V A e V B. As projeções verticais desses
segmentos são: V 0A0 e V 0B0. As possíveis projeções Q0 pertencem aos segmentos V 0A0 e
V 0B0 e à linha de chamada de Q. (ver …gura 2.5.3.6).
Fig 2.5.3.5: Dados Iniciais Fig 2.5.3.6: Solução (caso 3)
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 52
2.6 Exercícios
Exercício 2.1 Desenhe em épura e nomeie todos os vértices de um tetraedro, um hexae-
dro e um octaedro sabendo-se que todos eles são poliedros regulares e têm arestas de 2cm
de comprimento. Faça o desenvolvimento desses poliedros.
Exercício 2.2 Nas …guras a seguir são fornecidas em épura somente uma das projeções
dos pontos. Obtenha todas as possíveis posições da outra projeção dos pontos de forma
que eles pertençam aos respectivos poliedros.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 53
Exercício 2.3 Seja a pirâmide de vértices (A)[0; 0; 0]; (B)[0; 3; 0]; (C)[3; 3; 0]; (D)[0; 3; 3].
(a) Represente essa pirâmide.
(b) Represente um plano que passa pelos pontos [4; 4; 0]; [0; 0; 2]; [4; 0; 0].
(c) Corte essa pirâmide com o plano do ítem (b) e obtenha a seção plana, a seção em
VG, a plani…cação e a transformada da seção.
(d) Represente um plano que passa pelos pontos [4; 4; 0]; [0; 0; 2]; [5; 0; 0]:
(e) Corte essa pirâmide com o plano do ítem (d) e obtenha sua seção plana, a seção
em VG e a transformada da seção.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 54
Exercício 2.4 Obtenha a seção plana e em VG nas …guras abaixo:
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 55
Exercício 2.5 Resolva os seguintes ítens
1. Represente uma pirâmide regular reta de altura 5cm e com base triângular apoiada
no plano horizontal de projeção sabendo-se que dois dos vértices da base são
(A)[1; 1; 0]; (B)[4; 2; 0].
2. Corte essa pirâmide com um plano de topo que passa pelos pontos [5; 5; 0] e [0; 5; 5].
Obtenha sua seção plana, a seção em VG, a plani…cação e a transformada da seção.
3. Represente um prisma reto com a mesma altura e base da pirâmide do ítem (a).
4. Corte o prisma do ítem (c) com o plano de topo do ítem (b) e obtenha sua seção
plana, a seção em VG, a plani…cação e a transformada da seção.
Exercício 2.6 Desenhe uma pirâmide oblíqua qualquer em épura e desenhe também um
plano qualquer que corte as arestas laterais. Obtenha a seção plana e em VG, o desen-
volvimento e a transformada da seção.
Exercício 2.7 Resolva os seguintes ítens:
(a) Represente um prisma quadrangular oblíquo, situado no 1o diedro, sabendo-se
que:
� as bases do prisma são quadrados contidos em planos horizontais com 2 e 6 de cota.
� os pontos (A), com 5 de abcissa e 4 de afastamento, e (B), com 3 de abcissa e 1 de
afastamento, são vértices consecutivos da base de menor cota.
� as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano frontal de projeção e medem 7
cm.
(b) Faça a seção reta desse prisma com um plano de topo que passa pelo ponto [8; 0; 0].
Faça também o desenvolvimento do prisma.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÕES COM POLIEDROS 56
2.7 Soluções e Sugestões
4. Solução do exercício 4:
Capítulo 3
Cilindro, Cone e Esfera
Nesta seção vamos estudar a Representação Mongeana, a Pertinência de Pontos, a Seção
Plana e em VG, o Desenvolvimento e a Transformada da Seção de Cilindros, Cones e
Esferas. Também apresentamos conceitos básicos de cônicas e o teorema de Apolônio.
3.1 O Cilindro
O Cilindro é uma superfície gerada pela rotação de uma reta (a geratriz) ao longo de
um eixo de rotação paralelo à geratriz. O cilindro também pode ser visto como um
prisma cujas bases são círculos. Um cilindro pode ser reto (quando as geratrizes são
perpendiculares à base) ou oblíquo (caso contrário). Na …guras 3.1.0.1 e 3.1.0.2 temos
exemplos de um cilindro reto e de um cilindro oblíquo.
Fig. 3.1.0.1: Cilindro Reto Fig. 3.1.0.2: Cilindro Oblíquo
57
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 58
3.1.1 Representação Mongeana
Representamos um Cilindro Reto de altura h e com base de raio r apoiada em (�)
desenhando uma circunferência de raio r em (�) e desenhando um retângulo com base
apoiada na LT e de comprimento 2r (diâmetro da circunferência) e altura h (altura do
cilindro), conforme a …gura 3.1.1.1.
Representamos um Cilindro Oblíquo cujas bases são círculos que pertencem a planos
horizontais e têm raio R e centros M;N conhecidos seguindo os seguintes passos:
1. Marcamos os pontos M;N;M 0; N 0 e desenhamos as bases em (�), que são circun-
ferências de raio R e centros M;N .
2. Marcamos os pontos A;B;C;D de mínima e máxima abcissa das circuferências da
base. Os pontos A0; B0; C 0; D0 estão nas suas respectivas linhas de chamadas e em
paralelas à LT passando porM 0; N 0. Desenhamos o contorno aparente em (�0), que
é um paralelogramo de vértices A0; B0; C 0; D0.
3. O contorno aparente em (�) são as tangentes comuns às duas circunferências da
base. Para traçar essas tangentes devemos obter os pontos de tangência, que são as
interseções dos círculos das bases com as perpendiculares ao segmentoMN passando
por M e por N . Essas tangentes comuns são paralelas ao segmento MN .
4. A parte da circunferência da base inferior entre as tangentes comuns são oclusas,
conforme a …gura 3.1.1.2.
Fig. 3.1.1.1: Cilindro Reto Fig. 3.1.1.2: Cilindro Oblíquo
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 59
3.1.2 Pertinência de um Ponto
O método para se descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície de um cilindro é
semelhante ao método feito para um prisma, tanto no caso reto como no oblíquo.
Sejam (A); (B); (C); (D) pontos pertencentes à superfície do clindro (superfície lateral
ou bases). Na …gura 3.1.2.1 fornecemos as projeçõesA0; B0; C;D dos pontos (A); (B); (C); (D).
Na …gura 3.1.2.2 obtemos todas as possíveis posições para as projeções A;B;C 0; D0 de
formaque os pontos (A); (B); (C); (D) pertençam à superfície do clindro. Nas …guras
3.1.2.3 e 3.1.2.4 temos os dados iniciais e a solução do problema de pertinência de pontos
num cilindro oblíquo.
Fig. 3.1.2.1: Cilindro Reto - Dados
Iniciais Fig. 3.1.2.2: Cilindro Reto - Solução
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 60
Fig. 3.1.2.3: Cilindro Oblíquo - Dados Iniciais
Fig. 3.1.2.4: Cilindro Oblíquo - Solução
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 61
3.1.3 Seção Plana
Na …gura 3.1.3.1 temos um cilindro e um plano de topo de traços �� e ��0. Para
desenhar a seção plana da interseção desse plano de topo com o cilindro fazemos uso de
geratrizes auxiliares. Escolhemos oito geratrizes (segmentos de reta verticais pertencentes
à superfície lateral do cilindro) que se projetam em (�) nos pontos igualmente espaçados
A;B; : : : ; H. Devemos executar os seguintes passos obter a seção plana:
1. Determinar 10; 20; : : : ; 80 : as interseções das geratrizes auxiliares com ��0.
2. Determinar as projeções horizontais 1; 2; : : : ; 8 das interseções das geratrizes com o
plano de topo (�). Elas coincidem com os pontos A;B; : : : ; H, respectivamente.
3. Note que a seção obtida em (�) (a circunferência que passa pelos pontos 1; 2; : : : ; 8)
não está em VG. Para determinar esta seção em VG devemos rebater o plano de
topo em (�). Para se obter o ponto rebatido (1)1 inicialmente devemos traçar uma
circunferência de centro T = T 0 (o ponto (T ) é a interseção de (�) com a LT)
e raio igual ao comprimento jT10j e obter sua interseção com a LT (o ponto de
maior abcissa na …gura). Por …m traçamos a reta perpendicular à LT passando
por esse ponto e a reta paralela à LT passando pelo ponto A = 1 (o afastamento
permanece constante durante o rebatimento). A interseção entre essas duas retas
é o ponto (1)1. Os pontos (2)1; : : : ; (8)1 da curva da seção em VG são obtidos de
modo análogo. (Ver …gura 3.1.3.2)
A curva obtida "ligando" os pontos (1)1; (2)1; : : : ; (8)1 é uma elipse (pode ser provado
que qualquer seção plana de um cilindro é uma elipse, no caso geral).
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 62
Fig. 3.1.3.1: Dados Iniciais - Cilindro e Plano de Topo
Fig. 3.1.3.2: Seção Plana e em VG do Cilindro
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 63
3.1.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção
A plani…cação do cilindro nos dá um retângulo de altura h (altura do cilindro) e base
de comprimento igual a 2�R (o perímetro da circunferência da base do cilindro). Com
régua e compasso não é possível reti…car a circunferência de modo exato. Uma opção
aproximada é substituir o arco AB da circunferência pela corda AB (segmento de reta
AB em (�), de comprimento jABj).
Representamos a superfície lateral curva do cilindro entre duas geratrizes auxiliares
consecutivas como um retângulo de lados AB e h. Repetimos esse processo com todas as
geratrizes obtendo oito retângulos iguais contiguos, o que nos dá um retângulo de lados
8:AB e h. Por …m representamos as bases do sólido (duas circunferências de raio R).
Para obter a transformada da seção transportamos a distância dos pontos da seção
à base do cilindro (distância dos pontos 10; 20; : : : ; 80 à linha de terra, pois as geratrizes
estão em VG em (�0)). Por …m desenhamos à mão livre a curva que une os pontos
1� 2� : : :� 8� 1.
Na …gura 3.1.4.1 temos o Desenvolvimento e Transformada da Seção do cilindro da
…gura 3.1.3.1. Note que falta desenhar à mão livre a curva suave (a transformada da
seção) que une os pontos 1� 2� : : :� 8� 1.
Fig. 3.1.4.1: Desenvolvimento e Transformada da Seção de um Cilindro
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 64
3.1.5 Hélice Cilíndrica
Uma hélice corta todas as geratrizes da superfície de um sólido com um ângulo constante.
A hélice de um cilindro reto (com base apoiada em (�)) é a curva gerada por um ponto
que se move sobre o cilindro com velocidade ângular horizontal e velocidade vertical
constantes.
Para desenhar uma hélice devemos ter os seguintes dados iniciais (que podem ser
arbitrados se não são fornecidos):
� O ponto inicial, que é o ponto da hélice na sua base inferior.
� O sentido de giro da hélice, que pode ser horário ou anti-horário.
� O passo da hélice, que é a distância entre dois pontos consecutivos sobre uma mesma
geratriz (a distância entre dois pontos de uma volta completa da hélice).
� A largura da hélice, que é o raio da circunferência da base.
Como exemplo vamos obter a representação mongeana de uma hélice no sentido anti-
horário e com o passo igual à altura do cilindro reto fornecido (com base apoiada em
(�)). Executamos os seguintes passos:
1. Dividimos a circunferência da base em (no mínimo) oito partes iguais, determinando
os pontos A;B; : : : ; H.
2. Dividimos o comprimento do passo em oito partes iguais e traçamos paralelas à LT
pelos pontos de divisão do passo.
3. Como não foi fornecido um ponto inicial, arbitramos o ponto inicial da hélice (0)
como sendo o ponto de menor abcissa da base do cilindro ((0) = (A)).
4. Da posição inicial (0), obtemos o próximo ponto (1) da hélice. A projeção horizontal
de (1) coincide com B (1 = B). Esse deslocamento ângular é acompanhado por
um deslocamento vertical de uma divisão do passo (1
8
do passo). Marcamos 10 na
interseção da paralela à LT passando pela primeira divisão do passo com a linha de
chamada de B0. Repetimos esse processo até obtermos todos os pontos (2); : : : ; (8).
5. Por …m devemos desenhar as curvas da projeção horizontal e vertical da hélice. A
projeção horizontal da hélice (que passa pelos pontos 0; 1; : : : ; 8) é a circunferência
da base. A projeção vertical da hélice (que passa pelos pontos 00; 10; 20; : : : ; 80) deve
ser desenhada à mão livre. Para desenhar essa curva deve-se notar que a hélice
é uma curva suave (sem "pontas") e que as tangentes nos pontos de mínima e
máxima abcissa (os pontos 00; 40; 80) são verticais. Note que a curva ligando os
pontos 00� 10� 20� 30� 40 é visível e a curva ligando os pontos 40� 50� 60� 70� 80
é oclusa, logo deve ser desenhada com linha tracejada. Como exercício desenhe a
curva à mão livre ligando os pontos 00; 10; 20; : : : ; 80 na …gura 3.1.5.1.
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 65
O desenvolvimento de uma hélice cilíndrica nos dá uma linha reta, que é a diagonal
do retângulo da plani…cação do cilindro (cujos lados têm o comprimento do passo e o
comprimento da circunferência de base).
Fig. 3.1.5.1: Hélice Cilíndrica
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 66
3.2 O Cone
Seja um círculo e um vértice (V ) não pertencente ao plano do círculo. O Cone é a
superfície gerada por um segmento de reta (as geratrizes) cujos extremos são (V ) e um
ponto qualquer do círculo, além do círculo da base. O cone também pode ser visto como
uma pirâmide cuja base é um círculo. Um cone pode ser reto (quando a projeção de (V )
no plano da base cai no centro do círculo da base) ou oblíquo (caso contrário). Na …gura
3.2.0.1 e 3.2.0.2 temos exemplos de um cone reto e de um cone oblíquo.
Fig. 3.2.0.1: Cone Reto Fig. 3.2.0.2: Cone Oblíquo
3.2.1 Representação Mongeana
Para desenhar em épura mongeana um cone circular reto de altura h e base apoiada em
(�) com centro (O) e raio R devemos:
1. Desenhar uma circunferência de centro O e raio R em (�) (a projeção horizontal em
VG da base do cone). Marcamos os pontos auxiliares A e B de mínima e máxima
abcissas da circunferência.
2. A projeção vertical dessa circunferência da base é o segmento de reta A0B0 situado
na linha de terra.
3. Determinar o vértice (V ) do cone. A projeção horizontal V coincide com O (o cone
é reto). A projeção vertical V 0 tem cota h (dista h da linha de terra) e está situada
na linha de chamada de O = V .
4. Por …m desenhamos em (�0) o triângulo de vértices V 0; A0; B0 (base igual ao diâmetro
2R da circunferência e altura h), conforme …gura 3.2.1.1.
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE EESFERA 67
Para representar um cone oblíquo com base apoiada em (�) e de centro (O), raio R e
vértice (V ) conhecidos devemos:
1. Desenhar uma circunferência de centro O e raio R em (�) (a projeção horizontal em
VG da base do cone). Marcamos os pontos auxiliares A e B de mínima e máxima
abcissas da circunferência.
2. A projeção vertical dessa circunferência é o segmento de reta A0B0 situado na linha
de terra. Marcamos as projeções V e V 0 do vértice (V ) do cone. A projeção vertical
do cone é o triângulo de vértices V 0; A0; B0.
3. Na projeção horizontal devemos traçar tangentes à circunferência passando por V .
Para isso devemos determinar os pontos de tangência M e N . Esses pontos de
tangência são a interseção da circunferência de base do cone com o círculo cujo
diâmetro é OV . O centro do círculo de diâmetro OV é o ponto C (o ponto médio
do segmento OV ), que é a interseção do segmento OV com a mediatriz de OV .
4. Traçamos as geratrizes VM e V N em (�). Por …m devemos notar que o arco entre
VM e V N é ocluso, logo deve ser desenhado tracejado, conforme a …gura 3.2.1.2.
Fig. 3.2.1.1: Representação do
Cone Reto
Fig. 3.2.1.2: Representação do Cone
Oblíquo
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 68
3.2.2 Pertinência de um Ponto
O método para se descobrir se um ponto (P ) pertence à superfície lateral do cone é
semelhante ao método utilizado para uma pirâmide, tanto no caso reto como no caso
oblíquo. Nas …guras 3.2.2 temos exemplos de pertinência de pontos no cone. Nessas
…guras são fornecidas as projeções P 0 e Q de dois pontos (P ) e (Q). Desejamos obter
todas as possíveis projeções P e Q0 de forma que (P ) e (Q) pertençam à superfície do
cone.
Fig. 3.2.2.1: Pertinência de Pontos
num Cone Reto - Dados Iniciais
Fig. 3.2.2.2: Pertinência de Pontos
num Cone Reto - Solução
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 69
Fig. 3.2.2.3: Pertinência de Pontos num
Cone Oblíquo - Dados Iniciais
Fig. 3.2.2.4: Pertinência de Pontos num
Cone Oblíquo - Solução
3.2.3 Seção Plana
Para desenhar a seção plana executamos os seguintes passos:
1. Marcamos os pontos equidistantes A;B; : : : ; H na circunferência da base e criamos
as geratrizes auxiliares (V )(A); (V )(B); : : : ; (V )(H).
2. Determinamos os pontos 10; 20; : : : ; 80: interseções das geratrizes auxiliares com ��0.
3. Determinamos as projeções horizontais 1; 2; : : : ; 8: O ponto 1 é a interseção de V A
com a linha de chamada de 10. Os pontos 2; 4; 5; 6; 8 são determinados de modo
análogo.
4. Os pontos 3 e 7 não podem ser obtidos do mesmo modo acima pois as retas (V )(C)
e (V )(G) são arestas de per…l. Aplicamos o método da rotação para que essas retas
tomem a posição de (V )(E), que está em VG. Os pontos rotacionados 30 = 70 são
a interseção de V 0E 0 com a paralela à LT passando pelo ponto 30 = 70 (a cota
…ca constante durante a rotação). Os pontos 3 = 7 pertencem à V E e à linha de
chamada de 30 = 70. Os pontos 3 e 7 pertencem, respectivamente, aos segmentos
de reta V C e V G e à circunferência de centro V e que passa por 3 = 7.
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 70
5. Rebatemos o plano da seção em (�) para se obter a seção em VG. Com isso obtemos
os pontos (1)1; (2)1; : : : ; (8)1. A curva da seção plana em VG da …gura 3.2.3.1 é uma
elipse
Fig. 3.2.3.1: Seção Plana do Cone Reto
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 71
3.2.4 Desenvolvimento e Transformada da Seção
Iniciamos a plani…cação com um novo ponto V e uma circunferência de centro V e raio
de comprimento jV 0A0j (todas as geratrizes auxiliares do cone tem o comprimento jV 0A0j,
que está em VG).
Transportamos as cordas AB;BC; : : : ; HA (todas têm o mesmo comprimento) de (�)
para essa circunferência (é o mesmo método aproximado que …zemos com o cilindro) e
traçamos as geratrizes auxiliares no desenho da plani…cação. Por …m traçamos o círculo
da base, como mostra a …gura 3.2.4.1.
Para se desenhar a transformada da seção precisamos obter a distância de V 0 aos
pontos 10; 20; : : : ; 80 da seção. Aplicamos o método da rotação para obter os pontos
10; 20; : : : ; 80. Transportamos os comprimentos dos segmentos V 010; V 020; : : : ; V 080 para a
plani…cação, obtendo os pontos 1; 2; : : : ; 8. Por …m esses pontos devem ser conectados à
mão livre. Desenhe essa curva suave à mão livre na …gura 3.2.4.1.
Fig. 3.2.4.1: Desenvolvimento e T. da Seção do Cone Reto
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 72
3.3 Cônicas e Teorema de Apolônio
3.3.1 Cônicas
Na …gura 3.3.1.1 temos exemplos dos três tipos de cônicas: A elipse, a hipérbole e a
parábola.
� A elipse é a curva planar de pontos P cuja soma das distâncias aos focos (dois
pontos …xos F1 e F2) é constante. A circunferência pode ser considerada um tipo
especial de elipse onde F1 = F2.
� Na hipérbole temos que a diferença de distâncias do ponto P aos focos é constante.
� A parábola é o conjunto de pontos do plano equidistantes do (único) foco e de uma
reta (a diretriz).
Fig. 3.3.1.1: Cônicas: Hipérbole, Elipse e Parábola
3.3.2 O Teorema de Apolônio
Teorema 1 (Apolônio) Seja um Cone Reto cujo ângulo de suas geratrizes com o seu
eixo de rotação é 
. Seja � o ângulo que um plano (que corta o cone) faz com o eixo
de rotação do cone. A Seção Plana obtida é uma Elipse, se � > 
 (ou um Círculo, se
� = 900) ou uma Parábola, se � = 
: ou uma Hipérbole, se � < 
:
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 73
Na …gura 3.3.2.1 temos a vista vertical das possíveis seções planas de um cone, de-
pendendo do ângulo do plano de corte e do ângulo das geratrizes do cone com o seu eixo
de rotação.
Fig. 3.3.2.1: Possíveis Seções num Cone Reto
Demonstração (para o caso da Elipse):
A …gura 3.3.2.2 ilustra essa demonstração. Dada a seção plana, são desenhadas duas
esferas de centro O1 e O2 que são tangentes ao cone e ao plano da seção plana. Para
todo ponto P pertencente à seção temos que jPF1j = jPP1j pois F1 e P1 são pontos de
tangência à esfera de raio O1. Também temos que jPF2j = jPP2j pois F2 e P2 são pontos
de tangência à esfera de raio O2. Daí temos que a soma das distâncias do ponto P aos
pontos F1 e F2 é:
jPF1j+ jPF2j = jPP1j+ jPP2j = jP1P2j = jC1C2j
Como jC1C2j é constante temos que a soma das distâncias de qualquer ponto P da
seção plana aos pontos F1 e F2 é constante, o que prova que a seção plana é uma elipse
e que F1 e F2 são os focos dessa elipse.
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 74
Fig. 3.3.2.2: Teorema de Apolônio
3.3.3 Focos da Seção Plana do Cone
A demonstração do teorema de Apolônio mostra como se obter os focos de uma elipse.
Basta inscrever na projeção vertical círculos tangentes ao cone e ao traço vertical ��0 do
plano de topo. Os pontos de tangência desses círculos com ��0 são as projeções verticais
dos focos da elipse. Esse corolário da demonstração do teorema de Apolônio também é
conhecido como teorema de Dandelin-Quetelet.
Na …gura 3.3.3.1 temos um cone reto e um plano de topo que corta esse cone. Execu-
tamos os seguintes passos para obter os focos da seção plana:
1. Devemos inscrever círculos tangentes a ��0, a V 0A0 e a V 0B0. Para isso traçamos as
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 75
bissetrizes dos ângulos A0cV 0B0; T 0cC 0V 0; T 0cC 0A0. A interseção dessas bissetrizes são
as projeções verticais O01 e O
0
2 dos centros das esferas inscritas.
2. Obtemos as projeções verticais F 01 e F
0
2 dos focos, que são a interseção de ��
0 com
as perpendiculares à ��0 passando por O01 e O
0
2.
3. As projeções horizontais F1 e F2 dos focos são as interseções das linhas de chamada
de F 01 e F
0
2 com a paralela à linha de terra passando por O, conforme a …gura 3.3.3.2.
Fig. 3.3.3.1: Focos da Seção num Cone Reto -
Dados Iniciais
Fig. 3.3.3.2: Focos da Seção num Cone Reto -
Solução
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 76
3.4 A Esfera
A Esfera é o conjunto de pontos do espaço tridimensionalcuja distância ao ponto O
(centro da esfera) é constante igual a R (raio da esfera). (Figura 3.4.0.1)
3.4.1 Representação da Esfera
Representamos uma esfera de centro (O) e raio r por seus círculos máximos (contorno
aparente) de raio R e centro em O e O0 em (�) e (�0). (ver …gura 3.4.1.1)
Fig. 3.4.0.1: Esfera
Fig. 3.4.1.1: Representação da
Esfera
3.4.2 Pertinência do Ponto na Superfície Esférica
Na …gura 3.4.2.1 são fornecidas as projeções P 0 e Q de dois pontos (P ) e (Q). Desejamos
obter todas as possíveis projeções P e Q0 de forma que (P ) e (Q) pertençam à superfície
esférica.
Faremos uso de um paralelo, que é um plano horizontal que corta a esfera. Vamos
obter o paralelo que contém (P ) traçando uma paralela à LT passando por P 0. Chamamos
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 77
de C 0 a interseção dessa paralela com o círculo máximo da esfera em (�0). A projeção
horizontal C é a interseção da linha de chamada de C 0 com a paralela à LT passando
por O. A circunferência de centro O e raio OC é a projeção horizontal da interseção
desse paralelo com a esfera. O ponto (P ) pertence à superfície esférica se e somente se a
projeção P pertence à circunferência de centro O e raio OC. (ver …gura 3.4.2.2)
Para se descobrir as possíveis projeções Q0 devemos traçar o paralelo que passa por
(Q). Esse paralelo em (�) é a circunferência de centro O e que passa por Q. Chamamos
de D a interseção da paralela à LT e que passa por O com a circunferência de centro O
e que passa por Q. Temos duas opções para as projeções verticais D0, que são obtidas
com a interseção da linha de chamada de D e o círculo máximo em (�0). As projeções Q0
estão na linha de chamada de Q e nas paralelas à LT passando por D0, como podemos
ver na …gura 3.4.2.2.
Fig. 3.4.2.1: Pertinência de Pontos na
Esfera - Dados Iniciais
Fig. 3.4.2.2: Pertinência de Pontos na
Esfera - Solução
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 78
3.4.3 Seção Plana da Esfera
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Desejamos obter a Seção Plana e em
VG em uma esfera obtida com um plano de topo de traços �� e ��0, conforme a …gura
3.4.3.1. Uma opção para se obter a seção plana é marcar pontos da seção plana em (�0)
e obter suas projeções horizontais conforme o método da seção de pertinência de pontos
na esfera. Optamos por determinar a seção plana a partir da seção em VG (que é um
círculo), pois assim obtemos mais precisão no desenho. Devemos executar os seguintes
passos:
1. Marcamos os pontos (J); (1); (2), que são, respectivamente, o centro da seção plana,
e os pontos de mínima e máxima abcissa da seção plana. J 0 é a interseção de ��0
com a perpendicular à ��0 passando por O0. Os pontos 10 e 20 são a interseção de
��0 com o círculo máximo em (�0). As projeções J; 1; 2 estão numa paralela à LT
passando por O e nas suas respectivas linhas de chamada.
2. Rebatemos a seção plana com esses pontos em (�), obtendo os pontos (J)1; (1)1; (2)1:
Traçamos a seção em VG que é um círculo de centro (J)1 e que passa por (1)1 e
(2)1:
3. Macamos os pontos (U); (V ); (3); (4). Os pontos (U); (V ) são os pontos da seção
plana no plano paralelo do equador. Os pontos (3); (4) são os pontos da seção plana
de menor e maior afastamento. U 0 = V 0 são a o a interseção de ��0 com a paralela à
LT passando por O0 com . U; V estão na linha de chamada de U 0 = V 0 e no círculo
máximo em (�). Os pontos 30 = 40 coincidem com J 0. Rebatemos 30 = 40 e obtemos
(3)1; (4)1 no círculo da seção em VG no rebatimento. Os pontos 3; 4 estão na linha
de chamada de 30 = 40 e em paralelas à LT passando por (3)1 ou (4)1.
4. Para melhorar o desenho à mão livre da projeção horizontal da seção plana mar-
camos os pontos (5)1; (6)1; (7)1; (8)1 formando um retângulo na seção emVG. Alçamos
esses pontos para se obter 50; 60; 70; 80 em ��0. Os pontos 5; 6; 7; 8 estão respecti-
vamente nas linhas de chamada de 50; 60; 70; 80 e em paralelas à LT passando por
(5)1; (6)1; (7)1; (8)1.
5. Por …m desenhamos à mão livre uma curva ligando as projeções horizontais de to-
dos os pontos. Note que os pontos de menor e maior abcissa são 1; 2. Os pontos de
menor e maior afastamento são 3; 4. Todos os pontos estão no interior do círculo
máximo em (�), exceto U; V , que pertencem a este círculo. Os pontos U; V deter-
minam a visibilidade dessa curva pois (U); (V ) estão no plano do equador. Essa
curva é uma elipse (a projeção ortogonal de um círculo é sempre uma elipse), como
vemos na …gura 3.4.3.2.
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 79
Fig. 3.4.3.1: Esfera e Plano de Topo
Fig. 3.4.3.2: Seção Plana da Esfera
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 80
3.5 Exercícios
Exercício 3.1 Seja um cilindro reto de altura 6 cm e base apoiada em (�), com centro
(O)[4; 4; 0] e raio 3 cm. Resolva os seguintes ítens:
(a) Represente as projeções mongeanas desse cilindro.
(b) Determine os possíveis valores de y para que o ponto (P )[5; y; 2] pertença ao interior
do cilindro.
(c) Desenhe um plano de topo que passe pelos pontos (T )[8; 0; 0] e (U)[0; 20; 5].
(d) Ache as projeções mongeanas da seção plana e a seção em VG.
(e) Plani…que e ache a transformada da seção.
Exercício 3.2 Faça o exercício 3.1 trocando a palavra cilindro por cone.
Exercício 3.3 Desenhe uma hélice no sentido horário e também uma hélice no sentido
anti-horário no cilindro do Ex. 3.1 com passo igual à altura do cilindro.
Exercício 3.4 Seja um cone de vértice (V ) e base apoiada em (�) e de centro (O) e raio
r. Sejam (A) e (B) pontos pertencentes à superfície lateral do cone. Represente esse cone
em cada um dos casos a seguir, conhecidos:
(a) (O); r; (A) e que o cone é reto
(b) (O); (V ); (A)
(c) (V ); (A); (B); O0
Exercício 3.5 Represente um cone oblíquo, levando em conta a visibilidade, de acordo
com os seguintes dados: - A base do cone está contida num plano frontal, com centro no
ponto (0)[3; 1; 2]; - O ponto (A), com 3 de abcissa e 4 de cota, é um ponto da circunferência
da base; - A geratriz (A)(V ) do cone é horizontal; - O vértice (V ) tem 8 de abcissa e
pertence ao plano bissetor dos diedros impares
Exercício 3.6 Represente um cilindro oblíquo, levando em conta a visibilidade, de acordo
com os seguintes dados: - As bases circulares do cilindro estão contidas em planos
frontais; - o ponto (01)[3; 1; 5] é o centro de uma das bases; - Os pontos (A)[5; 1; 5] e
(B)[10; 3; 3] de…nem uma das geratrizes do cilindro.
Exercício 3.7 Resolva os seguintes ítens:
(a) Representar as projeções mongeanas de uma esfera de raio 2 cm e cujo ponto de cota
mínima é [2; 2; 1].
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 81
(b) Determine os possíveis valores de y para que o ponto (P )[3; y; 4] pertença ao interior
da esfera.
(c) Desenhe um plano de topo que passe pelos pontos (T )[4:5; 0; 0] e (X)[1; 60; 6].
(d) Obtenha as projeções da seção plana e a seção em VG.
Exercício 3.8 Desenhe diferentes planos de topo cuja seção plana no cone do Ex. 3.2
sejam uma elipse ou uma hipérbole ou ainda uma parábola. Para cada um desses casos,
ache as projeções da seção plana, a seção em VG e os focos da seção plana (no caso da
elipse) e por …m plani…que e ache a transformada da seção.
Exercício 3.9 Faça a demonstração do Teorema de Apolônio para o caso de um Cilindro.
Ache os focos da seção plana de um cilindro.
Exercício 3.10 Na Fig. Ex. 3.10.1 são fornecidas em épura somente uma das projeções
dos pontos. Obtenha todas as possíveis posições da outra projeção dos pontos de forma
que eles pertençam aos respectivos sólidos.
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 82
Fig. Ex. 3.10.1 (a) Fig. Ex. 3.10.1 (b)
Fig. Ex. 3.10.1 (c) Fig. Ex. 3.10.1 (d)
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 83
Fig. Ex. 3.10.1 (e) Fig. Ex. 3.10.1 (f)
Fig. Ex. 3.10.1 (g) Fig. Ex. 3.10.1 (h)
CAPÍTULO 3. CILINDRO, CONE E ESFERA 84
3.6 Soluções e Sugestões
1. Solução do Ex. 3.1: (a)(b) Fig. Ex.