EM_V06_MATEMÁTICA PROFESSOR

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Livro do Professor
Matemática
Volume 6
©Editora Positivo Ltda., 2015
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati/CRB9-807/Curitiba, PR, Brasil)
N434 Nemitz, Vanderlei.
 Matemática : ensino médio / Vanderlei Nemitz, Walderez Soares Melão ; reformulação dos 
originais de Jorge Luiz Farago, Lúcio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Sandra Ribeiro. – 
Curitiba : Positivo, 2015.
v. 6. : il.
Sistema Positivo de Ensino
ISBN 978-85-467-0242-8 (Livro do aluno)
ISBN 978-85-467-0243-5 (Livro do professor)
1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Melão, Walderez Soares. II. Farago, Jorge 
Luiz. III. Carneiro, Lúcio Nicolau dos Santos. IV. Ribeiro, Sandra. V. Título.
CDD 373.33
Presidente: Ruben Formighieri
Diretor-Geral: Emerson Walter dos Santos
Diretor Editorial: Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial: Júlio Röcker Neto
Gerente de Arte e Iconografia: Cláudio Espósito Godoy
Autoria: Vanderlei Nemitz e Walderez Soares Melão; reformulação 
dos originais de: Jorge Luiz Farago e Lúcio Nicolau dos Santos Carneiro
Supervisão Editorial: Jeferson Freitas
Edição de Conteúdo: Lélia Longen Fontana (Coord.), Vanderlei Nemitz e Walderez Soares Melão
Edição de Texto: Tania Tatiane Cheremeta
Revisão: Chisato Watanabe, Fabrízia Carvalho Ribeiro e Willian Marques
Supervisão de Arte: Elvira Fogaça Cilka 
Edição de Arte: Cassiano Darela
Projeto Gráfico: YAN Comunicação
Ícones: ©Shutterstock/ericlefrancais, ©Shutterstock/Goritza, ©Shutterstock/Lightspring, 
 ©Shutterstock/Chalermpol, ©Shutterstock/Macrovector e ©Shutterstock/Kalenik Hanna
Imagens de abertura: ©Shutterstock/Popartic e ©Shutterstock/Rawpixel
Editoração: Expressão Digital
Pesquisa Iconográfica: Janine Perucci (Supervisão) e Karine Ribeiro de Oliveira Buzinaro 
Ilustração: Sandra Ribeiro
Engenharia de Produto: Solange Szabelski Druszcz
Produção
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2018
Contato 
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14
15
Geometria de posição ............................... 4
Noções primitivas ...................................................................................... 5
 Ponto ................................................................................................................................................ 5
 Reta .................................................................................................................................................. 5
 Plano ................................................................................................................................................. 5
Proposições primitivas ............................................................................... 7
Posições relativas ....................................................................................... 10
 Posições relativas entre duas retas .................................................................................................... 11
 Posições relativas entre uma reta e um plano .................................................................................... 12
 Posições relativas entre dois planos ................................................................................................... 13
Projeção ortogonal e distância ................................................................... 16
 Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano ............................................................................. 16
 Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano ........................................................... 17
 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano ............................................................................... 17
 Distâncias .......................................................................................................................................... 18
Geometria espacial I ................................. 27
Poliedros .................................................................................................... 28
 Relação de Euler ................................................................................................................................ 30
 Poliedros regulares ............................................................................................................................ 35
Prisma ....................................................................................................... 40
 Área da superfície de um prisma ....................................................................................................... 41
 Volume de um prisma ....................................................................................................................... 44
 Princípio de Cavalieri ........................................................................................................................ 45
Cilindro ...................................................................................................... 50
 Área da superfície de um cilindro ...................................................................................................... 51
 Volume de um cilindro ...................................................................................................................... 53
Pirâmide .................................................................................................... 55
 Área da superfície de uma pirâmide .................................................................................................. 56
 Volume de uma pirâmide .................................................................................................................. 59
Cone .......................................................................................................... 62
 Área da superfície de um cone .......................................................................................................... 63
 Volume de um cone .......................................................................................................................... 65
Sumário
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conheça os objetos digitais 
e slides deste volume.
4
Geometria de
posição
14
 Frequentemente usamos os termos 2D ou 3D para nos referirmos a filmes ou jogos de videogame ou computador. 
O que eles significam?
 Há alguns anos, surgiu no Brasil o cinema 4D. Essa denominação tem o mesmo significado das anteriores?
Latinstock/Interfoto/NG Collection
Ponto de partida 
1
55
Noções primitivas 
O espaço em que vivemos é tridimensional, ou seja, existem somente três dimensões: comprimento, largura e 
altura. Tudo que acontece, entretanto, acontece no tempo. De acordo com a Teoria da Relatividade de Albert Einstein 
(1879-1955), o tempo é a quarta dimensão. 
No estudo da Geometria, existem alguns “personagens” principais: o ponto, a reta, o plano e o espaço. Dizemos 
que eles são entes primitivos, pois não admitem uma definição formal. Mesmo assim, intuitivamente podemos desco-
brir o que é cada um deles. 
Ponto
Não tem dimensão (adimensional) e é indicado por uma letra 
maiúscula do nosso alfabeto.
A
B
Pontos A e B
Reta
Tem apenas comprimento (unidimensional) e é ilimitada em ambos os 
sentidos. É indicada por uma letra minúscula do nosso alfabeto.
t
s
Retas s e t
Plano
É bidimensional e ilimitado em todas as direções. É indicado por uma 
letra grega minúscula.
α
Plano α
Normalmente, a representação do modelo de um plano é feita utilizando-se um paralelogramo, que é a visualiza-
ção de um retângulo em perspectiva. Entretanto,ao contrário dessa representação, o plano não tem fronteiras.
Quando trabalhamos com o plano cartesiano, associamos um sistema de coordenadas, em que cada ponto desse 
plano é indicado por um par ordenado composto de uma abscissa e de uma ordenada. Os dois eixos do plano carte-
siano são perpendiculares.
x
y
Ao final desta unidade, é esperado que você compreenda os axiomas e postulados como afirmações 
verdadeiras que dispensam demonstração. É importante também que seja capaz de reconhecer ponto, 
reta e plano como entes geométricos primitivos sem definição formal, conhecer suas posições relativas, 
além de identificar o significado da noção de distância entre eles.
a os axiomas e postulados como afirmações
6 Volume 6
O espaço é entendido como o conjunto de todos os pontos. Ele tem comprimento, largura e altura (é tridimensional). 
x
z
y
Ao espaço, podemos associar um sistema de coordenadas 
com três eixos, perpendiculares dois a dois. Assim, para indicar 
um ponto do espaço, são necessárias três coordenadas. O terno 
ordenado é composto de uma abscissa, de uma ordenada e de 
uma cota (coordenada do eixo z).
Qualquer figura é um subconjunto do espaço, seja plana, seja espacial.
Como uma reta e um plano são conjuntos de pontos, para relacionar esses entes geométricos, utilizamos nomen-
claturas já conhecidas: 
 • Ponto e reta
A
B
r
O ponto A pertence à reta r.
Em símbolos: A r∈
O ponto B não pertence à reta r.
B r∉
 • Ponto e plano
Q
P
R
π
O ponto P pertence ao plano π. 
P ∈π
O ponto Q não pertence ao plano π.
Q ∉π
O ponto R não pertence ao plano π.
R ∉π
 • Reta e plano
E
C
D
r
s
α
A reta r está contida no plano α.
r ⊂ α
A reta s não está contida no plano α.
s ⊄ α
Matemática 7
 • No estudo da geometria de posição, frequentemente enunciaremos proposições. Para que você comece a se 
habituar a elas, responda se cada uma das proposições a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
a) Se um ponto pertence simultaneamente a uma reta r e a um plano α, então a reta r está contida no plano α. 
Essa proposição é falsa. Basta observar a figura anterior. O ponto E pertence à reta s e ao plano α, mas a reta não está contida no plano.
b) Se dois pontos pertencem simultaneamente a uma reta r e a um plano α, então a reta r está contida no plano α. 
Essa proposição é verdadeira. Observe, na figura anterior, que os pontos C e D pertencem à reta r e ao plano α e r está contida em α. 
Dizemos também que pontos pertencentes a uma mesma reta são colineares, ao passo que pontos pertencentes 
a um mesmo plano são coplanares.
A
C
D
E
B
Os pontos A, C e D são colineares e os pontos A, B e C não são 
colineares.
Proposições primitivas 
Agora que você já conhece os entes primitivos, vamos estabelecer um conjunto de regras básicas para eles. Essas 
regras são os postulados (ou axiomas), proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração. Os teoremas são 
proposições que necessitam de uma demonstração, a qual pode ser feita utilizando os postulados ou mesmo outros 
teoremas já demonstrados. Os postulados escolhidos devem ser, ao mesmo tempo, consistentes, ou seja, não podem 
gerar contradições, e suficientes. Observe os primeiros postulados de que precisamos para evidenciar as características 
dos pontos, das retas e dos planos. Mais adiante, você estudará outros dois postulados.
Postulado 1
Existem pontos que pertencem a uma reta qualquer do espaço e outros que não pertencem a ela.
Postulado 2
Por dois pontos do espaço passa uma única reta.
A
B
r
Postulado 3
Existem pontos que pertencem a um plano qualquer do espaço e outros que não pertencem a ele.
Comente com os alunos que, sempre 
que nos referirmos a dois pontos, duas 
retas, dois planos, estaremos conside-
rando que são entes distintos.
8 Volume 6
Postulado 4
Por três pontos não colineares do espaço passa um único plano.
A
B
C
α
Postulado 5
Uma reta que tem dois de seus pontos em um plano está contida nesse plano.
A
Bβ s
Com esses postulados, é possível demonstrar alguns teoremas. Acompanhe o seguinte exemplo:
Teorema
Existe um único plano que contém uma reta e um ponto não pertencente a ela.
r
α A
Essa figura ilustra o enunciado do teorema.
Demonstração
Vamos considerar uma reta r, dois de seus pontos, que chamaremos de B e C, e um ponto A que não pertence à 
reta r.
A
C
rB
Como o ponto A não pertence à reta r, A, B, C não são colineares. Assim, pelo postulado 4, existe um único plano 
α que passa por eles. Pelo postulado 5, a reta r está contida no plano α, pois dois de seus pontos pertencem a ele. 
Portanto, α é o único plano que contém a reta r e o ponto A.
Com base na demonstração do teorema anterior e no postulado 4, é possível dizer que:
 • três pontos não colineares determinam um plano;
 • uma reta e um ponto que não pertence a ela determinam um plano.
Há, ainda, estas possibilidades para que um plano fique determinado:
 • duas retas concorrentes determinam um plano;
 • duas retas paralelas determinam um plano.
Matemática 9
Essas duas proposições também podem ser demonstradas. A primeira delas está escrita de modo equivalente no 
teorema a seguir. Utilizando os postulados anteriores, faça uma demonstração.
Teorema
Existe um único plano que contém duas retas 
concorrentes.
Demonstração
Considere P o ponto comum às retas r e s, A um ponto da reta s e B um ponto da reta r, ambos distintos de P.
Pelo postulado 4, existe um único plano α que passa por eles, pois A, B, P não são colineares. Além disso, pelo postulado 5, as retas r e 
s estão contidas no plano α, pois cada uma delas tem dois de seus pontos 
pertencentes a ele. Portanto, α é o único plano que contém as retas r e s. 
1. Assinale V caso a afirmação seja verdadeira e F caso 
seja falsa.
a) ( V ) Dois pontos do espaço sempre são colineares.
b) ( F ) Por dois pontos do espaço passa um único plano.
c) ( F ) Por dez pontos do espaço passa um único plano.
d) ( V ) Um triângulo está sempre contido em um único 
plano.
e) ( F ) Se um ponto P pertence à reta r e ao plano α, 
então r está contida em α. 
2. Os pontos A, B, C, D, E são vértices de um pentágono. 
Quantas retas ficam determinadas por esses pontos? 
E
D C
A
B
As retas determinadas pelos vértices do pentágono são as 
que contêm os lados e as diagonais, pois dois vértices quais-
quer determinam uma reta. Como o pentágono tem 5 lados 
e 
5 5 3
2
5
⋅ −
=
( )
 diagonais, o número de retas determinadas 
é 10. Caso seja necessário, retome com a classe o fato de o 
número de diagonais de um polígono convexo ser dado por 
d
n n
=
⋅ −( )3
2
.
3. Observe o tetraedro abaixo. Quantos planos ficam de-
terminados pelos vértices A, B, C, D? 
A
BD
C
Os planos determinados pelos vértices do tetraedro são os 
que contêm as faces, pois três pontos não colineares deter-
minam um plano. Portanto, são determinados 4 planos: ABC, 
ABD, ACD, BCD.
4. Pense em quatro pontos quaisquer do espaço e res-
ponda às questões propostas.
a) Eles podem estar em uma mesma reta?
Sim.
b) Esses pontos podem estar em um mesmo plano, 
mas não em uma mesma reta? 
Sim.
c) Quantos planos ficam determinados por esses pontos?c
P
A
B s
r
α
P
r
s
2 Gabaritos.
Atividades
10 Volume 6
5. Observe o cubo na figura abaixo. Analise as afirmações 
a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as 
falsas. 
A
D
F
B
C
GH
E
a) ( V ) O ponto D pertence ao plano AEH.
b) ( V ) O ponto F pertence ao plano GHE.
c) ( V ) O centro do cubo pertence ao plano ADF.
d) ( F ) O centro do cubo pertence ao plano BDG.
e) ( F ) Existe um plano que passa pelos pontos A, B, F 
e H.
6. É muito comum mesas ou cadeiras com quatro pernas 
“balançarem” quando apoiadas em uma superfície. 
Muitas vezes, esse problema é corrigido colocando um 
calço. Já um tripé sempre fica firme em qualquer su-
perfície.
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
ID
19
74
 ©Sh
u
tt
er
st
oc
k/
M
ar
id
av
• Explique por que os objetoscom três pernas não 
balançam. 
Os objetos com três pernas não balançam porque três pon-
tos não colineares determinam um único plano, mas, para 
quatro pontos, essa condição não está garantida.
Posições relativas 
Observe atentamente esta imagem:
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
h
u
n
th
om
as
Nela, todas as linhas que separam uma camada da outra são horizontais e, portanto, paralelas. Não parece, não é 
mesmo? Essa é uma das famosas ilusões de ótica, na qual essas linhas parecem estar inclinadas.
Agora, você vai estudar as posições relativas entre duas retas, entre uma reta e um plano e entre dois planos.
Matemática 11
Posições relativas entre duas retas 
 • Qual é o número máximo de pontos de intersecção de duas retas?
O postulado 2 diz que por dois pontos do espaço passa uma única reta. Assim, se as retas r e s tivessem dois pontos 
A e B em comum, necessariamente, seriam a mesma reta. Portanto, duas retas têm, no máximo, um ponto em comum.
Duas retas são concorrentes quando têm somente um ponto em comum. Como duas retas concorrentes deter-
minam um plano, elas são coplanares.
s
A
α
r
As retas r e s são concorrentes no ponto A e determinam o plano α.
Quando duas retas não têm ponto em comum, há duas possibilidades: elas determinam ou não determinam um 
plano.
Duas retas são paralelas quando não têm ponto em comum e determinam um plano.
sα
r
As retas paralelas r e s determinam o plano α. 
Imagine a seguinte situação: A, B, P são pontos não colineares que determinam um plano α e Q é um ponto que 
não pertence ao plano α. A reta r é determinada pelos pontos A e B e a reta s pelos pontos P e Q. Note que r e s não têm 
ponto em comum nem existe um plano que contenha r e s simultaneamente, pois, caso existisse, ele deveria passar 
pelos pontos A, B, P e Q. Mas isso não é possível, pois o ponto Q não pertence ao plano α. 
Duas retas que não têm ponto em comum nem determinam um plano são denominadas reversas ou não 
coplanares.
s
P
Q
B
A
α
r
As retas r e s são reversas e não determinam um plano.
12 Volume 6
Assim, dadas duas retas quaisquer do espaço, temos:
Posição relativa N . º de pontos em comum Coplanares?
Concorrentes 1 Sim
Paralelas 0 Sim
Reversas 0 Não
Particularmente, quando duas retas do espaço formam ângulos de 90°, recebem denominações especiais: duas 
retas quaisquer que formam ângulos retos são ortogonais. No caso de serem duas retas concorrentes formando ân-
gulos retos, dizemos que são perpendiculares. 
Observe o cubo da figura ao lado. As retas r e s são concorrentes e formam ângu-
los retos, ou seja, são perpendiculares. Em símbolos, escrevemos r s⊥ . 
As retas r e t também formam ângulos retos. Observe que existe uma reta parale-
la a uma delas e perpendicular à outra (por exemplo: a reta s é paralela à t e perpen-
dicular à r). Portanto, as retas r e t são ortogonais.
As definições anteriores mostram que retas perpendiculares são um caso particu-
lar de retas ortogonais. Assim, r e s são ortogonais e, por serem concorrentes, tam-
bém são perpendiculares. As retas r e t são ortogonais, mas não perpendiculares, 
pois são reversas.
Dissemos anteriormente que enunciaríamos outros dois postulados ao longo da unidade. O primeiro deles é o 
postulado das retas paralelas ou Postulado de Euclides.
Postulado 6
Por um ponto não pertencente a uma reta r do espaço passa uma única 
reta s paralela à r.
Posições relativas entre uma reta e um plano 
 • Duas retas têm, no máximo, um ponto em co-
mum. E uma reta e um plano?
O postulado 5 diz que uma reta que tem dois de seus 
pontos em um plano está contida nesse plano. Assim, é 
possível que uma reta tenha todos os seus pontos em co-
mum com um plano. 
Uma reta contida em um plano tem infinitos pontos 
em comum com esse plano. 
B
A
α r
A reta r está contida no plano α (r = r)∩ α .
Indicamos por r ⊂ α .
Uma reta é secante ao plano ou concorrente com 
um plano quando tem um único ponto em comum com 
o plano.
Na figura abaixo, a reta s e o plano α são concorrentes 
no ponto A. 3 Esclarecimento sobre a notação s ∩ α = A.
A
s
α
A reta s é secante ao plano α (s = A)∩ α .
st
r
A
s
r
Matemática 13
Uma reta que não tem ponto em comum com um 
plano é paralela a esse plano.
t
α
A reta t é paralela ao plano α (t = )∩ ∅α .
Indicamos por t // α.
Assim, dados uma reta e um plano quaisquer do es-
paço, temos:
Posição relativa Intersecção
Reta contida no plano A reta
Reta secante ao plano Um ponto
Reta paralela ao plano Vazia
Quando uma reta é secante a um plano e forma com 
ele um ângulo reto, dizemos que ela é perpendicular a 
esse plano.
r
α
P
Posições relativas entre dois planos 
Duas retas podem ter exatamente um ponto em 
comum. Uma reta e um plano também. E dois planos, 
podem ter um único ponto em comum?
Se pensarmos rapidamente nos modelos que utiliza-
mos para os planos, existe uma chance de respondermos 
sim. Porém, um plano não é limitado como os quadri-
láteros que usamos para representá-los, portanto é um 
equívoco pensar em uma situação como a apresentada 
a seguir.
P
π
α
Nesse caso, precisamos inserir mais um postulado.
Postulado 7
Dois planos que têm um ponto em comum necessa-
riamente têm uma reta em comum.
P
π
α
r
Observe na figura que, quando os planos α e π têm 
um ponto P em comum, necessariamente têm a reta r 
em comum. Dessa forma, dois planos não podem ter um 
único ponto em comum.
Dois planos que têm uma reta em comum são secan-
tes (ou concorrentes).
α
s
β
Os planos α e β são secantes ( = s)α β∩ .
14 Volume 6
Dois planos são paralelos quando não têm ponto em 
comum.
π
α
Os planos α e π são paralelos ( = )α π∩ ∅ .
Indicamos por α // π.
Assim, dados dois planos quaisquer do espaço, temos:
Posição relativa Intersecção
Planos secantes Uma reta
Planos paralelos Vazia
Quando dois planos são secantes e um deles contém 
uma reta perpendicular ao outro, dizemos que os planos 
são perpendiculares.
β
s
r
α
1. Analise cada uma das afirmações a seguir e assinale V 
para as verdadeiras e F para as falsas. Justifique aque-
las que forem falsas.
a) ( V ) Duas retas paralelas não têm ponto em comum.
b) ( F ) Duas retas que não têm ponto em comum são 
paralelas.
c) ( V ) Duas retas paralelas a uma terceira são parale-
las entre si.
d) ( F ) Duas retas concorrentes com uma terceira são 
paralelas entre si.
e) ( V ) Duas retas concorrentes com uma terceira po-
dem ser concorrentes entre si.
f) ( V ) Se duas retas são reversas e ortogonais, então 
toda reta paralela a uma delas é ortogonal à 
outra. 
g) ( F ) Se duas retas são reversas e ortogonais, então 
toda reta ortogonal a uma delas é paralela à 
outra.
h) ( F ) Três retas concorrentes duas a duas estão con-
tidas em um mesmo plano.
i) ( F ) Se r é ortogonal a s e s é ortogonal a t, então r 
é ortogonal a t.
j) ( F ) Se r é paralela a s e s é reversa a t, então r é 
reversa a t.
2. Escolha uma das arestas do paralelepípedo abaixo. 
Em seguida, em relação à aresta escolhida, identifique 
quais são:
A B
F
GH
D
E
C
a) paralelas; d) perpendiculares;
b) concorrentes; e) ortogonais.
c) reversas;
4 Gabaritos.
Atividades
Matemática 15
3. Assinale V caso a afirmação seja verdadeira e F caso 
seja falsa. Justifique as falsas.
a) ( F ) Uma reta paralela a um plano é paralela a to-
das as retas desse plano.
b) ( V ) Uma reta paralela a um plano é paralela a infi-
nitas retas desse plano.
c) ( F ) Se uma reta é paralela a dois planos, então es-
ses planos são paralelos.
d) ( V ) Se uma reta é perpendicular a dois planos, en-
tão os planos são paralelos.
e) ( F ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas 
entre si.
f) ( V ) Duas retas perpendiculares a um plano são pa-
ralelas entre si.
g) ( F ) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela 
a um deles é paralela ao outro.
h) ( V ) Se dois planos são paralelos, toda reta contida 
em um deles é paralela ao outro.
i) ( F ) Se dois planos são perpendiculares,todo plano 
perpendicular a um deles é paralelo ao outro.
j) ( V ) Se uma reta é paralela a um plano, a intersec-
ção de qualquer plano que contém essa reta 
e é secante ao primeiro é uma reta paralela à 
primeira.
k) ( F ) Se dois planos são secantes e uma reta é pa-
ralela a um deles, então essa reta é paralela ao 
outro plano.
l) ( V ) Uma reta paralela a dois planos secantes é pa-
ralela à reta de intersecção desses planos.
m) ( V ) Se dois planos são paralelos, toda reta secante 
a um deles é secante ao outro.
n) ( V ) Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal 
a todas as retas desse plano.
o) ( V ) Dois planos perpendiculares a uma reta são 
paralelos entre si.
p) ( V ) Se uma reta é perpendicular a um plano, qual-
quer plano que passe por essa reta é perpen-
dicular ao primeiro.
4. Os vértices dos quadriláteros que estudamos na geo-
metria plana pertencem a um mesmo plano, pois se 
trata de figuras planas. Veja agora um tipo de qua-
drilátero em que isso não acontece, denominado 
quadrilátero reverso.
C
D
π
A
B
 No quadrilátero reverso ABCD, os vértices B, C e D são 
coplanares, ao passo que o vértice A não pertence ao 
plano π.
 Quais das afirmações a seguir, a respeito de um qua-
drilátero reverso, são verdadeiras? Justifique as falsas.
a) ( F ) As retas que contêm as diagonais são con-
correntes.
b) ( V ) As retas que contêm as diagonais são reversas.
c) ( F ) O quadrilátero pode ser um paralelogramo.
d) ( V ) Considerando as retas que contêm os lados e 
as diagonais do quadrilátero, existem três pa-
res de retas reversas.
e) ( V ) Os pontos médios dos lados do quadrilátero 
formam um paralelogramo.
5. Duas retas r e s são concorrentes em um ponto P e 
determinam o plano α. Um ponto A não pertence ao 
plano α.
P
s r
α
A
 Já sabemos que uma reta e um ponto que não perten-
ce a ela determinam um plano. Qual é a intersecção do 
plano determinado pelo ponto A e pela reta r e do plano 
determinado pelo ponto A e pela reta s? Justifique sua 
resposta.
A intersecção dos dois planos é a reta que passa pelos pontos A 
e P, pois ambos os planos passam por esses pontos e são planos 
distintos.
16 Volume 6
6. Na figura abaixo, as retas r e s são perpendiculares en-
tre si e determinam o plano π. A reta t é perpendicular 
ao plano π e à reta r no ponto B.
π A
B
r
t
s
 Desenhe uma reta x que passe pelo ponto A e por um 
ponto qualquer da reta t, distinto de B. Quais das afir-
mações a seguir são verdadeiras?
a) ( V ) As retas t e s são reversas.
b) ( V ) As retas x e s são coplanares.
c) ( F ) As retas x e r podem ser perpendiculares.
d) ( F ) As retas x e t podem ser perpendiculares.
e) ( V ) As retas x e s são perpendiculares.
7. A seguir, são enunciados três importantes teoremas.
Leia-os e faça uma ilustração para caracterizar cada 
um deles. 
 I. Se duas retas concorrentes de um plano são parale-
las a outro, então os planos são paralelos.
 II. Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes 
de um plano, então ela é perpendicular a ele.
 III. Se uma reta de um plano é perpendicular a outro, 
então os planos são perpendiculares.
8. (UNESP – SP) Sejam α e β planos perpendiculares, 
α β∩ = r. Em α considera-se uma reta s perpendi-
cular a r, s r A∩ = { } , e em β considera-se t oblíqua a 
r, t r A∩ = { }. Dentre as afirmações:
 I. s é perpendicular a β.
 II. t é perpendicular a s.
 III. O plano determinado por s e t é perpendicular a β.
 IV. Todo plano perpendicular a s e que não contém A é 
paralelo a β.
 Pode-se garantir que:
a) somente I é falsa. d) somente IV é falsa.
b) somente II é falsa. X e) nenhuma é falsa.
c) somente III é falsa.
Projeção ortogonal e distância 
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
A projeção ortogonal de um ponto P do espaço sobre um plano α é o ponto no qual a reta que passa por P e que 
é perpendicular a α intersecta o plano α.
Na figura abaixo, a reta r passa pelo ponto P e é per-
pendicular ao plano α.
α
P’
P
r
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano 
é formada pelas projeções de cada um dos seus pontos.
α C’
C
A’
B’
B
A
Sugestão de atividades: 
questões 4 a 9 da seção Hora de estudo.
Matemática 17
Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre um plano 
Agora, vamos analisar a projeção ortogonal de um segmento de 
reta sobre um plano.
A projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano paralelo 
é um segmento A'B' congruente a AB, ou seja, AB = A'B'.
A projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano não paralelo é um segmento A'B' menor que AB ou um 
ponto.
A’B’ < AB
α
B’
B
A’
A
α
B’A’
A
B
A’B’ < AB
A projeção ortogonal é o ponto P.
α
B
A
P
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano pode ser uma reta ou um ponto. Quando a reta não é perpen-
dicular ao plano, a projeção ortogonal sobre ele é uma reta.
Reta oblíqua ao plano Reta paralela ao plano
π
s
t
P
A projeção ortogonal da reta s sobre 
o plano π é a reta t.
π
s
t
A projeção ortogonal da reta s sobre 
o plano π é a reta t.
Quando a reta é perpendicular ao plano, a projeção ortogonal sobre ele 
é um ponto. Na figura ao lado, a projeção ortogonal da reta s sobre o plano 
π é o ponto P.
α
B’A’
A B
π
s
P
18 Volume 6
Distâncias 
 • Qual é a distância entre os pontos A e B da figura ao lado?
Essa é uma pergunta fácil de responder, pois é simplesmente a medida do segmento 
AB. Indicamos essa distância por d(A, B) ou por AB. 
No paralelepípedo da figura, observe os vértices A, B e C. Para calcular a distância d 
entre os pontos A e B e a distância D entre os pontos A e C, podemos utilizar o Teorema 
de Pitágoras.
A
6 cm
3 cm
2 cm
B
d
D
C
 • d2 = 22 + 62
d2 = 4 + 36
d2 = 40 ⇒ d d cm= ⇒ =40 2 10 
 • D2 = d2 + 32
D2 = 22 + 62 + 32
D2 = 4 + 36 + 9
D2 = 49 ⇒ D = 7 cm
Observe, a seguir, como obter mais algumas distâncias.
Distância de um ponto a uma reta
Para obter a distância de um ponto P a uma reta r, traçamos a reta s, perpendi-
cular à r e que passa por P. Sendo P' a intersecção das retas r e s, a distância de P 
a r é a distância entre P e P'. Indicamos por d(P, r). 
P
P’
r
s
d(P, r) = d(P, P')
Distância de um ponto a um plano
A distância de um ponto P a um plano α é a distância entre P e sua projeção 
ortogonal P' sobre esse plano. 
Indicamos por d(P, α).
P
P’
α
d(P, α) = d(P, P')
A
BA
B
A
A
6 cm
2 cm
3 cm
B
B
d
D
C
Matemática 19
Distância entre duas retas paralelas
A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto qual-
quer de uma delas à outra. Na figura ao lado, escolhemos um ponto P da 
reta r. A distância entre as retas r e s é a distância do ponto P à reta s. Indi-
camos por d(r, s). 
s
P
r
d(r, s) = d(P, s)
Distância entre uma reta e um plano paralelos
A distância entre uma reta e um plano paralelo a ela é a distância de 
um ponto qualquer da reta ao plano. Na figura ao lado, escolhemos um 
ponto P da reta r. A distância entre a reta r e o plano α é a distância do 
ponto P ao plano α. Indicamos por d(r, α). α
P
r
d(r, α) = d(P, α)
Distância entre dois planos paralelos
A distância entre dois planos paralelos é a distância de um de um pon-
to qualquer de um deles ao outro. Na figura ao lado, escolhemos um ponto 
P do plano π. A distância entre os planos π e α é a distância do ponto P ao 
plano α. Indicamos por d(π, α). α
π
P
d(π, α) = d(P, α)
Distância entre duas retas reversas
É provável que, com base nos casos mostrados até agora, você já tenha 
percebido que a distância é o comprimento do menor segmento com extre-
midades nas duas figuras consideradas e que esse menor segmento é obtido 
formando ângulos de 90°. 
Vamos agora tratar da distância entre duas retas reversas. Por exemplo: 
no cubo da figura ao lado, as retas r e s, que contêm duas das arestas, são 
reversas. Nesse caso, é fácil perceber que a distância entre r e s é a medida do 
segmento AB.
Observe a retat, que contém uma das diagonais do cubo. Como as retas s 
e t são concorrentes, a distância entre elas é zero.
 • E qual é a distância entre as retas r e t?
Essa pergunta, ao contrário da anterior, é mais difícil de responder. Precisa-
mos encontrar dois pontos M e N, um em cada reta, tal que o segmento MN 
tenha o menor comprimento possível.
Podemos pensar que M e N são pontos do cubo. 
r
st
r
s
AB
20 Volume 6
À medida que escolhemos um ponto de cada reta, cada vez mais afastados 
do cubo, a distância entre eles aumenta, e isso acontece tanto à direita quanto à 
esquerda do cubo. Assim, é plausível imaginar que a menor distância entre pon-
tos dessas retas será obtida escolhendo-se os pontos centrais dos segmentos AC 
e BD. Essa ideia fica reforçada ao observarmos que a distância entre os pontos A e 
B é igual à distância entre os pontos C e D.
Como essas distâncias são iguais, de modo intuitivo, unindo M (ponto médio 
da aresta AC) e N (ponto médio da diagonal BD), obtemos o menor comprimento 
possível para o segmento que liga dois pontos dessas retas. Observe que o seg-
mento MN é perpendicular às retas r e t.
 • Calcule a distância entre as retas r e t, em função da medida das arestas do cubo. 
Projetando ortogonalmente o ponto N sobre o plano que contém a face inferior do cubo, obtemos o ponto O. Como N é o centro do 
cubo, O é o centro do quadrado da base. Assim, os pontos M, N e O formam um triângulo retângulo em O, o que nos possibilita 
usar o Teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos M e N. Chamando de ℓ a medida das arestas do cubo, temos:
[d(M, N)]2 = [d(M, O)]2 + [d(O, N)]2 = 
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 + 
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ [d(M, N)] = 2
2
 (metade da diagonal do quadrado) 
Agora, já podemos definir a distância entre duas retas reversas. 
Quaisquer duas retas reversas do espaço têm uma única reta perpendicular em co-
mum. A distância entre elas é o segmento dessa perpendicular com extremidades nas 
duas retas. Na figura ao lado, t é a perpendicular comum às retas reversas r e s e o com-
primento do segmento PQ é a distância entre elas.
A seção Matemática em detalhes vai aparecer em diversos momentos. Em algumas ocasiões, haverá uma reso-
lução minuciosa de uma questão; em outras, uma explicação pormenorizada a respeito de um assunto; ou ainda, um 
aprofundamento do conteúdo.
Quando falamos sobre a representação de um objeto, estamos nos referindo a uma imagem. O desenho téc-
nico, por meio de diferentes vistas, nos dá elementos para a compreensão e para a reprodução exata do objeto 
representado.
Chamamos de vista a projeção paralela ortogonal de um ob-
jeto em um plano de projeção. Nela, representamos detalhes do 
objeto de acordo com o lado que está sendo observado. O pon-
to de partida é determinar qual lado será considerado frente. As 
principais vistas são:
 • frontal – projeção vertical do objeto, é a que apresenta 
mais detalhes;
 • superior – projeção horizontal do objeto, representa sua 
face superior;
 • lateral (esquerda ou direita) – feita sobre um plano de projeção lateral. 
t
s
r
B
D
C
A
M
O
N
r
P
Q
s
t
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/K
on
st
ik
Matemática em detalh
es
As vistas permitem definir a forma e as dimensões do objeto. Considerando como frente a direção indicada, temos:
Vista lateral direita
Vista frontal
Vista superior
Observe a disposição das três vistas após a “planificação” das projeções. 
Note que a vista lateral direita fica à esquerda da vista frontal. Se também 
representássemos a vista lateral esquerda, ela ficaria à direita da vista frontal. 
Dependendo do grau de complexidade do objeto, as vistas principais 
não são suficientes para representar todos os detalhes. Nesse caso, podemos 
usar até seis vistas.
Para isso, devemos imaginar o objeto envolvido por um paralelepípedo 
de referência, formado pelos seis planos de projeção, que são perpendi- 
culares entre si. 
As linhas contínuas representam as ares-
tas visíveis em cada vista, porém algumas 
arestas podem ser encobertas por parte do 
objeto. Nesses casos, usamos linhas traceja-
das para indicá-las.
LATERAL
DIREITA FRONTAL
A
lt
u
ra
SUPERIOR
Largura
Pr
of
un
di
da
de
INFERIOR
SUPERIOR
Largura
Profundidade
LATERAL
DIREITA
LATERAL
ESQUERDAFRONTAL POSTERIOR
Profundidade
Pr
of
un
did
ad
e
A
ltu
ra
Pr
of
un
did
ad
e
Matemática 21
22 Volume 6
1. Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as 
falsas. Justifique as falsas.
a) ( F ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um 
plano pode ser um segmento.
b) ( F ) A projeção ortogonal de um quadrado sobre 
um plano é um quadrado ou um segmento.
c) ( F ) As projeções ortogonais de duas retas parale-
las sobre um plano são duas retas paralelas.
d) ( F ) As projeções ortogonais de duas retas reversas so-
bre um plano não podem ser duas retas paralelas.
e) ( V ) A projeção ortogonal de uma circunferência 
sobre um plano pode ser um segmento de reta.
2. Sabe-se que as projeções ortogonais de duas retas r e 
s sobre um plano α são retas paralelas. Quais são as 
posições relativas das retas r e s? 
As retas r e s podem ser paralelas ou reversas.
3. Observe o objeto representado abaixo. Considerando que 
a seta indica a frente do objeto, represente sobre as linhas 
tracejadas as arestas visíveis, de acordo com cada vista.
 
Vista lateral
direita
Vista lateral
frontal
Vista
superior
Oriente os alunos a representar inicialmente as ares-
tas que formam o contorno da vista pedida. As linhas 
tracejadas indicadas na atividade servirão de base 
para as representações solicitadas. Não há arestas 
invisíveis nessas vistas.
4. Observe o paralelepípedo a seguir, em que algumas 
das medidas estão indicadas. Calcule a distância:
H G
C
BA
D
F
E
30
40
20
a) entre os pontos B e E;
b) do ponto E à reta HG;
c) do ponto A ao plano FGH;
d) do ponto A ao plano BEH;
e) entre as retas AE e BG.
5. Na figura a seguir, as retas r e s são reversas e orto-
gonais e o segmento AB é perpendicular às duas retas. 
Escolha um ponto P da reta r e um ponto Q da reta s. 
Em seguida, calcule a distância entre os pontos P e Q 
em função de AB = x, AP = y e BQ = z.
A B
s
r
d
Sugestão de atividades: questões 1, 2, 3 e 10 da seção 
Hora de estudo.
Romina Astudillo é formada em edificações e trabalha na área há 20 anos. Atualmente, exerce a função de projetista 
civil. Ela nos concedeu a entrevista a seguir, dando mais detalhes sobre essa profissão.
1. Qual é a formação necessária para trabalhar nessa área? 
Um curso técnico é a melhor opção para quem quer trabalhar como projetista, pois, para exercer essa atividade, 
é necessário ter conhecimentos específicos, de tal modo que não é suficiente fazer um curso de uso de softwares 
de desenho. Muitas escolas oferecem tais cursos com a promessa de que, com isso, seus alunos terão condições de 
5 Gabaritos.
Atividades
Mundo do trabalho
Matemática 23
conquistar um bom emprego, mas essa não é a realidade. Esses softwares 
de desenho técnico são ferramentas de trabalho, e não de formação. É 
preciso, portanto, aliar as duas coisas.
2. O que faz um projetista?
Em sua área, o projetista desenvolve o detalhamento de projetos. 
Sou técnica em edificações e atuo diretamente na área da construção 
civil. Meu trabalho consiste em avaliar a necessidade do cliente, estu-
dar a situação atual, a demanda apresentada e viabilizar isso em um 
projeto, sempre atendendo às normas de segurança e oferecendo ao 
executante condições de implementar a obra.
3. Em quais setores atua um projetista?
Depende da área em que tiver formação técnica. Existem projetistas de civil, elétrica, mecânica, instrumentação, 
automação, entre outras. 
4. Quais diferenças existem entre as funções de desenhista e de projetista?
O desenhista é alguém com menos experiência, alguém que está cursando ou que é recém-formado em um curso 
técnico. Ele não define ou cria uma solução para o projeto;normalmente recebe as orientações de um superior. Esse 
profissional apenas executa o desenho. O projetista é alguém com mais experiência, com conhecimento técnico e 
condições de definir soluções exequíveis para o projeto.
5. Você viveu a experiência de trabalhar na prancheta, fazendo desenhos no papel. Quais implicações o de-
senvolvimento de softwares de desenho trouxe para seu trabalho? 
Ajudou muito, pois hoje desenvolvemos um projeto arquitetônico e depois usamos a mesma base, num layer mais 
claro para os projetos complementares (estrutural, elétrico, hidráulico, telefônico e de prevenção de incêndios). Além 
disso, temos infinitas bibliotecas que ajudam e aceleram o trabalho, dando maior precisão e eficácia ao projeto.
A seção Organize as ideias foi pensada para ajudá-lo em seus estudos. A utilização de mapas conceituais, quadros 
esquemáticos ou resumos podem ser úteis na sistematização do conhecimento.
Nesta unidade, estudamos a geometria de posição. Complete o esquema a seguir, que trata das posições relativas 
entre duas retas, entre uma reta e um plano e entre dois planos.
Duas retas
 
Nenhum ponto 
em comum
Coplanares Não coplanares
paralelas reversas
Um ponto 
em comum
concorrentes
P.
Im
ag
en
s/
Pi
th
Organize as ideias
Hora de estudo
24 Volume 6
1. (ENEM) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma 
tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto 
central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-
-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-
-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, 
realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere 
a gangorra representada na figura, em que os pontos A 
e B são equidistantes do pivô:
A
B
Pivô
 A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, 
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se 
encontra em movimento, é:
a) 
A B
X b) A B
c) 
A B
d) 
A B
e) 
A B
Uma reta e um plano
Reta contida 
no plano
A intersecção é 
a própria reta
Reta secante 
ao plano
A intersecção é um ponto
Reta paralela 
ao plano
A intersecção é vazia
Dois planos
Paralelos
A intersecção é 
vazia
Secantes A intersecção é uma reta
6 Gabaritos.
2. (ENEM) O acesso entre os dois andares de uma casa é 
feito através de uma escada circular (escada caracol), 
representada na figura.
 Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão 
igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em 
uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha 
deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o 
ponto D. 
 A figura que melhor representa a projeção ortogonal, 
sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido 
pela mão dessa pessoa é:
a) d) 
b) e) 
X c) 
3. (ENEM) João propôs um desafio a Bruno, seu colega 
de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pi-
râmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção 
desse deslocamento no plano da base da pirâmide.
 O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela 
pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, 
a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O 
desenho que Bruno deve fazer é
E
A
B
M
C
D
a) 
A B
CD d) 
A B
CD
b) 
A B
CD e) 
A B
CD
X c) 
A B
CD
4. (UNIFESP – SP) Dois segmentos dizem-se reversos 
quando não são coplanares. Neste caso, o número de 
pares de arestas reversas num tetraedro, como o da 
figura, é:
A
B
C
D
a) 6 X b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
5. (UFOP – MG) Considere as quatro afirmações seguintes:
 I. Se dois planos distintos são paralelos a uma mesma 
reta, então eles são paralelos entre si.
 II. Se duas retas distintas são paralelas a um mesmo 
plano, então elas são paralelas entre si.
 III. Se dois planos distintos são perpendiculares a uma 
mesma reta, então eles são paralelos entre si.
Matemática 25
26 Volume 6
 IV. Se duas retas distintas são perpendiculares a um 
mesmo plano, então elas são paralelas entre si.
 A alternativa que contém todas as afirmações corretas é:
a) I, II, III e IV 
b) I e II 
X c) III e IV
d) IV
6. (UEM – PR) Considere as três sentenças a seguir:
 I. Se uma reta é paralela a uma reta de um plano, 
então ela é paralela ao plano.
 II. Se dois planos têm um ponto em comum, então eles 
têm uma reta em comum.
 III. Se dois planos distintos são perpendiculares a um 
terceiro plano, então eles são paralelos.
 É correto afirmar que
X a) I e III são falsas e II é verdadeira.
b) I é falsa e II e III são verdadeiras.
c) III é falsa e I e II são verdadeiras.
d) I, II e III são falsas.
e) I, II e III são verdadeiras.
7. (UEPB) As alternativas seguintes podem ser classifica-
das em verdadeiras (V) ou falsas (F).
 I. Se dois planos são perpendiculares, toda reta de um 
deles que for perpendicular à interseção será per-
pendicular ao outro.
 II. Se dois planos são perpendiculares, toda reta para-
lela a um deles será perpendicular ao outro.
 III. Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são 
paralelas.
 Neste caso:
a) Apenas I e II são verdadeiras
b) Todas são verdadeiras
c) Todas são falsas
X d) Apenas I e III são verdadeiras
e) Apenas II e III são falsas
8. (UFRN) Na cadeira representada na figura a seguir, o 
encosto é perpendicular ao assento e este é paralelo 
ao chão.
H
I J
G
KL
NM
E F
 Sendo assim,
a) Os planos EFN e FGJ são paralelos.
b) HG é um segmento de reta comum aos planos EFN 
e EFH.
c) Os planos HIJ e EGN são paralelos.
X d) EF é um segmento de reta comum aos planos EFN e 
EHG. 
9. (UEG) Observe e classifique as afirmações abaixo como 
sendo verdadeiras ou falsas:
 I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, 
então as interseções são retas paralelas.
 II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um 
deles é paralela a qualquer reta do outro.
 III. Se uma reta é paralela a dois planos, então esses 
planos são paralelos.
 IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles 
pode ser reversa a uma reta do outro.
 Marque a alternativa CORRETA:
a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
X c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras.
10. (UFPE) Sejam π1 e π2 planos que se interceptam em 
uma reta ℓ e formam um ângulo de 45°. Em π1 escolha 
pontos P1, P2, P3, P4 e P5, distando respectivamente 
3 cm, 7 cm, 8 cm, 15 cm e 21 cm de ℓ. A reta per-
pendicular a π1 passando por Pi intercepta π2 em um 
ponto Qi. Qual o valor, em cm, de P1Q1 + P2Q2 + P3Q3 + 
P4Q4 + P5Q5?
27
Geometria 
espacial I
15
 Em 1985, um grupo de pesquisadores descobriu outra forma alotrópica do car-
bono, além do grafite e do diamante. Os fulerenos são estruturas constituídas de 
muitos átomos de carbono. Entre elas, aquela com 60 átomos de carbono apre-
senta um formato semelhante a uma bola de futebol. Por esse motivo, a molécula 
de C60 também é conhecida como “futeboleno”.
 • As ligações presentes na molécula de C60 formam que tipos de polígono? 
©Shutterstock/ogwen e ©iStockphoto.com/najin
f ó
Ponto de partida 
Um polígono é uma superfície 
plana limitada por uma linha po- 
ligonal fechada. Linha poligonal 
é uma linha formada apenas por 
segmentos de reta.
Pentágonos e hexágonos.
28 Volume 6
Poliedros 
Nesta unidade, começaremos a estudar alguns sólidos geométricos. 
Os sólidos formados por faces são denominados poliedros.
Em algumas construções, podemos observar formas que lembram 
poliedros.
G
et
ty
 Im
ag
es
/W
ire
Im
ag
e/
M
ar
c 
Pi
as
ec
ki
La
tin
st
oc
k/
SI
M
E 
Ph
ot
o/
SI
M
E/
A
n
to
n
in
o 
Ba
rt
u
cc
io
Observe alguns poliedros:
Embora a própria palavra nos dê uma ideia do que seja um poliedro, é conveniente que tenhamos uma definição 
mais precisa, de modo que sejam considerados poliedros apenas aqueles sólidos úteis para nosso estudo. 
Um poliedro é a reunião de determinada quantidade de polígonosque satisfazem as seguintes condições:
• cada lado de um polígono também é lado de exatamente outro polígono;
• a intersecção de dois polígonos é um lado comum ou é um vértice ou é vazia;
• sempre é possível ir de um ponto de uma face até um ponto de outra face sem passar por vértice algum, ou seja, 
cruzando apenas arestas.
Ao completar este estudo você deverá ter consolidado suas ideias a respeito de figuras geométricas 
espaciais, especialmente poliedros regulares, prismas, pirâmides, cilindros e cones. Essas ideias deve-
rão servir de base para fazer contagem de arestas e vértices e para desenvolver estratégias para calcular 
volumes e áreas relativos a esses sólidos.
do suas ideias a respeito de figuras geométricas
A palavra poliedro origina-se do grego 
(polýedros, que tem muitas faces). Portanto, 
um poliedro é um sólido com muitas faces.
 Centro Dragão do Mar de Arte e Cultura, Fortaleza – Ceará Park Futuroscope – França
Matemática 29
Assim, as figuras a seguir não representam poliedros.
Os polígonos que compõem o poliedro são denominados faces. Cada lado de um polígono comum a duas faces 
denomina-se aresta e cada vértice de uma face é também um vértice do poliedro.
aresta
face
vértice
9 faces
16 arestas
9 vértices
8 faces
18 arestas
12 vértices
Assim como os polígonos, os poliedros também são classificados em convexos ou não convexos.
A
B
Hexágono convexo
Um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta com extremida-
des em dois de seus pontos está inteiramente contido no polígono.
C
D
Hexágono não convexo
Dizemos que um polígono é não convexo (ou côncavo) quando é possível 
escolher dois de seus pontos de modo que o segmento que une esses pontos 
não está inteiramente contido no polígono.
Esse mesmo critério de classificação pode ser utilizado para os poliedros.
M
N
Poliedro convexo 
P
Q
Poliedro não convexo
Nosso estudo será concentrado nos poliedros convexos. 
30 Volume 6
Relação de Euler 
Em um poliedro convexo, existe uma importante relação que envolve os números de vértices (V), de faces (F) e de 
arestas (A).
a) Observe alguns poliedros convexos e complete a tabela. 
Poliedro
Número de 
vértices (V)
Número de faces 
(F)
Número de 
arestas (A)
4 4 6
6 5 9
8 6 12
6 8 12
10 7 15
Matemática 31
b) Para cada poliedro, compare a soma do número de vértices e de faces (V + F) com o número de arestas (A). O 
que você observa? 
A soma do número de vértices e de faces é duas unidades a mais que o número de arestas, ou seja, V + F = A + 2.
Em todo poliedro convexo com V vértices, F faces e A arestas é verdadeira a seguinte relação:
V + F – A = 2
A relação anterior é atribuída ao matemático suíço Leonhard Euler 
(1707-1783), pronuncia-se “Óiler”. 
Ao lado, um selo em comemoração aos 300 anos do nascimento de Euler. 
Nele, aparece sua relação para os poliedros, hoje escrita como V + F – A = 2.
Embora a Relação de Euler seja verdadeira para qualquer poliedro con-
vexo, existem poliedros não convexos para os quais ela também é válida. 
No poliedro não convexo a seguir, temos:
 
 • 24 vértices
 • 14 faces
 • 36 arestas
V + F – A = 2
24 + 14 – 36 = 2 (verdadeiro)
Assim, a Relação de Euler é verificada.
No entanto, a relação não é verdadeira para o poliedro a seguir.
 • 16 vértices
 • 16 faces
 • 32 arestas
V + F – A = 2
16 + 16 – 32 = 2 (falso)
A Relação de Euler NÃO é verificada.
Observe o seguinte poliedro, formado por 6 faces quadrangulares e 8 faces triangulares, e sua planificação (não na 
mesma escala):
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
ro
ok
76
32 Volume 6
a) Se desmontarmos o poliedro e considerarmos se-
paradamente todas as faces, qual será o número 
total de lados dos polígonos? 
Como são 8 triângulos e 6 quadriláteros, temos 
8 ∙ 3 + 6 ∙ 4 = 48 lados. 
b) Sabemos que cada aresta do poliedro é lado 
comum de exatamente dois polígonos. Qual é o 
número de arestas do poliedro? 
Para determinar o número de arestas, basta dividir o número 
total de lados dos polígonos por 2, ou seja, A = =
48
2
24. 
Em um poliedro, o número total de lados dos polígonos (N) é igual ao dobro do número de arestas.
N = 2A
O número de polígonos com n lados pode ser representado por Fn (n ≥ 3). Assim, podemos escrever F3 para indicar 
o número de triângulos que há no poliedro, F4 para o número de quadriláteros, e assim por diante. É possível também 
usar quaisquer letras para representar essas quantidades (x, y, z e outras).
Exemplo
O rombicosidodecaedro é um poliedro convexo formado por 20 faces triangula-
res, 30 faces quadrangulares e 12 faces pentagonais. Quais são os números de faces, 
arestas e vértices desse poliedro?
Solução
O número de faces é dado pela soma dos números de faces de cada tipo.
F = 20 + 30 + 12 = 62
Como F3 = 20, F4 = 30 e F5 = 12, temos:
N = 2A
20 ∙ 3 + 30 ∙ 4 + 12 ∙ 5 = 2A ⇒ A = 120
Agora, calculamos o número de vértices utilizando a Relação de Euler.
V + F – A = 2
V + 62 – 120 = 2 ⇒ V = 60
Como curiosidade, vamos mostrar uma expressão que permite calcular a soma das medidas dos ângulos internos 
das faces de um poliedro convexo conhecendo apenas o número de vértices. Para isso, observe os dois poliedros das 
figuras a seguir. 
 
Esse poliedro tem 6 faces quadrangulares. Sabemos que a soma 
das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a 
180° · (n – 2). Para as 6 faces do poliedro, a soma é igual a 6 · 180° · (4 – 2) = 
2 160°.
Matemática 33
O poliedro tem 6 faces triangulares e 1 face hexagonal. Assim, a soma das 
medidas dos ângulos internos de todas as faces é:
6 · 180° + 1 · 180° · (6 – 2) = 1 800°
Essas somas também podem ser obtidas de outra maneira. 
A soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo é dada por:
S = 360° · (V – 2)
Nessa relação, V é o número de vértices do poliedro.
 
 • Verifique a validade da fórmula para os dois poliedros anteriores. 
Primeiro poliedro
Número de vértices: V = 8
S = 360° · (V – 2)
S = 360° · (8 – 2)
S = 2 160°
Segundo poliedro
Número de vértices: V = 7
S = 360° · (V – 2)
S = 360° · (7 – 2)
S = 1 800°
1 Demonstração da relação.
1. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 14 fa-
ces e 36 arestas? 
F = 14
A = 36
V + F – A = 2
V + 14 – 36 = 2 ⇒ V = 24
O poliedro tem 24 vértices. 
2. A seguinte afirmação é verdadeira? Justifique sua res-
posta. 
 Em um poliedro no qual o número de vértices é igual ao 
número de faces, o número de arestas é par.
A afirmação é verdadeira. Como V = F, da Relação de Euler, 
temos: 
V + F – A = 2
V + V – A = 2
A = 2V – 2 
A = 2 · (V – 1)
Portanto, A é um número par.
3. Um poliedro tem 11 faces, das quais 4 são triangula-
res, 5 são quadrangulares e 2 são hexagonais. 
a) Calcule o número de arestas e o de vértices. 
F3 = 4, F4 = 5 e F6 = 2
• N = F3 · 3 + F4 · 4 + F6 · 6
2A = 4 · 3 + 4 · 5 + 2 · 6 ⇒ 2A = 44 ⇒ A = 22
• V + F – A = 2
V + 11 – 22 = 2 ⇒ V = 13
O poliedro tem 22 arestas e 13 vértices.
b) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de 
todas as faces?
V = 13 
S = 360° · (V – 2)
S = 360° · (13 – 2)
S = 3 960°
2 Gabaritos.
Atividades
34 Volume 6
4. A figura a seguir mostra um poliedro, conhecido como 
octaedro truncado, e sua planificação. Quantas arestas 
e quantos vértices tem esse poliedro?
F4 = 6 e F6 = 8
F = 6 + 8 = 14
• N = F4 · 4 + F6 · 6
2A = 4 · 6 + 6 · 8 ⇒ A = 36
• V + F – A = 2 
V + 14 – 36 = 2 ⇒ V = 24
5. Um poliedro convexo com 12 arestas é formado ape-
nas por faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se 
também que a soma das medidas dos ângulos internos 
das faces é 1 800°. Determine quantas são as faces 
triangulares e as faces quadrangulares. 
Sejam x e y os respectivos números de faces triangulares e 
quadrangulares, ou seja, F3 = x e F4 = y.
• N = F3 · 3 + F4 · 4 = 2A
2 · 12 = 3x + 4y ⇒ 3x + 4y = 24 
• S = 360° · (V – 2)
1 800° = 360° · (V – 2) ⇒ V = 7
• V + F – A = 2
7 + F – 12 = 2 ⇒ F = 7 ⇒ x + y = 7
Resolvendo o sistema de equaçõesx y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
7
3 4 24
, temos 
que x = 4 e y = 3, ou seja, o poliedro tem 4 faces triangulares 
e 3 faces quadrangulares.
6. Um poliedro convexo tem 20 vértices. Em cada um de 
8 desses vértices, concorrem 3 arestas. Em cada um 
dos demais vértices concorrem 4 arestas.
 Calcule o número de arestas e de faces do poliedro. 
Como cada aresta é comum a exatamente dois vértices do 
poliedro, temos:
em 8 vértices, concorrem 3 arestas;
em 12 arestas, concorrem 4 arestas.
2A = 8 · 3 + 12 · 4 ⇒ 2A = 24 + 48 ⇒ A = 36
V + F – A = 2
20 + F – 36 = 2 ⇒ F = 18
Portanto, o poliedro tem 36 arestas e 18 faces.
7. Em um poliedro convexo qualquer, são válidas as se-
guintes desigualdades:
• 2A ≥ 3F • A + 6 ≤ 3F 
 Usando essas relações, calcule quantas faces e quan-
tos vértices tem um poliedro convexo com 10 arestas.
De acordo com as desigualdades, temos:
2 10 3 3 20 6 666
10 6 3 3 16 5 333
⋅ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤
+ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥
F F F
F F F
,
,
 
Portanto, o único valor possível para F é 6, ou seja, o poliedro 
tem 6 faces.
V + F – A = 2
V + 6 – 10 = 2 ⇒ V = 6
O poliedro tem 6 vértices.
8. (UFPA) A pirâmide truncada é um poliedro convexo cujo 
desenvolvimento no plano é mostrado na figura abaixo.
 Observando a figura, é correto afirmar que seu número 
de vértices é 
a) 10 b) 11 X c) 12 d) 13 e) 14
F3 = 4 e F6 = 4 ⇒ F = 4 + 4 = 8
• N = F3 · 3 + F6 · 6
N = 4 · 3 + 4 · 6 ⇒ 2A = 36 ⇒ A = 18 
• V + F – A = 2
V + 8 – 18 = 2 ⇒ V = 12
9. (UFTM – MG) Um poliedro convexo, com 32 arestas e 
14 vértices, possui apenas faces triangulares e qua-
drangulares. Sendo q o número de faces quadrangu-
lares e t, o número de faces triangulares, então os 
valores de q e t são, respectivamente: 
a) q = 6 e t = 14 d) q = 14 e t = 4
b) q = 16 e t = 4 X e) q = 4 e t = 16
c) q = 4 e t = 14
A = 32 e V = 14
V + F – A = 2
14 + F – 32 = 2 ⇒ F = 20
F3 = t e F4 = q ⇒ t + q = 20
2A = F3 · 3 + F4 · 4 ⇒ 2 · 32 = 3t + 4q ⇒ 3t + 4q = 64
Resolvendo o sistema de equações 
t q
t q
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
20
3 4 64
, temos:
q = 4 e t = 16
Matemática 35
10. (UEPG – PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 
faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces 
triangulares, assinale o que for correto.
X ( 01 ) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n = 4.
X ( 02 ) Se o número de faces do poliedro é 16, então n = 10.
 ( 04 ) O menor valor possível para n é 1.
X ( 08 ) Se a soma dos ângulos de todas as faces do po-
liedro é 3 600°, então n = 6.
X ( 16 ) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n = 8.
11. Dois poliedros convexos P1 e P2 são tais que:
• P1 tem um vértice a mais que P2;
• P1 tem faces de dois tipos, triangulares e quadran-
gulares. P2 só tem faces quadrangulares;
• P2 tem uma face quadrangular a mais que o número 
de faces quadrangulares de P1;
• P2 tem 20 arestas.
 Calcule o número de vértices, de faces e de arestas do 
poliedro P1.
Sugestão de atividades: questões 1 e 2 da seção 
Hora de estudo.
Poliedros regulares 
Observe a seguir alguns polígonos convexos.
60°
60°
60°
108°
108° 108°
108° 108°
O primeiro e o último são regulares; o segundo e o terceiro, não.
Um polígono convexo é regular quando os lados e os ângulos internos são congruentes, ou seja, quando é 
equilátero e equiângulo.
Em um triângulo, quando uma dessas condições for satisfeita, a outra necessariamente também será. Para os de-
mais tipos de polígono, isso não acontece. Note que o segundo polígono é apenas equiângulo, enquanto o terceiro é 
apenas equilátero.
Para que um poliedro convexo seja regular, também deve satisfazer duas condições. Leia a definição a seguir.
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes entre si e em cada 
vértice concorre o mesmo número de arestas.
Existem poliedros que, por satisfazerem apenas uma das condições, não são regulares. Observe estes dois exemplos:
 
Esse poliedro é formado por 6 faces triangulares e equiláteras. No entanto, 
em dois vértices concorrem três arestas e em três vértices concorrem quatro 
arestas. Assim, é um hexaedro não regular. 
36 Volume 6
Esse é um poliedro formado com 8 faces triangulares e equiláteras e 4 faces 
quadradas. Em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas (qua-
tro). Porém, como as faces não são polígonos congruentes entre si, o poliedro 
não é regular.
Para mostrar que só existem cinco poliedros convexos regulares, vamos considerar que n é o número de lados de 
cada face e p o número de arestas que concorrem em cada vértice, ou seja, que partem de cada vértice. Como cada 
aresta é comum a duas faces e também a dois vértices, temos as seguintes relações:
 • 2
2
A n F A
n F= ⋅ ⇒ = ⋅ 
 • 2A p V n F p V V
n F
p
= ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅
Substituímos A e V na Relação de Euler:
V F A
n F
p
F
n F
n F p F n p F p
F n p n p p
F
p
+ − =
⋅ + − ⋅ =
⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =
⋅ + − ⋅ =
=
2
2
2
2 2 4
2 2 4
4
( )
22 2n p n p+ − ⋅
 
Vamos analisar a expressão anterior. Como p é o nú-
mero de arestas que concorrem em cada vértice, então o 
numerador 4p é um número positivo. 
Assim, o denominador 2n+ 2p n p− ⋅ também deve 
ser positivo para que o resultado da divisão tenha sentido.
2 2 0n p n p+ − ⋅ >
O menor valor para n é 3, que corresponde a um po-
liedro com faces triangulares.
n p p p p= ⇒ ⋅ + − > ⇒ − > − ⇒ <3 2 3 2 3 0 6 6
Assim, como o menor valor para p também é 3, p = 3 
ou p = 4 ou p = 5.
n p p p p= ⇒ ⋅ + − > ⇒ − > − ⇒ <4 2 4 2 4 0 2 8 4
Nesse caso, a única possibilidade é p = 3.
n p p p p= ⇒ ⋅ + − > ⇒ − > − ⇒ <5 2 5 2 5 0 3 10 3 333,
Mais uma vez a única possibilidade é p = 3.
n p p p p= ⇒ ⋅ + − > ⇒ − > − ⇒ <6 2 6 2 6 0 4 12 3
Como p não pode ser menor que 3, não existem possibilidades para n ≥ 6. Veja as combinações possíveis na se-
guinte tabela:
n p F =
4p
2n+2p n p− ⋅
A =
n F
2
⋅
V =
n F
p
⋅
Poliedro
3 3 4 6 4 Tetraedro
3 4 8 12 6 Octaedro
3 5 20 30 12 Icosaedro
4 3 6 12 8 Hexaedro
5 3 12 30 20 Dodecaedro
Matemática 37
Assim, os cinco poliedros convexos regulares são: 
Tetraedro regular 
4 faces triangulares equiláteras.
3 arestas concorrem em cada vértice.
Hexaedro regular (cubo)
6 faces quadradas.
3 arestas concorrem em cada vértice. 
Octaedro regular 
8 faces triangulares equiláteras.
4 arestas concorrem em cada vértice.
Dodecaedro regular 
12 faces pentagonais equiláteras.
3 arestas concorrem em cada vértice.
Icosaedro regular
20 faces triangulares equiláteras.
5 arestas concorrem em cada vértice.
38 Volume 6
1. Preencha a tabela a seguir.
Poliedro 
regular
Número de 
faces
Número de 
arestas
Número de 
vértices
Tipo de face
Soma das 
medidas dos 
ângulos das faces
Tetraedro 4 6 4 Triangular 720°
Hexaedro 6 12 8 Quadrangular 2 160°
Octaedro 8 12 6 Triangular 1 440°
Dodecaedro 12 30 20 Pentagonal 6 480°
Icosaedro 20 30 12 Triangular 3 600°
2. Dizemos que dois poliedros convexos são conjugados 
(ou duais) quando o número de vértices de qualquer 
um deles é igual ao número de faces do outro. Todo 
poliedro regular é conjugado de outro poliedro regu-
lar. Como exemplo, observe, a seguir, o hexaedro e o 
octaedro regulares. Podemos construir um octaedro 
regular com vértices nos centros das faces de um cubo 
e reciprocamente um cubo com vértices nos centros 
das faces de um octaedro regular.
a) Qual é a relação entre os números de arestas de 
dois poliedros conjugados?
Dois poliedros conjugados têm o mesmo número de arestas. 
b) O dodecaedro regular e o icosaedro regular são po-
liedros conjugados?
Sim. 
c) Qual é o poliedro conjugado regular do tetraedro 
regular? 
O poliedro cujos vértices são os centros das faces de um 
tetraedro regular também é um tetraedro regular. Assim, o 
conjugado de um tetraedro regular é outro tetraedro regular. 
3. Na figura abaixo, os vértices do octaedro regular são 
os centros das faces de um cubo cujas arestas me-
dem 10 cm. 
5
5
x
a) Qual é a medida de cada aresta do octaedro?
Observe a figura.Sendo x a medida das arestas do octaedro, 
podemos utilizar o Teorema de Pitágoras.
x2 = 52 + 52 ⇒ x2 = 25 + 25 ⇒ x2 = 50 ⇒ x = 5 2 cm
b) Qual é a área de todas as faces do octaedro? Use 
1,73 como aproximação para 3. 
O octaedro regular tem 8 faces triangulares e equiláte-
ras. Como a altura de um triângulo equilátero é dada por 
h =
3
2
, temos: 
h cm
A
A cm
= =
⋅
=
= ⋅
⋅
=
= ⋅ =
3
2
5 2 3
2
5 6
2
8
5 2
5 6
2
2
100 3
100 173 173 2,
 
3 Gabaritos.
Atividades
Matemática 39
4. Sobre as faces de um cubo são construídas pirâmides 
com vértices fora do cubo, formando um poliedro que 
só tem faces triangulares. Calcule o número de faces, 
vértices e arestas do novo poliedro.
Na figura, temos um poliedro formado por um cubo e uma 
pirâmide construída sobre uma de suas faces. Vamos imagi-
nar uma pirâmide em cada face.
• Observe que sobre essa face há um novo vértice. Assim, 
serão 6 novos vértices, além dos 8 do cubo, ou seja, o nú-
mero de vértices do poliedro formado é igual a 8 + 6 = 14.
• Cada pirâmide tem 4 faces triangulares, como são 6 pi-
râmides, o número de faces do poliedro formado é igual 
a 6 · 4 = 24. 
• Cada pirâmide tem 4 arestas laterais. Como o cubo tem 
12 arestas e são 6 pirâmides, o número de arestas do 
poliedro formado é igual a 12 + 6 · 4 = 36. 
• O poliedro formado satisfaz a Relação de Euler, pois 
V = 14, F = 24 e A = 36 (14 + 24 – 36 = 2).
5. (UEM – PR) Com respeito a tetraedros (pirâmides de 
base triangular) e a hexaedros regulares (cubos), assi-
nale o que for correto. 
 ( 01 ) Em um tetraedro, temos um par de arestas que 
estão contidas em retas paralelas.
X ( 02 ) Em um tetraedro, temos um par de arestas que 
estão contidas em retas reversas.
 ( 04 ) Em um hexaedro regular, a soma do número de 
vértices com o número de faces é igual ao número 
de arestas.
 ( 08 ) Em um hexaedro regular, a reta que contém uma 
aresta é perpendicular a quatro planos distintos 
que contêm faces desse hexaedro regular.
X ( 16 ) O número de vértices e o número de arestas de 
um hexaedro regular são, respectivamente, o do-
bro do número de vértices e o dobro do número 
de arestas de um tetraedro.
6. (UERJ) Considere o icosaedro abaixo, construído em 
plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de to-
das as arestas estão marcados.
 A partir dos pontos médios, quatro triângulos equilá-
teros congruentes foram formados em cada face do 
icosaedro.
 Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pon-
tos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, 
e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunfe-
rências, como ilustrado a seguir:
 Observe agora que, subs-
tituindo-se esses arcos 
por segmentos de reta, 
obtém-se uma nova es-
trutura poliédrica de faces 
triangulares, denominada 
geodésica.
 O número de arestas des-
sa estrutura é igual a:
a) 90 X b) 120 c) 150 d) 180 
O icosaedro inicial tem 20 faces, 12 vértices e 30 arestas.
Ao marcar os pontos médios das arestas, temos 30 no-
vos vértices. Além disso, cada face do icosaedro corres-
ponde a 4 faces da geodésica. Assim, a geodésica tem 
12 + 30 = 42 vértices e 4 · 20 = 80 faces.
V + F – A = 2 ⇒ 42 + 80 – A = 2 ⇒ A = 120
Outra possibilidade é levar em conta que a geodésica tem 
4 · 20 = 80 faces triangulares, sem pensar em seu número 
de vértices.
• 2A = F3 · 3 ⇒ 2A = 80 · 3 ⇒ A = 120
6
Sugestão de atividade: questão 3 da seção Hora de estudo.
40 Volume 6
Prisma 
Agora vamos estudar os prismas. Observe, a seguir, algumas construções e embalagens com formatos que lem-
bram prismas.
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/v
ill
or
ej
o
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/i
m
ag
e_
of
_
lif
e
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/s
ca
n
ra
il
Os prismas são poliedros com as seguintes características:
 • duas bases formadas por regiões poligonais convexas e paralelas entre si;
 • superfície lateral delimitada por paralelogramos.
Nas figuras abaixo, indicamos alguns elementos dos prismas. 
Base
Base
Face lateral
Vértice
Aresta lateral
Aresta da base
 Prisma reto Prisma oblíquo
Dizemos que um prisma é reto quando as arestas laterais formam 
com as bases ângulos de 90°. Nesse caso, a altura corresponde à medida 
de cada aresta lateral do prisma. Se os ângulos forem de outra medida, 
o prisma é oblíquo. Em geral, quando não é expresso o tipo do prisma, 
trata-se de um prisma reto.
A rigor, paralelepípedos são prismas cujas bases são paralelogramos. 
Porém, o mais comum é chamarmos o prisma reto de base retangular de 
paralelepípedo. Por apresentar essas características, ele é também deno-
minado paralelepípedo reto retângulo. Paralelepípedo ou prisma reto de base retangular
Matemática 41
As bases de um prisma podem ser polígonos regulares. Nesses casos, o prisma é dito regular.
Prisma quadrangular regular Prisma triangular regular Prisma hexagonal regular
Área da superfície de um prisma 
Como todo poliedro, um prisma pode ter sua superfí-
cie planificada. A observação dessas planificações facilita 
o cálculo da medida da área da superfície. Veja uma plani-
ficação da superfície de um prisma hexagonal regular de 
altura H e cujas bases têm lados medindo ℓ:
H
ℓ
H
H
H
H
H
H
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ ℓ
Podemos ver que a superfície é formada por 6 retân-
gulos (superfície lateral) e dois hexágonos (bases). Assim, 
para obter a medida da área dessa superfície, basta cal-
cular a área de cada uma das figuras e adicioná-las. 
Agora observe esta outra planificação do mesmo 
prisma:
H
ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ
Primeiramente, vamos calcular a área AL da superfície 
lateral do prisma. Com base na segunda planificação, po-
demos ver que basta calcular a área do retângulo de base 
6 . ℓ e altura H.
AL = 6 . ℓ . H
a) Considerando a base do prisma, o que a expressão 
6 . ℓ representa? 
Representa o perímetro da base.
Agora vamos calcular a área ocupada pelas bases.
Decompomos a base hexagonal em 6 triângulos 
equiláteros e calculamos sua área AB.
ℓ
ℓ
ℓ
A
A
A
B
B
B
= ⋅
⋅
= ⋅
⋅ =
6
3
2
2
3 3
2
2 3 3
2
2
Assim, podemos obter a área AT da superfície total do 
prisma:
A A A
A H
A H
T L B
T
T
= + ⋅
= ⋅ ⋅ +
= ⋅ +
2
6 3 3
3 2 3
2
( )
O raciocínio aqui apresentado pode ser usado para o 
cálculo da área da superfície de qualquer prisma, levando-
-se em conta as particularidades de cada um. 
42 Volume 6
b) Calcule a área da superfície total de cada um dos prismas regulares a seguir. 
 
1. As arestas da base de um prisma hexagonal regular 
medem 10 cm e a altura é 20 cm. Calcule a área da 
superfície total do prisma. Use 1,73 como aproximação 
para 3. 
20 cm
10 cm
A superfície total do prisma é composta de dois hexágonos 
regulares de lados 10 cm e 6 retângulos de dimensões 10 cm 
e 20 cm.
A A A
A
A
A
T L B
T
T
T
= + ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⋅
= +
= + ⋅
2
6 10 20 2 6
10
10 3
2
2
1200 300 3
1200 300 1,,73 1719 2= cm
2. Um paralelepípedo de dimensões a, b e c e um cubo 
cujas arestas medem ℓ estão representados a seguir. 
ℓ
ℓ
ℓ a
b
c
a) Obtenha uma fórmula para calcular a área total do 
cubo.
A superfície total do cubo é composta de 6 quadrados cujos 
lados medem ℓ. Portanto: A T = 6 . ℓ
2 
b) Obtenha uma fórmula para calcular a área total do 
paralelepípedo.
A superfície total do paralelepípedo é composta de 2 retângu-
los de dimensões a e b, 2 retângulos de dimensões a e c e 2 
retângulos de dimensões b e c. Portanto:
A a b a c b c
A ab ac bc
T
T
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + +
2 2 2
2 ( )
4 cm
2 cm
3 cm
2√3 cm
 
A superfície total do prisma é composta de dois quadrados de lados 2 cm e 4 
retângulos de dimensões 2 cm e 4 cm.
A cm
A cm
A A A
A A cm
L
B
T L B
T T
= ⋅ ⋅ =
= =
= + ⋅
= + ⋅ ⇒ =
4 2 4 32
2 4
2
32 2 4 40
2
2 2
2
 
A superfícietotal do prisma é composta de dois triângulos equiláteros de lados 
3 cm e de três retângulos de dimensões 3 cm e 2 3 cm.
A cm A cmL B= ⋅ ⋅ = = ⋅
⋅
=3 3 2 3 18 3 3
3
3 3
2
2
27 3
4
2 2
A A A A
A A cm
T L B T
T T
= + ⋅ ⇒ = + ⋅
= + ⇒ =
2 18 3 2
27 3
4
18 3
27 3
2
63 3
2
2
Usando para 3 a aproximação 1,73, temos: A A cmT T=
⋅
⇒ =
63 173
2
54 495 2
,
,
Portanto, a área da superfície total do prisma é, aproximadamente, 54,5 cm2.
4 Gabaritos.
Atividades
Matemática 43
c) Qual é a medida de cada aresta de um cubo que 
tem a mesma área de um paralelepípedo de dimen-
sões 6 cm, 12 cm e 20 cm?
A AT cubo T( )
( )
=
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⇒ =
6 2 20 12 20 6 6 12
144 12
2
2
 
Cada aresta do cubo mede 12 cm.
(paralelepípedo)
3. Na figura a seguir, o segmento destacado em laranja é 
uma diagonal do paralelepípedo.
a
d
D
b
c
a) O segmento destacado em verde representa qual 
elemento do paralelepípedo? 
É a diagonal de uma das bases.
b) Usando o Teorema de Pitágoras, escreva uma fór-
mula para calcular a medida de cada diagonal do 
paralelepípedo. Use D para a diagonal do sólido e d 
para a diagonal da base. 
d2 = a2 + b2
D2 = d2 + c2
D2 = a2 + b2 + c2
D a b c= + +2 2 2
c) Qual fórmula permite calcular a medida de cada dia-
gonal de um cubo? 
Em um cubo, todas as dimensões são iguais. Portanto:
D a a a
D a
D a
= + +
=
=
2 2 2
23
3
d) Considere agora um prisma hexagonal regular. Nes-
se caso, existem diagonais de tamanhos diferentes. 
Obtenha uma fórmula para calcular a medida das 
maiores diagonais. Depois, calcule essa medida 
em um prisma hexagonal regular de altura 15 cm e 
cujas arestas da base medem 10 cm. 
Desenhamos o triângulo formado por uma diagonal maior do 
prisma, uma diagonal maior da base e a altura do prisma. 
Esse triângulo é retângulo. O ângulo reto é formado entre a 
altura do prisma e a diagonal da base. Sendo D a medida de 
cada diagonal maior, H a altura e ℓ a medida das arestas da 
base, temos:
• como o hexágono da base pode 
ser dividido em 6 triângulos equi-
láteros, cada diagonal maior da 
base mede 2ℓ. 
• D2 = H2 + (2ℓ)2
 D2 = H2 + 4ℓ2
Para H = 15 cm e ℓ = 10 cm:
D2 = 152 + 202
D2 = 225 + 400
D2 = 625 ⇒ D = 25 cm
DH
2ℓ
ℓ
4. Em um paralelepípedo de área total 832 dm2, as di-
mensões formam, em dm, uma progressão aritmética 
de razão 4. 
a) Calcule a soma das medidas de todas as arestas.
Sejam x – 4, x e x + 4, em dm, as dimensões do paralelepí-
pedo.
A T = 832 dm
2
2 4 4 4 4 832
4 16 4 416
3
2 2 2
⋅ − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + =
− + − + + =
[( ) ( ) ( ) ( )]x x x x x x
x x x x x
x 22 2432 144 12= ⇒ = ⇒ =x x
 
Assim, as dimensões são 8 dm, 12 dm e 16 dm, e a soma das 
medidas de todas as arestas é igual a 4 ∙ (8 dm + 12 dm + 
+ 16 dm) = 144 dm.
b) Calcule as medidas das diagonais das faces.
Diagonais das faces de dimensões 8 dm e 12 dm:
( )
( )
d
d d dm
1
2 2 2
1
2
1
8 12
208 4 13
= +
= ⇒ =
 
Diagonais das faces de dimensões 8 dm e 16 dm:
( )
( )
d
d d dm
1
2 2 2
1
2
1
8 16
320 8 5
= +
= ⇒ =
 
Diagonais das faces de dimensões 12 dm e 16 dm:
( )
( )
d
d d dm
1
2 2 2
1
2
1
12 16
400 20
= +
= ⇒ =
 
44 Volume 6
c) Calcule a medida de cada diagonal do paralelepípedo.
D a b c
D
D
D dm
= + +
= + +
=
=
2 2 2
2 2 28 12 16
464
4 29
5. Duas embalagens de papelão, com formatos de pris-
mas regulares, um triangular e outro hexagonal, têm a 
mesma capacidade de armazenamento. Suas medidas 
estão indicadas nas figuras a seguir. 
20 cm
12 cm 24 cm
30 cm
• Qual das duas embalagens gastará menos material 
para ser fabricada?
6. (UEMA) O desenho indicado a seguir representa a pla-
nificação de um monumento situado à entrada de uma 
cidade com a forma de um prisma de base pentagonal 
regular e faces retangulares. 
 Os retângulos medem 5 m por 3,6 m e os pentágonos 
têm os lados iguais a 3,6 m. Atenda aos itens indicados 
a seguir:
a) ilustre graficamente esse monumento; 
b) calcule a quantidade necessária de material (lajo-
tas), em m2, para o revestimento das faces laterais 
e da base superior desse monumento.
 [use: tg( ) ,36 0 72° = ]
Volume de um prisma
De modo análogo ao que utilizamos para encontrar áreas das figuras planas preenchendo-as com quadrados (uni-
dades de medida de área), podemos encontrar o volume de figuras espaciais preenchendo-as com cubos, que serão 
nossas unidades de medida de volume. 
Alguns sólidos geométricos possibilitam fazer esse preenchimento com mais facilidade. Acompanhe:
O sólido ao lado é um prisma de base retangular. O retângulo da base mede 5 cm 
por 2 cm, portanto é possível assentar sobre ele uma camada com 2 filas de 5 cubos de 
1 cm de lado. A altura do prisma é igual a 3 cm, e isso nos possibilita afirmar que serão 
necessárias 3 camadas iguais a essa.
Desse modo, conforme você já estudou, o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas dimensões.
Vparalelepípedo = largura × comprimento × altura
Vparalelepípedo = ℓ . c . h
Matemática 45
h
c
ℓ
Considerando que ℓ . c é a área da base, AB, do paralelepípedo, podemos 
escrever que:
Vparalelepípedo = AB . h
Há uma ideia que nos permite estender esse raciocínio para o cálculo do volume de prismas com outras bases. Você 
vai aprender sobre ela agora.
Princípio de Cavalieri 
Observe estas três pilhas de folhas de papel. Elas foram feitas com a mesma quantidade de folhas idênticas, porém 
o formato das pilhas difere de uma para outra. 
Podemos afirmar que os volumes das três pilhas são iguais. Além disso, é seguro afirmar que três folhas, retiradas de 
uma mesma altura, uma de cada pilha, têm áreas iguais. 
O matemático italiano Bonaventura Cavalieri (1598-1647) formalizou essa ideia, estendendo-a para sólidos geomé-
tricos de bases de mesma área, porém com formatos diferentes. 
A1 A2
Se cada uma dessas pilhas é formada por folhas rigorosamente iguais e, além disso, as áreas das folhas que formam 
ambas as pilhas são iguais (A1 = A2), é possível afirmar que essas pilhas têm o mesmo volume.
Antes de apresentar o Princípio de Cavalieri, precisamos definir seção transversal de um prisma. 
Seção plana é a região comum a um sólido e um plano. Nesse caso, em que o plano é paralelo à base do prisma, 
obtemos uma seção plana transversal.
B2 B3B1
O Princípio de Cavalieri pode ser enunciado assim:
Dois sólidos de mesma altura apoiados em um plano α terão o mesmo volume se qualquer plano paralelo 
a α secciona os sólidos em seções de mesma área.
46 Volume 6
Se pensarmos em recobrir as bases desses prismas com cubos bem pequenos, os menores que conseguirmos ima-
ginar, em ambas as bases caberá o mesmo número de cubinhos, pois elas têm a mesma área. Sendo assim, ao empilhar 
as camadas até completar a altura, que é igual para os dois sólidos, utilizaremos quantidades iguais de cubinhos. Por 
esse motivo e nessas condições, podemos afirmar que os sólidos têm volumes iguais. 
β
α
A2A1
h
A1 = A2 ⇒ V1 = V2
Assim, o cálculo do volume de um prisma qualquer é o mesmo que utilizamos para o volume do paralelepípedo.
O volume de um prisma é o produto da área da base pela medida da altura.
V A hprisma B= ⋅
1. Calcule o volume de cada um dos prismas representa-
dos nas figuras. 
a) Prisma triangular regular
6 cm
4 cm
4 cm 4 cm
b) Prisma reto de base triangular
5 cm 12 cm
12 cm
c) Prisma hexagonal regular
10 m
6 m
d) Prisma oblíquo de base retangular
12 dm
5 dm
10 dm
60°
2. Invente medidas para estes blocos e calcule o volume 
de cada um deles.
a) 
b) 
3. A soma das dimensões de um paralelepípedo é 26 cm 
e o volume é 216 cm3. Sabe-se que as dimensões, em 
cm, formam uma progressão geométrica. Qual é a área 
total desse paralelepípedo? 
5 Gabaritos.
Atividades
Matemática 47
4. (IFTO) Analise a figura abaixo:
A
B
C
DE
F
J
G H
I
10 cm
6 cm
X
6 cm
6 cm
6 cm
 Assinale a alternativa que determina o volume desse 
sólido. 
a) 456 cm3 c) 576 cm3 e) 376 cm3
X b) 360